Colles et classiques de maths en prépa

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Colles et classiques de maths en pr´epa

F. Maalouf

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1 Nombres r´ eels

1.1 Partie enti` ere d’une fraction (mpsi/pcsi)

Soitx∈R⁺ et n∈N^∗. Montrer que ⌊nx⌋

n

=⌊x⌋.

El´ements de solution: On a successivement

⌊x⌋ ≤x <⌊x⌋+ 1 =⇒ n⌊x⌋ ≤nx < n⌊x⌋+n

=⇒ n⌊x⌋ ≤ ⌊nx⌋< n⌊x⌋+n

=⇒ ⌊x⌋ ≤ ⌊nx⌋

n <⌊x⌋+ 1

=⇒ ⌊x⌋ ≤ ⌊nx⌋

n

<⌊x⌋+ 1

=⇒

⌊nx⌋

n

=⌊x⌋

Une autre fa¸con de comprendre ce résultat c’est en représentant tous les nombres en question en base n. La multiplication (resp. division) par n revient à déplacer la virgule d’une place à droite (resp. à gauche), et prendre la partie entière revient a effacer la partie après la virgule. Supposons que l’écriture dexen base nest

x: c_pc_p−1· · ·c₀ , c₋₁c₋₂· · · alors les repr´esentations en basendenx,⌊nx⌋, ⌊nx⌋

n et ⌊nx⌋

n

sont successivement:

nx: c_pc_p−1· · ·c₀c₋₁ , c₋₂· · ·

⌊nx⌋: cpcp−1· · ·c0c−1

⌊nx⌋

n : c_pc_p−1· · ·c₀ , c₋₁

et ⌊nx⌋

n

: c_pc_p−1· · ·c₀ d’o`u le r´esultat voulu.

1.2 Une somme de parties enti` eres (mpsi/pcsi)

Soitx∈R⁺ et n∈N^∗. Montrer que

n−1

X

k=0

x+k

n

=⌊nx⌋.

Indication: consid´erer la division euclidienne de⌊nx⌋parn.

El´ements de solution: Posons⌊nx⌋=qn+r, avec 0≤r < n. On sait queq=j_⌊nx⌋

n

k

, donc d’apr`es l’exercice1.1, q=⌊x⌋, et on a

⌊nx⌋=n⌊x⌋+r avec 0≤r < n Chacun des termes

x+ k

n

est égal soit à⌊x⌋soit à⌊x⌋+ 1. Supposons que pour lesadernières valeurs dek,

x+k

n

=⌊x⌋+ 1, et pour lesn−arestantes

x+k n

=⌊x⌋. On devra alors avoir

n−1

X x+k

= (n−a)⌊x⌋+a(⌊x⌋+ 1) =n⌊x⌋+a,

(5)

Il suffit alors de montrer quea=r, c.`a.d montrer : si 0≤k < n−r alors

x+k

n

=⌊x⌋.

et

si n−r≤k < n alors

x+k n

=⌊x⌋+ 1 cas 1: Supponsons 0≤k < n−r. Alors

x+k

n

=

nx+k n

=

⌊nx+k⌋

n

=

⌊nx⌋+k n

≤

n⌊x⌋+r+ (n−r−1) n

≤

⌊x⌋+ 1−1 n

=⌊x⌋

cas 2: Supponsonsn−r≤k < n. Alors

x+ k n

=

nx+k n

=

⌊nx+k⌋

n

=

⌊nx⌋+k n

≥

n⌊x⌋+r+ (n−r) n

=⌊x⌋+ 1

1.3 Densit´ e de l’image des entiers par une fonction – 1(mpsi/pcsi)

Soitf :R−→Rune fonction strictement croissante telle que

x→+∞lim f(x) = +∞ et lim

x→+∞f(x+ 1)−f(x) = 0.

Montrer que{f(n)− ⌊f(n)⌋, n∈N}est dense dans [0,1].

Eléments de solution: Soit ϵ > 0, et n0 ∈ N tel que ∀x ≥ n0, f(x+ 1)−f(x) < ϵ. Comme limx→∞f(x) = +∞, on peut alors trouver un premier n1 ≥n0 tel que f(n1) > f(n0) + 1. La suite (f(k))n0≤k<n1 est une suite strictement croissante d’élément de [f(n0), f(n0) + 1] telle que la distance entre deux termes successifs et< ϵ. La suite des parties décimales (f(k)− ⌊f(k)⌋) est alors une suite de [0,1], et tout élément de [0,1] est à une distance au plus ϵd’un élément de cette suite. Commeϵpeut ˆ

etre choisi arbitrairement petit, on a la densit´e.

1.4 Densit´ e de l’image des entiers par une fonction – 2 (mpsi/pcsi)

Montrer queA:={cos(lnn), n∈N^∗}est dense dans [−1,1].

El´ements de solution: Soita∈[−1,1] et ϵ >0. Soitn₀ ∈N tel que∀n≥n₀,ln(n+ 1)−ln(n)< ϵ, et soitx >lnn₀ tel que cosx=a. Comme lim_n→+∞ln(n) = +∞, on peut alors trouver p≥n₀tel que lnp≤xet ln(p+ 1)≥x. On a alors cos(lnp)∈A et

1.5 Densit´ e d’un ensemble de r´ eels -1 (mpsi/pcsi)

SoitA={√ m−√

n,(m, n)∈N^∗}. Montrer queAest dense dansR.

El´ements de solution: Soita∈R⁺ et ϵ >0. Montrons qu’il existe x∈A tel que|x−a| ≤ϵ. Soit m∈N^∗ tel que√

m+ 1−√

m < ϵ, etp∈Ntel quep(√

m+ 1−√

m)≤aet (p+ 1)(√

m+ 1−√

m)≥a.

√ √ √ √ p

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1.6 Densit´ e d’un ensemble de r´ eels -2 (mpsi/pcsi)

SoitA⊂R⁺ non born´e, et soit

B =na

n, a∈Aetn∈N^∗ o. Montrer queB est dense dansR⁺.

El´ements de solution: Soit α ∈ R⁺ et ϵ > 0. Montrons qu’il existe a ∈ A et n ∈ N^∗ tels que α≤ a

n ≤α+ϵ, qui est équivalent à nα≤a≤nα+nϵ (∗). Or pourn plus grand qu’un certainn₀, nα+nϵ≥(n+ 1)α, donc la réunionS

n≥n₀[nα, nα+nϵ] est un intervalle deRde la forme [l,+∞[. OrA n’est pas majoré, donc contient un élémentade cet intervalle, etaappartient alors à l’un des intervalles [nα, nα+nϵ[ pour un certainn. Les nombresaet nainsi trouvés vérifient alors la condition (∗).

2 Nombres complexes

2.1 Un calcul ` a connaˆıtre - Une somme de sinus (mpsi/pcsi)

Soitn∈N^∗ etx∈R. Calculer

n

X

k=1

sinkx.

El´ements de solution: Six∈πZ, alors la somme est clairement nulle. Soitx∈R\πZ. On rappelle que pour touta, b∈R,

e^ia+e^ib= 2 cos a−b

2

eⁱ^a+b² , et

1−eîb =eî.0+eî(b+π)= 2 cos π+b

2

eⁱ⁽^b+π² ⁾=−2isin b

2

eⁱ²^b.

n

X

k=1

sinkx = Im

n

X

k=1

e^ikx

!

= Im

1−e^i(n+1)x 1−e^ix

= Im





−2isin_(n+1)x

2

eⁱ^(n+1)x²

−2isin ^x₂ eⁱ^x²





= Im





sin_(n+1)x

2

eⁱ^nx² sin ^x₂





=

= sin^nx₂ .sin^(n+1)x₂ sin^x₂

Solution sur YouTube: Cliquez ici

2.2 Un produit de sinus (mpsi/pcsi)

Soitnun entier naturel≥2. Calculer le produit p_n:=

n−1

Ysinkπ .

(7)

El´ements de solution:

n−1

Y

k=1

sinkπ

n =

n−1

Y

k=1

e^ikπⁿ −e⁻^ikπⁿ 2i

= 1

(2i)ⁿ⁻¹

n−1

Y

k=1

e^ikπⁿ

1−e⁻^2ikπⁿ

= 1

(2i)ⁿ⁻¹

n−1

Y

k=1

e^ikπⁿ

! _n−1 Y

k=1

1−e⁻^2ikπⁿ

!

= 1

(2i)ⁿ⁻¹

e^iπⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ⁿ² ⁿ⁻¹Y

k=1

1−e⁻^2ikπⁿ

!

= 1

(2i)ⁿ⁻¹ iⁿ⁻¹

n−1

Y

k=1

1−e⁻^2ikπⁿ

!

= 1

(2)ⁿ⁻¹(1 + 1 + 1²+· · ·+ 1ⁿ⁻¹) = n 2ⁿ⁻¹ Solution sur YouTube: Cliquez ici

2.3 Homographies pr´ eservant le cercle unit´ e (mpsi/pcsi)

Une homographie est une fonction complexe d´efinie par f(z) = az+b

cz+d, où a, b, c et d sont des constantes fixées. Soitf une homographie définie comme ci-dessus et vérifiantf(U) =U.

1. Montrer que|a|²+|b|²=|c|²+|d|², eta¯b=cd.¯

2. Montrer qu’on a|a|=|c|et|b|=|d|, ou|a|=|d|et|b|=|c|, puis montrer que le cas|a|=|c|

et |b|=|d| est impossible.

3. Montrer qu’il existeα∈Rtel quef :z7→e^iαaz+b

¯bz+ ¯a. El´ements de solution:

1. Soitz∈Uquelconque. Comme|f(z)|= 1, alors|az+b|²=|cz+d|². Or

|az+b|²= (az+b)(¯a¯z+ ¯b) =|a|²+|b|²+ 2Re(a¯bz) et

|cz+d|²= (cz+d)(¯c¯z+ ¯d) =|c|²+|d|²+ 2Re(cdz)¯ L’´egalit´e de ces deux expressions donne

|a|²+|b|²− |c|²− |d|²=−2Re (a¯b−cd)z¯ .

L’expression de gauche étant indépendante dez, il en est alors de même pour celle de droite, et on a alors a¯b−cd¯= 0, donc aussi|a|²+|b|²− |c|²− |d|²= 0. D’où le résultat voulu.

2. D’après la question précédente,|a|²+|b|²=|c|²+|d|², et 2|a|.|b|= 2|c|.|d|, donc (|a|+|b|)²= (|c|+|d|)² et (|a| − |b|)²= (|c| − |d|)². Il en suit qu’on est dans l’un des cas suivants:

|a|+|b|=|c|+|d| et |a| − |b|=|c| − |d|, ou

|a|+|b|=|c|+|d| et |a| − |b|=|d| − |c|.

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3. Soitα∈Rtel quee^−iα¯a=d. Ce nombreαexiste car |a|=|d|. Commea¯b=cd, alors on a aussi¯ c=e^−iα¯b. Il vient alors pour toutz,

f(z) =az+b

cz+d = az+b

e^−iα¯bz+e^−iαa¯ =e^iαaz+b

¯bz+ ¯a.

(9)

3 Th´ eor` emes de Rolle, acroissements finis

3.1 La d´ eriv´ ee d’un polynˆ ome scind´ e sur R (mpsi/pcsi)

Montrer que la dérivée d’un polynôme réel scindé surRest encore un polynôme scindé surR. Solution sur YouTube: Cliquez ici

3.2 Une autre application du th´ eor` eme de Rolle (mpsi/pcsi)

Soitf : [a, b]−→Rune fonction d´erivable telle quef(a) =f(b) = 0. Montrer que pour toutλ∈R, il existec∈]a, b[ tel que

f^′(c) =λf(c).

(10)

4 Polynˆ omes

4.1 Polynˆ omes de Hilbert (mpsi/pcsi)

On poseH₀= 1 et, pourn∈N^∗,

H_n =X(X−1)· · ·(X−n+ 1)

n! .

1. Montrer que pour toutn∈N, on aH_n(Z)⊂Z. En d´eduire que le produit denentiers cons´ecutifs dans Zest divisible parn!.

2. SoitP ∈R[X] avec deg(P)≤n. Montrer qu’il y a une ´equivalence entre:

(a) P(Z)⊂Z

(b) P(k)∈Zpour toutk= 0,1,· · · , n (c) il existe (λ₀,· · · , λ_n)∈Zⁿ⁺¹ tel queP =

n

P

k=0

λ_kH_k

4.2 Polynˆ omes de Legendre – 1 (mpsi/pcsi)

Soit pour tout n∈N,

Ln(X) :=

(X²−1)ⁿ (n)

. 1. D´eterminer le degr´e et le coefficient dominant de Ln.

2. Montrer queL_n admetnracines r´eelles distinctes, et qu’elles sont toutes dans ]−1,1[.

4.3 Polynˆ omes de Legendre – 2(mpsi/pcsi)

Soit pour tout n∈N,

Ln(X) :=

(X²−1)ⁿ (n)

. 1. D´eterminer le degr´e et le coefficient dominant de Ln.

2. Montrer que la famille (L_n)_n∈_N est une famille orthogonale pour le produit scalaire< | >

d´efini par

< P|Q >=

Z 1

−1

P(t)Q(t)dt.

3. Montrer queLn admetnracines r´eelles distinctes, et qu’elles sont toutes dans ]−1,1[.

(11)

4.4 Polynˆ omes de Tchebychev – 1(mpsi/pcsi)

Les polynômes de Tchebychev de première et seconde espèce sont les polynômes (T_n)_n∈_N et (U_n)_n∈_N^∗, définis respectivement par:

cosnθ=Tn(cosθ) et sin nθ= sinθ . Un(cosθ)

1. Montrer que lesTn etUn existent, sont uniques, et sont donn´es respectivement par

Tn(x) =

⌊ⁿ₂⌋

X

k=0

(−1)^k n

2k

x^n−2k(1−x²)^k et Un(x) =

⌊ⁿ⁻¹₂ ⌋ X

k=0

(−1)^k n

2k+ 1

x^n−2k−1(1−x²)^k

2. Montrer que∀x∈[−1,1], T_n(x) = cos(narccosx) et∀x∈]−1,1[, U_n(x) =sin(narccosx)

√1−x² 3. Montrer queT_n^′ =nUn

4. Montrer que pour tout n ∈ N^∗, Tn+1(x) +T_n−1(x) = 2xTn(x). En d´eduire les degr´es et coefficients dominants de Tn etUn.

5. Montrer que∀n∈N^∗, Tnanracines r´eelles distinctes, toutes dans l’intervalle ]−1,1[. Calculer ces racines, et en d´eduire une factorisation deT_n.

6. Trouver les extr´ema de T_n sur [−1,1], et les points o`u ils sont atteints.

7. Monter que si Q est un polynˆome de degr´e n ≥ 1 et de coefficient dominant 2ⁿ⁻¹, alors

||Q||_∞≥1 =||T_n||_∞, la norme||.||_∞´etant calcul´ee sur [−1,1].

1. Pour toutθ∈Ret toutn∈N^∗ on a cosnθ+isinnθ = (e^{i θ})ⁿ

= (cosθ+isinθ)ⁿ

=

n

X

p=0

n p

(cosθ)^n−p(isinθ)^p

=

⌊ⁿ₂⌋

X

k=0

n 2k

(cosθ)^n−2k(isinθ)^2k+

⌊ⁿ⁻¹₂ ⌋ X

k=0

n 2k+ 1

(cosθ)^n−2k−1(isinθ)^2k+1

=

⌊ⁿ₂⌋

X

k=0

(−1)^k n

2k

(cosθ)^n−2k(sinθ)^2k+isinθ

⌊ⁿ⁻¹2 ⌋ X

k=0

(−1)^k n

2k+ 1

(cosθ)^n−2k−1(sinθ)^2k

=

⌊ⁿ₂⌋

X

k=0

(−1)^k n

2k

(cosθ)^n−2k(1−cos²θ)^k

+isinθ

⌊ⁿ⁻¹2 ⌋ X

k=0

(−1)^k n

2k+ 1

(cosθ)^n−2k−1(1−cos²θ)^k

= T_n(cosθ) +isinθ . U_n(cosθ) d’où le résultat annoncé.

2. Soitx∈[−1,1] etθ= arccosx. Alors

Tn(x) =Tn(cosθ) = cosnθ= cos(narccosx).

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3. Pour toutθ∈R,

−sinθ . T_n^′(cosθ) = (T_n(cosθ))^′= (cosnθ)^′ =−nsinnθ=−nsinθ. U_n(cosθ)

Les fonctions polynomiales T_n^′ etnU_n coincident sur un ensemble infini, en l’occurence l’ensemble des cosθ, θ∈R\πZ, donc ces deux polynˆomes sont ´egaux.

4. On va utiliser l’identit´e

cosp+ cosq= 2 cosp+q

2 cosp−q 2 . Soitθ∈R. Alors

T_n+1(cosθ) +T_n−1(cosθ) = cos (n+ 1)θ+ cos (n−1)θ

= 2 cosnθcosθ

= 2 cosθ . T_n(cosθ)

Les fonctions polynomiales x 7→Tn+1(x) +T_n−1(x) et x7→ 2xTn(x) coincident sur un ensemble infini, en l’occurence l’ensemble des cosθ, θ ∈ R, ces deux polynômes sont alors égaux. On en déduit par récurrence que pour toutn, Tn est un polynôme de degrénet de coefficient dominant 2ⁿ⁻¹.

5. Les r´eels cos π

2n+kπ n

, k∈[|0, n−1|] sontnr´eels deux `a deux distincts, et sont tous racines de Tn car

T_n

cos π

2n+kπ n

= cos

n π

2n+kπ n

= cosπ 2 +kπ

= 0.

Comme degT_n=n, ce sont les seules racines, et alors Tn(x) = 2ⁿ⁻¹

n−1

Y

k=0

x−cos

π 2n+kπ

n

.

6. L’intervalle [−1,1] est compact etTn d´efinit une fonction polynomiale donc continue, qui est alors born´ee et atteint ses bornes sur [−1,1]. Soitx∈[−1,1], et posonsθ:= arccosx. Il vient

|Tn(x)|=|Tn(cosθ)|=|cosnθ| ≤1.

On voit qu’on a l’´equivalence

|T_n(x)|= 1 ⇐⇒ x= coskπ

n pour un certaink∈[|0, n|]

Le maximum est 1, et c’est atteint en chacun des nombres coskπ

n aveck∈[|0, n|]∩2N. Le minimum est −1 et c’est atteint en chacun des nombres coskπ

n aveck∈[|0, n|]∩(2N+ 1).

7. SoitQun polynˆome de degr´enet de coefficient dominant 2ⁿ⁻¹et supposons pour une contradiction que ||Q||∞<1. Pourk∈[|0, n|], soitx_k := coskπ

n . D’après la question précédente, ||Tn||∞ = 1, et en plusT_n(x_k) = 1 sikest paire, et −1 si kest impaire. Comme||Q||∞<1 alors

Q(x_k)−T_n(x_k)<0 sik∈[|0, n|]∩2N et Q(x_k)−T_n(x_k)>0 si k∈[|0, n|]∩(2N+ 1) Le polynômeQ−Tn change de signe au moinsnfois, c’est donc un polynôme de degré au moins n, contradiction.

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4.5 Polynˆ omes de Tchebychev – 2(mpsi/pcsi)

Les polynômes de Tchebychev de première espèce sont les polynômes (T_n)_n∈_N vérifiant

∀θ∈R,cosnθ=Tn(cosθ).

1. Montrer que pour toutn≥1,Tn+1(x) +T_n−1(x) = 2XTn(x)

2. Montrer que (Tn)_n∈N est une famille orthogonale pour le produit scalaire d´efini sur R[x] par

< P, Q >=

Z 1

−1

P(t).Q(t)

√1−t² dt

3. SoitAn l’ensemble des polynômes réels de degrénet de coefficient dominant 1. Montrer que

P∈Ainfn

Z 1

−1

P(t)²

√1−t²dt est atteinte pour un P proportionnel `aTn. Calculer ce inf.

1. Voir question4 de l’exercice4.4.

2. Soient metndeux entiers naturels distincts et montrons que< Tn, Tn>= 0.

< T_m, T_n> = Z 1

−1

T_m(t).T_n(t)

√1−t² dt posonst= cosθ

= −

Z π 0

T_m(cosθ).T_n(cosθ)

√

1−cos²t (−sinθ)dθ

= Z π

0

cosmθ .cosnθ dθ

= 1

2 Z π

0

cos(m+n)θ + cos(m−n)θ dθ

= 0

3. On restreint le produit scalaire `aRn[x], soitpr la projection orthogonale sur l’hyperplanR_n−1[x].

La borne inférieure demandée n’est autre que le carré de la distance du polynômexⁿ àR_n−1[x], et elle est donnée par||xⁿ−pr(xⁿ)||². Le polynômeP est alors égal àxⁿ−pr(xⁿ), et il est orthogonal

`

a R_n−1[x]. Or d’après la question précédente,R_n−1[x]^⊥ =vect(T_n), doncP =λT_n, et commeP est unitaire, alorsP = 1

2ⁿ⁻¹T_n. On calcule la borne inf´erieure:

inf

P∈A_n

Z 1

−1

P(t)²

√1−t²dt = 1 2²ⁿ⁻²

Z 1

−1

(Tn(t))²

√1−t² dt

= 1

2²ⁿ⁻² Z π

0

cos²nθ dθ

= π

2²ⁿ⁻¹ Solution sur YouTube: Cliquez ici

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4.6 Interpolation de Lagrange

Soitn≥1 un entier naturel, eta1,· · ·, an des nombres r´eels deux-`a-deux distincts.

1. Pour toutk∈[|1, n|], trouver un polynˆomeLk∈R[X] de degr´en−1, tel queLk(ak) = 1, et pour tout j ̸=k, L_k(a_j) = 0

2. Soit (b₁,· · ·, b_n)∈Rⁿ. Trouver un polynômeP ∈R[X] de degré≤n−1 tel que pour toutk,P(a_k) =b_k. 3. Montrer que les L_k forment une base Rn−1[X], et trouver la matrice de passage de (L_k)_k=1,···_,n à

(X^k)_k=0,···_,n−1. El´ements de solution:

1. On prendLk(X) =Y

i̸=k

X−ai

a_k−a_i

. LesLks’appellent “polynˆomes de Lagrange associ´es aux points a₁,· · ·, a_n”.

2. On prend P(X) =

n

X

k=1

b_kL_k(X).

3. D’après la question précédente, la famille (L1,· · · , Ln) est une famille génératrice Rn−1[X]. Or c’est une famille à néléments, et dimRn−1[X] = n, donc c’en est une base. Les colonnes de la matrice de passage est celle des coefficients desX^j dans la base (L_k)_k=1,···_,n. D’après la question précédente il vient

X^j =

n

X

k=1

a^j_kL_k(X) On reconnait la matrice de Vandermonde desai.

4.7 Th´ eor` eme de Lucas

SoitP ∈C[X] un polynˆome de degr´e≥2. Montrer que les racines deP^′ sont dans l’enveloppe convexe des racines deP.

Eléments de solution: Soitnle degré deP,Cson coefficient dominant, etα1,· · ·, αn ses racines. On vérifie que

P^′(X) =C

n

X

i=1



 Y

k̸=i

(X−αk)





Soitzune racine de P^′ qui n’est pas racine deP. On a alors 0 =P^′(z) = P^′(z)

P(z) = 1 z−α1

+· · ·+ 1 z−αn

= z¯−α¯₁

|z−α1|² +· · ·+ ¯z−α¯_n

|z−αn|² (∗) Posons pour toutk= 1,· · ·, n

λk := 1

|z−αk|² et µk:= λk

Pn i=1λ_k

Lesµ₁ sont positifs etPµ_i= 1. L’identité (∗) donnez=µ₁α₁+· · ·+µ_nα_n, d’où le résultat voulu.

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4.8 Image des racines d’un polynˆ ome (mpsi/pcsi)

SoitP =X³+aX²+bX+c∈C[X]

1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur a, b, c pour que les racines de P forment un par- all´elogramme.

2. Mˆeme question avec un rectangle.

4.9 La limite uniforme de polynˆ omes est un polynˆ ome (mp/pc)

SoitI⊂Run ensemble non born´e,f :I−→Rune fonction, et (P_n)_n∈_Nune suite de fonctions polynomiales qui converge uniform´ement versf surI. Montrer quef est une fonction polynomiale.

Eléments de solution: Comme (Pn)n converge uniformément, alors elle est uniformément de Cauchy.

Fixons ϵ >0, et n0∈Ntel que pour toutn≥n0 on a sup_I|Pn−Pn₀| ≤ϵ. CommeI n’est pas born´e alorsPn−Pn0 = 0 pour toutn≥n0. La suite (Pn)n est stationnaire etf =Pn0.

4.10 Polynˆ omes de Bernstein et th´ eor` eme de Stone-Weierstrass (mp/pc)

Soit f : [0,1] −→ R une fonction continue. Pour tout n ∈ N^∗, on définit le nîeme polynôme de Bernstein associé àf par

B_n(f) :=

n

X

k=0

f k

n

. n

k

X^k(1−X)^n−k. 1. Enoncer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

2. Soit x ∈ [0,1] et Zn,x une variable al´eatoire qui suit la loi binomiale de param`etres n et x. Donner E(Zn,x) etV(Zn,x).

3. Soitx∈[0,1],n∈N^∗,δ >0, etAn l’ensemble des ´el´ementsk∈[|0, n|] tels que k n−x

< δ, et soitBn

le compl´ementaire de An dans [|0, n|]. Montrer que

X

k∈Bn

n k

x^k(1−x)^n−k

≤ x(1−x) nδ² 4. Montrer queBn(f) converge uniform´ement versf sur [0,1].

1. SoitX une variable al´eatoire r´eelle, d’esperancemet de varianceσ² finies. Alors pour toutα >0, P[|X−m| ≥α] ≤ σ²

α² 2.

E(Zn,x=nx) V(Zn,x) =nx(1−x) 3. On a

k n−x

≤δsi et seulement si |k−nx| ≤nδ. La somme X

k∈Bn

n k

x^k(1−x)^n−k repr´esente

(16)

alors probabilité que |Zn,x−E(Zn,x)| ≥nδ, donc d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev, X

k∈B_n

n k

x^k(1−x)^n−k = P(|Zn,x−nx| ≥nδ)

≤ V(Zn,x) n²δ²

= x(1−x) nδ²

4. La fonctionf est continue sur [0,1], donc uniform´ement continue et born´ee par un certainM ∈R⁺. Fixons ϵ >0, et soitδ >0 tel que,

∀(x, y)∈I²,|x−y|< δ=⇒ |f(x)−f(y)|< ϵ 2.

|f(x)−Bn(f)(x)| =

f(x)−

n

X

k=0

f k

n n

k

x^k(1−x)^n−k

=

n

X

k=0

f(x)−f k

n

n k

x^k(1−x)^n−k

≤

X

k∈An

f(x)−f k

n

n k

x^k(1−x)^n−k

+

X

k∈Bn

f(x)−f k

n

n k

x^k(1−x)^n−k

≤ ϵ 2+ 2M

X

k∈Bn

n k

x^k(1−x)^n−k

≤ ϵ

2+2M x(1−x) nδ²

valeur qui peut ˆetre rendue≤ϵen prenant nsuffisemment grand, uniform´ement pour tous lesx.

(17)

5 S´ eries num´ eriques

5.1 Nature d’une s´ erie par calcul d’un conjugu´ e (mpsi/pcsi)

Soit pour tout n∈N,un = sin π(4 +√ 11)ⁿ

. 1. Montrer que pour toutn,un=−sin π(4−√

11)ⁿ . 2. En d´eduire queX

u_n est une s´erie num´erique convergente.

1. Par application de la formule du binˆome de Newton `a (4 +√

11)ⁿ, on trouve pour tout n deux entiers αn et βn tels que (4 +√

11)ⁿ =αn+βn

√

11. La même formule appliquée à (4−√ 11)ⁿ montre que (4−√

11)ⁿ =αn−βn

√

11. La somme (4 +√

11)ⁿ+ (4−√

11)ⁿ = 2αn est un entier pair, d’o`u

un= sin

π(4 +√ 11)ⁿ

= sin

−π(4−√

11)ⁿ+ 2αnπ)

=−sin

π(4−√ 11)ⁿ

. 2. D’après la question précédente et le fait que|4−√

11|<1,un ∼ −π(4−√

11)ⁿ, qui est le terme général d’une série géométrique convergente. D’où le résultat.

5.2 S´ erie ` a terme g´ en´ eral d´ ecroissant (mpsi/pcsi)

Soit (u_n)_n une suite d´ercroissante de r´eels strictement positifs telle quePu_n converge.

1. Montrer queun=_+∞o _n¹

2. Le résultat de la question précédente reste-t-il vrai sans la condition que (un)n est décroissante?

1. Supposons queun̸=_+∞o _n¹

et montrons quePun diverge. Soitr >0 tel qu’il existe des entiers n arbitrairement grands vérifiantun ≥ _n^r, et soit (nk)_k∈Nune suite de tels entiers. Sans perte de généralité, on peut supposer que pour toutk,nk+1≥2nk. Soit pour toutk,

rk=

n_k+1

X

i=nk+1

ui.

Comme la suite (un)nest d´ecroissante, quenk+1≥2nk , et queun_k+1≥ r nk+1

, on a successivement

rk ≥

n_k+1

X

i=n_k+1

un_k+1 ≥nk+1

2 .un_k+1 ≥r 2. La sériePr_k est alors divergente, et il en est de même pourPu_n. 2. Soit (u_n)_n la suite définie paru_n = 1

n si n est une puissance de 2, etu_n = 0 sinon. Clairement, Pun est convergente, alors queun ̸=_+∞o ¹_n

(18)

6 Analyse asymptotique

6.1 Int´ egrales de Wallis et formule de Stirling (mpsi/pcsi)

Soit pour tout n∈Nl’int´egraleWn d´efinie par W_n=

Z ^π₂

0

sinⁿx dx= Z ^π₂

0

cosⁿx dx Soit pour tout n∈N^∗

un =nⁿe⁻ⁿ√ n

n! et vn = ln

un+1

u_n

.

1. Montrer que la suite (Wn)n est convergente. Calculer W2n etW2n+1sous forme de produits.

2. En d´eduire la formule de Wallis:

π= lim

n→∞

1 n

2n(2n−2)· · ·2 (2n−1)(2n−3)· · ·1

²

3. Etudier la convergence de la s´erie P

vn, et en d´eduire queun converge vers un r´eelλ >0.

4. Montrer queλ= ^√¹

2π, en d´eduire la formule de Stirling:

n!∼+∞nⁿe⁻ⁿ√ 2πn

1. C’est une suite décroissante minorée par 0 donc convergente vers une limite l ≥ 0. On écrit sinⁿx= sinⁿ⁻¹x.sinxet une intégration par parties donneWn= n−1

n W_n−2. On a alors W2n= (2n−1)(2n−3)· · ·1

2n(2n−2)· · ·2 π

2 et W2n+1= 2n(2n−2)· · ·2 (2n+ 1)(2n−1)· · ·1 2. La suite desWn ´etant positive et d´ecroissante, on a W2n+2

W2n

≤ W2n+1

W2n

≤ W2n

W2n

, il en suit que

n→∞lim W2n+1

W2n

= 1,

et en rempla¸cant les expressions de W_2n, W_2n+1 par les expressions obtenues dans 1 on obtient l’identit´e voulue.

3. Un calcul simple montre que v_n = ln

1 + 1

n ⁿ⁺¹₂

−1 = 1 12n² +o

1 n²

,

d’où Pvn converge vers un réelθ. Or une simplification télescopique montre aussi que

n

X

k=1

vk= ln(un+1)−ln(u1) = ln(un+1) + 1, d’o`u lim

n→∞lnu_n=θ−1, et lim_n→∞u_n =λ:=e^θ−1>0.

(19)

4. Une réécriture de l’égalité de Wallis donne π= lim

n→∞

1 n

2⁴ⁿ(n!)⁴ ((2n)!)².

En rempla¸cant dans cette expression,n! et (2n)! par leurs ´equivalents, on obtient π= lim

n→∞

1 n

2⁴ⁿn⁴ⁿe⁻⁴ⁿn²λ² λ⁴(2n)⁴ⁿe⁻⁴ⁿ2n = 1

2λ², d’o`u λ=√

2πet

n!∼_∞nⁿe⁻ⁿ√ 2πn.

6.2 D´ eveloppement asymptotique de la s´ erie harmonique (mpsi/pcsi)

Pourn∈N^∗, on noteH_n=

n

X

k=1

1 k.

1. Soitp >1. Donner un ´equivalent deRn:=

+∞

X

k=n

1 k^p

2. Montrer que la suite (Hn−lnn)n converge vers un certain réel γ (γ est appelé “constante d’Euler”). Déduire que

Hn = lnn+γ+o(1).

3. Pour n∈N^∗, on notetn=Hn−lnn−γ. Déterminer un équivalent detn+1−tn, puis detn. Déduire que

Hn = lnn+γ+ 1 2n+o

1 n

. 4. Avec un raisonnement similaire, montrer que

Hn= lnn+γ+ 1 2n− 1

12n² +o 1

n²

.

6.3 Equivalents de suites r´ ecurrentes - 1 (mpsi/pcsi)

On consid`ere la suite (u_n)_n d´efinie paru_n+1=u_ne⁻ⁿ, avecu₀>0 quelconque.

1. Montrer que (un)n converge vers 0.

2. Etudier la suite 1 u_n+1 − 1

u_n, et d´eduire queun∼ 1 n.

(20)

6.4 Equivalents de suites r´ ecurrentes - 2 (mpsi/pcsi)

On consid`ere la suite (u_n)_n d´efinie paru_n+1= sinu_n, avecu₀∈]0,^π₂[ quelconque.

1. Montrer que (un)n converge vers 0.

2. Trouver un ´equivalent deun.

(21)

7 Suites et s´ eries de fonctions

7.1 Transformation d’Abel et convergence uniforme (mp/pc)

Soient (a_n)_n∈_N une suite de nombres complexes, et (b_n)_n∈_N une suite r´eelle d´ecroissante de limite nulle.

Posons pour tout n,An=Pn

k=0ak, et supposons que la suite (An)n est born´ee par M ∈R⁺. On d´efinit la transformation d’Abel du termePn

k=0akbk par Anbn−

n−1

X

k=0

Ak(bk+1−bk).

1. Montrer que pour toutn, le termePn

k=0akbk est ´egal `a sa transformation d’Abel.

2. (Crit`ere d’Abel) Montrer que la s´erieP

akbkconverge, et que son resteRnd’ordrenv´erifie|Rn| ≤2M bn

3. Vérifier que le critère des séries alternées est un cas particulier de celui d’Abel.

4. Montrer que

∞

X

k=1

sinkx

k est une s´erie de fonctions uniform´ement convergente sur tout intervalle de la forme [c, d] avec 0< c < d <2π.

1.

n

X

k=0

a_kb_k = a₀b₀+

n

X

k=1

(A_k−A_k−1)b_k

= a₀b₀+

n

X

k=1

A_kb_k−

n

X

k=1

A_k−1b_k

= a0b0+

n

X

k=1

Akbk−

n−1

X

q=0

Aqbq+1

= a0b0−A0b1+Anbn+

n−1

X

k=1

Akbk−

n−1

X

k=1

Akbk+1

= A0(b0−b1) +Anbn+

n−1

X

k=1

Ak(bk−bk+1)

= A_nb_n+

n−1

X

k=0

A_k(b_k−b_k+1) =A_nb_n−

n−1

X

k=0

A_k(b_k+1−b_k)

2. SoitR_n le reste d’ordrende la s´eriePa_nb_n. On a R_n=−Anb_n−

+∞

X

k=n

A_k(b_k+1−b_k) et il vient pour toutn,

|Rn| ≤ |Anbn|+

+∞

X

k=n

|Ak|.|bk+1−bk|

≤ |A_nb_n|+M.

+∞

X

k=n

(b_k−b_k+1)

≤ |Anbn|+M.bn

= 2M b (majoration indep.dex)

(22)

3. Soit (bn)n∈N une suite réelle positive décroissante de limite nulle. Le critère des séries alternées dit que P

(−1)ⁿbn est convergente. Posons pour tout n∈N, an = (−1)ⁿ et An =Pn

k=1ak. On voit que pour tout n, A_n =±1, donc la suite (An)_n est born´ee, et ce cas n’est alors qu’un cas particulier du crit`ere d’Abel.

4. Posons pour toutn∈N^∗,a_n= sinnx,b_n= 1

n et A_n=Pn

k=1a_k. D’apr`es l’exercice2.1, on a pour tout x∈R\2πZet pour toutn∈N^∗,

n

X

k=1

sinkx=sin^nx₂ . sin^(n+1)x₂ sin^x₂ . Comme sinx

2 ne s’annule pas sur le compact [c, d], alors il y a unϵ >0 tel que∀x∈[c, d],sinx 2 ≥ϵ, et la suite (An)n est born´ee sur [c, d] par M := 1

ϵ ( borne indépendante de x). D’après le cirtère d’Abel, la série

∞

X

k=1

sinkx

k est simplement convergente. De plus, d’après la question 2, le reste d’ordrende la série vérifie|R_n(x)| ≤ 2M

n . C’est une majoration indépendante dex, et qui est de limite nulle. Ceci montre que la série est uniformément convergente sur le segment [c, d].

(23)

8 Int´ egration

8.1 La fonction Gamma Γ

Soit Γ la fonction d´efinie par l’int´egrale impropre suivante:

Γ :x7→

Z +∞

0

t^x−1e^−tdt 1. Montrer que Γ est d´efinie sur ]0,+∞[.

2. Montrer que pour tout x∈]0,+∞[, Γ(x+ 1) =xΓ(x), et en d´eduire que pour toutn∈N^∗, Γ(n+ 1) =n!

3. Calculer Γ 1

2

, puis Γ

n+1 2

pour toutn∈N^∗. 4. Montrer que Γ est continue sur ]0,+∞[

5. Montrer que Γ est de classe C^∞ sur ]0,+∞[, et que Γ^(k)(x) =

Z ∞ 0

(lnt)^kt^x−1e^−t

6. Montrer que Γ(x)∼₀+

1 x.

7. Montrer que Γ est convexe et ´etudier ses variations.

1. Pour tout x >0, La fonctiont 7→e^−tt^x−1 est continue positive sur ]0,+∞[. Il est facile de voir qu’au voisinage de 0, e^−tt^x−1 ∼ 1

t^x−1, et qu’au voisinage de +∞, e^−tt^x−1 = o 1

t²

. L’int´egrale est convergente par comparaison aux fonctions de Riemann.

2. On démontre le résultat voulu en effectuant une intégration par parties. Soitx >0.

Γ(x+ 1) =

Z +∞

0

t^xe^−tdt

=

t^x(−e^−t) t=+∞

t=0

− Z ∞

0

xt^x−1(−e^−t)

= x

Z ∞ 0

t^x−1e^−t

= xΓ(x)

3. On rappelle la valeur de l’int´egrale de Gauss:

Z +∞

−∞

e^−u²du=√ π.

Γ 1

2

= Z ∞

0

√1

te^−tdt (t=u² dt= 2u du)

= Z ∞

0

1

ue^−u²2u du Z ∞

2

(24)

Soitn∈N^∗.

Γ

n+1 2

=

n−1 2

Γ

n−1

2

=

n−1

2 n−3 2

Γ

n−3

2

=

n−1

2 n−3 2

· · · 1

2

Γ 1

2

= (2n−1)(2n−3)· · ·.1 2ⁿ

√π

= (2n)!

2²ⁿn!

√π

4. Soient a, b deux réels strictement positifs, a < b. On applique le théorème de continuité des intégrales à paramètres pour montrer que Γ est continue sur [a, b]. Commeaetbsont quelconques, Γ sera alors continue sur ]0,+∞[. Posonsf(x, t) :=t^x−1e^−t

La fonctiont7→f(x, t) est continue par morceaux sur ]0,+∞[

La fonctionx7→f(x, t) est continue sur ]0,+∞[

On a ∀(x, t)∈]a, b[x]0,+∞[

|f(x, t)| ≤t^a−1e^−t+t^b−1e^−t=:g(t)

Ceci car|t^x−1e^−t| ≤t^a−1e^−tsit≤1 et|t^x−1e^−t| ≤t^b−1e^−tsit≥1. D’autrepart la fonction g est continue par morceaux et int´egrable sur ]0,+∞[.

D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, Γ est continue sur [a, b]. Commea et bsont quelconques, Γ est alors continue sur ]0,+∞[.

5. On applique le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres (théorème de Leibniz). Soient a, b∈]0,+∞[ tels que a < b. Soith(t) := (lnt)e^−t(tâ−1+t^b−1). On a :

t7→f(x, t) est continue par morceaux sur ]0,+∞[

∂f(x, t)

∂x = (lnt)t^x−1e^−t existe sur [a, b]x]0,+∞[.

x7→ ∂f(x, t)

∂x est continue [a, b]

t7→ ∂f(x, t)

∂x est continue par morceaux sur ]0,+∞[

∂f(x, t)

∂x

≤h(t) pour tousx∈[a, b] ett∈]0,+∞[.

hest continue par morceaux, et int´egrable sur ]0,+∞[

Alors la fonction Γ(x) = Z +∞

0

f(x, t)dtest d´erivable, et

Γ^′(x) = Z +∞

0

∂f(x, t)

∂x dt= Z ∞

0

(lnt)t^x−1e^−t

Le même argument s’applique pour toutes les dérivées successives de Γ. La fonction Γ est de classe C^∞, et pour toutk∈N^∗,

Γ^(k)(x) = Z ∞

0

(lnt)^kt^x−1e^−t

6. D’après une question précédente, ∀x ∈]0,+∞[, xΓ(x) = Γ(x+ 1) et comme la fonction Γ est continue, on a alors

x→0limxΓ(x) = Γ(1) = 1

(25)

7. Il est clair que Γ^′′ > 0, donc Γ^′ est strictement croissante et Γ est une fonction convexe. Or Γ(1) = Γ(2) et d’après le théorème de Rolle il existe c ∈]1,2[ tel que Γ^′(c) = 0. Comme Γ^′ est strictement croissante, elle s’annulle une seule fois en changeant de signe, et la fonction Γ est strictement décroissante sur ]0, c[, et strictement croissante sur ]c,+∞[, atteignant ainsi enc son minimum absolu.

8.2 Volume d’une boule en dimension n

Pourn∈N^∗ etR∈R^+∗on d´esigne parVn(R) le volume de la boule deRⁿ de centre 0 et de rayon R, c.`a.d.

Vn(R) = Z

· · · Z

x²₁+···+x²_n≤R²

dx1· · ·dxn

Montrer que pour toutp∈N^∗,

V_2p(R) = π^pR^2p p!

El´ements de solution: Dans l’expression deVn(R), on effectue le changement de variablesxi=Ryi. Le jacobien de la transformation estRⁿ, et on a

Vn(R) =RⁿVn(1)

Vn(1) = Z 1

−1





 Z

· · · Z

x²₁+···+x²_n≤1−x²_n

dx1· · ·dx_n−1





dxn

= Z 1

−1

Vn−1(p

1−x²_n)dxn

= Z 1

−1

(p

1−x²)ⁿ⁻¹V_n−1(1)dx

= V_n−1(1) Z 1

−1

(p

1−x²)ⁿ⁻¹dx

= 2V_n−1(1) Z 1

0

(p

1−x²)ⁿ⁻¹dx

= 2V_n−1(1) Z ^π₂

0

cosⁿu du

= 2WnVn−1(1) (Wn : int de Wallis)

= 2ⁿ⁻¹WnW_n−1· · ·W2V1(1)

= 2ⁿW_nW_n−1· · ·W₁ carW₁= 1 Or pour tout k,W_kW_k−1= π

2k, doncV_2p(1) = π^p

p!, et le r´esultat en d´ecoule.

(26)

9 Espaces vectoriels et endomorphismes

9.1 Produit commutatif d’endomorphismes nilpotents (mpsi/pcsi)

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finienetu1,· · · , un des endomorphismes nilpotents de E qui commutent deux `a deux. Que vautu1◦u2◦ · · · ◦un?

9.2 Exercice: Noyaux et Images It´ er´ es (mpsi/pcsi)

Soit E un espace vectoriel de dimension finie nsur un corps K, etf ∈ E. Pour tout k ∈N, soit N_k = ker(f^k) et I_k = Im(f^k). Soit n_k= dim(N_k) etr_k = dim(I_k)

1. Montrer que la suite (n_k)_k est croissante stationnaire, et la suite (r_k)_k est d´ecroissante stationnaire.

2. Montrer que la suite (nk+1−nk)k est d´ecroissante, et la suite de (rk+1−rk)k est croissante.

3. Montrer quenk ≤k n1 et rk ≥k r1−n(k−1)

4. A partir de cette question on suppose que l’endomorphismef est nilpotent d’indicep. Montrer quep≤n, et quefⁿ= 0.

5. Supposons de plus que n1 = 1. Montrer quef est cyclique, c.`a.d qu’il existea∈ E tel que a, f(a),· · ·, fⁿ⁻¹(a)

est une base deE.

(27)

10 Matrices

10.1 Une matrice ` a diagonale dominante est inversible (mpsi/pcsi)

SoitA∈ Mn(C) une matrice `a diagonale dominante, c’est-`a-dire que pour tout i∈ {1,· · ·, n}, on a |aii|>P

j̸=i|aij|. Montrer que la matriceAest inversible.

10.2 Calcul de l’inverse d’une matrice (mpsi/pcsi)

Calculer l’inverse de la matriceA∈ Mn+1(R) d´efinie par

A=







0 0

1 0

2 0

· · · ⁿ⁻¹₀ n 0

0 ¹₁ 2

1

· · · ⁿ₁ 0 0 ²₂

· · · ⁿ₂ ... ... . .. ... 0 · · · 0 ⁿ_n







Eléments de solution: Soit f l’endomorphisme de Rⁿ[X] défini par f(P(X)) = P(X + 1). A est la matrice de f dans la base canonique. Donc A⁻¹ est la matrice de f⁻¹ dans la base canonique. Or f⁻¹(P(X)) =P(X−1), doncA⁻¹= (bij)_0≤i,j≤n oùbij= (−1)^{j−i j}_i

sii≤j et bij = 0 sii > j.

Colles et classiques de maths en prépa

Colles et classiques de maths en pr´epa

F. Maalouf

Contents

1 Nombres r´ eels

1.1 Partie enti` ere d’une fraction (mpsi/pcsi)

1.2 Une somme de parties enti` eres (mpsi/pcsi)

1.3 Densit´ e de l’image des entiers par une fonction – 1(mpsi/pcsi)

1.4 Densit´ e de l’image des entiers par une fonction – 2 (mpsi/pcsi)

1.5 Densit´ e d’un ensemble de r´ eels -1 (mpsi/pcsi)

1.6 Densit´ e d’un ensemble de r´ eels -2 (mpsi/pcsi)

2 Nombres complexes

2.1 Un calcul ` a connaˆıtre - Une somme de sinus (mpsi/pcsi)

2.2 Un produit de sinus (mpsi/pcsi)

2.3 Homographies pr´ eservant le cercle unit´ e (mpsi/pcsi)

3 Th´ eor` emes de Rolle, acroissements finis

3.1 La d´ eriv´ ee d’un polynˆ ome scind´ e sur R (mpsi/pcsi)

3.2 Une autre application du th´ eor` eme de Rolle (mpsi/pcsi)

4 Polynˆ omes

4.1 Polynˆ omes de Hilbert (mpsi/pcsi)

4.2 Polynˆ omes de Legendre – 1 (mpsi/pcsi)

4.3 Polynˆ omes de Legendre – 2(mpsi/pcsi)

4.4 Polynˆ omes de Tchebychev – 1(mpsi/pcsi)

4.5 Polynˆ omes de Tchebychev – 2(mpsi/pcsi)

4.6 Interpolation de Lagrange

4.7 Th´ eor` eme de Lucas

4.8 Image des racines d’un polynˆ ome (mpsi/pcsi)

4.9 La limite uniforme de polynˆ omes est un polynˆ ome (mp/pc)

4.10 Polynˆ omes de Bernstein et th´ eor` eme de Stone-Weierstrass (mp/pc)

5 S´ eries num´ eriques

5.1 Nature d’une s´ erie par calcul d’un conjugu´ e (mpsi/pcsi)

5.2 S´ erie ` a terme g´ en´ eral d´ ecroissant (mpsi/pcsi)

6 Analyse asymptotique

6.1 Int´ egrales de Wallis et formule de Stirling (mpsi/pcsi)

6.2 D´ eveloppement asymptotique de la s´ erie harmonique (mpsi/pcsi)

6.3 Equivalents de suites r´ ecurrentes - 1 (mpsi/pcsi)

6.4 Equivalents de suites r´ ecurrentes - 2 (mpsi/pcsi)

7 Suites et s´ eries de fonctions

7.1 Transformation d’Abel et convergence uniforme (mp/pc)

8 Int´ egration

8.1 La fonction Gamma Γ

8.2 Volume d’une boule en dimension n

9 Espaces vectoriels et endomorphismes

9.1 Produit commutatif d’endomorphismes nilpotents (mpsi/pcsi)

9.2 Exercice: Noyaux et Images It´ er´ es (mpsi/pcsi)

10 Matrices

10.1 Une matrice ` a diagonale dominante est inversible (mpsi/pcsi)

10.2 Calcul de l’inverse d’une matrice (mpsi/pcsi)