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X Maths 2 MP 2010 — Énoncé 1/4

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE

MP

CONCOURS D’ADMISSION 2010

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

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Sur les sous-groupes finis deGL2(C)

Le but de ce problème est de caractériser les sous-groupes finis deGL2(C) ne contenant pas d’homothétie autre que l’identité.

Notations et conventions

SoitGun groupe fini (noté multiplicativement) de cardinal|G|. On note1_Gl’unité deG. On rappelle que tout élémentg deGvérifieg^|G|=1_Get on admet que sipest un nombre premier qui divise|G|, alors il existeg∈G\ {1_G}tel queg^p=1_G.

SiE est unC-espace vectoriel de dimension finie, on noteGL(E)le groupe des endomor- phismes inversibles deEetIdEl’identité deE. Siϕun endomorphisme deE, on noteTr(ϕ)la trace deϕetdet(ϕ)son déterminant.

Si G est un sous-groupe fini de GL(E), et V un sous-espace vectoriel de E, on note V^G l’ensemble des vecteurs fixés parG:V^G={v∈V| ∀g∈G, g(v) =v}. On dit queV eststable parGsi quels que soientg∈G,v∈V, on ag(v)∈V et on dit queEestirréductiblepourG si ses seuls sous-espaces stables parGsontEet{0}.

On noteM_n(C)l’espace des matrices carrées de taillenà coefficients complexes etGL_n(C) le groupe des matrices inversibles dansMn(C).

On note D_n le sous-groupe de GL2(C) à 2n éléments formé des matrices

Çc^k 0 0 c^−k

å et Ç 0 −c^k

−c^−k 0 å

, oùkest un entier compris entre0etn−1etc=e^2iπ/n(on ne demande pas de vérifier queD_nest un groupe).

I – Sous-groupes finis deGL(E)

1. SoitE unC-espace vectoriel de dimension finie et soitGun sous-groupe fini deGL(E).

Démontrer que, pour tout g ∈ G,g est diagonalisable et que, si G est commutatif, tous les éléments deGsont diagonalisables dans une même base.

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X Maths 2 MP 2010 — Énoncé 2/4

II – Isométries du triangle

2. On se place dans le plan euclidien, muni d’un repère orthonormé centré enO. On s’inté- resse au sous-groupeD^‹3 des isométries du plan qui préservent un triangle équilatéralABC de centreO.

2a. Faire l’inventaire des éléments deD‹3et démontrer queD^‹3est de cardinal6.

2b. En se plaçant dans la base (non orthonormée) (−→OA,−→OB), démontrer que le groupeD^‹3

est isomorphe à un sous-groupe de GL2(C) formé de matrices Ça b

c d å

où a, b, c, d sont dans {−1,0,1}.

2c. Diagonaliser dansCla matrice Ç0 −1

1 −1 å

. En déduire que le groupeD^‹3est isomorphe au groupeD3.

III – Lemme de Schur

Notons A = Mn(C) et E = Cn. Notons In la matrice identité de Mn(C). On appelle homothétie une matrice de la formeλI_n,λ∈C. SoitG un sous-groupe fini deGL_n(C). Pour toutB∈G, on notei(B)l’application :

i(B) :

(A −→ A

M7→BM B⁻¹ .

3. Montrer quei:B7→i(B)est un morphisme de groupes de GdansGL(A), et queiest injectif si et seulement siGne contient pas d’homothéties autres que l’identité.

On noteG^‹l’image parideGetA^Gel’ensemble des matricesM∈ Atelles quei(B)(M) =M pour toutBdansG.

4. SoitM∈ A^Ge. Démontrer queKer(M)etIm (M)sont des sous-espaces stables parG.

5. On suppose queEest irréductible pourG. SoitM∈ A^Ge, démontrer queMest soit nulle, soit inversible. En déduire queA^Geest de dimension1.

6.SoientM, N∈ A. On considère l’endomorphisme deAsuivant,Φ : X7→M XN.

Démontrer queTr(Φ) = Tr(M) Tr(N).

7. SoitP = 1

|G|

X

B∈G

B.

7a. Démontrer queP²=P. En déduire queP est diagonalisable.

7b. Démontrer queIm (P) =E^Get en déduire quedim(E^G) = 1

|G|

X

B∈G

Tr (B).

8. Démontrer quedim(A^Ge) = 1

|G|

X

B∈G

Tr(B⁻¹) Tr(B).

(On pourra considérer d’abord le cas oùiest injectif.)

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X Maths 2 MP 2010 — Énoncé 3/4

On suppose, jusqu’à la fin de cette partie, queE est irréductible pourG.

9a. SoitX dansAune matrice qui commute avec toutes les matrices deG. Démontrer que X= 1

nTr(X)I_n. 9b. SoitY = ^X

B∈G

Tr(B⁻¹)B. Démontrer queY =|G|

n I_n.

10. On garde la notationY jusqu’à la fin de cette partie. Soitζ=e^2iπ/|G|. On note Z_G={a0ζ⁰+a1ζ¹+· · ·+a_|G|−1ζ^|G|−1, a_i∈Z}

etZ_G[G]les combinaisons linéaires, à coefficients dansZ_G, de matrices deG.

10a. Démontrer que pour toutB∈G,Tr(B)est dansZ_G, puis queY est dansZ_G[G].

10b. On note (C_k)1≤k≤|G|² les|G|² matrices ζⁱB (où 1≤ i≤ |G| etB ∈ G) de Z_G[G].

Démontrer que pour tous 1≤k≤ |G|², on peut trouver des coefficients(a_ij)1≤i,j≤|G|² dansZ tels queY C_k= ^X

1≤ℓ≤|G|²

a_ℓkC_ℓ.

10c. On poseA= (a_ij)1≤i,j≤|G|² etR=|G|

n I_|G|2−A. Démontrer quedet(R) = 0.

10d. Démontrer que |G|

n est racine d’un polynôme à coefficients dansZde degré|G|²et de terme dominant égal à1. En déduire quendivise|G|.

IV - Une caractérisation deD_n, nimpair

SoitGun sous-groupe fini deGL2(C). Notons h. , .ile produit scalaire hermitien usuel sur C², et posons pour toutv, w∈C²

hv, wi0= 1

|G|

X

B∈G

hB(v), B(w)i.

11a. Montrer queh. , .i0 est un produit scalaire hermitien surC², vérifiant quels que soient v, w∈C²etB∈G,hB(v), B(w)i0=hv, wi0.

11b. Démontrer que siC² n’est pas irréductible pourG, il existe une base orthogonale de C²pour le produit scalaire hermitienh. , .i0qui diagonalise les matrices deG. En déduire queG est commutatif.

12a. On note SL2(C)le sous-groupe deGL2(C)des matrices de déterminant1. Quels sont les matricesB∈SL2(C)telles queB²=I2?

12b. Démontrer que siG⊂SL2(C)est non commutatif, alors|G|est pair. En déduire que

−I2∈G. (Utiliser les rappels du préambule.)

On suppose par la suite que G est un sous groupe fini de GL2(C) ne contenant aucune homothétie autre que l’identité. On noteG0=G∩SL2(C)

13a. Démontrer queG0est commutatif. En déduire qu’il existeP dansGL2(C)et un sous-

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groupeΓ0deGL2(C)formé de matrices diagonales de la forme Çλ 0

0 λ⁻¹ å

tels queB7→P BP⁻¹ soit un isomorphisme deG0surΓ0.

13b. Démontrer qu’il existe un entiermtel queΓ0soit le groupeZ_mdes matrices

Çc^k 0 0 c^−k

å

oùc=e^2iπ/metkprend les valeurs de0àm−1.

13c. SiG0={I2}démontrer qu’alorsGest commutatif (considérer le morphisme de groupe det :G→C^∗).

On suppose dans les questions 14 et 15 queGn’est pas commutatif et queG0est exactement le groupeZ_m.

14.SoitB0une matrice dansGqui n’est pas diagonale.

14a. Démontrer que pour tout C ∈ Z_m on aB0CB⁻0¹ ∈ Z_m. En déduire queB0 est de la formeB0=

Ç0 b b^′ 0 å

avecb,b^′∈C.

14b. CalculerB0²et en déduire queb^′=b⁻¹.

14c. Montrer qu’il existeQ∈GL2(C)diagonale telle queQB0Q⁻¹=

Ç0 −1

−1 0 å

. 15a. SoitB une matrice diagonale dansG. Montrer queB∈ Z_m.

15b. Montrer queB7→QBQ⁻¹est un isomorphisme deGsur le groupeD_m.

16. SoitGun sous-groupe fini commutatif deGL2(C)qui ne contient pas d’homothétie autre que l’identité.

16a. Montrer qu’il existe une matrice P ∈ GL2(C) et deux morphismes de groupes χ1, χ2:G→C^∗tels que toute matrice deGs’écriveB=P

Çχ1(B) 0 0 χ2(B)

å P⁻¹.

16b. Montrer queB7→χ1(B)χ2(B)⁻¹est un isomorphisme deGdans le groupe des racines

|G|-ièmes de l’unité.

16c. Montrer queGest le groupe des matrices de la formeP Çc^k 0

0 d^k å

P⁻¹,kvariant de0 à|G| −1, où l’on a poséc=e^2iπp/|G|etd=e^2iπq/|G|,petqétant deux entiers tels quep−qest premier avec|G|.

17. Décrire à partir des questions précédentes tous les sous-groupes finis de GL2(C) ne contenant pas d’homothétie autre que l’identité.

18. Montrer que le groupe fini commutatifZ/2Z×Z/2Z×Z/2Zne peut pas être isomorphe à un sous-groupe deGL2(C).

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