Étude des fonctions polynomiales

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Chapitre 4

Étude des fonctions polynomiales

I. Fonctions polynômes du second degré

I.1 Définitions Définition 1

On appelle fonction polynôme du second degré (ou trinôme) toute fonction définie sur ℝ par f (x)=ax²+bx+c où a, b et c sont des nombres réels et a ≠0 .

Cette expression est appelée forme développée de f . Exemples

• f (_x)₌_x²₊₂_x−1 avec a=1 , b=2 et c=−1 .

• h(x)=(x+2)²−3 est un trinôme car, en développant, on obtient : h(x)=x²+4x+4−3=x²+4x+1 avec a=1 , b=4 et c=1 . Définition 2

Soit f la fonction polynôme du second degré définie par f (x)=ax²+bx+c avec a ≠0 . On dit que la courbe représentative de cette fonction est une parabole.

Une parabole a une forme de « U » (« tournée vers le haut ») lorsque a est positif.

A l'inverse, si a est négatif, la parabole a une forme de « pont » (« tournée vers le bas »).

Dans les deux cas, la parabole possède comme axe de symétrie la droite d'équation x=− b 2a . On appelle généralement S le sommet d'une parabole. S a pour coordonnées

(

⁻2^ba ; f

(

⁻2^ba

))

^.

Cas a>0 Cas a<0

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I.2 Forme canonique Propriété 3

Pour toute fonction polynôme du second degré de la forme f (x)=ax²+bx+c, avec a ≠0 , on peut trouver deux nombres réel α et β tels que pour tout nombre x, on a :

f (x)=a(x−α)²+β avec α=− b

2a et β= f ⁽α⁾ Le sommet de la parabole est alors de coordonnées (α;β).

Cette expression est appelée forme canonique de f . Exemple

Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x)=2x²+8x−1 .

On a f (x)=2

(

^x²⁺⁴^x−¹2

)

⁼²

(

^x²^+2×2^×x+²²⁻²²⁻¹2

)

⁼²

(

⁽^x⁺²⁾²⁻⁹2

)

⁼²⁽^x+2⁾²⁻⁹^.

Remarque

Lorsque l'on dispose de la forme canonique, il « suffit » de lire les coefficient α et β pour obtenir les coordonnées du sommet S d'une parabole.

Exemples

• La fonction f définie par f (x)=−2(x−5)²+3 admet comme maximum 3, lorsque x=5 (a<0 ; α=5 ; β=3 ).

• La fonction g définie par g(x)=4(x+1)²−2 admet comme minimum −2 , lorsque x=−1 (a>0 ; α=1 ; β=−2 ).

Méthode : Démontrer qu’une fonction polynôme de degré 2 admet un extremum Soit la fonction f définie sur ℝ par f (_x)₌₂_x²₋₁₂_x+23.

a. Démontrer que pour tout x réel, f (x)=2(x−3)²+5 .

b. En déduire que f admet un minimum dont on précisera la valeur.

a. En développant la 2^e expression, on obtient :

2(x−3)²+5=2(x²−6x+9)+5=2x²−12x+18+5=2x²−12x+5=f (x). Autre méthode : 2x²−12x+23=2

(

^x²⁻⁶^x+²³2

)

=2

(

^x²⁻²^×3^x+3²⁻³²⁺²³2

)

=2

(

⁽^x−3⁾²⁺ ⁵₂

)

=2(x−3)²+5 =f (x) b. On regarde le signe de a : a=2>0 .

La parabole est « tournée vers le haut », donc f admet un minimum.

Or la deuxième expression correspond à la forme canonique, d'où on peut lire la valeur du minimum qui est 5, atteint pour x=3 .

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I.3 Sens de variations Propriété 4

Soit f une fonction polynomiale du second degré définie sur ℝ par f (x)=ax²+bx+c.

• Si a>0 , f est strictement décroissante sur ]−∞;α] et strictement croissante sur [α;+∞[. Elle admet comme minimum β en x=α .

• Si a<0 , f est strictement croissante sur ]−∞;α] et strictement décroissante sur [α;+∞[. Elle admet comme maximum β en x=α.

La courbe représentative de f dans un repère orthonormé admet pour axe de symétrie la droite d'équation x=α et pour sommet le point de coordonnées (α;β).

Démonstration

Soit une fonction f polynomiale du second degré définie sur ℝ par f (x)=a(x−α)²+β.

• Soit a>0 .

‣ Sur l'intervalle ]−∞;α]

Soit u et v deux réels tels que u<v⩽α. Alors : u−α<v−α⩽0

(u−α)²>(v−α)² car la fonction carrée est décroissante sur ]−∞; 0]

a(u−α)²>a(v−α)² car a>0 a(u−α)²+β>a(v−α)²+β

f (u)>f (v)

Ainsi si u<v , alors f (u)>f (v). Donc f est strictement décroissante sur ]−∞;α].

‣ Sur l'intervalle [α;+∞[

Soit u et v deux réels tels que α⩽u<v. Alors : 0⩽u−α<v−α

(u−α)²<(v−α)² car la fonction carrée est croissante sur [0 ;+∞[

a(u−α)²<a(v−α)² car a>0 a(u−α)²+β<a(v−α)²+β

f (u)<f (v)

Ainsi si u<v , alors f (u)<f (v). Donc f est strictement croissante sur [α;+∞[.

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Méthode : Établir les variations d'une fonction du second degré Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x)=−x²+4x.

a. Calculer les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction f . b. La fonction f admet-elle un maximum ou un minimum. Justifier.

c. Construire le tableau de variations de f , puis tracer sa courbe représentative dans un repère.

a. On calcule les coordonnées du sommet S : On a α=− b

2a=− 4

2×(−1)=2 et β=f ⁽α⁾= f (2)=−2²+4×2=−4+8=4 . Donc S(2 ;4).

b. On regarde le signe de a : a=−1<0 .

La parabole est « tournée vers le bas », donc f admet un maximum. Ce maximum est 4.

c. Tableau de variations :

x

−∞

²

^+∞

4 f (x)

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II. Signe d'un trinôme

Propriété 5

Soit f une fonction du second degré de la forme f (x)=ax²+bx+c, avec a ≠0 . On a la factorisation suivante :

• Si Δ>0, alors on a pour tout réel x, f (x)=a(^x−^x1)(^x−^x2)^.

• Si Δ=0, alors on a pour tout réel x, f (x)=a(x−x₀)².

• Si Δ<0, alors f ne se factorise pas.

Démonstration

On a vu lors de la démonstration de la forme canonique que pour tout réel x : f (x)=a

[ ⁽

^x+²^b^a

⁾

²^{− Δ}4a²

]

• Si Δ>0

f (x)=a

[ (

^x+2^ba

)

²⁻

(

^√2^Δa

)

²

]

=a

(

^x+2^ba+^√Δ

2a

)(

^x+2^ba−^√Δ 2a

)

=a

(

^x−^−b−2a^√^Δ

)(

^x−^−b+2a^√^Δ

)

=a(^x−x1)(^x−^x2)

• Si Δ=0

f (x)=a

(

^x⁺2^ba

)

²⁼^a

(

^x−

(

⁻2^ba

))

²^=a⁽^x−^x⁰⁾²^.

Exemple

Soit la fonction polynomiale définie sur ℝ par f (x)=x²−7x+10 .

On a Δ=(−7)²−4×1×10=49−40=9 . Comme Δ>0 , il existe deux racines distinctes réelles.

x₁=−b−^√Δ

2a =−(−7)−

√

9

2×1 =7−3

2 =4

2=2 et x₂=−b+^√Δ

2a =−(−7)+

√

9

2×1 =7+3

2 =10 2 =5 On en déduit que f se factorise et on a f (x)=(x −2)(x −5).

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Propriété 6

Soit la fonction polynomiale f (x)=ax²+bx+c, avec a ≠0 .

• Si Δ>0, f (x) s’annule pour x=x₁ et x=x₂ (on suppose que x₁<x₂) et alors : ‣ le signe de f (x) est du signe de a pour x extérieur à l’intervalle des racines ;

‣ le signe de f (x) est du signe contraire de celui de a si x est compris entre les racines.

x

−∞

^x¹ ^x²

^+∞

f (x) signe de a 0 signe de −a 0 signe de a

• Si Δ=0, f (x) s’annule pour x=x₀ : son signe est celui de a pour tous les réels x ≠ x₀.

x

−∞

^x⁰

^+∞

f (x) signe de a 0 signe de a

• Si Δ<0, f (x) a le même signe que a pour tout réel x .

x

−∞ ^+∞

f (x) signe de a

Démonstration

• Si Δ>0 , on a vu que pour tout réel x, f (x)=a(^x−^x1) (^x−^x2)^.

x

−∞

^x¹ ^x²

^+∞

x−x₁ − 0 + +

x−x₂ − − 0 +

(^x−^x1)(^x−^x2) + 0 − 0 +

a(^x−x1)(^x−x2) signe de a 0 signe de −a 0 signe de a

• Si Δ=0 , on a vu que pour tout réel x, f (x)=a(^x−^x₀)². Si x=x₀=− b

2a , alors f (x)=0 .

Sinon, pour tout réel x tel que x≠x₀, on a (x−x₀)²^>0 . Ainsi la fonction f est du signe de a.

• Si Δ<0 , on a vu que pour tout réel x, f (x)=a

[ ⁽

^x+ ²^b^a

⁾

²^{− Δ}4a²

]

^.

Or

(

^x+₂^b_a

)

²^{⩾0 et}⁻₄^Δ_a²^>0^.

Donc

[ ⁽

^x+2^ba

)

²^{− Δ}₄_a²

]

^{>0 .}

Ainsi la fonction f est du signe de a.

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Exemples

• Donner le tableau de signes de la fonction f définie sur ℝ par f (_x)₌_x²₋₇_x+10.

D'après l'exemple précédent, le discriminant est positif et on a x₁=2 et x₂=5 . De plus, a=1>0 . On en déduit alors le tableaux de signes de la fonction f :

x

−∞

² ⁵

^+∞

f (x) + 0 − 0 +

• Résoudre l'inéquation −9x²+6x−1<0 .

On a Δ=6²−4×(−9)×(−1)=36−36=0 . Comme Δ=0 , l'équation admet une racine réelle double. On a x₀=− b

2a=− 6

2×(−9)=− 6

−18=1

3 . De plus a=−9<0 . On en déduit alors le tableau de signes suivant :

x

−∞

¹₃

^+∞

−9x²+6x−1 ⁻ 0 −

Ainsi, S=ℝ ∖

{

¹₃

}

^.

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Chapitre 4