Equations différentielles, exponentielle
1 Résoudre y"4y = 2tanx (MVC) ; y"y = 1 23 x
x (trouver une solution "évidente").
2 Identifier une solution DSE de xy"2y'xy = 0, résoudre à l'aide d'un changement de fonction.
3 y"x2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0. Montrer que cela définit une solution unique y.
Domaine de définition de y ? Montrer que y est paire, positive. Tracé de y.
4 Soit f dérivable de ℝ dans ℝ telle que : x ℝ, f '(x) f(x) = ex. Montrer que f est de classe C, vérifie une EDL d'ordre 2, déterminer f.
5 Trouver les solutions DSE de xy"2y'xy = 0, puis résoudre l'équation.
6 Résoudre
E : y"(x)y'(x) y(x)e2x = 0 en posant y(x)= z(ex).7 Résoudre { x'(t) = 2x8y, y'(t) = 3x4y } par exemple avec une base de vecteurs propres.
8 Montrer que
a Si A Sn(ℝ), exp(A) ℝ[ A] ; si A Sn(ℝ) ? b Si A Sn(ℝ) et B = exp(A), alors Aℝ[ B].
c Soit A, B Sn(ℝ). Montrer que AB = BA SSI exp(A) et exp(B) commutent.
9 Soit
E : y"q(x)y = 0, où q est C négative sur ℝ.a Montrer l'existence d'une solution y1 telle que y1(0) = y1'(0) = 1.
b Montrer que : t 0, y1(t) 1t. c Soit y2(t) = y1(t)
ty udu )
1²(
; montrer que y2 est une solution de
E bornée sur ℝ+.d Quel est l'ensemble des solutions de
E bornées sur ℝ+ ? 10a : Calculer exp(A), où A =
5 1
1
7 . b : Soit B =
1 0
1
1 . Montrer que B exp M2(ℝ).
11 Soit a, b fonctions continues de ℝ dans ℝ ; soit
E : y"ay'by0 ; montrer que
E possède un SFS
f,g
avec f paire et g impaire si et seulement si a est impaire et b paire.12 Soit A M2( ℂ). Montrer l'existence de et tels que exp(A) = I2A et les calculer. On pourra commencer par le cas où A n'est pas diagonalisable.
13 Soit NMn(ℂ) nilpotente, telle que exp(N)In ; montrer que N = 0.
Soit M Mn(ℂ) ; montrer que M est diagonalisable SSI expM est diagonalisable.
14 Soit A et B éléments de Mn(ℂ), et CABBA ; on suppose que C commute avec A et B.
Montrer que : k ≥ 1, AkBBAk kAk1C. Montrer que : t ℝ, etA B etAetBe t2C
2
.
15 Soit S l'ensemble des solutions réelles de y(n)...a1y'a0y = 0, où les ak sont n réels ; dim S ? Montrer que S est stable par D (dérivation) ; trace, det D ?
16 Soit f C1(ℝ+, ℝ) monotone et ayant une limite finie en +. Que peut-on dire de f ' ? Montrer que les solutions de y" + y = f sont bornées sur ℝ+.
17 Résoudre y"6y'9y =
² 1
) 3 exp(
x x
en posant y(x) = z(x)e3x.
18 E = ℝn est muni du PSC ; pour A Mn(ℝ), on note A ≥ 0 si : x ℝn, (Ax/x)≥ 0.
Montrer l'équivalence entre : a A ≥ 0.
b Pour tout t ≥ 0, exp
tA est 1-lipschitzienne.c pour tout x E, t → exp(tA)x 2 est décroissante.
Quel rapport y a-t-il avec les matrices symétriques positives ?
19 Soit t ℝ. n
n n
it) 1 (
lim ? ( utiliser module et argument ). En déduire nn
n M
lim , où Mn =
1 1
n t
n t
.
20 Soit f C(ℝ, ℂ) ; on note fa : t f(ta) ; on suppose la famille (fa)aℝ de rang fini ; montrer que f est une exponentielle-polynôme.
21 Soit A et B éléments de Mn(ℝ) ; montrer que exp(A)exp(B)=
01 ) 1). (
.(A B e ds
esA s B .
22 Soit N Mn(ℂ) nilpotente ; montrer que Ker N = Ker(expNIn).
23a Soit M Sn(ℝ) ; montrer que X O(n), tr MX ≤ tr M.
b Soit AMn(ℝ) antisymétrique ; montrer que exp(A) O(n).
c Soit M Mn(ℝ) tel que : X O(n), tr MX ≤ tr M ; montrer que M Sn(ℝ).
24 Montrer que l'application exponentielle induit une bijection de Sn(ℝ) sur Sn.
25 Etudier 0
1
0cos( sin ) dt t x xJ . EDL d'ordre 2 ? limJ0
? DSE ? Montrer que J0 a un seul zéro sur , [ ]2
.
26 Soit MDG continu de ℝ dans GLn(ℝ). Montrer l'existence de C de ℝ dans ℝ à support compact d'intégrale 1. Soit f(t) =
(s)(st)ds. Montrer que f, puis sont C sur ℝ.27 Soit b ℝ, a > 1. Montrer que toute solution de y"2xy'by = 0 est entière, et
xlim y(x)eax2 = 0.
28 Soit A C1(ℝ, Mn(ℂ) ) ; on suppose qu’il existe S C1(ℝ, GLn(ℂ)) tel que pour tout t,
0 S 1(t)A(t)S(t)A . Montrer qu’il existe B C(ℝ, Mn(ℂ)) tel que A'ABBA.
Inversement, on suppose qu’il existe B C( ℝ, Mn(ℂ)) tel que A'ABBA ; montrer que trAk est constant pour tout k, que Sp A est constant, et qu’il existe S C1(ℝ, GLn(ℂ) ) tel que pour tout t, S1(t)A(t)S(t)A
