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X Maths A MP 2011 — Énoncé 1/4

ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2011 FILIÈRE

MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – A – (XLC)

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

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Valeurs singulières d’une matrice et inégalités de traces

Notations et conventions

Dans ce problème l’espace vectorielCⁿest muni du produit scalaire hermitien usuel noté(.|.); on rappelle qu’il est linéaire à droite, semi-linéaire à gauche et que la base canonique(e1, . . . , en) de Cⁿest orthonormale. On noteMn(C)l’espace vectoriel surCdes matrices ànlignes etn colonnes à coefficients complexes qu’on identifie à l’espace vectoriel des endormorphismes deCⁿ et In la matrice identité deMn(C) . Le coefficient de lai-ième ligne et j-ième colonne d’une matrice Aest noté Aij. On noteA^∗, appelée adjointe de la matriceAde Mn(C), la matrice définie pour tous16i, j6nparA^∗_ij=Aji.

On définit les sous-ensembles deMn(C)suivants : Hn={A∈ Mn(C)|A^∗=A}

H⁺n ={A∈ Hn|(∀x∈Cⁿ),(x|Ax)>0}

Un={A∈ Mn(C)|(∀x, y∈Cⁿ),(Ax|Ay) = (x|y)}

Nn={A∈ Mn(C)|AA^∗=A^∗A}

Dndésigne l’ensemble des matrices diagonales dansMn(C)

Enfin, pour tout sous-espace vectoriel F deCⁿ,F^⊥ désigne le sous-espace orthogonal pour le produit hermitien usuel.

Ce problème a pour but l’étude de quelques inégalités de traces sur les matrices carrées à coefficients complexes via l’introduction de la décomposition en valeurs singulières et le calcul de la distance minimale pour la norme de Frobenius entre deux matrices deHndéfinies à équivalence près par des changements de bases dansUn.

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Première partie : étude deNn

1. SoitAune matrice deMn(C). Montrer pour tout couple(x, y)de vecteurs deCⁿ×Cⁿ: (A^∗x|y) = (x|Ay).

2a. Montrer queA∈ Unsi et seulement siA^∗A=AA^∗=In.

2b. Montrer queA∈ Unsi et seulement si les colonnes deAforment une base orthonormale deCⁿ.

3a. Montrer que si A∈ Nn,A((kerA)^⊥) ⊂ (kerA)^⊥. En déduire que si λest une valeur propre deAet siEλest le sous-espace propre associé, alorsA(E_λ^⊥)⊂E_λ^⊥.

3b. En déduire queNn={U DU^∗, U∈ Un, D∈ Dn}.

4. SoitA une matrice de Mn(C). On noteλ1, λ2,· · ·, λ_n les racines du polynôme carac- téristique (non nécessairement distinctes) de A. Montrer que si A ∈ Nn, alors ^Pⁿ_i=1|λi|² = Pn

i,j=1|Ai,j|². (On pourra calculer la trace deAA^∗.)

5a. SoitAune matrice deMn(C). Montrer que siA∈ Nn, alorsAetA^∗ ont même noyau.

5b. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i)A∈ Nn.

(ii) Tout vecteur propre deAest vecteur propre de son adjointeA^∗.

Pour (ii)⇒(i), on pourra procéder par récurrence sur la dimensionnet pour un vecteur proprexdeAconsidérer l’orthogonal de l’espace vectoriel engendré parx.

6a. Prouver que si la matriceA∈ Nn, son adjointeA^∗peut s’exprimer comme un polynôme enAà coefficients complexes. (On pourra utiliser les polynômes d’interpolation de Lagrange.)

6b. Prouver que siAetBsont dansNnet commutent alorsAB∈ Nn.

7. Prouver que siAest une matrice deMn(C)les deux propositions suivantes sont équiva- lentes :

(i)A∈ Nn

(ii) Il existe une matriceU∈ Uncommutant avecAtelle queA^∗=AU.

On pourra construireU à partir des valeurs propres deAet raisonner dans une base orthonormale bien choisie.

Deuxième partie : valeurs singulières d’une matrice

8. Montrer que A∈ Hn (resp.H⁺_n) si et seulement si A est diagonalisable dans une base orthonormale et ses valeurs propres sont réelles (resp. réelles positives).

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9. Montrer que siA∈ H⁺_n il existe une unique matrice S ∈ H⁺_n telle queS² = A. (Pour l’unicité, on pourra se ramener au cas où A est un multiple de l’identité en considérant les sous-espaces propres deA.)

SiAest une matrice de Mn(C)on dit queA=U S est une décomposition polaire deAsi S ∈ H⁺_n et U ∈ Un. Dans la suite du problème, on admettra l’existence d’une décomposition polaire pour toute matriceAdeMn(C).

SiA est une matrice deMn(C) on dit queA =U DW est une décomposition en valeurs singulières deAsiU, W ∈ UnetD∈ Dnest à coefficients réels positifs ou nuls.

10. Prouver que toute matriceAdeMn(C)admet une décomposition en valeurs singulières.

(On pourra commencer par écrire une décomposition polaire deA.)

11. SoitA∈ Mn(C). Montrer qu’il existe une décomposition en valeurs singulières deApour laquelle les coefficients diagonauxαi=DiideDvérifientα1>· · ·>αnet que ces coefficients sont alors déterminés de façon unique. On les appelera les valeurs singulières deA.

Troisième partie : inégalités de traces

12. SoitP ∈ Mn(C)une matrice vérifiant

(Pk) P²=P =P^∗, rang(P) =k.

12a. Montrer que les coefficients deP vérifient : (i)06Pii61pour tout entierientre1etn, (ii)^Pⁿ_i=1Pii=k.

12b. Soitλ1> λ2 >· · · >λn des réels et Dla matrice diagonale telle queDii =λi pour tout entierientre1etn. Montrer queTr (P D)6^P^k_i=1λi. Trouver une matriceP vérifiant les conditions(Pk)telle queTr (P D) =^P^k_i=1λi.

12c. Montrer que siP1, P2sont deux matrices vérifiant les conditions(Pk), il existeU∈ Un

telle que P2 = U P1U^∗. En déduire que ^P^k_i=1λi = max

U∈Un

Tr (U P U^∗D) où P est une matrice vérifiant(Pk).

On dit qu’une matriceAdeMn(C)estdoublement stochastiquesiAest à coefficients réels positifs et vérifie^Pⁿ_i=1A_ik = 1et^Pⁿ_j=1A_kj = 1, pour tout entier k compris entre1etn. On noteDSnl’ensemble des matrices doublement stochastiques dansMn(C).

13. Montrer que si U ∈ Un, la matrice dont les coefficients sont les|Ui,j|² est doublement stochastique.

14. SoitAune matrice doublement stochastique deMn(C)et soient α1>α2>· · ·>αn, β1>β2>· · ·>βn

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des réels. On suppose queAn’est pas la matrice identité In et on notekle plus petit entier tel queAkk6= 1.

14a. Montrer qu’il existe deux entiers metℓvérifiantk < m 6n,k < ℓ 6net tels que Amk6= 0,Akℓ6= 0,Amℓ6= 1.

14b. Construire une matrice doublement stochastiqueA^′deMn(C)vérifiant : (i)A^′_ij=Aij si(i, j)∈ {(k, k),/ (m, k),(k, ℓ),(m, ℓ)},

(ii)A^′_mkouA^′_kℓest nul,

(iii)^Pⁿ_i,j=1A^′_i,jαiβj>^Pⁿ_i,j=1Ai,jαiβj. En déduire que max

A∈DSn

Pn

i=1,j=1Ai,jαiβj=^Pⁿ_i=1αiβi. 15. SoientAetB deux matrices dansMn(C).

15a. SoitD la matrice diagonale dont les coefficients diagonauxαi = Dii sont les valeurs singulières deAet soitT la matrice diagonale dont les coefficients diagonauxβi=Tiisont les valeurs singulières deBtelles que

α1>α2>· · ·>αn, β1>β2>· · ·>βn.

Montrer qu’il existeU etV dansUntelles queTr (AB) = Tr (U DV T).

15b. Montrer queTr (AB) =^Pⁿ_i,j=1UijVjiαjβiet en déduire que

|Tr (AB)|6 Xn i=1

αiβi.

15c. SoientAetBdansH⁺_n. Montrer que|Tr (AB)|6Tr (A)Tr (B).

16. SoientAetB dansHn et soient

α1>α2>· · ·>α_n, β1>β2>· · ·>β_n.

leurs valeurs propres.

Montrer que

Umin∈Un

kA−U^∗BUk= ÃXn

i=1

(αi−βi)²,

où la norme surMn(C)est donnée parkAk²= Tr (A^∗A). On pourra commencer par déterminer

Umax∈Un

Tr (AU^∗BU).

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