UNIVERSITÉ DEBORDEAUX Licence Économie et Gestion – 1èreannée
Semestre 1 2014-2015
T.D. n
o4 : suites numériques
Exercice 1
1. On considère la suite(un)n∈Narithmétique de raisonret de premier termeu0. Soit(Sn)n∈Nla suite définie parSn=
Xn
k=0
uk.
(a) Sachant quer= 5etu0= 1, calculeru4etS10. (b) Sachant queu3 = 5etS4= 15, déterminerretu0.
2. (un)n∈Nest cette fois une suite géométrique de raisonqet de premier termeu0. (a) Sachant queu0 = 3etq=−5, calculeru3etS3.
(b) Sachant queu0 = 1etq= 2, déterminer le rangN pour lequelSN = 65 535.
Exercice 2
Soit la suite(un)n∈Ndéfinie paru0= 7etun+1 =un+ 5pour toutn∈N. 1. Donner l’expression deunen fonction de n.
2. Quelle est la somme desnpremiers termes deu?
3. Déterminer la somme desnpremiers termes de rang impair deu.
Exercice 3
On considère la suite réelle(un)n∈Ndéfinie de la manière suivante : u0 = 2et pourn≥0:un+1 = 13un+n−1.
1. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?
2. Montrer que la suite(vn)définie parvn = 4un−6n+ 15est géométrique (on précisera le premier terme et la raison).
3. Déterminer alorsvnetunen fonction den.
4. Exprimer en fonction denla somme : Xn k=0
uk.
Exercice 4
On considère la suite réelle(un)n∈Ndéfinie de la manière suivante : u0 =a∈Net pourn≥0:un+1 = 2+5u3un
n.
1. Pour quelle valeur deu0la suite(un)n∈Nn’est-elle pas définie ? 2. Que se passe-t-il sia= 0?
3. On considère la suite(vn)n∈Ndéfinie pour toutn ∈ Nparvn = u1
n avecv0 = b ∈ Netun 6= 0pour toutn∈N.
(a) Montrer que pour toutn∈N,vn+1 = 23vn+53.
(b) En déduirebpour que la suite(vn)n∈Nsoit stationnaire.
(c) Montrer que la suite(vn)n∈Nest convergente puis en déduire que(un)n∈Nconverge.
Exercice 5
Au cours d’une année , appelée année0, un industriel sort un article qu’il vend au prix initialP0. Le prix de vente de cet article suit au cours des années la loi suivante :
Pn= 0,4Pn−1+ 120dans laquellePndésigne le prix de l’article au cours de l’annéen.
1. On poseQn=Pn+k(kétant une constante réelle). Montrer qu’il existe une valeur dekpour laquelle (Qn)est géométrique.
2. En déduireQnpuisPnen fonction denet du prix initial.
3. Montrer qu’il existe une valeur deP0pour laquelle il y a stabilité du prix de vente de l’article.
Exercice 6
Une entreprise propose à ses ingénieurs deux types de contrats relatifs au paiement des primes.
Contrat de type 1 (les primes sont versées à la fin de chaque année) : 1èreannée : 2500 euros puis augmentation de 300 euros chaque année.
Contrat de type 2 (les primes sont versées à la fin de chaque semestre) : 1ersemestre : 1000 euros puis augmentation de 100 euros chaque semestre.
Déterminerunetvn, les sommes perçues avec le contrat de type 1 et 2 à la fin de lanèmeannée.
Quel est le contrat le plus avantageux ? (discuter suivant le nombre d’années)
