Sur les éléments de la courbure des courbes et surfaces

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

S. M

Sur les éléments de la courbure des courbes et surfaces

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 10 (1893), p. 87-89

<http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1893_3_10__87_0>

© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1893, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l’É.N.S. » (http://www.

elsevier.com/locate/ansens) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systé- matique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi- chier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

SUR LES ÉLÉMENTS

DE LA

DES ET

PAU M. S. MANCxEOT,

1 * H ( > F E S S E lî R A V L Y 0 Si E D Î3 Ï H 0 y I-: S,

Je considère une quadrique et 0110 sphère tangente, et j'imagine le

•cône qui, ayant son sommet place en leur point de contact M, ()asse par leur courbe commune- Ce cône est du. deuxième de^'ré. On peut voit* que celles des sections nonnales de la quaxirique, au point M^ qui touchent tes traces du cône sur le plan tangent, ont leur rayon de courbure é^al au rayon de la sphère; si le cône est en contact avec ce plan, l'arête de contact, devra coïncider avec une tangente principale de la quadrique. On conclot de la. ces deux, règles :

i:° Pour woir les cenlw de courbures prinMpcilix cl (es Iwi^'e/ile^

principales en un poi/U simple M. (/'u/ie quadrique définie par wn équa- tion, il su/fit d'exprimer que y par /''inlenection de la quadrique el d'une sphère Ici louc/wti en M. » on peut /hire passer un côw ciyant son soîwnel en M el lancent à la qiw/rique. Le centre de la sphère ci l'arête de eon- lael du cône wee le plan langeni sorU un centre de courbure principal el la lange/île principale correspondante de Ici quadnque.

2° 'Pour açoir le cercle oscillateur en un point ordinaire M de la courbe d'interaction de deux quadriques définies analytiquement, d'suffit d'ex- primer que, par l''iMen'eclion de chacune d'elles wea une sphère la tou- chant en M, on peut faire passer un cône ayant son sommet au point M et

88 S. MANG'EOT.

tangent à la courbe en ce point. Le cercle commun aux deuoc sphères ainsi déterminées est le cercle cherché ({) .

Je suppose m a i n t e n a n t que l'on v e u i l l e résoudre les deux mêmes problèmes sur des surfaces quelconques. On. pourra, p o u r cet o h j e î , remplacer chacune de celles qui ne sont pas (les surlaces d u p r e m i e r ou du second degré par une q u a d r i q u e a y a n t avec elle, au p o i n t que l'on considère, un contact d'ordre égal ou s u p é r i e u r à 2 : car, si d e u x surfaces ont entre elles un tel contact, elles a d m e t t e n t , au p o i n t de contact, les mêmes directions p r i n c i p a l e s et les mêmes c o u r b u r e s p r i n - cipales, et, d'un autre côté, q u a n d deux s u r f a c e s o n t respectivement un contact d'ordre au moins égal à 2 avec deux autres surfaces en u n de leurs points communs, la courbe d'intersection des d e u x premières surfaces a le même cercle de c o u r b u r e , en ce p o i n t , q u e la courbe c o m m u n e aux deux autres. Or, si

/(.r, y, z) ^:.o

est l/équation ponctuelle d'une surface, et si ^,j\ ^ ' s o n t les coor- données d'un point non singulier de celte surface, on o b t i e n t réqua- tion d'une quadrique particulière q u i la, touche en ce point:, le conlact étant au moins du second, ordre, on a n n u l a n t la f o n c t i o n

n-.-.î

2 ^ "^ - ^

^ --.^ ^

- ^ ^. '

•'''

-"

'

/; "r" •I

c'est-à-dire en ne conservant, du développement de l'équation de la surface suivant les puissances entières et positives de-r —» x\ y "-J^

s "— ^', que les termes qui, sont du prerrner et du second degré par rapport a ces différences.

Veut-on, par exemple, connaître les,rayons principaux, à l'origine 0 des coordonnées supposées rectangulaires, de la surface A q u i corres- pond à l'équation

ffX^ ^y_ gm^ •=:ô?

(1) Si rime des deux quadnques se rôduifc à un plan, le côrcio oscillateur o»t l'inler- scclion d6 ce plan avec la sphère relative à l^aulrô quadriquo.

SUR LES É L É M E N T S DE LA C O U R B U R E DES COURBES ET SURFACES. 8q

On peut, à cet effet, remplacer la surface A par la quadrique qui a p o u r équation

/ x x1 \ ( y y2 \

( i + - + —— ) _ i ^ . . L 4 - ^ L «

\ i ï . 2 / \ ï i . a / ou

'A (,%' — y — .s) -{- .r2—y2:^ o,

et a p p l i q u e r à cette q u a d r i q u e la règle énoncée plus haut. Une sphère la touchant au point 0 est

^ •+ y2 "+- ^ -+- '2 p ( .-r — y — xî ) = o ;

le cône ayant comme sommet ce point et comme directrice l'intersec- tion de la q u a d r i q u e et de la sphère est

.^2.4- j2 4,. ^ _ p ( ^.2,_ y a ) ^ ^^

Pour qu'il soit en contact avec la quadrique, c'est-à-dire pour qu'il soit tangent au plan x — y — ^ = o, il faut prendre p = ± \/3. Les centres de courbure principaux de la surface A sont d o n c les centres des deux sphères

^ 4» yî 4. ^ ±: a ^/3 ( ^ — ,y ~ z ) = <,) (1 ).

C1} Pour avoir les rayons principaux d'une surface, on pout auHHi niîre iiHa^e du théo- roi no suivant, facilo à (lôniontror ;

Quand une quadrique et une ffphère soitt tangentes'y lu rayon de la ^p/u're et les' rqyo//^

de courfmrc principaux: de la qucutf'lquc^ cm point dfi contact, sont proportionnels à la racine double et ww deux aatrcff racines de l'équation dit(ï équation en X relative aux d('M.ï: surfacea rapportées à trolfî axc^ coordonnéf! quelconquea, 1 é/anf PU nniltiplimteur dwant Ifi» coefficient,v de l'équation de Ut quadriquft.

Ann, de l'Éc. Normale. 3e Séné- Tome X. —• MARS tSc)^. ^ . ' 1 rît