Un résultat de trace sur les domaines d'extension de Sobolev

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Preprint submitted on 20 Feb 2021

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Sobolev

Djamel Ait-Akli, Abdelkader Merakeb

To cite this version:

Djamel Ait-Akli, Abdelkader Merakeb. Un résultat de trace sur les domaines d’extension de Sobolev.

2021. �hal-03084211v2�

Un r´esultat de trace sur les domaines d’extension de Sobolev

Djamel AIT-AKLI

, Abdelkader MERAKEB

20 f´ evrier 2021

R´esum´e

On se propose dans cet article d’´etablir l’existence et la continuit´e d’un op´erateur de trace de fonctions sur le bord d’un domaine Ω plan poss´edant la propri´et´e de (1, p)−extension de Sobolev. Cet op´erateur sera d´efini sur l’espace fonctionnel de SobolevW^1,p(Ω) avec 1< p <∞.

Dans un premier temps, on d´emontre l’existence et la continuit´e d’un tel op´erateur quand il est appliqu´e aux ´el´ements du sous-espace des fonctions r´eguli`eres jusqu’au bord et ce en utilisant un lemme auxi- liaire de majoration uniforme. Les ingr´edients essentiels utilis´es dans la d´emonstration de ce lemme sont la repr´esentation de Green d’une fonction sur un disque ainsi que le th´eor`eme d’isomorphisme de Ba- nach. Puis on conclut le r´esultat de trace en utilisant la densit´e des fonctions r´eguli`eres dansW<sup>1,p</sup>(Ω). La preuve qui est pr´esent´es exploite totalement l’hypoth`ese d’extensibilit´e du domaine Ω. La pertinence du r´esultat r´eside dans le fait qu’il existe des domaines d’extension qui ne sont pas Lipschitziens et sous ce point de vue, il constitue une g´en´eralisation du th´eor`eme habituel de trace.

Mots-cl´es :

espaces de Sobolev ; domaines de (1, p)−extension ; repr´ e- sentation de Green ; in´ egalit´ e de trace ; densit´ e des fonctions r´ eguli` eres.

AMS subject classification :

46E35, 35J57, 26A16, 46B25.

1 2

1 Introduction

L’op´ erateur de trace, lorsqu’il est appliqu´ e aux fonctions de l’espace de Sobolev W

(Ω) d´ efinies sur un domaine Ω ayant une fronti` ere Lipschit- zienne, est une notion standard en th´ eorie des espaces de Sobolev. Plus pr´ ecis´ ement, il est bien ´ etabli que l’op´ erateur de trace est bien d´ efini sur le bord d’un ouvert Lipschitzien et qu’il est continu, cf. [1]. Le r´ esultat prin- cipal de cet article g´ en´ eralise ces faits ` a une classe importante de domaines

1. L2CSP, UMMTO. 15000, Tizi-Ouzou, Alg´erie. (d.aitakli@yahoo.com) 2. L2CSP, UMMTO. 15000, Tizi-Ouzou, Alg´erie. (merakeb kader@yahoo.fr)

non-Lipschitziens, plus exactement, ` a la classe des domaines qui admettent la propri´ et´ e de (1, p)-extension et qu’on appelle commun´ ement les domaines de (1, p)−extension.

Donc, il s’agit dans cet article de d´ emontrer l’existence d’un op´ erateur de trace et la continuit´ e de cet op´ erateur sur l’espace de Sobolev W

(Ω) d´ efini sur un domaine, Ω, poss´ edant cette r´ egularit´ e interm´ ediaire entre Lip- schitzien et Jordan arbitraire.

Les fonctions de l’espace de Sobolev W

(Ω) d´ efinies sur un tel do- maine constituent une classe pertinente de fonctions dans le sens suivant : il existe des domaines dont la fronti` ere est param´ etr´ ee par une fonction continue et non-Lipschitzienne et qui, pourtant, admettent la propri´ et´ e de (1, p)−extension. En effet, Maz’ya a construit, cf. [2], un exemple d’un do- maine de Jordan, Ω, dont la fronti` ere ∂Ω n’est pas Lipschitzienne au voi- sinage d’un de ses points et telle que la propri´ et´ e de (1, p)−extension n’est valide que pour p < 2. Par ailleurs, il est ` a rappeler qu’un domaine Lipschit- zien est toujours un domaine d’extension.

La preuve du r´ esultat de trace que nous pr´ esentons dans le cadre des do- maines d’extension s’appuie sur des id´ ees diff´ erentes de la preuve habituelle et exploite totalement l’hypoth` ese d’extensibilit´ e du domaine.

D’abord on commence par introduire quelques notions pr´ eliminaires ainsi que les outils et r´ esultats indispensables pour mener ` a bien la preuve du r´ esultat principal, ` a savoir : l’´ etablissement d’un th´ eor` eme de trace pour des fonctions de l’espace de Sobolev W

(Ω), 1 < p < ∞ dans le cas o` u Ω ⊂

est un domaine born´ e et poss´ edant la propri´ et´ e de (1, p)-extension.

2 Rappels de quelques r´ esultats

Soit Ω ⊂

un domaine. On note Int(Ω) l’int´ erieur de Ω. Dans toute cette section, p d´ esignera un nombre r´ eel tel que 1 < p < ∞. On d´ esigne par W

(Ω) l’espace de Sobolev d´ efini par

W

(Ω) = {u ∈ L

(Ω), ∇u ∈ L

(Ω)}.

On suppose de plus que Ω poss` ede la propri´ et´ e de (1, p)−extension. On rappelle que la propri´ et´ e de (1, p)-extension d’un domaine Ω signifie qu’un op´ erateur d’extension de Sobolev peut ˆ etre d´ efini sur W

(Ω), le lecteur pourra se r´ ef´ erer ` a [2] pour une discussion d´ etaill´ ee de cette classe de do- maines.

On rappelle un r´ esultat de densit´ e d´ emontr´ e dans ([3], p.261). Ce r´ esultat est valable dans le cas o` u Ω est un domaine Lipschitzien ou plus g´ en´ eralement un domaine d’extension qui font partie tous deux de la classe des domaines de Jordan :

Th´eor`eme 1.

Si Ω ⊂

est un domaine ayant pour fronti` ere une courbe

de Jordan, alors C

(Ω) est dense dans W

(Ω) pour 1 < p < ∞.

D. AIT-AKLI, A. MERAKEB

Rappelons la d´ efinition d’un op´ erateur de (1, p)−extension de Sobolev.

D´efinition 2.

On dit qu’un domaine Ω ⊂

est un domaine d’extension, ou poss` ede la propri´ et´ e de (1, p)−extension, s’il existe un op´ erateur lin´ eaire P d´ efini par

P : W

(Ω) → W

(

) u → P u.

tel que P soit continu i.e. il existe c

> 0 tel que ∀u ∈ W

(Ω) on ait

||P u||

≤ c

||u||

(1) et (P u)(x) = u(x) presque partout dans Ω.

On rappelle la propri´ et´ e de continuit´ e de l’op´ erateur de trace, sur la fronti` ere Lipschitzienne (ou faiblement Lipschitzienne) d’un domaine D ⊂

, d´ efini sur l’espace de Sobolev W

(D), cf. [1] :

Proposition 3.

Soit D ⊂

un domaine Lipschitzien. Il existe une constante C

> 0, d´ ependant du domaine D, telle que

||u||

W¹⁻

1

p ,p(∂Ω)

≤ C

||u||

, (2) pour tout u ∈ W

(D).

Il est ` a noter que la proposition 3 ne s’applique pas en principe ni ` a un domaine d’extension en g´ en´ eral et encore moins ` a un domaine de Jordan Ω compte tenu de l’hypoth` ese, primordiale, du caract` ere Lipschitzien, ou ` a la limite faiblement Lipschitzien, du domaine ambiant D.

On rappelle aussi un r´ esultat de trace pour les fonctions de l’espace de Sobolev W

(D

) o` u D

⊂

d´ esigne un disque de rayon r > 0, cf. ([4], estimation 7.1) :

Proposition 4.

Pour tout u ∈ W

(D

) on a

∂Dr

|u|dσ ≤ 2 r

Z

Dr

|u| d x +

Dr

|∇u| d x. (3)

Par ailleurs, on rappelle la repr´ esentation int´ egrale d’une fonction u ∈ C

(D

) ∩ C

(∂D

) sur le disque D

. Cette repr´ esentation s’´ ecrit, cf. [5] : pour tout x ∈ Int(D

) on a :

u(x) =

Dr

∆u(y)G(x, y)dy +

∂Dr

u(y)K(x, y)dσ(y), (4) o` u G est la fonction de Green du disque, D

, associ´ ee ` a l’op´ erateur de Laplace et d´ efinie par :

G(x, y) := Γ(x − y) + h

(y),

avec Γ(x) =

ln |x| ´ etant la solution fondamentale du Laplacien en dimen- sion deux et h

est la fonction harmonique en y et valant −Γ(x − y) pour x ∈ Int(D

) et y ∈ ∂D

. D’un autre cot´ e K(x, y) =

y

est le noyau de Poisson qui dans le cas du disque s’´ ecrit :

K(x, y) = r

− |x|

2ω

r|x − y|

,

o` u ω

est la mesure de la boule unit´ e en deux dimensions. Cette repr´ esentation int´ egrale est int´ eressante dans la mesure o` u elle permet d’exprimer ponctuel- lement une fonction ` a l’aide de son Laplacien et des valeurs qu’elle prend sur le bord du disque D

.

3 R´ esultat principal

Le principal r´ esultat de cet article est ´ enonc´ e dans le th´ eor` eme suivant, sa d´ emonstration sera donn´ e apr` es avoir ´ etabli un lemme auxiliaire.

Th´eor`eme 5.

Soit Ω un domaine poss´ edant la propri´ et´ e de (1, p)−extension et p tel que 1 < p < ∞. Alors, on peut d´ efinir un op´ erateur de trace

T : W

(Ω) → L

(∂Ω) u → T u

qui co¨ıncide avec l’op´ erateur de restriction au bord ∂Ω pour les fonctions continues. En outre, T est continu i.e. il existe une constante c

> 0 ind´ ependante de u telle que pour tout u ∈ W

(Ω) on ait

||T u||

≤ c

||u||

, (5) o` u nous avons not´ e || ||

la norme usuelle de l’espace de Lebesgue L

.

Lemme auxiliaire.

On d´ emontre ` a pr´ esent un lemme essentiel ` a la d´ emonstration du th´ eor` eme principal :

Lemme 6.

Soit 1 < p < 2 et x

∈

un point fix´ e. Soit D

:= D(x

, r

) ⊂

le disque de centre x

et de rayon r

> 0. Il existe une constante c(r

, p) >

0 ind´ ependante de u et de x telle que pour tout u ∈ C

(D

)

∀x ∈ D

2

, |u(x)| ≤ c(r

, p)||u||

. (6)

On note |x − y|

pour d´ esigner la distance euclidienne entre les points x

et y.

D. AIT-AKLI, A. MERAKEB

D´ emonstration. Soit u ∈ C

(D

). Il existe f ∈ C

(D

) et u

∈ C

(∂D

) tels que la fonction u soit solution du probl` eme

(

−∆u(y) = f (y) dans D

,

u(y) = u

(y) sur ∂D

. (7)

Soit x ∈ D

2

. En utilisant la repr´ esentation int´ egrale, (4), appliqu´ ee ` a la fonction u en x, on a :

u(x) =

Dr0

f (y)G(x, y) d y +

∂Dr0

u

(y)K(x, y) d σ(y). (8) Etant donn´ ´ e que ∂D

est de classe C

, alors on sait que la fonction de Green satisfait G(x, .) ∈ W

(D

) pour 1 < p < 2, cf. ([6], estimation 1.5). En utilisant la propri´ et´ e de continuit´ e de la forme lin´ eaire associ´ ee ` a f ∈ W

(Ω), on obtient ` a partir de l’estimation (8) ce qui suit

|u(x)| ≤ ||f ||

||G(x, .)||

+ max

y∈∂Dr0

|K(x, y)|

Z

∂Dr0

|u

(y)| d σ(y).

Le dernier membre de cette estimation a bien un sens du moment que

|x − y|

≥

pour x ∈ D

2

et y ∈ ∂D

.

En appliquant l’in´ egalit´ e de trace sur le bord du disque, cf. estimation (3), on obtient

|u(x)| ≤||f ||

||G(x, .)||

+ max

y∈∂Dr0

|K(x, y)|

2 r

||u||

+ ||∇u||

,

l’in´ egalit´ e de H¨ older donne alors

|u(x)| ≤||f||

0)

||G(x, .)||

+ max

y∈∂Dr0

|K(x, y)|c

||u||

0

+ ||∇u||

0

.

On applique le th´ eor` eme d’isomorphisme de Banach ` a l’op´ erateur bijectif et continu L

d´ efini par

L

:

W

(D

), || ||

→

W

(D

), || ||

f → L(f) = u

,

avec ∆u

= f . On d´ eduit alors l’existence d’une constante c

ind´ ependante de f telle que

|u(x)| ≤c

||u

||

0 (Dr0)

||G(x, .)||

+ max

y∈∂Dr0

|K(x, y)|c

||u||

(9)

avec u

= u − u

et u

est solution de

(

−∆u

= 0 sur D

,

u

= u sur ∂D

. (10)

En utilisant l’in´ egalit´ e de Poincar´ e, l’estimation (9) devient alors

|u(x)| ≤c

||∇u||

0

+ ||∇u

||

0

||G(x, .)||

(11) + max

y∈∂D_r0

|K(x, y)|c

||u||

.

En utilisant le r´ esultat de la proposition 3, on peut appliquer le th´ eor` eme d’isomorphisme, ` a l’op´ erateur associ´ e au probl` eme 10, pour ´ etablir de l’exis- tence d’une constante c

telle que

||∇u

||

0

≤ c

||u||

W^{1−1p ,p}(∂Dr0)

. L’estimation (11) devient

|u(x)| ≤c

||∇u||

0

+ c

||u||

W¹⁻

1

p ,p(∂Dr0)

||G(x, .)||

+ max

y∈∂Dr0

|K(x, y)|c

||u||

0

+ ||∇u||

0

.

L’application du th´ eor` eme de trace sur W

(D

), cf. proposition 3, permet de d´ eduire qu’il existe une constante c

telle que

|u(x)| ≤c

||∇u||

0

+ c

(||u||

0

+ ||∇u||

0

)

||G(x, .)||

+ max

y∈∂Dr0

|K(x, y)|c

||u||

,

alors on d´ eduit ais´ ement facilement qu’il existe une constante c(r

, p) qui est ind´ ependante de u et de x telle que

∀x ∈ D

2

, |u(x)| ≤c(r

, p)||u||

.

Cette derni` ere estimation est obtenue en utilisant le fait que ||G(x, .)||

est uniform´ ement born´ e en x ∈ D

.

4 Preuve du r´ esultat principal

D´ emonstration. Soit u ∈ C

(Ω). La fonction u est Lipschitzienne sur Ω. Si on note L la constante de Lipschitz de la fonction x → u(x) relativement au domaine Ω, alors pour tout x ∈ ∂Ω et tout y ∈ Int(Ω) nous avons

|u(x) − u(y)| ≤ L|x − y|

,

D. AIT-AKLI, A. MERAKEB

ce qui implique imm´ ediatement

|u(x)| ≤ L|x − y|

+ |u(y)|, (12) pour tout x ∈ ∂Ω et tout y ∈ Int(Ω). Fixons x ∈ ∂Ω. Soit (y

)

une suite de points, y

∈ Int(Ω), telle que |y

− x|

→ 0 lorsque δ → 0. Fixons δ > 0.

L’estimation (12) donne

|u(x)| ≤ L|x − y

|

+ |u(y

)|, (13) pour tout δ > 0. On note ˜ u = P u avec P ´etant l’op´erateur d’extension d´ efini sur W

(Ω) ` a valeurs dans W

(

) ⊂ W

(Ω), cf. D´ efinition 2. Du moment que Ω poss` ede la propri´ et´ e de (1, p)−extension, un tel op´ erateur d’extension est bien d´ efini.

Il faut bien noter que la fonction ˜ u n’est pas n´ ecessairement continue sur

− Ω, c’est-` a-dire qu’elle ne poss` ede pas de fonction repr´ esentative continue. En effet, ceci est dˆ u au fait que 1 −

< 0 pour 1 < p ≥ 2 ; donc l’injection classique des espaces de Sobolev dans les espaces de H¨ older ne peut pas ˆ etre appliqu´ ee dans le cas qui nous concerne, ` a savoir p > 1.

Comme Ω est born´ e, il existe r

> 0 et x

∈ Ω tels que le disque D

de centre x

et de rayon r

contienne Ω comme sous ensemble propre. L’en- semble des fonctions r´ eguli` eres jusqu’au bord, C

(D

) d´ efinies sur le do- maine lipschitzien D

⊂

, ´ etant dense dans W

(D

), cf. th´ eor` eme 1, par cons´ equent il existe une suite (v

)

, v

∈ C

(D

), telle que

||v

− u|| ˜

→ 0. (14) L’estimation (14) implique qu’il existe une sous-suite (φ(n))

, telle que v

(x) → u(x) p.p. dans ˜ D

. Comme v

et ˜ u sont continues dans Ω, cette convergence simple est valable partout dans Ω i.e.

∀y ∈ Ω, v

(y) → u(y) ˜ , lorsque n → ∞. (15) En utilisant (13) et (15) on obtient : ∀δ > 0 et ∀ > 0, ∃n(, y

) > 0 tel que pour tout n > n(, y

) on a :

|u(x)| ≤ L|x − y

|

+ |v

(y

)| + , (16) o` u > 0 est destin´ e ` a tendre vers zero et (n(, y

))

est une suite d’entiers qui tend vers +∞ lorsque → 0 et ce pour tout δ > 0. D’autre part, la formule (16) et la r´ egularit´ e de v

permettent d’´ ecrire

|u(x)| ≤ L|x − y

|

+ |v

δ))

|

r0

+ ,

pour tout δ > 0. En appliquant le lemme 6, dans le disque D

de centre x

, on a

|u(x)| ≤ L|x − y

|

+ c(r

, p)||v

δ)

||

+ (17)

o` u c(r

, p) est la constante qui apparait dans l’estimation (6). L’estimation (17) est valable, ind´ ependamment de δ, pour tout > 0. Ainsi, en passant

`

a la limite → 0 et en utilisant (14), on obtient

|u(x)| ≤ L|x − y

|

+ c(r

, p)||˜ u||

, (18) pour tout δ > 0. ´ Etant donn´ e que tous les ´ el´ ements constituant l’estimation (18) sont ind´ ependants de δ alors en faisant tendre δ → 0 on trouve

|u(x)| ≤ c(r

, p)||˜ u||

. (19) Donc l’estimation (19) donne

|u(x)| ≤ c(r

, p)||P u||

. (20) En utilisant (1), l’estimation (20) donne ` a son tour

|u(x)| ≤ c(r

, p)c

||u||

. (21) Noter bien que l’estimation (21) est valide pour tout x ∈ Γ := ∂Ω ind´ ependamment des quantit´ es pr´ esentes dans le membre de droite de cette in´ egalit´ e.

A pr´ esent, on note t ∈ [a, b] → x(t) = (t, γ(t)) la fonction qui repr´ esente param´ etriquement la courbe Γ. Ainsi, d’apr` es (21), nous avons :

|u(t, γ(t))|

≤ (c(r

, p)c

)

||u||

, (22) pour tout t ∈ [a, b]. Par d´ efinition de l’int´ egrale curviligne, on a

Z

Γ

|u|

ds :=

Z _b

a

|u ◦ γ |

ds

. (23)

Ainsi, en int´ egrant les deux cˆ ot´ es de (22) par rapport ` a l’abscisse curvi- ligne ds

et en utilisant (23), on trouve

Z

Γ

|u|

ds ≤ (c(r

, p)c

)

||u||

a

1 ds

, ce qui donne

Z

∂Ω

|u|

ds ≤ (c(r

, p)c

)

||u||

|∂Ω|. (24) On pose c

:= [(c(r

, p)c

)

|∂Ω|]

, la constante c

ne d´ epend pas de u mais seulement de Ω et de l’exposant p. A partir de (24), nous avons pour tout u ∈ C

(Ω)

||u||

≤ c

||u||

. (25)

D. AIT-AKLI, A. MERAKEB

Pr´ esentement, on conclut l’estimation (5). D’apr` es le th´ eor` eme 1, pour tout u ∈ W

(Ω) il existe (u

)

, u

∈ C

(Ω), tel que

||u

− u||

→ 0.

Ainsi, en appliquant (25) aux ´ el´ ements de la suite (u

)

, nous avons pour tout l ∈

l’estimation suivante :

||u

||

≤ c

||u

||

. (26) Comme (u

)

est une suite de Cauchy dans l’espace norm´ e W

(Ω) alors l’estimation (26) implique que c’est aussi une suite de Cauchy dans l’espace norm´ e L

(∂Ω). Mais L

(∂Ω) est complet, alors il existe u

∈ L

(∂Ω) tel que

||u

||

≤ c

||u||

. Finalement, on pose Tu := u

, nous avons

||Tu||

≤ c

||u||

pour tout u ∈ W

(Ω). Ce qui d´ efinit bien un op´ erateur de trace continu sur l’espace L

(∂Ω) d´ efini ` a son tour sur le bord ∂Ω

T : W

(Ω) → L

(∂Ω) u → T u

Remarque 7.

La pertinence du r´ esultat qu’on vient de d´ emonter r´ eside dans le fait qu’il est vrai pour des fonctions de l’espace W

(Ω) qui ne sont pas n´ ecessairement continues pour 1 < p < 2, fonctions pour les- quelles l’existence mˆ eme de la trace n’est pas ´ evidente. L’exemple du do- maine construit par Mazya dans [2] illustre parfaitement non seulement la pertinence mais aussi la g´ en´ eralit´ e qui r´ esulte du fait qu’on ait consid´ er´ e le domaine Ω poss´ edant seulement la propri´ et´ e de (1, p)-extension.

R´ ef´ erences

[1] E. Gagliardo. Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili. Ren. Sem. Mat. Univ. Padova., vol. 27, pp. 284–305, (1957).

[2] V.G. Maz’ya. Extension of functions from Sobolev spaces. English trans- lation : Journal of Soviet Mathematics, vol. 22, pp. 1851-1855, (1983).

[3] J. L. Lewis. Approximation of Sobolev functions in Jordan domains. Ark.

Mat., vol. 25, N.1-2, pp. 255-264, (1987).

[4] G. Auchmuty. Sharp boundary trace inequalities. Proc. Roy. Soc. Edin- burgh Sect. A : Mathematics, vol. 144, N.1, pp. 1-12, (2014).

[5] L. C. Evans. Partial Differential Equations. Graduate Series in Mathe- matics, vol. 19.R, A.M.S, (2010).

[6] D. Mitrea, I. Mitrea. On the Regularity of Green Functions in Lipschitz

Domains. Comm. Partial Differential Equations, vol. 36, pp. 304–327,

(2011).