Dvt 210 relations rayons SE

210 Séries entières de variable réelle ou

complexe. Rayon de convergence. Propriétés de la somme. Exemples.

Relations sur les rayons Monier 4 p.86, 94, 95.

Relations sur les rayons: comparaison, somme, dérivée.

Prop Prop Prop

Prop 222: Comparaison des rayons2 Comparaison des rayonsComparaison des rayonsComparaison des rayons. Soient

0 n n n

a z

≥

∑

et

0 n n n

b z

≥

∑

deux SE de rayons respectifs Ra et Rb. Si

(

∀ ∈^{n ,a}_n ≤ ^b_n

)

, alors R_a ≥R_b.

Si

(

^{∀ ∈n ,an}_n⁼_∞^{O b}

( )

ⁿ

)

^{, alors Ra ≥Rb.}

Si

(

^{∀ ∈n ,an}_n^∼_∞^bn

)

^{, alors Ra =Rb.}

Prop 4 Prop 4 Prop 4

Prop 4: Soient

0 n n n

a z

≥

∑

et

0 n n n

b z

≥

∑

deux SE. On considère

( )

0

n

n n

n

a b z

≥

∑

+ la série sommesérie sommesérie sommesérie somme.

Alors Rab Min R

(

a^,Rb

)

+ ≥ , égalité si R_a ≠R_b. Prop 5

Prop 5 Prop 5

Prop 5: la SE et la SE dérivée ont même rayon de cvmême rayon de cvmême rayon de cvmême rayon de cv.

I. Prop. 2: Comparaison.

Prop Prop Prop

Prop 222: Comparaison des rayons2 Comparaison des rayonsComparaison des rayonsComparaison des rayons. Soient

0 n n n

a z

≥

∑

et

0 n n n

b z

≥

∑

deux SE de rayons respectifs Ra et Rb. Si

(

∀ ∈n ^,an ≤ bn

)

, alors R_a ≥R_b.

Si

(

^{∀ ∈n ,an}_n⁼_∞^{O b}

( )

ⁿ

)

^{, alors Ra ≥Rb.}

Si

(

^{∀ ∈n ,an}_n^∼_∞^bn

)

^{, alors Ra =Rb.}

210 Séries entières. Relations sur les rayons Monier 4 II. Prop.4: Somme.

Prop 4 Prop 4 Prop 4

Prop 4: Soient

0 n n n

a z

≥

∑

et

0 n n n

b z

≥

∑

deux SE. On considère

( )

0

n

n n

n

a b z

≥

∑

+ la série sommesérie sommesérie sommesérie somme.

Alors ^R_a+b ≥^{Min R}

(

_a^,R_b

)

, égalité si R_a ≠R_b.

210 Séries entières. Relations sur les rayons Monier 4 III. Prop. 5: Dérivée.

Prop 5 Prop 5 Prop 5

Prop 5: la SE et la SE dérivée ont même rayon de cvmême rayon de cvmême rayon de cvmême rayon de cv.