Les caractères de Deligne-Lusztig seront notés RGw(θ), pour θ un caractère de TwF

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE DELIGNE-LUSZTIG EXAMEN

Attention. Les exercices ne sont pas indépendants ! Il est conseillé de les traiter dans l’ordre et d’admettre le cas échéant les résultats intermédiaires.

Notations.Pour(G, F)un groupe réductif fini, on fixe un tore maximalTcontenu dans un sous-groupe de Borel B, tous les deux stables par F. Le groupe de Weyl sera noté W =N^G(T)/T. On suppose de plus que (G, F) est déployé, c’est-à-dire que l’action induite deF surW est triviale.

PourH un sous-groupe deGstable parF on notera H =H^F le groupe fini des points fixes. La représentation triviale de H sera notée1H.

Les caractères de Deligne-Lusztig seront notés R^G_w(θ), pour θ un caractère de T^wF. L’ensemble des caractères unipotents de Gsera notéE(G,1).

Exercice 1.

(1) SoitSetS^′deux tores maximauxF-stables deG, etθ∈IrrS. Montrer que les paires(S, θ)et (S^′,1S^′) sont géométriquement conjuguées si et seulement siθ= 1S.

(2) Montrer la formule suivante : X

ρ∈E(G,1)

(dimρ)ρ = 1

|W| X

w∈W

dimR^G_w(1T^wF)

R^G_w(1T^wF).

On suppose désormais pour les exercices suivants queGest un groupe semisimple de typeG2. On rappelle qu’alors le groupe des caractèresX(T) = Hom(T,G_m)est engendré par les racines simples, notéesαetβ, et que les réflexions simples s=sα

ett=sβ associées vérifient(st)⁶= 1.

Exercice 2.

(1) Calculer, pour chaque w ∈ W, l’ordre du groupe fini T^wF (on rappelle la formule |T^wF|=|det(qw−Id|X(T))|).

(2) Montrer que|G|=q⁶(q⁶−1)(q²−1)et en déduire, pour chaquew∈W, la dimension deR^G_w(1^TwF).

(3) Montrer la formule suivante : X

ρ∈E(G,1)

(dimρ)²= 1 +q²+q⁴+ 6q⁶+q⁸+q¹⁰+q¹².

On rappelle queW a6 caractères irréducibles dont4 de dimension1(notés1W, εW,χ1etχ^′₁) et2de dimension2(notésχ2etχ^′₂). On admettra que les dimensions

Date: Avril 2014.

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2 INTRODUCTION À LA THÉORIE DE DELIGNE-LUSZTIG

des caractères unipotents de la série principale correspondants sont données par :

ρ dimρ

1G 1

StG q⁶

ρ1, ρ^′₁ q(q⁴+q²+ 1)/3 ρ2 q(q+ 1)²(q²+q+ 1)/6 ρ^′₂ q(q+ 1)²(q²−q+ 1)/2

On utilisera aussi les tables d’induction/restriction suivantes ; oùL_s (resp.L_t) est le sous-groupe de Levi standard correspondant à s(resp. t) :

1Ls StLs

1G 1 ·

StG · 1

ρ1 1 · ρ^′₁ · 1

ρ2 1 1

ρ^′₂ 1 1

1Lt StLt

1G 1 ·

StG · 1

ρ1 · 1 ρ^′₁ 1 · ρ2 1 1 ρ^′₂ 1 1

Exercice 3.On cherche à calculer la cohomologie de la variété de Coxeter X(st).

(1) Montrer que la représentation triviale (resp. la représentation de Steinberg) n’apparait que dans le groupe de cohomologie de degré4 (resp. de degré 2), avec la valeur de propre q² (resp. 1) de F. En déduire que des groupes de cohomologie distincts ont n’ont pas de constituents irréductibles en commun (disjonction de la cohomologie).

(2) Montrer qu’exactement3caractères unipotents cuspidaux apparaissents dans la cohomologie deX(st).

(3) En utilisant la formule des dimensions, montrer que les valeurs propres deF sur les caractères cuspidaux sont−q,θq etθ²q, oùθ est une racine troisième de l’unité.Les caractères associés seront notés G2[−1],G2[θ] etG2[θ²].

(4) Identifier leq-espace propre deF et en déduire la cohomologie deX(st)ainsi que l’expression du caractère virtuelR^G_st(1T^stF).

(5) Montrer que les dimensions des caractères cuspidaux sont données par

ρ dimρ

G2[−1] q(q−1)²(q²+q+ 1)/2 G2[θ], G2[θ²] q(q²−1)²/3

(6) En déduire qu’il existe au moins un caractère unipotent cuspidal supplémen- taire deG.

Exercice 4.On cherche à determiner les caractères de Deligne-Lusztig.

(1) CalculerR^G_w(1T^wF)pourw∈ {e, s, t, st}.

(2) Calcul deR^G_stst :

(i) Montrer queR^G_stst(1)contient forcément un caractère unipotent cuspidal différent deG2[−1],G2[θ]etG2[θ²].

(ii) Montrer, à l’aide des formules d’orthogonalité, qu’il n’existe alors qu’une seule possibilité pourR^G_stst(1).

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE DELIGNE-LUSZTIG 3

(3) CalculerR^G_w0(1T^w0F)et en déduire queGa exactement4caractères unipo- tents cuspidaux.On notera G2[1]le quatrième caractère unipotent cuspidal.

(4) Calculer la dimension de G2[1]. Que remarque-t-on sur la dimension des caractères cuspidaux ?

On donne la table des caractères de deW :

e s t st stst w0

1W 1 1 1 1 1 1

εW 1 −1 −1 1 1 1

χ1 1 −1 1 −1 1 −1 χ^′₁ 1 1 −1 −1 1 −1 χ2 2 · · 1 −1 −2 χ^′₂ 2 · · −1 −1 2 Exercice 5*.(Optionnel)

(1) Calculer tous les caractères fantômes de G et en déduire les familles de caractères unipotents.

(2) SoitΓun groupe fini. On considère l’ensemble des classes de conjugaison des couples(x, θ)avecx∈Γ et θ∈IrrCΓ(x). La matrice de FourierM(Γ)est la matrice dont les coordonnées sont données par

{(x, θ),(y, η)} = 1

|CΓ(x)| |CΓ(y)|

X

g∈Γ xgyg⁻¹=gyg⁻¹x

θ(g⁻¹xg)η(gyg⁻¹).

(i) Montrer queM(Γ)est symétrique et unitaire.

(ii) CalculerM(S₃).

(iii) Soit F la famille de caractères contenant ρ1. Montrer que l’on peut ordonner les caractères de W et les caractères de F tels la matrice de passage deF aux caractères fantômes soit une sous-matrice deM(S₃).