X Maths A MP 2013 — Énoncé 1/4
ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
CONCOURS D’ADMISSION 2013 FILIÈRE
MP
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – A – (XLC)
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
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On se propose d’étudier des algèbres d’endomorphismes remarquables d’espaces vectoriels de di- mension infinie.
Préambule
Une racinen-ième de l’unité est diteprimitive si elle engendre le groupe des racinesn-ième de l’unité.
Dans le problème, tous les espaces vectoriels ont pour corps de base le corps des nombres complexesC. SiE est un espace vectoriel, l’algèbre des endomorphismes deEest notéeL(E)et le groupe des automorphismes deE est notéGL(E). On note IdE l’application identité deE. Si u∈ L(E), on noteC[u]la sous-algèbre{P(u)|P ∈C[X]}deL(E)des polyn^omes enu.
On noteCZl’espace vectoriel des fonctions deZdansC. Sif est une fonction deZdansC, on noteSupp(f)l’ensemble desk∈Ztels quef(k)6= 0. On appelle cet ensemble lesupport de f. Dans tout le problème, V désigne l’ensemble des fonctions deZdansCdont le support est un ensemble fini.
I - Opérateurs sur les fonctions à support fini
1a. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de CZ. Étant donné f ∈ CZ, on définit E(f)∈CZparE(f)(k) =f(k+ 1),k∈Z.
1b.Montrer queE∈ L(CZ)et queV est stable parE.
Dans la suite,Edésignera uniquement l’endomorphisme deV induit.
2.Montrer queE∈GL(V).
3.Pouri∈Z, on définitvidansCZpar vi(k) =
(1sik=i , 0sik6=i .
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3a.Montrer que la famille{vi}i∈Zest une base deV. 3b.CalculerE(vi).
Soientλ, µ∈CZ. On définit les applications linéairesF, H∈ L(V)respectivement par H(vi) =λ(i)vi et F(vi) =µ(i)vi+1, i∈Z.
4.Montrer queH◦E=E◦H+ 2Esi et seulement si pour touti∈Z,λ(i) =λ(0)−2i.
Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 4 sont vérifiées.
5.Montrer queE◦F =F◦E+Hsi et seulement si pour touti∈Z, µ(i) =µ(0) +i(λ(0)−1)−i2.
6a. Montrer que pour f ∈ V, l’espace vectoriel engendré par les Hn(f), n ∈ N, est de dimension finie.
6b.En déduire qu’un sous-espace non réduit à{0}deV, stable parH, contient au moins un desvi.
Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 5 sont vérifiées et queλ(0) = 0,µ(0) = 1.
7a.Montrer queF ∈GL(V).
7b.Montrer queEetF ne sont pas d’ordre fini dans le groupeGL(V).
7c.Calculer le noyau deHet montrer queHr6=IdV pourr≥1.
8.On noteC[X]l’algèbre des polyn^omes à coefficients complexes en une indéterminéeX.
8a.Montrer queC[E]est isomorphe (en tant qu’algèbre) àC[X].
8b.Montrer queC[F]est isomorphe (en tant qu’algèbre) àC[X].
8c.Montrer queC[H]est isomorphe (en tant qu’algèbre) àC[X].
II - Intermède
Dans toute la suite du problème, on fixe un entier impair ℓ≥3et q une racine primitiveℓ-ième de l’unité.
9.Montrer queq2est une racine primitiveℓ-ième de l’unité.
SoientWℓ=L0≤i<ℓCvieta∈C∗.
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10.On considère l’élémentGadeL(Wℓ)dont la matrice dans la base{vi}0≤i<ℓest :
0 0 0 · · · 0 a 1 0 0 · · · 0 0 0 1 0 · · · 0 0 ... 0 . .. ... ... ...
0 ... . .. ... 0 0 0 0 . . . 0 1 0
.
10a.CalculerGℓa. Montrer queGa est diagonalisable.
10b.Soitbune racineℓ-ième dea. Calculer les vecteurs propres deGa et les valeurs propres associées en fonction deb,qet desvi.
On définit une application linéairePa :V →V parPa(vi) =apvroù pouri∈Z, on définit retprespectivement comme le reste et le quotient de la division euclidienneiparℓ; autrement dit,i=pℓ+roù0≤r < ℓetp∈Z.
11.Montrer quePa est un projecteur d’imageWℓ.
III - Opérateurs quantiques
12.Montrer queH◦E=q2E◦H si et seulement si pour touti∈Z,λ(i) =λ(0)q−2i.
Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 12 sont vérifiées et que λ(0)6= 0.
13.Montrer queH∈GL(V).
14.Montrer queE◦F =F◦E+H−H−1si et seulement si pour touti∈Z, µ(i) =µ(i−1) +λ(0)q−2i−λ(0)−1q2i.
Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 14 sont vérifiées.
15a.Montrer queλetµsont périodiques surZ, de périodes divisantℓ.
15b.Montrer que la période deλest égale àℓ.
15c.Montrer que la période deµest aussi égale àℓ.
16.SoitC= (q−q−1)E◦F +q−1H+qH−1avecH−1l’inverse deH.
16a.Montrer queC = (q−q−1)F ◦E+qH+q−1H−1. 16b.Pouri∈Z, montrer queviest un vecteur propre deC.
16c.En déduire queCest une homothétie deV dont on calculera le rapportR(λ(0), µ(0), q) en fonction deλ(0),µ(0)etq.
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16d.On fixeqetλ(0). Montrer que l’applicationµ(0)7→R(λ(0), µ(0), q) est une bijection deCsurC.
16e.On fixeqetµ(0). Montrer que l’applicationλ(0)7→R(λ(0), µ(0), q)est une surjection deC∗surCmais pas une bijection.
IV - Opérateurs quantiques modulaires
Soientℓ,Wℓ,a,Pacomme dans la partie II. On dit qu’un élémentφdeL(V)estcompatible avecPasiPa◦φ◦Pa=Pa◦φ.
17a.Montrer que siφ∈ L(V)commute avecPa, alorsφest compatible avecPa. 17b.Montrer queHetH−1sont compatibles avecPa.
SoitUql’ensemble des endomorphismes φ∈ L(V)qui sont compatibles avecPa. 18.Montrer queUqest une sous-algèbre deL(V).
19.Montrer queE∈ UqetF ∈ Uq.
20a.Montrer qu’il existe un unique morphisme d’algèbreΨa:Uq→ L(Wℓ)tel que
∀φ∈ Uq, Ψa(φ)◦Pa=Pa◦φ .
20b.Montrer queφ∈ Uqest contenue dans le noyau deΨasi et seulement si l’image deφest dans le sous-espace deV engendré par les vecteursvi−apvr,i∈Z, oùi=pℓ+rest la division euclidienne deiparℓ.
21.On étudie dans cette questionΨa(E).
21a.DéterminerΨa(E)(v0).
21b.En déduireΨa(Eℓ).
21c.Calculer la dimension du sous-espace vectorielC[Ψa(E)].
21d.Calculer les vecteurs propres deΨa(E).
22.SoitW un sous-espace non nul deWℓstable parΨa(H).
22a.Montrer queW contient au moins un des vecteursvi. 22b.Que dire siW est de plus stable parΨa(E)?
23. Donner une condition nécessaire et suffisante surR(λ(0), µ(0), q) pour que l’opérateur Ψa(F)soit nilpotent.
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