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Relations entre les rayons de courbure de deux courbes affines

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(1)

N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

F. B ALITRAND

Relations entre les rayons de courbure de deux courbes affines

Nouvelles annales de mathématiques 4e série, tome 18 (1918), p. 349-352

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1918_4_18__349_1>

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(2)

RELATIONS ENTRE LES RAYONS DE COURRURE DE DEUX COURRES AFFINES V) ;

PAR M. F. BALITRAND.

Soient M et M, deux points correspondants de deux courbes affines par rapport à un axe XX' ; G et C4 les centres de courbure en ces points; A le point de ren- contre, situé sur XX', des tangentes en M et M< aux courbes (M) et (M,). Appelons r et r< les portions de tangentes ÂM et AM/; 9 et 9, les angles qu'elles forment avec l'axe XX'.

On a par définition

rcos8 = ri cos0!, r sinô = Krt sinÔt ; d'où

tango = K tango,.

En différentiant cette relation on obtient dft __ cos*Q # dS[ cos'O/

dQ et rf9< sont les angles de contingence des deux

(') Sur ce sujet on peut consulter : P. SERRET (Des méthodes en Géométrie, p. 96); A. MANNHEIM (Princ. etdévelopp. de Géom.

ciném., p. 4 98) ; R- GOORMAGHTIGH (NOUV. Ann., 1915, p. 423, e t 1917, p. 8 4 ) ; F. BALITRAND {NOUV. Ann., 1916, p. 7 4 ) .

(3)

( 35o )

courbes en M et M,. D'autre part, a cause de

rcosÔ = ri cosöj

et de la signification g é o m é t r i q u e des angles 9 et 9,, on a

ds cosoj _ r dsx ~~ cos 6 ~~ rx

Par suite, en appelant p et p4 les rayons de courbure correspondants

ds

Cette relation est due à P. Serret (Des méthodes en Géométrie, p. 96) qui l'a établie par une voie entiè- rement différente de celle qui précède et n'en a pas déduit de construction géométrique. Par une transfor- mation facile, elle s'écrit

psinöcosö

d'où la détermination suivante du centre de cour- bure C4 :

On projette C en Q sur MM, et C' en C sur AM.

La parallèle à MM,, menée par (7, coupe AM< en C'[

et la perpendiculaire en ce point à AM, coupe MM4

en C[. La parallèle à XX;, menée par Gx, passe par le centre de courbure C,.

La relation précédente peut se mettre sous la forme

p s i n Ö

et donne alors lieu à ce théorème :

(4)

Les projections des rayons de courbure de deux courbes affines sur Vaxe d'affinité sont entre elles comme les carrés des portions de tangentes corres- pondantes, comprises entre leur point de concours et leurs points de contact avec les courbes.

Joignons AC7 qui coupe la normale à M en D et pro- jetons ce point en Q sur XX'. Soit P le pied de MM4

sur cet axe. Les triangles semblables ADQ, AC'P donnent

AQ _ AD _ AM _ r AP ~~ AG' ~~ AC" ~ r-hpsin6cos0;

d'où

A r»cos8

r -+- p sinfl cos 6 On trouverait de même pour la courbe (M< )

AQt = rjcosGi /*i-h pi sinöj

Or, en vertu de

psinocosÔ p! sinÔ! cos0!

= AQ1 et il en résulte la propriété suivant* qui fournit une construction évidente du centre de cour- bure G\ connaissant G :

On projette les centres de courbure C et Cf en G;

et Gj sur MM,. Les droites AC7 et ÀCj rencontrent les normales correspondantes en deux points qui sont sur une perpendiculaire à XX'.

Soit N le point où la perpendiculaire en A à XX' rencontre la normale à (M). Portons sur cette normale, a partir de N, une longueur NiN' égale au rayon de courbure CM et abaissons de M sur AN' une perpendi- culaire qui coupe XX' en O. Nous formons ainsi deux

(5)

( 352 )

triangles ANN', AMO qui sont semblables comme ayant leurs côtés perpendiculaires et qui donnent

DU bien

De même, pour la AO

A O -

courbe

AH. —

A M

~~ N N ' '

r2

p sin 6

(M1 ), on aurait

j sin bi

D'après ce que nous avons vu plus haut AO = AO<

et les points O et O| coïncident. On a donc la pro- priété suivante qui peut servir à déterminer C{ con- naissant C :

Soient N e^ N, les points où la perpendiculaire élevée en A à XX' rencontre les normales à (M) et (M|). Portons sur ces normales, à partir de ces points, des longueurs NN', NjN, égales respective- ment aux rayons de courbure correspondants * Les perpendiculaires abaissées de M et M, sur AN'

et AN', se coupent sur XX'.

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