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DAPRES ANTILLES GUYANE MAI 2014. On considère la fonction f

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(1)

D APRES ANTILLES GUYANE MAI 2014.

On considère la fonction f définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels par f (x ) x 1 x e

x

. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Partie A

1. Soit g la fonction définie et dérivable sur l’ensemble par g( x) 1 x e

x

. a. Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition

b. Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction g sur c. En déduire le signe de g (x ).

2. Déterminer la limite de f en  puis la limite de f en  .

3. On appelle f la dérivée de la fonction f sur . Démontrer que, pour tout réel x, f ( x) e

x

g( x).

4. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur .

5. Démontrer que l’équation f( x) 0 admet une unique solution réelle sur et démontrer que

1 0.

6.

a. Démontrer que la droite T d’équation y = 2x + 1 est tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.

b. Étudier la position relative de la courbe C et de la droite T.

Partie B

Soit H la fonction définie et dérivable sur par H (x ) ( x 1)e

x

. Démontrer que H est une primitive sur

de la fonction h définie par h( x) xe

x

.

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