1/3
2011/2012 Exercice 1 (5 points):
Les courbes C1 et C2 ; ci- contre sont les
représentations graphiques d’une fonction f définie,
continue sur ]-1,+∞[
et de sa fonction primitive F.
1) Par une lecture graphique : a) Identifier la
courbe
représentative de f et celle de F.
b) déterminer F’(0) ; F(0) et F(3)
c) calculer l’aire du domaine limité par la courbe de f ; l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=3.
2) on admet dans la suite que ( ) ² 3 2 F x x 1
x
.
calculer l’aire du domaine limité par les courbe C1 , C2 et les droites d’équation x=0 et x=3.
3) a) montrer que F réalise une bijection de ]-1,+∞[ sur un intervalle J que l’on précisera.
b) montrer que l’équation F(x)=-3 admet dans ]1,2[ une unique solution ∝ c) montrer que F -1 est dérivable en -3 et que ( 1) '( 3) 5 ² 2
2 2
F
. Exercice 2 ( 4poits):
En vue de sa prochaine brochure d’information sur les dangers d’internet un lycée a fait remplir un questionnaire à chacun des 600 élèves, répartis dans les sections de deuxième, troisième et quatrième.
On obtient la répartition suivante :
Lycée Marsa Erriadh
4ème année 1 08/03/2012
3 h
Devoir de synthèse N°2
Section : Sciences Ex
Epreuve : Mathématiques
M. Zribi.
2/3
2011/2012
− 240 élèves sont en deuxième.
− 35 % des élèves sont en troisième .
− parmi les élèves de deuxième, 70 % utilisent régulièrement internet .
− 30 % des élèves de troisième utilisent régulièrement internet.
− 560 élèves utilisent régulièrement internet.
Cette enquête permet de modéliser le choix d’un élève du lycée.
On choisit au hasard un questionnaire d’élève en supposant que ce choix se fait en situation d’équiprobabilité. On note :
− D l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de deuxième »
− T l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de troisième »
− Q l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de quatrième »
− I l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève qui utilise régulièrement internet »
On donnera les valeurs arrondie au dixième.
1) Déterminer la probabilité d’obtenir le questionnaire d’un élève de deuxième qui utilise régulièrement internet.
2) Calculer la probabilité de I sachant T , et interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
3) Le questionnaire est celui d’un élève qui utilise régulièrement internet.
Calculer la probabilité que ce soit le questionnaire d’un élève de quatrième.
4) On choisit au hasard, successivement et avec remise, trois questionnaires.
Quelle est la probabilité que, parmi les trois questionnaires, un exactement soit celui d’un élève utilisateur régulier d’internet ?
Exercice 3 (4points):
L’espace est rapporté { un repère orthonormé
O i j k, , ,
. on donne les points A0,0,-2) ; B(1,-1,2) et C(3,-1,0).1) déterminer les composantes de
ABAC
et en déduire que A, B et C déterminent un plan P .2) justifier que P : x+5y+z+2=0.
3) S l’ensemble des points M(x,y,z) tels que x²+y²+z²-2x+2y-2=0.
a) montrer que S est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon R.
b) montrer que P coupe S selon le cercle circonscrit au triangle ABC.
4) a) calculer le volume du tétraèdre IABC.
c) soit N(∝+1,-∝-1,4∝) ; ∝∈IR ; montrer que le volume du tétraèdre NABC est constant.
3/3
2011/2012 Exercice 4 (3 points):
1) Une urne contient 5 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement et sans remises 2 boules de l’urne. La probabilité de l’événement : « la 2ième boule tirée est noire sachant que la première l’est aussi » est égale à
5 4 5
) ) )
4 7 14
a b c
2)
Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires. On tire au hasard simultanément 3 boules de l’urne.
La probabilité de tirer 3 boules noires est :
1 1 1
) ) )
56 120 3
a b c
3) soit f x( ) x ; la moyenne de f est :
1 5 2
) ) )
3 3 3
a b c
Exercice 5 (4 points):
soit la suite U définie sur IN par
0n 1
Un
x x dx . 1) justifier que pour tout n de IN ; 0 n 1 1n x x dx
. 2) en déduire que la suite U est croissante.3) a) prouver que pour tout n de IN ; 1 ²
2n Un . b) en déduire que la suite U n’est pas majorée.
4) doit f la fonction définie par f x( )x 1x . a) calculer 1
0 1
I
x dx .b) en utilisant une intégration par partie calculer U1 .
c) en déduire l’aire du domaine limité par Cf ; l’axe des abscisses et les droites d’équation x=0 et x=1.
