E11 - Réponse indicielle
Préciser le caractère passe-bas, passe-haut, passe-bande, premier ou second ordre des systèmes dont on présente la réponse indicielle (on ne demande pas d'identifier la fonction de transfert) :
E12 - Equation différentielle et fonction de transfert
On considère le circuit représenté sur la figure a) Calculer la fonction de transfert. 𝐻𝐻=𝑢𝑢𝑒𝑒
b) En déduire l'équation différentielle qui lie u(t) et e(t).
E13 - Comportement dynamique d'un transducteur
Une lame de quartz d'épaisseur e a ses deux faces en regard métallisées. On applique une différence de potentiel U(t) et on observe l'apparition d'une charge électrique q(t) et une variation de l'épaisseur e + ζ(t).
Une modélisation fournit le jeu d'équations suivant : 𝑢𝑢=𝑞𝑞
𝐶𝐶+𝛼𝛼ζ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑑𝑑2ζ 𝑑𝑑𝑒𝑒2+δ𝑑𝑑ζ
𝑑𝑑𝑒𝑒+𝑘𝑘ζ+α𝑞𝑞= 0 Où m est proportionnel à la masse de la lame, δ est un coefficient positif.
1°) Que représente le coefficient δ ?
2°) a) Déterminer l'équation différentielle (E) reliant la vitesse 𝑣𝑣(𝑒𝑒) =𝑑𝑑ζ𝑑𝑑𝑑𝑑 à la différence de potentiel u(t) appliquée aux bornes du quartz. À quelle condition sur k, α et C le système est-il stable?
b) Exprimer l'équation différentielle sous la forme : 𝑑𝑑2𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑒𝑒2+ω0
𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑣𝑣
𝑑𝑑𝑒𝑒+ω0²𝑣𝑣=𝐻𝐻0ω0𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑒𝑒 On précisera les valeurs de ω0,𝑄𝑄 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐻𝐻0 en fonction des données du problème
3°) On suppose que U(t) est un échelon de tension d'amplitude E, le cristal de quartz étant initialement au repos. Montrer que la solution v(t) de cette équation peut se mettre sous la forme : 𝑣𝑣(𝑒𝑒) =𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑑𝑑/𝜏𝜏sin(ω0′𝑒𝑒) et donner les expressions de τ et ω0′ en fonction de Q et ω0. On ne cherchera pas à déterminer la constante A. Dans la suite, on pourra supposer ω0′ =ω0.
4°) On définit le temps de réponse τE de l'émetteur comme le temps au bout duquel l'enveloppe du signal est inférieure à 5 % de sa valeur initiale. Exprimer τE en fonction de Q et ω0.
5°) Quelle fonction de transfert complexe 𝐻𝐻(𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝑣𝑣 / 𝑈𝑈 peut-on associer à l'équation différentielle (E) ? On exprimera H en fonction de 𝐻𝐻0,𝑄𝑄,𝑗𝑗 𝑒𝑒𝑒𝑒 ω0. Quelle est la nature du filtre de fréquences correspondant ?
E14 - Etude d’une suspension de véhicule
Dans le cadre d'un modèle simplifié de suspension, on assimile le véhicule à un point matériel M (de masse m) posé sur un ressort dont l'autre extrémité S peut se déplacer le long d'une route horizontale ou d'une route ondulée. Le ressort a une constante de raideur k et une longueur lo au repos.
On repère les positions de M et S par leurs abscisses x et x1 sur un axe vertical Ox tel que x1=0 lorsque S se déplace sur la route horizontale.
En outre le point matériel est soumis à l'action d'un amortisseur fluide, de coefficient d’amortissement α, disposé entre les points M et S, S étant le point bas du dispositif d'amortissement. Le point matériel subit de la part de l'amortisseur une force de frottement du type : 𝑓𝑓���⃗𝑑𝑑=−α(𝑣𝑣 − 𝑣𝑣1)𝑢𝑢����⃗ 𝑥𝑥en notant 𝑣𝑣=𝑥𝑥̇ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑣𝑣1=𝑥𝑥̇1 les vitesses respectives de M et S lors de leurs déplacements verticaux selon le vecteur unitaire 𝑢𝑢����⃗ de l'axe Ox. 𝑥𝑥
Le coefficient α peut être réglé par la variation du débit d'huile à travers un trou percé dans le piston mobile de l'amortisseur.
1°) Lorsque le véhicule se déplace sur la route horizontale, l'abscisse de M est constante, de valeur xe, en régime dit stabilisé. Déterminer xe en fonction de m, g, k et lo.
2°) Le véhicule se déplace à présent sur la route ondulée. On pose : X(t) = x( t) - xe.
- Montrer que X(t) vérifie une équation différentielle,de la forme 𝑚𝑚 𝑋𝑋̈+𝑎𝑎𝑋𝑋̇+𝑘𝑘𝑋𝑋=𝐹𝐹(𝑒𝑒) F(t) étant une fonction de x1, de 𝑥𝑥̇1 et des constantes a et k que l'on précisera.
- Commenter la signification de F(t).
3°) Le profil de la route est tel que F(t) est une fonction sinusoïdale d'amplitude Fm et de pulsation ω.
a) Calculer l'amplitude vm, de la vitesse d'oscillation verticale du véhicule en régime sinusoïdal forcé.
b) En notation complexe, on pose 𝐻𝐻=𝑥𝑥𝑋𝑋1,ω0=�𝑚𝑚𝑘𝑘,𝑞𝑞= α
2 √𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝=ωω0. - Exprimer 𝐻𝐻 en fonction de p et q. 1
- Représenter l'allure du graphe de 𝐻𝐻=�𝐻𝐻� en fonction de p, pour q = 0,2. Quelle est la signification physique de H?
- Commenter qualitativement la situation particulière où le ressort du système est très raide
E15 - Réponse indicielle
S1 et S2 sont deux systèmes linéaires et invariants définis par leurs réponses à l'échelon unitaire.
1°) Proposer, pour chacun de ces systèmes, une équation différentielle entrée-sortie.
2°) On propose deux structures possibles pour S1 et S2. Préciser quelle structure, correspond à S1 puis à S2.
E16 - Réponse d'un dispositif thermique
On considère un dispositif thermique dont le schéma équivalent électrique est donné. La grandeur d'entrée du système est la puissance calorifique fournie par le dispositif de chauffage, la grandeur de sortie est la différence de température θ−θ𝑒𝑒 entre le local et l'extérieur.
Les analogies électriques sont les suivantes :
- θ-θe est l’analogue d’une différence de potentiel (tension) - La puissance d’entrée P est l’analogue d’une source de courant - 𝐶𝐶𝑑𝑑ℎ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑅𝑅𝑑𝑑ℎsont des capacités et résistances thermiques.
a) Que représente un essai indiciel (échelon appliqué en entrée 𝑃𝑃=𝑃𝑃0 𝑢𝑢( 𝑒𝑒 )) pour ce dispositif ? Après avoir trouvé l’équation différentielle, déterminer la réponse correspondante.
b) En déduire le temps de réponse à 5%.
E17 - Gabarit d’un filtre passe-bande
On considère un filtre passe-bande RLC dont la fonction de transfert est la suivante :
𝐻𝐻=𝐻𝐻0 1
1 +𝑗𝑗𝑄𝑄 �𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥�
=𝐻𝐻0 𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑄𝑄 1 +𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑄𝑄 − 𝑥𝑥2
Où on a introduit pulsation caractéristique de ce filtre, ω0 = √𝐿𝐿𝐿𝐿1, la variable sans dimension x=ω/ω0 appelée pulsation réduite et le facteur de qualité 𝑄𝑄=𝑅𝑅𝐿𝐿ω10.
Un cahier des charges impose pour ce filtre qu'il laisse passer avec une atténuation inférieure à 4 dB toutes les fréquences dans une bande comprise entre 300 Hz et 800 Hz, et rejette avec une atténuation supérieure à 18 dB toutes les fréquences inférieures à 50 Hz ou supérieures à 5 kHz.
a) Tracer le gabarit du filtre sur le graphe suivant.
b) Vérifier que le gain dessiné en gris (1) sur la figure respecte le cahier des charges. Estimer la pente des asymptotes ; est-ce compatible avec le filtre passe-bande d'ordre deux étudié ? Quelle est la fréquence centrale de ce filtre ? On impose L = 0,10 H, en déduire la valeur de C.
c) Estimer à l'aide du graphe la valeur du facteur de qualité Q. En déduire la valeur de la résistance.
E18 - Filtre de Collpits et de Hartley
1°) Etudier la fonction de transfert du filtre de Colpitts utilisé en sortie ouverte et la présenter sous la forme : 𝐻𝐻=𝐻𝐻0 1
1+𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑥𝑥−1𝑥𝑥�où l’on exprimera H0,Q & ω0 en fonction de ses composants. Afin de simplifier les calculs on posera C=C1=C2.
2°) Tracer le diagramme asymptotique de Bode de gain de ce filtre pour Q=1.
3°) Etudier la fonction de transfert du filtre de Hartley utilisé en sortie ouverte et la présenter sous la forme : 𝐻𝐻=𝐻𝐻0 1
1+𝑗𝑗𝑗𝑗�𝑥𝑥−1𝑥𝑥� où l’on exprimera H0,Q & ω0 en fonction de ses composants. Afin de simplifier les calculs on posera L=L1=L2.
4°) Tracer le diagramme asymptotique de Bode de ce filtre .
E19 - Circuit RL
On étudie le circuit de la figure, où ue représente un générateur idéal de tension sinusoïdale.
1°) Quelle est (sans calculs) la nature de ce filtre ?
2°) Calculer sa fonction de transfert en sortie ouverte, et l'écrire sous forme canonique. Donner l'ordre du filtre. Quelle est sa pulsation de coupure à - 3 dB
?
3°) Tracer son diagramme de Bode asymptotique, puis le diagramme réel.
E20 - Filtre de Wien
1°) Déterminer l’expression de la fonction de transfert associée au filtre suivant en sortie ouverte : Montrer qu’il s’agit d’un filtre passe-bande et donner sa fréquence propre.
2°) Etudier la bande passante en fonction des données.
3°) Mettre la fonction de transfert sous la forme d’un produit de deux fonctions de transfert du premier ordre, l’une passe-bas, l’autre passe-haut. On écrire la fonction de transfert sous la forme :
𝐻𝐻=𝐻𝐻0′. 1 1 +𝑗𝑗𝑥𝑥′. 𝑗𝑗𝑥𝑥′′
1 +𝑗𝑗𝑥𝑥"
et l’on précisera les valeurs de 𝐻𝐻0′,𝑥𝑥′𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥′′
4°) Faire l’étude asymptotique de ses diagrammes de Bode.
E21 - Montages classiques
On considère quatre montages avec des amplificateurs linéaires intégrés idéaux.
On pose : 𝛽𝛽=𝑅𝑅3𝑅𝑅+𝑅𝑅34
1°) Déterminer la fonction de transfert pour les figures 1 et 2.
2°) Déterminer la relation entre vE(t) et vs(t) pour la figure 3. À t = 0, on applique une tension continue vE= - V0 < 0 au dispositif et le condensateur est déchargé. Déterminer la tension de sortie vs(t) pour t > 0.
3°) Pour quelle valeur de vE la tension de sortie de la figure 4 passe-t-elle de la valeur vs = Vsat à vs=- Vsat ? Tracer le graphe représentant vs en fonction de vE. Comment appelle-t-on ce montage ?
E22 - Simulation d’une inductance
On considère le montage suivant dans lequel l'amplificateur opérationnel est idéal.
1°) Justifier qualitativement que le montage fonctionne en régime linéaire.
2°) Définir de manière générale l'admittance d'entrée 𝑌𝑌𝑒𝑒 d'un montage.
3°) Montrer que le montage étudié est équivalent à une association parallèle d'une inductance Lo et d'une résistance Ro que l'on exprimera en fonction de R, R' et C.
4°) Quel est l'intérêt du circuit proposé par rapport à une inductance classique ?
E23 - Circuit suiveur
Deux quadripôles Q1 et Q2 constituent des filtres du premier ordre, de fonctions de transfert respectives H1 et H2, écrites lorsque ces filtres sont utilisés séparément.
a) Exprimer H1 et H2.
b) On envisage de mettre en cascade ces deux filtres : c'est-à-dire de brancher la sortie de Q1 sur l'entrée de Q2. Peut-on considérer la fonction de transfert de l'association comme le produit de H1 et de H2?
c) On utilise le circuit suivant, appelé étage suiveur, constitué d'un amplificateur linéaire intégré, que l'on suppose idéal.
i- Pourquoi peut-on envisager un fonctionnement en régime linéaire ?
ii- Quelle relation peut-on écrire entre les tensions d'entrée et de sortie de cet étage suiveur ? d) On réalise la mise en cascade du filtre 1, de l'étage suiveur et du filtre 2.
i- Quelle est l'intensité absorbée à l'entrée de l'étage suiveur ? Conclure sur le fonctionnement du filtre 1.
ii- Quelle relation peut être écrite entre le signal de sortie du premier filtre et le signal s (t) ? En déduire l'expression de la fonction de transfert de l'opérateur complet.
iii- Quel est le comportement du système complet ? Comment ses propriétés caractéristiques sont-elles liées à celles des filtres 1 et 2 ?
E24 - Filtres actifs
Le schéma de la figure est celui d'un filtre actif, réalisé à l'aide d'un amplificateur linéaire intégré, que l'on supposera idéal. Le paramètre noté k est un nombre strictement supérieur à l'unité.
a) Quelle relation permet d'exprimer le potentiel de l'entrée + en fonction de la tension de sortie
?
b) Déterminer la fonction de transfert et la mettre sous la forme :
𝐻𝐻(𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝐻𝐻0
1 + 2𝑗𝑗σω ω0 −ω2
ω02 c) De quel type de filtre s'agit-il ?
d) Retrouver la valeur du gain statique sans calcul.
e) Quelle condition sur k assure la stabilité du circuit ?
E25 - Circuit à capacité variable
On considère le montage dans lequel les amplificateurs opérationnels sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire. Les résistances αR et (1- α)R forment un tout appelé potentiomètre dans lequel on peut faire varier α de 0 à 1.
1°) Montrer que le montage est équivalent à une capacité C que l'on exprimera en fonction de Co et α.
2°) Quel est l'intérêt du montage ?
E26 - Intégrateur avec amplificateur linéaire intégré
On considère l'opérateur couramment appelé intégrateur-inverseur. On se propose de déterminer l'influence, sur sa fonction de transfert, de la variation du gain différentiel de l'amplificateur linéaire intégré avec la fréquence. On utilisera les valeurs R = 1 kΩ et C = 100 nF ainsi que les paramètres caractéristiques de l'amplificateur intégré : gain statique A0 = 105, fréquence de coupure fo = 30 Hz. On pose p = jω où j est l'imaginaire pur j² = — 1.
a) Dans le modèle d'amplificateur linéaire intégré idéal, quelle est la fonction de transfert 𝐻𝐻=𝑠𝑠𝑒𝑒 de l'opérateur ?
b) On tient compte à présent du gain fini 𝐴𝐴𝑑𝑑 de l'amplificateur linéaire intégré. Proposer une nouvelle expression de la fonction de transfert, en faisant intervenir 𝐴𝐴𝑑𝑑.
c) Dans le modèle d'un gain prenant la forme d'une fonction de transfert du premier ordre de gain statique Ao et de fréquence de coupure fo, mettre la fonction de transfert de l'opérateur sous la forme d'une fonction du second ordre.
d) Peut-on envisager une factorisation en un produit de fonctions de transfert du premier ordre ? Dans l'affirmative, quelles en sont les pulsations de coupure ?
e) La gamme des fréquences d'utilisation est choisie égale à [1Hz ; 1MHz], quel comportement approché peut-on proposer pour l'opérateur ? Conclure.
E27 - Fréquencemètre
On s'intéresse au fonctionnement du montage de la figure suivante pour lequel l'amplificateur opérationnel a des tensions de saturation ±𝑉𝑉𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑.
1°) Quel est le régime de fonctionnement de l'amplificateur opérationnel ? 2°) Dans un premier temps, on considère que ve(t) =0. Déterminer vs(t).
3°) On fait passer ve(t) de 0 à +Vsat pendant une durée β « RC.
a) Montrer que la tension de sortie bascule entre 0 et β.
b) Au temps β on refait passer ve(t) à 0, calculer la durée θ qu'il lui faut pour revenir à son état initial.
4°) Un système envoie en entrée des impulsions de durée β « RC et d'amplitude Vsat avec une période T » θ. Calculer la moyenne temporelle de vs(t) et faire apparaître la fréquence f des impulsions dans cette expression.
5°) Proposer un moyen de mesurer <𝑣𝑣𝑠𝑠(𝑒𝑒) > 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑓𝑓.
E31 - Oscillateur à circuit LC
On considère le circuit de la figure comme un opérateur dont les signaux d'entrée et de sortie sont respectivement les tensions e(t) et s(t). Le bloc désigné par A est un amplificateur délivrant un signal u(t) = Ke(t), où K est une constante, dans la plage de fonctionnement envisagée dans un premier temps.
a) Pourquoi peut-on dire que l'opérateur est linéaire ? b) Quelle est la nature de ce filtre ?
c) Exprimer la relation entrée-sortie sous la forme d'une équation différentielle.
d) On reboucle le circuit, c'est-à-dire que l'on place un fil parfaitement conducteur entre l'entrée et la sortie. Discuter selon la valeur de K l'évolution des signaux, à partir d'un état où toutes les amplitudes sont très faibles.
e) On souhaite réaliser un oscillateur quasi sinusoïdal avec la structure proposée, préciser les critères de choix de K et suggérer un schéma de réalisation du bloc A à l'aide d'un amplificateur linéaire intégré.
f) Quels seront les phénomènes limitant la croissance des oscillations ?
E32 - Oscillateur à résistance négative
L'amplificateur linéaire intégré est idéal. On note Vsat et - Vsat les tensions de saturation positive et négative.
1°) On considère le montage de la figure 1. Donner la relation entre v et i en régime linéaire et en régime de saturation. Quelle est la condition sur i pour être et régime linéaire ? Construire le graphe v = f (i). Dans quelle partie le montage est-il équivalent à une résistance négative ? Donner une interprétation physique
2°) Pour le montage de la figure 2, établir l'équation différentielle régissant l'évolution de i(t) en régime linéaire et en régime de saturation.
3°) Quelle est la condition sur R pour avoir des oscillations sinusoïdales ?
4°) Interpréter l'enregistrement suivant avec des conditions initiales quasi nulles. Pourquoi doit-on avoir r < R pour avoir des oscillations quasi sinusoïdales ?
E33 - Oscillateur de relaxation
On considère le montage suivant. À l’instant t = 0, la tension de sortie vS est égale à vS=Vsat=14,7 V et le condensateur est déchargé. On donne : R1 = 10 kΩ ; R2 = 4,7 kΩ ; R = 10 kΩ ; C = 10 nF ; R3 = 4,7 kΩ ; R4 = 10 kΩ.
1°) Étudier l’évolution ultérieure des tensions vS(t),v1(t) et v2(t).
2°) Tracer les graphes de ces trois tensions et calculer la fréquence des signaux obtenus.
E34 - Stabilisation d'amplitude d'un oscillateur
On considère un filtre passe-bas d'ordre 2 utilisé pour amplifier le signal issu d'un microphone. Le signal à traiter étant musical on ne souhaite privilégier aucune fréquence dans la bande passante, car chaque note est associée à une fréquence et on ne veut pas modifier les amplitudes relatives des diverses composantes. On désire donc choisir une valeur du coefficient d'amortissement σ telle qu'il n'y ait pas de résonance à une pulsation autre que 0 et une variation du gain minimale dans toute la bande passante [0,ω0].
On rappelle que la fonction de transfert canonique d'un filtre passe-bas d'ordre 2 s'écrit :
𝐻𝐻(𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝐻𝐻0
1 + 2𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗0− 𝑗𝑗𝑗𝑗022
a) Retrouver la condition sur σ pour laquelle une résonance a lieu dans un filtre passe-bas du second ordre, puis déterminer sa pulsation. En déduire la valeur de σ pour laquelle cette pulsation de résonance est nulle.
b) Montrer que cette dernière valeur correspond au critère de l'énoncé. Le filtre obtenu est dit filtre de Butterworth d'ordre 2.
c) Déterminer alors l'expression du gain en décibels en fonction de la pulsation réduite 𝑢𝑢=𝜔𝜔𝜔𝜔 d) Quelle est la bande passante à -3 dB ? La comparer à la bande passante asymptotique. 0
E35 - Multivibrateur astable
On s'intéresse au circuit électrique présenté ci-contre :
L'amplificateur opérationnel est supposé idéal. Pour alléger les notations on pose : 𝑘𝑘= 𝑅𝑅1
𝑅𝑅1+𝑅𝑅2 𝑒𝑒𝑒𝑒 τ=𝑅𝑅𝐶𝐶
Pour les applications numériques et les ordres de grandeur on prendra k = 2/3 et RC = 0,01 s.
Les tensions de saturation sont notées ±Vsat avec Vsat = 15 V.
1°) On suppose que le régime est initialement linéaire. Déterminer l'équation différentielle régissant Vs(t) et conclure quant au régime de fonctionnement ultérieur de l'amplificateur opérationnel.
2°) En supposant qu'un régime permanent est atteint, toutes les grandeurs électriques sont donc constantes. Exprimer ε en fonction de Vs et conclure.
3°) On suppose qu'entre t = 0- et t = 0+ la tension de sortie bascule de –Vsat à +Vsat. - Déterminer ε(0+) et établir l'expression de ε(t) à partir de t = 0+.
- Montrer que la solution trouvée n'est valable que pour t < t0 et exprimer to en fonction de τ et k.
4°) Que se passe-t-il à t = t0? Déterminer la nouvelle expression de ε(t) à partir de t = t0+. 5°) Montrer que le régime est périodique et exprimer la période T des oscillations.
6°) Tracer les graphes de ε(t) et de Vs(t)
7°) On remplace R par la cellule suivante. A quoi peut servir un tel dispositif ?
E41 - Condition de Shannon
On souhaite réaliser l'échantillonnage d'un signal s(t). Les paramètres de l'échantillonnage sont : N nombre de points, et fe fréquence d'échantillonnage.
1°)
a) Que vaut la période d'échantillonnage et l'intervalle minimum entre deux raies pour N=1000 et fe = 20 kHz. Comment s'applique le théorème de Shannon dans ces conditions ?
b) Comment diminuer l'intervalle minimum entre deux raies ? Comment échantillonner un signal de fréquence plus élevée ?
2°) Le nombre de points d'échantillonnage est imposé pour un oscilloscope. Proposer une valeur de tobs pour visualiser deux signaux sinusoïdaux de fréquence 4000 et 4020 Hz avec N = 4096.
3°) On souhaite visualiser le spectre de Fourier d'un signal créneau d'amplitude 5 V et de fréquence 100 Hz. Proposer une valeur de N et de la fréquence d'échantillonnage.
4°) On observe le spectre de Fourier d'un signal créneau avec fe = 900 Hz. Interpréter.
E42 - Filtrage d'un signal modulé en amplitude
Un signal modulé en amplitude a l'expression 𝑆𝑆𝑚𝑚�1 +𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(Ω𝑒𝑒)�cos�ω𝑝𝑝𝑒𝑒� où 𝑓𝑓𝑝𝑝 =𝜔𝜔2𝜋𝜋𝑝𝑝 est la fréquence porteuse et m est l'indice de modulation.
Ce signal traverse un filtre passe-bande de fréquence centrale 𝑓𝑓𝑝𝑝 et de coefficient de qualité Q.
a) Rappeler la forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-bande du second ordre. Montrer que pour une fréquence proche de 𝑓𝑓𝑝𝑝 il est possible d'utiliser l'expression approchée suivante de la fonction de transfert :
𝐺𝐺0
1 +2𝑗𝑗𝑄𝑄�𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑝𝑝� 𝑓𝑓𝑝𝑝
b) En considérant que les diverses composantes du signal subissent dans le filtre une atténuation et un déphasage différents, monter que le rôle du filtre peut se résumer à l'introduction d'un déphasage sur le signal modulant et une diminution de l'indice de modulation. Chiffrer cette dernière si la fréquence modulante 𝐹𝐹=2πΩ est 0,5 % de la fréquence porteuse et pour un coefficient de qualité égal à 50.
E43 - Filtre numérique
On considère donc un filtre passe bande, associé à l'équation différentielle : 𝑑𝑑2𝑐𝑐
𝑑𝑑𝑒𝑒2+𝑗𝑗0
𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑐𝑐
𝑑𝑑𝑒𝑒+𝑗𝑗02𝑐𝑐=𝑗𝑗0
𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑒𝑒 La période d'échantillonnage est notée Te. 𝑑𝑑𝑒𝑒
1°) Montrer en reprenant la démarche adoptée pour le filtre passe bas dans ce chapitre, que l'équation différentielle peut se mettre sous la forme en utilisant la méthode d’Euler.
𝑐𝑐𝑘𝑘=1
α�2𝑐𝑐𝑘𝑘−1− 𝑐𝑐𝑘𝑘−2+𝑗𝑗0
𝑄𝑄 𝑇𝑇𝑒𝑒(𝑒𝑒𝑘𝑘− 𝑒𝑒𝑘𝑘−1+𝑐𝑐𝑘𝑘−1)�
et préciser la valeur de α en fonction des paramètres.
Pour rappel, une dérivée seconde peut s’écrire : 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥)∼𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ)−2𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑓𝑓(𝑥𝑥−ℎ)
ℎ2 𝑐𝑐ù ℎ ≪ 𝑥𝑥
2°) La simulation, en haut de la page suivante, à été obtenue avec 𝑇𝑇𝑒𝑒 = 1𝜇𝜇𝑐𝑐,𝑓𝑓𝑜𝑜=𝜔𝜔2𝜋𝜋0= 5𝑘𝑘𝐻𝐻𝑘𝑘, pour un signal d'entrée rectangulaire de fréquence f =1 kHz. Déterminer approximativement la valeur de Q à l’aide du signal obtenue à la sortie du filtre
numérique.
3°) Il est délicat de réaliser des filtres passe bande de facteur de qualité Q élevée en électronique analogique, à cause entre autre, du manque de précision des composants. On pourrait penser que l'électronique numérique ne souffre pas de ce défaut. La simulation, en bas de la page suivante, a été obtenue avec les même paramètres que précédemment, sauf Q = 50.
Comment qualifie-t-on le comportement de ce filtre ? Conclure quand à la validité de la méthode proposée.
E44 - Repliement du spectre
A l'aide d'un oscilloscope numérique, on visualise le spectre d'un signal rectangulaire de fréquence 1 kHz, d'amplitude 5V, dont la décomposition en série de Fourier est donnée par
𝑐𝑐(𝑒𝑒) =20 π� 1
2𝑘𝑘+ 1
∞ 𝑘𝑘=0
sin(2π∗1000(2𝑘𝑘+ 1)𝑒𝑒) La fréquence d'échantillonnage est fixée à 7,5 kHz.
1°) Le critère de Shannon est il vérifié pour ce signal ? Donner les harmoniques pour lesquels le critère est vérifié.
2°) Pour chaque fréquence fk ne vérifiant pas ce critère, déterminer la fréquence parasite fk qui lui sera substituée (pour 𝑘𝑘 ≤11).
3°) Représenter ce spectre
E45 - Puissance d'un signal modulé
Un signal modulé en amplitude a l'expression suivante : 𝑣𝑣(𝑒𝑒) =𝑉𝑉𝑚𝑚�1 +𝐾𝐾 𝑚𝑚(𝑒𝑒)�cos�ω𝑝𝑝𝑒𝑒� où m(t) est un signal sinusoïdal d'amplitude Mm. a) Après avoir déterminé le spectre du signal v(t), calculer sa puissance : définie comme la valeur moyenne dans le temps du carré de v(t)
(moyenne quadratique ou carré de la valeur efficace).
b) Justifier la formule suivante : lorsque l'indice de modulation KMm vaut 1, la puissance transportée par la porteuse représente 23 de la puissance totale du signal.
E46 - Démodulateur de fréquence
On considère le dispositif utilisé dans un récepteur à modulation de fréquence.
a) Pour un signal d'entrée d'équation 𝑒𝑒(𝑒𝑒) =𝐸𝐸𝑚𝑚cos(𝑗𝑗𝑒𝑒), donner l'expression de u(t) en sortie du filtre F. On pourra poser 𝑗𝑗0=𝑅𝑅1
0𝐿𝐿0. Quel est le rôle de F?
b) Le multiplicateur délivre 𝑝𝑝(𝑒𝑒) = 𝑘𝑘 𝑒𝑒(𝑒𝑒) 𝑢𝑢(𝑒𝑒) ; en outre, le filtre passe-bas présente un gain statique unité et une bande passante très inférieure à 𝑓𝑓=2πω. Exprimer d(t).
c) Tracer l'allure de la caractéristique de discrimination : 𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 (ω).
d) Le dispositif est-il sensible aux variations de l'amplitude ?
