Approche probabiliste des trajectoires quantiques

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Approche probabiliste des trajectoires quantiques

Clément Pellegrini

To cite this version:

Clément Pellegrini. Approche probabiliste des trajectoires quantiques. Probabilités [math.PR]. Uni-

versité de Toulouse 3 Paul Sabatier, 2018. �tel-01973627�

HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES DE L’UNIVERSITE PAUL SABATIER (TOULOUSE III)

Discipline : Math´ ematiques Sp´ ecialit´ e : Probabilit´ es et Statistique

Approche Probabiliste des Trajectoires Quantiques

Cl´ ement PELLEGRINI

Soutenue ` a Toulouse le vendredi 7 d´ ecembre 2018 devant le jury :

St´ ephane ATTAL (Universit´ e Claude Bernard Lyon I), Examinateur Franck BARTHE (Universit´ e Paul Sabatier Toulouse III) Examinateur Patrick CATTIAUX (Universit´ e Paul Sabatier Toulouse III) Coordinateur

Benoit COLLINS (Kyoto University) Rapporteur

Djalil CHAFAI (Universit´ e Paris-Dauphine) Rapporteur

Gersende FORT (Universit´ e Paul Sabatier Toulouse III) Pr´ esidente

Alain JOYE (Universit´ e Joseph Fourier Grenoble I) Rapporteur

Didier POILBLANC (Universit´ e Paul Sabatier Toulouse III) Examinateur

Table des mati` eres

1 Introduction : Trajectoires quantiques 9

2 Etude et mod´ elisation de certaines trajectoires quantiques 17

2.1 Mod` ele des trajectoires quantiques . . . . 17

2.1.1 Mesure directe . . . . 17

2.1.2 Trajectoires quantiques discr` etes . . . . 19

2.1.3 Trajectoires quantiques continues . . . . 23

2.1.4 Du discret au continu . . . . 26

2.2 Marche quantique ouverte continue . . . . 29

2.3 Stabilit´ e des filtres quantiques . . . . 36

2.4 Variables obtuses complexes et martingales normales complexes . . . . 40

2.4.1 Canaux quantiques classiques . . . . 41

2.4.2 Variables obtuses complexes . . . . 43

2.4.3 Martingale normale . . . . 53

3 Comportement en temps long de certaines trajectoires quantiques 59 3.1 Equations maˆıtresses stochastiques non d´ emolition . . . . 59

3.2 Sous-espace attractif . . . . 64

3.3 Mesure invariante des trajectoires quantiques discr` etes . . . . 68

3.3.1 Existence et unicit´ e . . . . 68

3.3.2 Convergence exponentielle . . . . 73

3.3.3 Exemples . . . . 76

3.4 Mesure invariante des trajectoires quantiques continues . . . . 78

4 Perspectives 85

3

Remerciements

Mes premiers remerciements vont tout naturellement aux rapporteurs de cette habili- tation. Je suis content que des personnes d’une si grande qualit´ e scientifique et humaine aient accept´ e de relire mon manuscript et de donner leur avis sur mon travail. Depuis que j’ai d´ ebut´ e la recherche, j’ai toujours eu la chance de cotoyer Alain Joye. En particulier grˆ ace ` a lui et d’autres membres de l’ex ANR Ham-Mark, j’ai d´ ecouvert des facettes du m´ etier de chercheur qui m’ont certainement permis de mani` ere directe ou indirecte (rien

`

a voir avec les mesures) d’en ˆ etre arriv´ e l` a aujourd’hui. Je lui suis tout particuli` erement reconnaissant d’avoir accept´ e de relire mon habilitation. Je voudrais ´ egalement adresser un immense merci ` a Benoit Collins d’avoir accepter de rapporter mon HDR, je tiens ` a le remercier pour son int´ erˆ et et sa disponibilit´ e et pour avoir pu se lib´ erer et faire partie du jury. Enfin grˆ ace ` a l’activit´ e scientifique de Toulouse, j’ai eu la chance de rencontrer des gens de grande qualit´ e et c’est grˆ ace ` a l’ANR Stab (1,2,3,4,5 ou 6 je ne me rappelle plus) que j’ai pu croiser la route de Djalil Chafa¨ı. C’est un honneur pour moi qu’il ait accept´e de donner son avis sur mes travaux de recherche. Ensuite je tiens ` a remercier tout particu- li` erement Patrick Cattiaux d’avoir accept´ e d’ˆ etre mon parrain pour cette habilitation. En dehors de ce parrainage et du co-encadrement de Hugo, ton accueil ` a mon arriv´ ee a ´ et´ e ` a l’origine de ma bonne int´ egration ` a Toulouse. Depuis que je suis arriv´ e ` a Toulouse, j’ai le plaisir d’organiser chaque ann´ ee les rencontres entre le laboratoire de physique th´ eorique de Toulouse et l’institut de math´ ematiques de Toulouse. Didier Poilblanc a toujours r´ epondu pr´ esent pour ces journ´ ees qui font d´ esormais parties du paysage toulousain ; merci d’avoir accepter de participer ` a ce jury. La premi` ere fois que je suis venu ` a Toulouse, c’´ etait en th` ese et c’est Franck Barthe qui m’avait invit´ e pour un s´ eminaire, merci pour ton accueil et pour avoir accept´ e aujourd’hui de faire partie de ce jury. Merci ´ egalement ` a Gersende Fort d’avoir accepter de pr´ esider ce jury, j’en profite pour te remercier pour ton implication au sein de l’institut et de l’´ equipe. Enfin c’´ etait important pour moi qu’il soit pr´ esent aujour- d’hui, merci ` a St´ ephane Attal de compl´ eter mon jury. Il y a un peu de ta patte dans tous mes travaux de recherche, c’est un r´ eel plaisir de t’avoir eu comme directeur de th` ese et de t’avoir comme ami aujourd’hui. Ta bienveillance et ta fermet´ e m’ont permis d’avancer dans mes premiers pas dans la recherche et ton soutien a toujours ´ et´ e complet.

Je vais continuer la liste des remerciements avec les locaux de l’´ etape et donc ` a l’en- semble des coll` egues de l’institut de math´ ematiques de Toulouse et particuli` erement ` a ceux de l’´ equipe de probas-stats. J’adresse une d´ edicace toute particuli` ere ` a ceux qui font tour- ner la baraque et un immense merci ` a Fran¸coise qui nous apporte un super soutien au

5

quotidien. J’en profite pour remercier ´ egalement tout le personnel administratif. Merci ` a Reda et Fabrice qui ont su faire un saut quantique et collaborer avec moi sur des questions de m´ eca-qu, votre liste de publis vous en remercie !

A l’IMT, j’ai la chance d’avoir rencontr´ e de v´ eritables amis (et collaborateurs pour certains) : Javier insoumis volontaire, Phi

le rang A dont tout rang B rˆ eve, Chtimi une pointe de finesse dans ce monde de matheux (certains y verront un raisonnement par l’ab- surde). Je ne vais certainement pas oublier mes co-bureaux, Fabulous qui est parti ` a Angers, une vraie perte pour Toulouse, S´ eb cross-fitteur punk dont le dynamisme scientifique et extra-scientifique forme une bulle de fraˆıcheur et Aldo qui a d´ ej` a relev´ e toutes mes fautes d’ortographe, avec qui j’ai partag´ e beaucoup de choses et avec qui j’esp` ere en partager en- core beaucoup. Je vous dois beaucoup, si je me suis tout de suite senti acceuilli ` a Toulouse et si c’est encore un r´ eel plaisir d’ˆ etre l` a, c’est grˆ ace ` a vous. Vous ˆ etes tous plus ou moins ` a l’origine des ”LSM” et ¸ca c’est une r´ eelle plus value. J’ai v´ ecu des moments forts avec vous et j’esp` ere en vivre encore plein d’autres. Pour finir avec les toulousains, un petit clin d’oeil

`

a Manon, Thierry, Fanny, Pierre, Francesco, Fran¸cois, Agn` es, Mireille, Cathy... Une pens´ ee pour Kathy qui ´ etait une coll` egue pr´ ecieuse et avec qui j’ai eu la chance de travailler dans la pr´ epa agreg.

Ext´ erieur ` a l’IMT (pas tant que ¸ca) un v´ eritable groupe s’est form´ e autour des ”proba- bilit´ es classiques appliqu´ ees ` a la m´ ecanique quantique” comme se moqueraient certains de mes coll` egues. Parmi ce groupe je compte ´ egalement de nombreux amis et collaborateurs : sp´ eciale d´ edicace ` a la ”Attal family” : Yan, Ion, Julien, Ivan, Simon. Grˆ ace ` a notre derni` ere ANR et au savoureux mariage de la physique th´ eorique et des probabilit´ es j’ai eu la chance de rencontrer Tristan. Merci pour ta pers´ everance ` a lire des manuscrits dactylographi´ es et

`

a la martingale de Martin qui ont permis de r´ esoudre un super probl` eme ! Je suis vraiment content que tu sois pour de bon ` a Toulouse et j’esp` ere que notre collaboration et amiti´ e durera longtemps. Et pour finir avec le milieu acad´ emique merci ` a Hugo d’avoir essuy´ e les plˆ atres avec ce premier encadrement de th` ese.

En grandissant (ou vieillissant ? ou alors parce que j’ai maintenant des enfants) on r´ ealise qu’on ne remercie jamais assez ses parents. Alors merci d’avoir toujours ´ et´ e l` a et d’ˆ etre toujours pr´ esents encore aujourd’hui.

Loin devant les math´ ematiques et devant tout le reste, c’est vous qui m’apportez le plus dans la vie ; Sab

, Eylie

et Sahel

. Vous ˆ etes le moteur de ma vie et le rem` ede contre la page blanche. Je reconnais que vivre avec un chercheur n’est pas ´ evident mais sachez que c’est vous qui m’offrez les plus beaux probl` emes ouverts.

Pour parfaire tout cela une pens´ ee ` a tous nos potes de Seysses : Florent, Marie, Thomas, Lorena, Martin, Carotte, Emma, Herv´ e, Serge et Christine. Enfin, je terminerai en saluant

1. Un nouveau titre a essay´ e de se souvenir !

2. ”J’ai rien compris, c’est un langage secret (Eylie 9 ans qui assistait ` a un de mes enseignements)” elle a 10 ans c’est moins grave que les ´ etudiants pr´ esents ce jour l` a

3. ”Bon travail papa, fait pas trop de fautes en maths (Sahel 5 ans avant d’aller ` a l’´ ecole)” quelle

perspicacit´ e ! Elle rajoutera un jour de col` ere ”Papa il est nul en maths”, il faut que je lui rappelle de ne

pas trop croire Ald´ eric sur parole.

mon grand p` ere qui ne sera pas pr´ esent cette fois-ci pour expliquer les probabilit´ es ` a l’un

de mes coll` egues !

Chapitre 1

Introduction : Trajectoires quantiques

Mes travaux de recherche s’orientent essentiellement autour de l’´ etude des trajectoires quantiques. Les trajectoires quantiques sont des processus de Markov ` a temps discret ou continu qui d´ ecrivent l’´ evolution de syst` emes quantiques soumis ` a des mesures indirectes [66, 76, 75, 78, 23, 133, 93, 53, 40, 41, 116, 118, 119].

L’´ etude des trajectoires quantiques s’inscrit plus g´ en´ eralement dans la th´ eorie des sys- t` emes quantiques ouverts [78, 1, 66, 13, 14, 15, 5, 83]. Cette th´ eorie a pour objectif de d´ ecrire la dynamique de syst` emes quantiques en interaction avec un environnement (bain de chaleur, laser, jet de photons...).

On distingue souvent deux approches pour ´ etudier un syst` eme S en interaction avec un environnement E : l’approche hamiltonienne et l’approche markovienne. L’approche hamiltonienne concerne l’´ etude du syst` eme (S + E ) ` a travers la description compl` ete de l’hamiltonien d´ ecrivant l’interaction des deux syst` emes [62, 64]. A partir de cette descrip- tion, on d´ eduit des propri´ et´ es du syst` eme r´ eduit S. Les outils souvent employ´ es dans cette approche sont ceux de la th´ eorie des op´ erateurs, ´ etude spectrale, th´ eorie ergodique etc... La philosophie de l’approche markovienne consiste ` a ”oublier” la dynamique de l’environne- ment et ` a ne s’int´ eresser qu’` a l’´ evolution r´ eduite du syst` eme S [78, 134, 104, 85, 83]. Cette approche est souvent motiv´ ee par le fait que l’environnement est un syst` eme complexe dif- ficile ` a d´ ecrire. Dans certaines situations, nous n’avons pas acc` es aux donn´ ees compl` etes de ce syst` eme. Dans d’autre situations, la description compl` ete du syst` eme n’a pas d’int´ erˆ et.

Mes travaux s’inscrivent principalement dans l’approche markovienne. D’un point de vue math´ ematique, le syst` eme quantique S que l’on cherche ` a ´ etudier est d´ ecrit par un espace de Hilbert H

et l’ensemble des ´ etats est d´ ecrit par les matrices densit´ es

D

= {ρ ∈ I(H

)|ρ = ρ

, ρ ≥ 0, Tr(ρ) = 1}

o` u I(H

) d´ esigne l’ensemble des op´ erateurs ` a trace sur H

(on ´ etudiera essentiellement des situations o` u H

est de dimension finie). L’ensemble des projecteurs orthogonaux de rang 1 est un sous ensemble particulier de D. Un tel projecteur est appel´ e ´ etat pur.

9

Dans ce manuscrit, nous consid´ ererons deux types d’´ evolution pour les ´ etats de S : des ´ evolutions discr` etes en temps et des ´ evolutions continues en temps. Typiquement, une

´

evolution discr` ete en temps est d´ ecrite par une famille de matrices densit´ es (ρ

)

d´ efinie de la mani` ere suivante :

ρ

= φ(ρ

), n ∈ N ou de mani` ere ´ equivalente

ρ

= φ

(ρ

), n ∈ N .

L’application φ s’appelle un canal quantique. Le terme canal est emprunt´ e ` a la th´ eorie de l’information quantique. C’est ce type d’op´ eration qui permet de transmettre de l’infor- mation en utilisant les principes de la m´ ecanique quantique [134, 112, 47, 77, 100, 99].

Math´ ematiquement, il s’agit d’une application compl´ etement positive

dont la forme ty- pique est donn´ ee par

φ(ρ) = X

i∈I

V

ρV

, (1.1)

o` u V

, i ∈ I sont des op´ erateurs sur H

qui satisfont P

i∈I

V

V

= I. Les op´ erateurs V

s’appellent des op´ erateurs de Kraus.

En ce qui concerne une ´ evolution typique en temps continu, elle est d´ ecrite par une famille de matrices densit´ es (ρ

)

satisfaisant une ´ equation diff´ erentielle ordinaire de la forme

dρ

= L(ρ

)dt ou de mani` ere ´ equivalente

ρ

= e

(ρ

),

o` u L est un op´ erateur sur B(H

) appel´ e op´ erateur de Lindblad ou lindbladien [104, 85, 66, 83]. Une telle ´ equation est appel´ ee ´ equation maitresse. L’op´ erateur L s’´ ecrit g´ en´ eriquement sous la forme

L(ρ) = −i[H, ρ] + X

i∈I

L

ρL

− 1

2 {L

L

, ρ}, (1.2) o` u les L

, i ∈ I sont des op´ erateurs sur H

.

Les deux types d’´ evolutions que nous venons d’´ evoquer mod´ elisent la dynamique du syst` eme S en l’absence de mesure.

La question de la mesure en m´ ecanique quantique est une question primordiale. En effet, pour ´ etudier l’´ evolution d’un syst` eme quantique, il faut pouvoir l’observer : mesurer sa vitesse, sa position... Cependant, observer directement un syst` eme quantique perturbe ce dernier de mani` ere irr´ em´ ediable. Des effets tels que l’effet de Z´ enon quantique indiquent qu’observer continument et directement un syst` eme S a pour effet de geler celui-ci. Pour contourner ce type d’obstacle on effectue des mesures dites indirectes. Cela consiste ` a ef- fectuer une mesure sur l’environnement E lorsque celui-ci a fini d’interagir avec S. Grˆ ace ` a

1. Une application compl´ etement positive φ est une application lin´ eaire positive c’est ` a dire qui envoie

les op´ erateurs positifs sur des op´ erateurs positifs et telle que pour tout k ∈ N , l’application I

⊗ φ est

encore une application positive. De mani` ere g´ en´ erale, elles sont toutes de la forme (1.1)

l’intrication entre S et E , apr` es interaction, le r´ esultat de la mesure indirecte permet d’ob- tenir une information partielle sur S. De plus, conditionnellement aux r´ esultats de mesures, on peut d´ ecrire l’´ evolution de S. Dans ce contexte, l’´ evolution de S devient al´ eatoire. Dans le cadre des ´ evolutions discr` etes, elle est d´ ecrite par une chaˆıne de Markov ( ˜ ρ

) ` a valeurs dans D

. Typiquement, les transitions sont d´ ecrites de la mani` ere suivante :

˜

ρ

= V

ρ ˜

V

Tr(V

ρ ˜

V

) , avec probabilit´ e Tr(V

ρ ˜

V

), i ∈ I. (1.3) Dans le cadre continu, l’´ evolution de S est d´ ecrite par un processus de Markov ( ˜ ρ

) ` a va- leurs dans D

. De tels processus apparaissent g´ en´ eriquement comme solutions d’´ equations diff´ erentielles stochastiques de type saut-diffusion de la forme

d ρ ˜

= L( ˜ ρ

)dt

+ X

i∈I1

(L

ρ ˜

+ ˜ ρ

L

− Tr[ρ

(L

+ L

)]ρ

) d W ˜

(t)

+ X

i∈I₂

L

ρ

L

Tr[L

ρ ˜

L

]

d N ˜

(t) − Tr[L

ρ ˜

L

]

, (1.4)

o` u ( ˜ W

(t), i ∈ I

) sont des mouvements browniens ind´ ependants et ( ˜ N

(t), i ∈ I

) sont des processus de Poisson d’intensit´ es

R

0

Tr[L

ρ ˜

L

]ds

, i ∈ I

. Ce type d’´ equation est commun´ ement appel´ e ´ equation maitresse stochastique [66, 23, 40, 41, 57, 15, 116, 118, 119].

Dans les deux cas les processus ( ˜ ρ

) et ( ˜ ρ

) sont appel´ es trajectoires quantiques discr` etes respectivement continues.

L’´ etude et la compr´ ehension de ces mod` eles ont ´ et´ e cruciales dans de nombreux do- maines de la m´ ecanique quantique th´ eorique et appliqu´ ee. Ces mod` eles sont au coeur de nombreuses avanc´ ees dans le domaine de l’optique quantique (exp´ eriences de photo- d´ etection, d´ etection h´ et´ erodyne et homodyne...) et de l’information quantique. En particu- lier, ils jouent un rˆ ole primordial dans les exp´ eriences de contrˆ ole quantique qui n´ ecessitent de pouvoir maitriser et observer l’´ evolution de S de mani` ere continue. Des exp´ eriences r´ ecentes ont permis, grˆ ace ` a ce type de mod` ele, de pouvoir manipuler et observer des par- ticules sans les d´ etruire (ce qui est impossible avec des mesures directes), c’est le cas des exp´ eriences men´ ees par l’´ equipe de Serge Haroche au LKB ` a Paris et qui ont ´ et´ e r´ ecom- pens´ ees par le prix Nobel de Physique en 2012 [93, 92, 84]. Ces exp´ eriences ont donn´ e lieu

`

a divers travaux th´ eoriques autour des trajectoires quantiques non d´ emolition [33, 32, 21]

et du contrˆ ole quantique [4, 2, 123]

La justification du mod` ele discret est assez simple, la mani` ere la plus intuitive est d’uti-

liser les mod` eles d’interactions r´ ep´ et´ ees [17]. Dans ce cadre, l’environnement est d´ ecrit par

une chaˆıne de syst` emes quantiques auxiliaires ind´ ependants et identiques. Chaque syst` eme

vient interagir avec S (l’un apr` es l’autre) et apr` es interaction une mesure est effectu´ ee

sur le syst` eme auxiliaire qui vient d’interagir. L’al´ ea vient du fait que, contrairement ` a la

m´ ecanique classique, le r´ esultat d’une mesure en m´ ecanique quantique est al´ eatoire et que

conditionnellement ` a ce r´ esultat, le syst` eme S est modifi´ e suivant les principes de r´ educ- tion du paquet d’onde. Les sch´ emas d’interactions r´ ep´ et´ ees suivies de mesure indirecte sont habituellement appel´ es mesures quantiques r´ ep´ et´ ees [106, 101, 116, 118, 119]. Dans la lit- t´ erature, ces mod` eles ont ´ et´ e moins ´ etudi´ es que les mod` eles continus. Mais, r´ ecemment les mod` eles d’interactions r´ ep´ et´ ees avec ou sans mesure ont donn´ e lieu ` a de nombreux travaux (retour ` a l’´ equilibre, propri´ et´ es spectrales [71, 69, 70, 68, 72], production d’entropie [50, 94], principe de Landauer, thermodynamique [91, 90], statistique quantique [127, 132, 50], ´ etude de mod` eles concrets [32, 34, 135, 105]...)

La justification des mod` eles continus est moins directe. On peut distinguer trois ap- proches math´ ematiques diff´ erentes justifiant rigoureusement ces mod` eles. La premi` ere ap- proche est bas´ ee sur le calcul stochastique quantique [114, 107] et plus pr´ ecis´ emment sur la th´ eorie du filtrage quantique [15, 60, 56, 59, 43, 44, 46, 45, 39, 42, 86, 87, 125]. Cette approche a notamment ´ et´ e d´ evelopp´ ee et popularis´ ee par Viacheslav Belavkin. Elle utilise la th´ eorie des ´ equations diff´ erentielles stochastiques quantiques qui permettent de mod´ e- liser l’´ evolution du syst` eme S en contact avec l’environnement. En particulier, dans ce cadre, l’environnement agit comme un bruit ”quantique” et ces mod` eles sont les analogues quantiques des ´ equations de Langevin classiques.

Une seconde approche est bas´ ee sur le calcul stochastique classique et la notion d’´ etat

`

a priori et ` a posteriori [23, 25, 27, 24]. Le point de d´ epart est la d´ efinition d’une ´ equation diff´ erentielle stochastique lin´ eaire pour l’´ evolution de l’´ etat ”non normalis´ e

” de S. L’inter- pr´ etation en termes de mesures quantiques est alors le r´ esultat d’un changement de mesure type Girsanov. L’utilisation du calcul d’Itˆ o permet alors d’obtenir l’´ equation non lin´ eaire (1.4) apr` es normalisation de l’´ etat.

La troisi` eme approche fait le pont entre l’´ evolution discr` ete (1.3) et l’´ evolution continue (1.4). En particulier, les mod` eles continus peuvent ˆ etre obtenus comme limites des mod` eles discrets. Pour cela, on introduit un scaling en temps h dans les op´ erateurs V

. En imposant des conditions asymptotiques pr´ ecises pour les op´ erateurs V

, on montre que lorsque h tend vers z´ ero le mod` ele discret converge en loi vers le mod` ele continu. Pour obtenir ces r´ esultats, les outils principaux sont la convergence de g´ en´ erateurs de Markov et des propri´ et´ es de tension [81, 97]. Cette approche a ´ et´ e d´ evelopp´ ee dans mes travaux de th` ese. En particulier, la justification des mod` eles g´ en´ eriques (1.4) ont fait l’objet des articles [116, 118, 119].

Ces trois approches sont ´ equivalentes et ont des connections importantes. Le lien entre la deuxi` eme approche et la troisi` eme approche est assez claire principalement car elles font appel toutes les deux ` a des probabilit´ es classiques (changement de mesure, calcul d’Itˆ o, g´ en´ erateur de Markov, tension de processus stochastiques) en opposition ` a la premi` ere approche qui op` ere dans le monde des probabilit´ es dites quantiques (alg` ebre d’op´ erateur, calcul stochastique quantique, alg` ebre de Von Neumann). C’est dans ce cadre, o` u l’inter- action entre S et l’environnement est d´ ecrit par des ´ equations diff´ erentielles stochastiques quantiques. Ce type de mod` ele peut ˆ etre justifi´ e comme limite continue de mod` eles d’inter- actions r´ ep´ et´ ees. C’est en particulier l’objet des travaux de St´ ephane Attal et Yan Pautrat [17]. Introduire des mesures dans ce cadre a ´ et´ e le moteur des travaux effectu´ es pendant

2. non normalis´ e signifie que l’´ etat n’est pas de trace 1

mon doctorat.

Mes premiers pas dans la recherche ont donc ´ et´ e rythm´ es par l’´ etude des trajectoires quantiques ` a travers les liens entre les mod` eles discrets et les mod` eles continus : ”comment justifier des mod` eles continus complexes ` a l’aide de mod` eles discrets intuitifs”. En particu- lier, la flexibilit´ e et la richesse des outils d´ evelopp´ es dans ce cadre, m’ont permis de continuer dans cette voie pendant mes premi` eres ann´ ees post-th` ese. Cette partie de mes activit´ es de recherche concerne un aspect orient´ e principalement autour de la mod´ elisation de trajec- toires quantiques. Ainsi, en pr´ esence d’une probl´ ematique concernant les trajectoires quan- tiques j’ai deux r´ eflexes. Si le mod` ele est continu, je me demande comment le justifier ` a l’aide d’un mod` ele discret et d’un passage ` a la limite et si le mod` ele est discret je me demande quelle est sa limite continue naturelle. En particulier, en adoptant cette d´ emarche, inspir´ ee de mon directeur de th` ese St´ ephane Attal, j’ai pu d´ eriver diff´ erents mod` eles de trajectoires quantiques pendant et apr` es ma th` ese [116, 117, 118, 119, 122, 110, 121, 18, 120, 3, 8].

Un de mes premiers objectifs ”post-th` ese” ´ etait de comprendre quelles ´ etaient les tra- jectoires quantiques en pr´ esence d’un bain thermique ` a temp´ erature positive. En effet, les r´ esultats de ma th` ese concernaient essentiellement des situations o` u l’environnement ´ etait

`

a temp´ erature nulle. Guid´ es par le mod` ele d’interactions r´ ep´ et´ ees avec un environnement

`

a temp´ erature positive d´ ecrit dans [12] par St´ ephane Attal et Alain Joye, avec St´ ephane Attal nous avons d´ eriv´ e des ´ equations maitresses stochastiques ` a temp´ erature positive [18].

J’ai ´ egalement utilis´ e l’approche bas´ ee sur les liens entre les mod` eles discrets et continus pour d´ eriver les mod` eles de ”marche quantique ouverte en temps continu” [120]. Ces mo- d` eles sont les analogues quantiques des chaˆınes de Markov classiques ` a temps continu. Ils correspondent ` a des marches al´ eatoires sur un graphe dont les transitions d´ ependent d’un degr´ e interne gouvern´ e par un ´ etat quantique. Le mod` ele discret a ´ et´ e d´ evelopp´ e dans [19, 20] et les r´ esultats de [120] concernent la limite continue naturelle. Ces marches al´ ea- toires quantiques offrent des questions int´ eressantes et pr´ esentent des comportements non standards. Pour les marches discr` etes, les propri´ et´ es habituelles des chaˆınes de Markov ont

´

et´ e ´ etudi´ ees dans [11, 31, 74, 73, 103, 102]. Hugo Bringuier, en th` ese sous ma co-tutelle et celle de Patrick Cattiaux a ´ etudi´ e des probl` emes similaires dans le cadre de son doctorat pour les marches continues.

En dehors de l’aspect mod´ elisation, l’approche discr` ete permet ´ egalement de montrer des propri´ et´ es qualitatives sur les processus continus. En effet, certaines propri´ et´ es sont

´

evidentes pour les trajectoires quantiques discr` etes alors qu’elles sont plus d´ elicates ` a mon-

trer directement pour les trajectoires quantiques continues. En utilisant la convergence des

mod` eles discrets vers les mod` eles continus, certaines propri´ et´ es satisfaites par les processus

discrets se transmettent ` a la limite pour les mod` eles continus. Mentionnons par exemple

qu’il n’existe pas de preuve directe montrant que la solution de l’´ equation (1.4) est ` a va-

leurs dans les matrices densit´ es. En effet, montrer que la solution est ` a valeurs dans les

op´ erateurs positifs est une question difficile. En revanche, par construction, le processus

discret est ` a valeurs dans les matrices densit´ es donc ` a valeurs dans les op´ erateurs positifs

et cette propri´ et´ e se transmet naturellement ` a la limite. Avec Pierre Rouchon et Hadis

Amini nous avons utilis´ e ce type de raisonnement pour montrer des propri´ et´ es de stabilit´ e

des filtres quantiques en temps continu [3].

Toujours dans l’esprit de d´ eriver des mod` eles continus ` a partir de mod` eles discrets, dans [8], nous ´ etudions la convergence en loi de variables al´ eatoires obtuses vers des martingales normales complexes. Ce travail est motiv´ e par l’´ etude de mod` eles d’´ equations de Langevin quantiques qui en r´ ealit´ e sont des mod` eles classiques.

Le chapitre 2 pr´ esentera en d´ etail ces r´ esultats. En ce qui concerne l’aspect mod´ elisation des trajectoires quantiques, j’ai ´ egalement employ´ e l’approche bas´ ee sur le calcul stochas- tique et les changements de mesure dans les papiers [22, 28, 29]. Ces papiers concernent des mod` eles avec pr´ esence de m´ emoire dits non-markoviens. Nous ne d´ etaillerons pas ces r´ esultats dans ce manuscrit et nous renvoyons ` a [22, 28, 29] pour les d´ etails.

Apr` es avoir d´ efini et justifi´ e les mod` eles de processus de Markov d´ ecrivant les trajec- toires quantiques discr` etes et continues, il est naturel d’´ etudier les propri´ et´ es qualitatives de ces mod` eles et notamment d’aborder les questions habituelles relatives aux processus de Markov. En particulier, parmi les questions centrales celle concernant le comportement en temps long de ces processus est une question particuli` erement int´ eressante. Cette question est li´ ee ` a celle de l’existence et de l’unicit´ e de la mesure invariante. En dimension finie, l’en- semble des matrices densit´ es ´ etant un ensemble compact, le th´ eor` eme de Markov-Kakutani assure l’existence d’une mesure invariante. En ce qui concerne l’unicit´ e de la mesure in- variante le probl` eme est plus cossu. En particulier, les processus d´ ecrivant les trajectoires quantiques ne rentrent pas dans le cadre des techniques markoviennes usuelles pour trai- ter ce genre de probl` eme (les transitions sont singuli` eres rendant les approches habituelles inefficaces). Alors que pour les ´ evolutions sans mesure, les r´ esultats de comportement en temps long et la classification des ´ etats invariants des applications (1.1) et (1.2) ont ´ et´ e largement ´ etudi´ es, dans la litt´ erature, il y a tr` es peu de r´ esultats concernant le comporte- ment en temps long des trajectoires quantiques [26]. Un des r´ esultats principaux concerne des propri´ et´ es de convergence en moyenne de C´ esaro [101] ou alors des propri´ et´ es de pu- rification [106, 26] (sous certaines hypoth` eses en temps long les trajectoires quantiques se rapprochent de processus ` a valeurs dans les ´ etats purs). Dans les papiers [49] et [48] avec Yan Pautrat, Tristan Benoist et Martin Fraas, nous r´ esolvons le probl` eme de l’unicit´ e de la mesure invariante. Nous montrons ´ egalement la convergence exponentielle vers cette me- sure invariante. Pour cela nous avons utilis´ e des techniques issues de la th´ eorie ergodique et des produits de matrices al´ eatoires. Cette question m’avait ´ et´ e pos´ ee par St´ ephane At- tal lors de ma th` ese et sa r´ esolution a grandement particip´ e ` a mon envie de r´ ediger mon habilitation.

Dans un autre cadre avec Tristan Benoist, nous avons ´ etudi´ e le comportement en temps

long de trajectoires continues pour les mod` eles dits ”non d´ emolition” [51]. Ces mod` eles

sont directement reli´ es ` a l’exp´ erience de Serge Haroche. Ils ont ´ et´ e trait´ es de mani` ere

th´ eorique dans [32, 33] dans un cadre discret. Dans [51], on montre en particulier, que

ces trajectoires quantiques se concentrent en temps long sur des ´ etats purs particuliers

appel´ es ´ etats pointeurs. On donne une estimation de la vitesse de convergence en termes

d’une entropie relative. Dans ce travail, on montre qu’en temps long ce mod` ele de mesure

indirecte reproduit le mod` ele de mesure directe de l’´ etat initial de S. Toujours dans le cadre

”non d´ emolition” mais dans le cadre discret avec Tristan Benoist et Fabrice Gamboa nous avons ´ etudi´ e des questions d’estimation de param` etres. Dans un autre registre, en utilisant une approche similaire ` a celle d´ evelopp´ ee dans [51], nous avons ´ etudi´ e des probl` emes de stabilit´ e de sous espace dans [52].

Les travaux autour de la mesure invariante [49] et [48] ainsi que [51] feront l’objet du chapitre 3. Dans ce chapitre, nous aborderons ´ egalement le probl` eme de stabilit´ e de sous espace [52]. En effet, nous verrons que sous certaines conditions les trajectoires quantiques convergent vers des sous espaces particuliers de H

. Ce type de r´ esultat est motiv´ e par des probl` emes de contrˆ ole quantique et de pr´ eparation d’´ etats.

Le manuscrit sera structur´ e de la mani` ere suivante.

Dans le chapitre 2, nous commencerons par d´ ecrire plus pr´ ecis´ ement les mod` eles des trajectoires quantiques discr` etes et continues. Nous ferons ensuite le lien entre ces deux mod` eles en rappelant les outils d´ evelopp´ es pendant ma th` ese. On adoptera une approche l´ eg` erement diff´ erente de celle pr´ esent´ ee dans mes travaux de th` eses. Ici, l’approche adopt´ ee permet de pr´ esenter les id´ ees du passage des mod` eles discrets au mod` eles continus sans noyer le lecteur dans des d´ etails trop techniques. Ce chapitre est compl´ et´ e par l’appendice A o` u nous donnons plus de d´ etails. Nous pr´ esenterons ensuite les r´ esultats des articles [120, 3, 8] qui concernent des travaux r´ ecents bas´ es sur le passage du discret au continu.

Le chapitre 3 concerne des r´ esultats de comportement en temps long de certaines trajec- toires quantiques. En particulier, nous pr´ esentons le mod` ele de convergence des trajectoires quantiques non d´ emolition [51]. Ensuite nous parlerons du probl` eme de stabilit´ e de sous espace [52]. Enfin nous ´ etudierons le probl` eme de la mesure invariante des trajectoires quantiques discr` etes et continues [48, 49].

Nous conclurons cette habilitation avec un chapitre pr´ esentant quelques perspectives

de recherche.

Chapitre 2

Etude et mod´ elisation de certaines trajectoires quantiques

2.1 Mod` ele des trajectoires quantiques

Dans cette section, nous allons pr´ eciser les mod` eles probabilistes permettant de d´ ecrire proprement les trajectoires quantiques. Nous ferons en particulier r´ ef´ erence ` a cette section tout le long du manuscrit. On commence par pr´ esenter le mod` ele de mesure directe, ceci nous permettra en particulier de faire r´ ef´ erence ` a une s´ emantique que nous utiliserons dans la suite. Ensuite on d´ ecrit les mod` eles probabilistes des trajectoires quantiques discr` etes et continues puis on fait le lien entre les deux mod` eles avec les r´ esultats de convergence.

2.1.1 Mesure directe

Commen¸cons par fixer quelques notations. Tout au long du manuscrit sauf mention sp´ eciale on consid´ erera un syst` eme S d´ ecrit par un espace de Hilbert H

de dimension finie, typiquement H

= C

muni du produit scalaire usuel h , i. L’ensemble des ´ etats est donc

D

= {ρ ∈ M

( C )|ρ = ρ

, ρ ≥ 0, Tr(ρ) = 1}.

On utilisera ´ egalement les notions usuelles de bra et ket. Les vecteurs de H

seront donc not´ es par des ket |xi, x ∈ H

. Un bra not´ e hy| repr´ esentera la forme lin´ eaire agissant sur les kets hy||xi = hy, xi, pour tout |xi ∈ H

. Un ´ etat pur, projecteur sur C |xi, avec kxk = 1 sera not´ e |xihx|. On identifiera souvent le projecteur sur C |xi avec le vecteur |xi.

Pr´ esentons maintenant le principe de mesure directe en m´ ecanique quantique. Pour cela on consid` ere une matrice densit´ e ρ ∈ D

. Une quantit´ e physique est d´ ecrite par une observable A qui est un op´ erateur auto-adjoint dont la d´ ecomposition spectrale est donn´ ee par

A =

p

X

i=0

λ

P

.

17

Le r´ esultat de la mesure est un r´ esultat al´ eatoire ` a valeurs dans le spectre de A : {λ

, i = 0, . . . , p}. De mani` ere pr´ ecise on a

P [observer λ

] = Tr[ρP

], i = 0, . . . , p.

Puisque ρ est un op´ erateur positif et que P

i=0

P

= I, on a bien d´ efini une mesure de probabilit´ e. Dans la suite, on identifiera souvent la valeur λ

et son indice i de sorte que P [observerλ

] = P [X = i] o` u X est la variable al´ eatoire qui vaut i si on a observ´ e λ

. On identifiera donc X au r´ esultat de la mesure. Ajout´ e ` a ce mod` ele probabiliste, le principe de r´ eduction du paquet d’onde nous dit que conditionnellement ` a l’observation de λ

(ou de i) l’´ etat ρ est modifi´ e et devient

ρ

(i) = P

ρP

Tr(P

ρP

) , i = 0, . . . , p.

Finalement ρ

est une variable al´ eatoire ` a valeurs dans D

d´ ecrite par ρ

= X

i

P

ρP

Tr(P

ρP

) 1

.

De mani` ere ´ equivalente, on parlera ´ egalement de mesure le long d’une base orthonorm´ ee {|αi, α ∈ A} de H

. Implicitement, cela signifie que l’on consid` ere la mesure d’une obser- vable diagonale dans cette base. De plus on supposera cette observable non d´ eg´ en´ er´ ee dans le sens o` u ses espaces propres associ´ es sont de dimension 1. On utilisera alors une autre identification, on dira que l’on observe l’un des vecteurs |αi ` a travers la mesure et on aura

P [observer |αi] = Tr[ρ|αihα|], α ∈ A.

Cet abus de langage est renforc´ e par le fait que conditionnellement ` a l’observation de |αi, la r´ eduction du paquet d’onde transforme l’´ etat ρ en |αihα|.

Pour finir cette section d´ ecrivons ce qui se passe dans le cas d’un ´ etat pur. Si |xi d´ esigne un ´ etat pur d´ ecrivant l’´ etat du syst` eme S, alors on observera le r´ esultat i avec probabilit´ e kP

xk

, le syst` eme est alors modifi´ e et son ´ etat devient

|x

(i)i = |P

xi

kP

xk , i = 0, . . . , p.

Concernant la mesure le long d’une base {|αi, α ∈ A}, on peut exprimer |xi suivant cette base c’est ` a dire

|xi = X

α∈A

hα, xi|αi.

Ainsi la probabilit´ e d’observer |αi est |hα, xi|

et l’´ etat devient |αi apr` es la mesure.

2.1.2 Trajectoires quantiques discr` etes

Cette section concerne la pr´ esentation du mod` ele probabiliste des trajectoires discr` etes.

En particulier, nous allons revenir sur la pr´ esentation du mod` ele d´ ecrit par (1.3)

Afin de motiver le mod` ele des trajectoires quantiques discr` etes, nous commen¸cons par esquisser le mod` ele des interactions r´ ep´ et´ ees [17]. Le syst` eme S interagit avec une chaˆıne infinie de syst` emes quantiques auxiliaires E

, i ∈ N . Les syst` emes E

sont identiques et ind´ ependants c’est ` a dire que chaque syst` eme auxilaire est d´ ecrit par le mˆ eme espace de Hilbert H

= H et le mˆ eme ´ etat de r´ ef´ erence que l’on notera γ et il n’y a pas d’interactions entre les parties de la chaˆıne. La chaˆıne totale E = E

+ E

+ . . . + E

+ . . . est d´ ecrite par

H

=

∞

O

p=0

H

.

Les copies interagissent les unes apr` es les autres avec S et apr` es interaction une mesure est effectu´ ee sur la copie qui vient juste d’interagir :

S

| interaction

|

E

. . . E

. . . E

. . . . E

. . . puis

S

E

. . . E

. . . E

. . . . E

. . .

~ w w Mesure

La mesure sur un syst` eme E

est d´ ecrite ` a l’aide d’une observable A =

p

X

i=0

λ

P

o` u les op´ erateurs P

correspondent aux projecteurs spectraux de A. Comme nous consi- d´ erons une mesure indirecte, cette observable est un op´ erateur sur H

(` a diff´ erencier de la section pr´ ec´ edente o` u l’observable ´ etait un op´ erateur sur H

). Dans le contexte de la section 2.1.1 pr´ ec´ edente, la mesure indirecte de A correspond en fait ` a la mesure directe de l’observable I ⊗ A sur l’espace de Hilbert H

⊗ H

d´ ecrivant le syst` eme coupl´ e (S + E

).

Un r´ esultat d’une mesure donnera donc une valeur al´ eatoire i ∈ {0, . . . , p} correspondant

aux nombres de valeurs propres distinctes. Conditionnellement ` a ce r´ esultat l’´ etat de S

sera modifi´ e selon la r´ eduction du paquet d’onde. Apr` es la premi` ere mesure le syst` eme E

disparaˆıt (il n’interagit plus avec S), la seconde copie peut venir interagir et ainsi de suite.

On parle donc de mesures indirectes r´ ep´ et´ ees car une succession de mesures est r´ ealis´ ee sur une chaˆıne de syst` emes auxiliaires apr´ es interaction avec S .

Ici nous allons pr´ esenter un mod` ele suffisamment g´ en´ eral de trajectoires quantiques discr` etes qui nous permettrons d’illustrer tous les r´ esultats pr´ esent´ es dans cette habilitation.

Nous ne rentrerons pas plus dans le formalisme qui d´ ecrit la suite d’interaction et la suite de mesures. Nous nous concentrerons seulement sur le mod` ele probabiliste r´ esultant de ce sch´ ema (des d´ etails plus complets sont pr´ esent´ es dans l’appendice A et le mod` ele des interactions r´ ep´ et´ ees est pr´ esent´ e dans la section 2.4). On consid` ere un canal quantique

φ(·) =

p

X

i=0

V

· V

o` u V

, i = 0, . . . , p sont des op´ erateurs sur H

(on notera qu’il y a autant d’op´ erateurs de Kraus que de valeurs propres diff´ erentes, cela correspond ` a une mesure id´ eale et on renvoit

`

a l’appendice A pour une justification).

D´ ecrivons maintenant l’espace de probabilit´ e attach´ e au mod` ele de mesures indirectes r´ ep´ et´ ees. On consid` ere pour cela l’espace

Ω = {0, . . . , p}

muni de la tribu cylindrique not´ ee C. L’espace Ω correspond physiquement aux r´ esultats obtenus lors des mesures indirectes. Typiquement comme dans l’exp´ erience de Serge Ha- roche, un atome, pr´ epar´ e dans un ´ etat pr´ ecis interagit avec une cavit´ e (qui correspond ` a notre syst` eme S). On mesure l’´ etat de l’atome apr` es interaction et on obtient par exemple le r´ esultat 0 si l’atome est excit´ e ou 1 si l’atome n’est pas excit´ e. Puis un autre atome, identique au pr´ ec´ edent (mˆ eme ´ etat etc...) vient interagir avec la cavit´ e et ainsi de suite.

On obtient donc une suite de 0 et de 1 correspondant aux r´ esultats successifs ”excit´ es” ou

”non excit´ es”. Cette suite de r´ esultats va nous permettre de d´ ecrire l’´ evolution de l’´ etat de la cavit´ e. Plus g´ en´ eralement, on consid` ere un ´ etat ˜ ρ

∈ D

d´ ecrivant l’´ etat initial de S . Une premi` ere mesure indirecte de l’observable A donne un r´ esulat i ∈ {0, . . . , p} avec la probabilit´ e

P [observer i] = Tr(V

ρ ˜

V

).

Conditionnellement ` a cette observation, l’´ etat ˜ ρ

est alors modifi´ e et devient

˜

ρ

= V

ρ ˜

V

Tr(V

ρ ˜

V

) , i = 0, . . . , p.

L’´ etat ˜ ρ

est donc maintenant l’´ etat de r´ ef´ erence de H

. On r´ ep` ete la proc´ edure, H

muni de l’´ etat ˜ ρ

agit avec la deuxi` eme copie E

suivant le mˆ eme sch´ ema que la premi` ere interaction puis on effectue une mesure sur E

apr` es interaction. Un deuxi` eme r´ esultat de mesure donne alors un r´ esultat k ∈ {0, . . . , p} avec probabilit´ e

Tr(V

ρ ˜

V

) = Tr(V

V

, ρ ˜

V

V

).

De mˆ eme conditionnellement ` a ce r´ esultat l’´ etat ˜ ρ

est modifi´ e et devient

˜

ρ

= V

ρ ˜

V

Tr(V

ρ ˜

V

) = V

V

ρ ˜

V

V

Tr(V

V

ρ ˜

V

V

)

et ainsi de suite. On d´ efinit alors une probabilit´ e P sur Ω en posant pour un cylindre de taille n : C

= {ω ∈ Ω|ω

= i

, . . . , ω

= i

}

P (C

) = Tr(V

. . . V

ρ ˜

V

1

. . . V

n

).

On v´ erifie ais´ ement que cette probabilit´ e est bien d´ efinie car elle satisfait le crit` ere de consistance de Kolmogorov. Si on note (W

) le processus d´ efini par

W

(ω) = V

. . . V

,

pour tout ω ∈ Ω, alors sous (Ω, C, P ) le processus ( ˜ ρ

), d´ efini pour tout n ∈ N par

˜

ρ

= W

ρ ˜

W

Tr(W

ρ ˜

W

) ,

d´ ecrit enti` erement notre trajectoire quantique. On notera X

le r´ esultat de la ´ e´ eni` eme mesure, c’est ` a dire

X

(ω) = ω

pour tout n ∈ N et pour tout ω ∈ Ω. Sauf cas tr` es particulier, la suite (X

) est non- markovienne (on verra dans la Section 3.3.3 que toute chaˆıne de Markov classique peut ˆ

etre vue comme une trajectoire quantique et dans ce cas le processus (X

) est markovien).

En utilisant la d´ efinition de X

, on a la description suivante de notre trajectoire quantique

˜ ρ

=

p

X

i=0

V

ρ ˜

V

Tr(V

ρ ˜

V

) 1

o` u les variables al´ eatoires (1

) satisfont

P [1

= 1] = P [X

= i] = Tr(V

ρ ˜

V

)

pour tout n ∈ N et pour tout i ∈ {0, . . . , p}. On notera que le couple ( ˜ ρ

, X

) est une chaˆıne de Markov. Dans la section 2.1.4 concernant la convergence des mod` eles discrets vers les mod` eles continus, l’outil de base sera la convergence des g´ en´ erateurs de Markov [81]. A cette occasion, on utilisera la convention suivante pour d´ efinir le g´ en´ erateur de Markov associ´ e ` a ( ˜ ρ

) :

Af ( ˜ ρ) =

p

X

i=0

f

V

ρV ˜

Tr(V

ρV ˜

)

− f ( ˜ ρ)

Tr(V

ρV ˜

),

pour tout ´ etat ˜ ρ ∈ D

et toute fonction f ∈ C

( M

( C ), R ) ` a support compact. Dans le Chapitre 3 Section 3.3 nous ferons r´ ef´ erence au g´ en´ erateur de Markov suivant

Πf ( ˜ ρ) =

p

X

i=0

f

V

ρV ˜

Tr(V

ρV ˜

)

Tr(V

ρV ˜

).

Le choix de A au lieu de Π est motiv´ e par la notion de probl` eme de martingale [81, 97] qui est un outil central de [119]. En particulier, si f ∈ C

( M

( C ), R ) est ` a support compact, le processus suivant

f ( ˜ ρ

) − f ( ˜ ρ

) −

n

X

i=1

Af( ˜ ρ

)

!

d´ efinit une martingale par rapport ` a la filtration naturelle du processus ( ˜ ρ

).

Notons encore deux faits importants. Premi` erement si on prend la moyenne sur les r´ esultats de mesures on retrouve l’´ evolution sans mesure c’est ` a dire

E [ ˜ ρ

] = φ

( ˜ ρ

),

pour tout n ∈ N et pour tout ´ etat ˜ ρ

. Deuxi` emement, si ˜ ρ

est un ´ etat pur c’est ` a dire qu’il existe x

tel que ˜ ρ

= |x

ihx

| alors le processus ( ˜ ρ

) est ` a valeurs dans l’ensemble des ´ etats purs, c’est ` a dire les projecteurs de rang 1. Plus pr´ ecis´ ement, on peut d´ efinir une chaˆıne de Markov (x

), d´ efinie par

x

=

p

X

i=0

V

x

kV

x

k 1

,

telle que ˜ ρ

= |x

ihx

|, pour tout n ∈ N . On peut noter dans ce cas que P [1

= 1] = Tr(V

ρ ˜

V

) = kV

x

k

,

pour tout i ∈ {0, . . . , p} et pour tout n ∈ N .

La description des trajectoires quantiques que nous venons de donner fait explicitement r´ ef´ erence ` a l’´ ecriture du canal quantique sous la forme de Kraus φ(.) = P

i=0

V

. V

. Ce- pendant il n’y a pas unicit´ e de l’´ ecriture du canal quantique φ et une ´ ecriture diff´ erente de la forme de Kraus donnera une trajectoire quantique diff´ erente. Le th´ eor` eme dit de Gisin, Horne, Josza et Wooters suivant explique la flexibilit´ e dans le choix de la forme de Kraus.

Th´ eor` eme 2.1 (Th´ eor` eme GHJW) Deux repr´ esentations de Kraus φ(ρ) =

p

X

i=0

V

ρ V

et φ

(ρ) =

k

X

i=0

M

ρ M

,

avec par exemple p ≤ k, repr´ esentent le mˆ eme canal quantique c’est ` a dire φ = φ

si et seulement si il existe une matrice unitaire (u

)

telle que

V

=

k

X

j=1

u

M

,

o` u la liste des V

a ´ et´ e compl´ et´ ee par des z´ eros si p < k.

Dans ce qui suit on consid´ erera simplement les situations o` u on a le mˆ eme nombre d’op´ era- teurs de Kraus pour deux ´ ecritures diff´ erentes c’est ` a dire p = k dans le th´ eor` eme pr´ ec´ edent.

Ainsi pour une ´ ecriture diff´ erente du canal quantique φ(.) =

p

X

i=0

M

. M

on a une trajectoire quantique diff´ erente

˜ ρ

=

p

X

i=0

M

ρ ˜

M

Tr(M

ρ ˜

M

) 1

ou

x

=

p

X

i=0

M

x

kM

x

k 1

,

dans le cas d’une ´ evolution en termes d’´ etats purs. Ici on a P [1

= 1] = Tr(M

ρ ˜

M

) ou kM

x

k

. En r´ ealit´ e d’un point de vue interpr´ etation physique cela correspond ` a un choix diff´ erent d’observables sur l’environnement. Comme nous le verrons dans la section traitant des r´ esultats de convergence la forme de la trajectoire quantique d´ etermine la nature des bruits apparaissant dans la limite continue.

Remarque : Ici nous avons pris le parti de d´ ecrire un mod` ele particulier de trajectoire quantique. Sans entrer dans les d´ etails cela concerne une situation o` u l’´ etat de l’environne- ment est un ´ etat pur et l’observable mesur´ e n’a que des sous espace propre de dimension 1. Ce choix est motiv´ e par une pr´ esentation concise des r´ esultats obtenus pendant mes tra- vaux de th` ese. En particulier, ils permettent de comprendre assez intuitivement le passage des mod` eles discrets aux mod` eles continus. Ils illustrent ainsi les r´ esultats obtenus dans les articles [116, 118, 119] et font abstraction de nombreux d´ etails techniques qui nuisent

`

a la compr´ ehension de la d´ emarche initiale. De plus nous aurons besoin de la description en termes d’´ etats purs pour parler de mesure invariante dans la Section 3.3.

Le mod` ele que nous avons d´ ecrit ci-dessus peut donc se g´ en´ eraliser en rempla¸cant par exemple les op´ erations V

·V

par des applications compl` etement positives φ

(·) = P

k

V

·V

de telle sorte que φ = P

i

φ

. Ces mod` eles d´ ecrivent diverses situations, ´ etat de l’environ- nement non pur, spectre de l’observable d´ eg´ en´ er´ e, mesure imparfaite... On peut ´ egalement consid´ erer des mod` eles non homog` enes en faisant d´ ependre les V

de l’instant n, c’est le cas des exp´ eriences avec contrˆ ole par exemple [117]. Dans un soucis de compl´ etude, nous pr´ esentons les diff´ erentes situations dans l’appendice A (hormis le cas non homog` ene).

2.1.3 Trajectoires quantiques continues

Cette section a pour objectif de dresser le cadre math´ ematique de l’´ etude du mod` ele

d´ ecrit par l’´ equation (1.4) pr´ esent´ ee dans le chapitre introductif. On consid` ere un espace

de probabilit´ e (Ω, F , F

, P ) o` u vivent l mouvements brownien ind´ ependants (W

(t))

et p − l processus ponctuels de Poisson sur R

not´ es (N

)

. On suppose les processus de Poisson ind´ ependants et ind´ ependants des mouvements browniens. On consid` ere un op´ erateur de Lindblad de la forme

L(ρ) = −i[H, ρ] +

p

X

i=1

L

ρL

− 1

2 {L

L

, ρ}, ρ ∈ D

o` u L

, i = 1, . . . , n et H sont des op´ erateurs sur H

.

Soit ˜ ρ

∈ D

, on peut alors d´ efinir l’´ equation diff´ erentielle stochastique suivante

˜

ρ

= ρ ˜

+ Z

0

L( ˜ ρ

) −

p

X

i=l+1

(L

ρ ˜

L

− ρ ˜

Tr[L

ρ ˜

L

]) ds

+

l

X

i=1

Z

(L

ρ ˜

+ ˜ ρ

L

− Tr[ ˜ ρ

(L

+ L

)] ˜ ρ

) d W ˜

(s) +

p

X

i=l+1

Z

Z

R

L

ρ ˜

L

Tr[L

ρ ˜

L

] − ρ ˜

1

N

(ds, dx). (2.1) Une telle ´ equation admet une unique solution ` a valeurs dans les matrices densit´ es. Pour faire le lien avec la formulation donn´ ee dans l’introduction, il faut noter que les processus ( ˜ N

(t)) d´ efinis par

t 7→ N ˜

(t) = Z

0

Z

R

1

N

(ds, dx), t ≥ 0, i = l + 1, . . . , p (2.2) sont des processus de Poisson d’intensit´ e donn´ ee par

t 7→

Z

Tr[L

ρ ˜

L

]ds, i = l + 1, . . . , p.

En particulier, les processus suivant d´ efinis pour t ≥ 0 par t 7→ N ˜

(t) −

Z

Tr[L

ρ ˜

L

]ds

sont des martingales [119]. Cette formulation permet de d´ efinir proprement les processus de comptage ( ˜ N

(t)) [97, 65]. On utilisera la notation ( ˜ N

(t)) dans la suite.

D’un point de vue physique et notamment interpr´ etation en termes de signal observ´ e

`

a travers une mesure indirecte, les processus ( ˜ N

(t)) sont souvent reli´ es ` a des probl` emes de d´ etection de photons pr´ esentant des sauts dans les processus observ´ es. Pour la partie diffusive les signaux observ´ es sont d´ ecrits par des processus (y

(t)), i = 1, . . . , l, d´ efinis par

dy

(t) = dW

(t) + Tr[ ˜ ρ

(L

+ L

)]dt, i = 1, . . . , l.

On peut maintenant d´ ecrire le g´ en´ erateur de Markov associ´ e au processus ( ˜ ρ

). Il est donn´ e par l’expression suivante

Af ( ˜ ρ) = D

f(L( ˜ ρ)) +

l

X

i=1

1 2 D

f

L

ρ ˜ + ˜ ρL

− Tr( ˜ ρ(L

+ L

)) ˜ ρ , L

ρ ˜ + ˜ ρL

− Tr( ˜ ρ(L

+ L

)) ˜ ρ +

p

X

i=l+1

f

L

ρL ˜

Tr(L

ρL ˜

)

− f ( ˜ ρ) − D

f

L

ρL ˜

Tr(L

ρL ˜

)

Tr(L

ρL ˜

), (2.3) pour tout ´ etat ˜ ρ ∈ D

et toute fonction f ∈ C

( M

( C ), R ) ` a support compact.

Au mˆ eme titre que le cas discret, les ´ equations que nous venons de d´ ecrire pr´ eservent la purit´ e. Attention ce n’est pas le cas en g´ en´ eral. Ici cette propri´ et´ e est vraie car il y a autant de bruits que d’op´ erateurs L

(pour le cas discret, l’id´ ee est sensiblement la mˆ eme : il y a autant de r´ esultats possibles lors de la mesure que d’op´ erateurs de Kraus). Ainsi si

˜

ρ

= |x

ihx

|, il existe un processus (x

) tel que ˜ ρ

= |x

ihx

| pour tout t ≥ 0. Le processus (x

) est d´ ecrit de la mani` ere suivante

dx

= V (x

) +

l

X

i=1

L

− 1

2 v

(t−)I

x

d W ˜

(t) +

p

X

j=l+1

L

p I

(t−) − I

!

x

d N ˜

(t), (2.4)

o` u on a d´ efini les quantit´ es suivantes V (x

) = −iH + 1

2

l

X

i=1

L

L

+ 1 2

p

X

j=l+1

L

L

! x

+ 1 2

l

X

i=1

v

(t−)

L

− 1 4 v

(t−)

x

+ 1 2

p

X

j=l+1

I

(t)x

, (2.5) v

(t−) = hx

, (L

+ L

)x

i, i = 1, . . . , l, (2.6) I

(t−) = hx

, L

L

x

i = kL

x

k

, j = l + 1, . . . , p. (2.7) Les ´ equations du type (2.1) sont habituellement appel´ ees ´ equations maitresses stochastiques et les ´ equations du type (2.4) sont appel´ ees ´ equations de Schr¨ odinger stochastiques. Dans les deux cas, les solutions sont appel´ ees trajectoires quantiques.

Comme pour le cas discret, si on prend la moyenne de ces trajectoires on retrouve l’´ evolution sans mesure c’est ` a dire

d E [ ˜ ρ

] = L(E[ ˜ ρ

])dt.

En particulier, (E[ ˜ ρ

]) est solution de l’´ equation maitresse d´ efinie par l’op´ erateur de Lind-

blad L. Dans le cadre continu, cette observation est ` a l’origine de ce qu’on appelle ”monte

carlo wave function method” qui a d´ ebouch´ e sur de nombreuses applications num´ eriques [66, 109]. En effet, num´ eriquement, il est tr` es int´ eressant d’exploiter la version ´ etat pur.

Ainsi en g´ en´ erant un grand nombre de trajectoires (x

) solutions de (2.4), on peut obtenir la solution de l’´ equation lindbladienne

d E [|x

ihx

|] = L(E[|x

ihx

|])dt

par une m´ ethode de Monte Carlo. Le gain peut ˆ etre assez significatif car g´ en´ erer une solution (x

) n´ ecessite de g´ erer d param` etres complexes (ceux de la taille du vecteur x

) alors que g´ en´ erer la solution de l’´ equation de Lindblad n´ ecessite de travailler avec des matrices densit´ es et donc de g´ erer d

param` etres ce qui peut s’av´ erer tr` es coˆ uteux.

Pour finir notons que l’´ ecriture de l’op´ erateur de Lindblad L b´ en´ eficie du mˆ eme principe de flexibilit´ e que celui des canaux quantiques. On a naturellement des ´ equations maitresses stochastiques diff´ erentes suivant les ´ ecritures de l’op´ erateur de Lindblad.

2.1.4 Du discret au continu

Maintenant que nous avons pr´ esent´ e les mod` eles discrets et continus, cette section est consacr´ ee aux r´ esultats montrant comment on obtient les mod` eles continus comme limites des mod` eles discrets [116, 117, 118, 119, 122, 110, 121, 18, 120, 3, 8]. Cette approche a comme avantage d’ˆ etre relativement intuitive et permet de d´ evelopper divers mod` eles. La d´ emarche est d’introduire un param` etre de temps dans le mod` ele des interactions r´ ep´ et´ ees.

En particulier, on consid` ere que le temps d’interaction entre le syst` eme S est les syst` emes E

de la chaˆıne est h. Ce param` etre est suppos´ e tendre vers z´ ero par la suite. Pour obtenir des limites non triviales, il faut rescaler proprement les op´ erateurs V

[17]. Des r´ esultats similaires de limites continues ont ´ egalement ´ et´ e d´ evelopp´ es dans [58, 61, 32]

Ici nous allons juste d´ ecrire l’id´ ee directrice et nous r´ ef´ erons ` a [119] pour tous les d´ etails.

Comme annonc´ e, on consid` ere que les op´ erateurs V

, i = 0, . . . , p d´ ependent d’un param` etre de temps h et satisfont les conditions asymptotiques suivantes :

V

(h) = I + hL

+ ◦(h) V

(h) =

√

hL

+ ◦(h), i = 1, . . . , p, (2.8) o` u les op´ erateurs L

sont ceux de la section pr´ ec´ edente (cf [17] pour une explication de ce choix de conditions asymptotiques). La condition P

i

V

V

= I impose L

= −iH + 1

2

p

X

i=1

L

L

. Concentrons nous sur la trajectoire quantique d´ ecrite par

˜ ρ

=

p

X

i=0

V

(h) ˜ ρ

V

(h)

Tr(V

(h) ˜ ρ

V

(h)

) 1

. (2.9)