Schémas numériques de résolution du flot de vecteur gradient

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Schémas numériques de résolution du flot de vecteur gradient

Djamal Boukerroui

To cite this version:

Djamal Boukerroui. Schémas numériques de résolution du flot de vecteur gradient. TRAITEMENT ET ANALYSE DE L’INFORMATION : Méthodes et Applications, May 2009, Hammamet, Tunisie.

pp.523-532. �hal-00430277�

Sch´ emas num´ eriques de r´ esolution du flot de vecteur gradient

Djamal Boukerroui

Universit´e de Technologie de Compi`egne CNRS UMR 6599 Heudiasyc BP 20529 - 60205 Compi`egne Cedex, France.

djamal.boukerroui@hds.utc.fr

R´esum´e Depuis sa publication il y a une d´ecennie, le “Gradient Vector Flow” est utilis´e dans de nombreuses applications. Sa popularit´e est certainement due `a son efficacit´e `a pro- duire un champ de force qui permet de pallier aux probl`emes de convergence connus des contours actifs. Le principal inconv´enient de l’approche GVF et sa g´en´eralisation est leur coˆut important en temps de calcul, et sa cons´equence sur la zone d’influence. Nous proposons et nous comparons dans ce travail, diff´erents sch´emas num´eriques efficaces pour r´esoudre le probl`eme du GVF et ses g´en´eralisations.

Mots cl´es :contours actifs, flot de vecteur gradient (GVF), sch´emas num´eriques.

1 Introduction

La segmentation d’images en utilisant les mod` eles d´ eformables se ram` ene ` a la minimisa- tion d’une fonctionnelle d’´ energie ` a deux termes (interne et externe)[9]. L’´ energie interne mod´ elise notre connaissance a priori en terme de r´ egularit´ e de la solution recherch´ ee.

L’´ energie externe d´ epend des donn´ ees image et sert ` a attirer le mod` ele d´ eformable aux ca- ract´ eristiques d´ esir´ ees, telles les fronti` eres de l’objet d’int´ erˆ et. Traditionnellement, l’´ energie externe est bas´ ee uniquement sur l’information gradient de l’image I et est d´ efinie comme

−f(·), o` u f(·) est une carte de contours de l’image I (·), habituellement d´ efinie comme

´ etant la norme du gradient d’une version filtr´ ee de l’image originale par un filtre gaussien d’´ ecart type σ ; c’est-` a-dire |∇G

(·) ∗ I (·)|

. La valeur de σ permet le contrˆ ole de la zone d’influence du contour, dite ´ egalement zone d’attractivit´ e. Les vecteurs gradients de la carte de contour pointent vers les fronti` eres et sont normaux aux points de discontinuit´ es de l’image. Le champ de vecteurs ∇f est le champ de force externe responsable de l’at- traction du mod` ele d´ eformable vers les discontinuit´ es d´ esir´ ees. Cependant, cette force est importante seulement au voisinage imm´ ediat de la fronti` ere. De tels mod` eles rencontrent de nombreuses difficult´ es, parmi lesquelles leur sensibilit´ e ` a l’initialisation, en raison de l’´ etroite zone d’influence de la force externe, et surtout leur difficult´ e ` a converger vers les concavit´ es des fronti` eres. Cela impose donc une initialisation du mod` ele tr` es proche de la solution.

Plusieurs chercheurs ont soulign´ e ces limitations et ont propos´ e des solutions alter-

natives afin d’accroˆıtre la zone d’influence du mod` ele et de r´ eduire ainsi sa sensibilit´ e ` a

l’initialisation (voir par ex. [3,4,10]). De r´ ecents travaux proposent ´ egalement des solutions

au probl` eme de convergence vers des fronti` eres concaves. Nous citerons, par exemple, le

mod` ele de contour actif bas´ e sur les forces de charges ´ electrostatiques (CACE)[18] et le mod` ele de convolution avec un champ de vecteur (Vector Field Convolution)[11]. Dans ce dernier, la force externe est obtenue via une simple convolution de la carte de contours avec un noyau de convolution vectoriel d´ efini par l’utilisateur. La simplicit´ e de la m´ ethode combin´ ee avec sa robustesse au bruit fait du VFC une technique tr` es prometteuse.

La premi` ere et la plus populaire des solutions propos´ ees dans la litt´ erature est tou- tefois le champ de flot de vecteur gradient ou ‘Gradient Vector Flow’ (GVF) [17] et sa g´ en´ eralisation, le GGVF [16]. Depuis sa publication il y a une d´ ecennie, le GVF a ´ et´ e utilis´ e et adapt´ e ` a diff´ erents mod` eles et probl´ ematiques relevant du traitement d’images.

Nous citerons ` a titre d’exemples, la segmentation [17,12,14], le suivi [13], la segmenta- tion en utilisant des relations spatiales floues [5] et la squelettisation [8]. La popularit´ e du GVF est certainement due ` a son efficacit´ e. Le principal inconv´ enient de l’approche et de sa g´ en´ eralisation est son coˆ ut en temps de calcul, et sa cons´ equence sur la zone d’at- tractivit´ e. En effet, traditionnellement, le GVF est obtenu via la minimisation it´ erative d’une fonctionnelle. Ainsi, la zone d’influence du flot r´ esultant d´ epend bien sˆ ur du nombre d’it´ erations utilis´ ees. Tr` es r´ ecemment, les techniques de r´ esolution multigrille ont ´ et´ e uti- lis´ ees avec succ` es pour r´ esoudre le probl` eme du GVF et ses g´ en´ eralisations [7]. Dans ce travail, nous proposons et comparons l’efficacit´ e d’autres sch´ emas num´ eriques alternatifs.

2 Formulation du GVF

L’approche du flot de vecteur gradient permet l’extension de la zone d’influence de la carte de contour en utilisant un processus de diffusion. Le flot est d´ efini comme le champ de vecteurs v(x ) : Ω → IR

qui minimise la fonctionnelle suivante [16] :

E = Z

Ω

g(x)|∇v|

+ h(x)|v − ∇f |

dx , (1) g(x) et h(x) sont des fonctions ` a valeurs positives. L’id´ ee de base de cette formulation variationnelle est d’imposer une certaine r´ egularit´ e ` a la solution dans les r´ egions lointaines aux donn´ ees (premier terme), et d’ˆ etre tr` es proche du champ initial o` u des mesures fiables sont disponibles (second terme). Le calcul des variations du probl` eme de minimisation ci-dessus nous conduit ` a exprimer la solution via l’´ equation d’´ evolution suivante [16]

∂

v = ∇ · g(x)∇v

− h(x)(v − ∇f ) , (2)

avec des conditions aux limites de type Neumann, et v(x, 0) = ∇f comme condition initiale. Selon le choix des deux fonctions de pond´ erations g(x) et h(x), Xu et Prince [16]

ont propos´ e deux champs de flot de vecteur gradient :

a) Le flot de vecteur gradient (GVF) : Il est d´ efini pour le cas o` u g(x) = µ et h(x) =

|∇f |

. µ est une constante positive qui permet le contrˆ ole du terme de r´ egularisation dans (1). Pour ce cas particulier, l’´ equation d’´ evolution (2) se simplifie ` a

∂

v = µ∇

v − h(|∇f |)(v − ∇f ) , (3)

o` u ∇

est l’op´ erateur laplacien.

Sch´emas num´eriques pour le GVF 3

b) Le flot de vecteur gradient g´ en´ eralis´ e (GGVF) : Afin d’´ eviter un lissage excessif dans le voisinage des discontinuit´ es d´ etect´ ees, et de renforcer la r´ egularisation dans les r´ egions lointaines, les choix suivants sont propos´ es par [16] :

g(x) = exp

− |∇f|

K

, h(x) = 1 − g(|∇f|) . (4) Xu et Prince [16] ont, cependant, d´ ecid´ e d’approcher l’´ equation d’´ evolution (2) en ignorant les variations de g. Ils ont d´ efini le GGVF comme la solution de

∂

v = g(|∇f |)∇

v − h(|∇f |)(v − ∇f ) . (5) Nous noterons TGGVF, pour ‘True Generalized Gradient Vector Flow’, la solution de (2) en utilisant les fonctions de pond´ eration d´ efinie dans (4). Dans la suite de cet article, nous nous limiterons aux domaines bidimensionnels (d = 2) et nous n’expliciterons les relations que pour la composante u dans la direction x du champ v. A partir de (5), nous obtenons

∂

u = g∇

u − hu + h

, avec h

= h∂

f . (6) 3 R´ esolution num´ erique

Notons par u

la version discr` ete de u(i∆x, j∆y, kτ ) o` u τ est le pas en temps, ∆x et ∆y sont les pas de discr´ etisation du domaine spatial. Il est naturel de supposer que le maillage discret est isotrope (i.e ∆x = ∆y = h). Les diff´ erences finies sont g´ en´ eralement utilis´ ees dans ce contexte pour l’approximation des diff´ erentes d´ eriv´ ees partielles, ce qui nous conduit ` a r´ esoudre un syst` eme d’´ equations discr` etes.

a) Sch´ ema explicite : Le sch´ ema explicite du probl` eme du GGVF est donn´ e par [17] : u

= r

(u

+ u

+ u

+ u

− 4u

) + (1 − τ h

)u

+ τ h

, (7) avec r = τ h

g. C’est un sch´ ema explicite car il donne une formule explicite de calcul de la solution au temps t

en fonction des valeurs de la solution au temps pr´ ec´ edent. Il n’y a pas d’´ equation ` a r´ esoudre pour obtenir la valeur u

au nouvel instant t

. L’´ etude de stabilit´ e de ce sch´ ema nous conduit ` a la condition suivante (§ App. A)

:

τ ≤ 2h

max

(h

h

+ 8g

) . (8)

Les sch´ emas explicites sont tr` es populaires pour la r´ esolution des ´ equations aux d´ eriv´ ees

partielles, principalement en raison de leur simplicit´ e. Cette simplicit´ e, en contre partie,

impose des pas en temps tr` es petits, ce qui conduit ` a des coˆ uts importants en terme de

temps de calcul. Les sch´ emas explicites sont plutˆ ot limit´ es par leur stabilit´ e que par leur

pr´ ecision [15]. Par cons´ equent d’autres sch´ emas, semi-implicites ou implicites sont tr` es

souhaitables car ils restent num´ eriquement stables pour des pas en temps importants,

ce qui permet des gains non n´ egligeables de temps de calcul. De tels sch´ emas sont donc

`

a consid´ erer avec int´ erˆ et lorsque la charge de calcul en plus est r´ eduite par le biais de l’utilisation de m´ ethodes num´ eriques appropri´ ees (voir [1,15]).

b) Sch´ ema semi-implicite : Le sch´ ema implicite de l’´ equation (6) est donn´ e par :

u^k+1_i,j −u^k_i,j

τ

=

(u

+ u

+ u

+ u

− 4u

) − h

u

+ h

. (9) Ce sch´ ema est dit implicite car le calcul de la solution au temps t

n´ ecessite la r´ esolution d’un grand syst` eme lin´ eaire avec une matrice tr` es creuse. Il est inconditionnellement stable (voir App. A). La difficult´ e de r´ esolution augmente avec le nombre de dimensions du domaine Ω. Nous proposons l’´ etude du sch´ ema semi-implicite suivant :

u^k+1_i,j −u^k_i,j

τ

=

(u

+ u

+ u

+ u

− 4u

) − h

u

+ h

, (10) o` u un seul terme ` a droite est au temps t

. Ce sch´ ema est stable pour τ ≤ 2/h

(voir App. A). Ici aussi, nous avons besoin de r´ esoudre un syst` eme lin´ eaire pour obtenir la solu- tion ` a l’it´ eration k + 1. Notons cependant que pour le cas particulier du GVF, la matrice du syst` eme est ind´ ependante des donn´ ees du probl` eme (c’est-` a-dire lorsque g

= µ). La transform´ ee en cosinus discr` ete (DCT) peut donc ˆ etre utilis´ ee pour r´ esoudre efficacement ce sch´ ema (La DCT respecte les conditions aux limites de type Newmann). Sans perte de g´ en´ eralit´ e, consid´ erons avec un pas de discr´ etisation spatiale h = 1, l’application de la DCT ` a l’´ equation (10), qui nous conduit ` a :

b u

= d b

1 + 4µτ

sin

+ sin

, (11) avec d b

= DCT

n

(1 − τ h

)u

+ τ h

o

et (m, n) ∈ [0, N

− 1] × [0, N

− 1]. Ainsi, le calcul du champ GVF en utilisant ce sch´ ema n´ ecessite une transform´ ee en cosinus directe et une transform´ ee inverse pour chaque composante du champ par it´ eration.

c) Sch´ ema des directions altern´ ees explicite : Le sch´ ema des directions altern´ ees explicite ou ADE pour ‘Alternating Direction Explicit’ est un sch´ ema ` a deux pas et il est connu pour ˆ etre inconditionnellement stable. Les deux ´ etapes du sch´ ema num´ erique de l’´ equation d’´ evolution (6) sont donn´ ees par

u

−

k+1

i−1,j+u^k+1_i,j−1)

1+2ri,j+τhi,j

=

k i,j

1+2ri,j+τhi,j

+

k

i+1,j+u^k_i,j+1)

1+2ri,j+τhi,j

+

1 i,j

1+2ri,j+τhi,j

, (12) u

−

k+2

i+1,j+u^k+2_i,j+1)

1+2ri,j+τhi,j

=

k+1 i,j

1+2ri,j+τhi,j

+

k+1

i−1,j+u^k+1_i,j−1)

1+2ri,j+τhi,j

+

1 i,j

1+2ri,j+τhi,j

. (13) Il est simple de voir que ce sch´ ema est explicite. En effet, le calcul dans l’´ equation (12) se fait dans l’ordre lexicographique, et l’´ equation (13) proc` ede dans le sens inverse. Ce- pendant cette m´ ethode souffre d’anisotropie pour des pas en temps tr` es importants. Afin

†Notre condition de stabilit´e est plus restrictive que celle de Xu et Princeτ ≤∆x∆y/4gmax[16,17]. Nous supposons une erreur dans leur d´erivation. Heureusement les deux conditions sont ´equivalentes pour le GGVFdans le cas particulier des fonctions de pond´eration donn´ees en ´equation (4) pourh= 1.

Sch´emas num´eriques pour le GVF 5

de r´ eduire cet effet, un retournement gauche-droite du domaine est recommand´ e entre les it´ erations, (i.e une it´ eration proc` ede dans le sens de la diagonale d’´ equation y = x et la suivante dans le sens de la diagonale y = −x). Cette variante sera d´ enomm´ ee ADES.

d) M´ ethodes d’approximation par factorisation : Notons que le terme de diffusion dans l’´ equation de l’´ evolution (2), prend exactement la mˆ eme forme que celui de la dif- fusion non-lin´ eaire [15, eq. 1]. Les m´ ethodes d’approximation par factorisation ont ´ et´ e utilis´ ees avec succ` es pour r´ esoudre ce probl` eme. Dans notre cas, il y a un terme en plus qui, nous verrons, ne nous posera gu` ere de probl` eme. Pour une meilleure lisibilit´ e nous r´ e´ ecrivons le sch´ ema implicite de (2), donn´ e en (9), sous sa forme matricielle, donn´ ee par : (I − τ A

− τ A

) u

= u

+ τ h

, (14) o` u I est la matrice identit´ e et u ∈ IR

est repr´ esent´ e comme un vecteur. Les matrices A

correspondent aux discr´ etisations des d´ eriv´ ees secondes dans la direction l, c’est-` a-dire que le produit matrice-vecteur A

u est l’approximation discr` ete de l’op´ erateur ∂

g(x)∂

u

−

1

d

h(x)u. Ainsi, les ´ el´ ements A

sont donn´ es explicitement par [15,2]

(a

)

=



 

 

gj+gi

2h²

(j ∈ N (i)),

−

− P

n∈N(i) gi+gn

2h²

(j = i),

0 (sinon),

(15)

o` u N (i) est l’ensemble des deux voisins du pixel i le long de axe l. Barash et al. [2] ont pro- pos´ e et compar´ e diff´ erents op´ erateurs d’approximation par factorisation pour la r´ esolution de la diffusion non lin´ eaire qui pourraient ˆ etre utilis´ es pour r´ esoudre (14) : la m´ ethode de factorisation additive AOS (pour ‘Additive Operator Splitting’), multiplicative LOD (pour ‘Locally One Dimensional’), et combin´ ee AMOS (pour ‘Additif Multiplicative Ope- rator Splitting’), donn´ ees respectivement par :

u

= 1 2

2

X

l=1

(I − 2τ A

)

(u

+ τ h

) , (16)

u

=

2

Y

l=1

(I − τ A

)

(u

+ τ h

) , (17)

u

= 1 2 h

(I − τ A

)

(I − τ A

)

+ (I − τ A

)

(I − τ A

)

i

(u

+ τ h

) . (18) L’approximation LOD est connue pour ˆ etre la plus efficace, mais elle n’est pas sym´ etrique.

La m´ ethode AOS a l’avantage d’ˆ etre sym´ etrique et la m´ ethode AMOS, comme son nom

l’indique, est une combinaison des deux pr´ ec´ edentes. Toutefois toutes ces approximations

ne tiennent pas en compte de l’erreur de factorisation (c’est-` a-dire la diff´ erence entre

le vrai op´ erateur dans (14) et l’approximation). Test´ ees sur notre probl` eme, toutes ont

donn´ ees de bons r´ esultats pour des petits pas en temps. Les r´ esultats se d´ et´ eriorent

consid´ erablement pour des pas importants. Un calcul simple de l’erreur de factorisation

de la m´ ethode LOD nous donne : E

= τ

A

A

u

. Ce terme est d’ordre 2 en temps et

Fig. 1.De gauche `a droite : Image de la carte de contour. Image des orientations th´eoriques du champ de vecteurs du flot. Amplitude du champ des vecteurs du flot obtenu apr`es 300 it´eration du sch´ema explicite avecτ =.2, les lignes de niveau sont ´egalement montr´ees. Image de l’erreur angulaire absolue du r´esultat du sch´ema explicite en degr´e. Exemple des lignes de trajectoires du champ de flot de vecteur gradient.

comprend des d´ eriv´ ees d’ordre 4 mixtes de la solution ` a l’´ etape k+1. Cela explique l’une de nos observations sur le comportement de l’erreur du sch´ ema LOD. Cette approximation a tendance ` a manquer de pr´ ecision dans le voisinage de la carte de contours. Comme alternative, nous proposons l’approximation suivante :

(I − τ A

)u

=(I + τ A

)(u

+ τ h

) (19) (I − τ A

)u

=u

− τ A

u

L’erreur de factorisation de cette approximation est E

= τ

A

A

(u

− u

). Contraire- ment ` a l’approximation multiplicative LOD, elle d´ epend du r´ esidu et non pas de la solution

`

a l’it´ eration k + 1. Par cons´ equent, on peut s’attendre ` a la voir diminuer ` a mesure que la m´ ethode converge. Le sch´ ema ci-dessus est not´ e AFI (pour ‘Approximation Factorisation Implicit’). Compte tenu de la forme des matrices A

, toutes les approximations ci-dessus peuvent ˆ etre r´ esolues efficacement par l’algorithme de Thomas [15]. Il est ` a noter que les sch´ emas it´ eratifs ci-dessus r´ esolvent l’´ equation du TGGVF.

4 R´ esultats et discussion

Nous avons pr´ esent´ e plusieurs sch´ emas num´ eriques alternatifs au sch´ ema de base expli- cite, qui tous permettent l’utilisation d’un plus grand pas en temps. Tous ces sch´ emas sont du second ordre en espace et sont du premier ordre en temps, et sont inconditionnellement stable (` a l’exception du semi-implicite). Toutes les m´ ethodes ont une complexit´ e O(N

)

`

a l’exception du sch´ ema semi-implicite utilisant la DCT o` u la complexit´ e est de l’ordre O(N

log

N ) pour une image de taille N × N . Le temps de calcul pour une it´ eration du sch´ ema ADE est approximativement le mˆ eme que pour le sch´ ema explicite, et il est de 2

`

a 3 fois plus important pour les sch´ emas ADES, LOD, AOS et AFI. La m´ ethode AMOS a besoin en revanche d’un effort 5 fois plus important. Ces r´ esultats sont bas´ es sur une moyenne de 600 it´ erations et pour 8 dimensions diff´ erentes d’image. Cela impose donc un minimum de pas en temps entre 0, 25 et 1, 5 pour que les alternatives propos´ ees soient plus rapides que l’explicite. Il est ` a retenir cependant qu’un pas en temps tr` es grand introduit une perte en pr´ ecision, et dans certaines approximations une perte d’isotropie. Dans ce qui suit, nous proposons un moyen de quantifier cette perte de pr´ ecision lorsque des pas en temps importants sont utilis´ es.

Le sch´ ema utilisant la DCT ayant une complexit´ e plus importante et une condition de

stabilit´ e plus restrictive, g´ en´ eralement un pas en temps max de 3 ` a 5, le gain en temps

Sch´emas num´eriques pour le GVF 7

Fig. 2.(`a gauche) ´Evolution de la fonction d’´energie du GGVF (1) en fonction du temps pour les diff´erents sch´emas ; (`a droite) ´Evolution de l’erreur absolue angulaire moyenne en degr´e en fonction du temps. Les petites images repr´esentent un zoom autour det= 300. Le terme GVF d´esigne le sch´ema explicite.

de calcul est moindre (de 2 ` a 3 par rapport au sch´ ema explicite). Il convient de souligner toutefois que cette m´ ethode peut ˆ etre tr` es int´ eressante dans la mesure o` u une approxi- mation d’ordre sup´ erieur est n´ ecessaire pour la discr´ etisation du laplacien. Nous avons inclut ce sch´ ema dans un souci d’exhaustivit´ e, mais nous ne le discuterons pas plus ample- ment. Aussi, nous ne pr´ esenterons pas nos tests du sch´ ema AMOS car son comportement peut-ˆ etre pr´ edit de celui du LOD et AOS, mais aussi pour son coˆ ut important.

Crit` eres de comparaison : Lors de la mise au point d’une m´ ethode de quantification de la pr´ ecision des diff´ erents sch´ emas num´ eriques, nous devons ´ egalement garder ` a l’esprit notre objectif final quant ` a l’utilisation du GVF. En effet, g´ en´ eralement, dans la plupart des utilisations du flot de vecteur gradient, l’information la plus importante est l’orien- tation des vecteurs du flot. L’amplitude est rarement utilis´ ee dans des applications de segmentation par exemple. Pour ce faire, nous avons synth´ etis´ e une carte de contours d’un cercle parfait pour lequel nous disposons d’une v´ erit´ e terrain de l’orientation th´ eorique du champ de vecteurs en chaque point de l’image (voir figure 1). Deux crit` eres sont alors utilis´ es pour la comparaison des diff´ erentes m´ ethodes : l’erreur angulaire absolue moyenne estim´ ee du champ de vecteurs par rapport ` a la v´ erit´ e terrain, et la valeur de la fonction d’´ energie E donn´ ee par l’´ equation (1). Les r´ esultats pour diff´ erentes valeurs de pas en temps τ sont pr´ esent´ es sur la figure 2.

Comparaison : La premi` ere observation est le comportement pr´ evisible de toutes les m´ ethodes pour de tr` es faibles pas en temps. Nous observons que les r´ esultats de toutes les m´ ethodes sont tr` es proches de ceux du sch´ ema explicite ; cela permet en partie de v´ erifier notre impl´ ementation. Une observation importante est que la mesure propos´ ee est tr` es informative vu que son comportement n’est pas toujours corr´ el´ e avec celui de l’´ energie ` a minimiser. Nous remarquons que les courbes de l’erreur angulaire sont de l’ordre de 1

pour des pas en temps τ inf´ erieur ` a 10, ` a l’exception des sch´ emas ADE, LOD et AOS.

Les plus grands ´ ecarts sont obtenus pour les deux approximations LOD et AOS (la plus

grande erreur approche les 5

` a t = 300 pour la m´ ethode LOD avec τ = 25). Cela confirme

Fig. 3. 1^{`ere</sup> ligne : Image de l’amplitude du champ du flot de vecteur gradient ; Les courbes en noir repr´esentent les lignes de niveau. 2<sup>`eme}ligne : Image de l’erreur angulaire absolue en degr´e. Respectivement partant de la colonne de gauche, les sch´emas LOD, AOS, ADES et AFI. Tous les r´esultats sont obtenus pourτ= 25 en 20 it´erations. L’´echelle `a droite est commune `a toutes les images.

les observations faites par Papandreou et Marogos lors de l’utilisation du sch´ ema AOS dans un mod` ele de contour actif [6].

Remarquons que les r´ esultats des sch´ emas AFI et ADES sont tr` es satisfaisants. L’er- reur sur l’orientation des vecteurs gradients est du mˆ eme ordre que la m´ ethode explicite pour t > 50 avec τ = 10, et pour t > 100 pour τ = 25 (autrement dit seulement au bout de 4 ` a 5 it´ erations). Comme nous l’avons soulign´ e dans l’analyse de l’erreur de factorisation, la m´ ethode AFI am´ eliore consid´ erablement les performances des m´ ethodes d’approximation. Elle pr´ esente cependant une baisse du taux de convergence, comme il est constat´ e sur la courbe d’´ energie. Afin de compl´ eter notre analyse, la figure (3) pr´ esente les images de l’amplitude des champs obtenus. Cela nous donne une indication de l’´ etendue de la zone d’attractivit´ e. Les lignes de niveau sont superpos´ ees pour indiquer la direction des vecteurs. Les images de l’erreur angulaire absolue y figurent ´ egalement. Des images

´ equivalentes pour le sch´ ema explicite sont donn´ ees en figure (1). Notons la dissym´ etrie du LOD et l’impr´ ecision de l’AOS. En revanche les deux sch´ emas propos´ es donnent des r´ esultats tr` es satisfaisants. Ces r´ esultats nous permettent d’avancer que le sch´ ema ADES est probablement le mieux appropri´ e.

Nous avons ´ egalement mis en œuvre la technique de r´ esolution multigrille propos´ ee

dans [7]. L’application du sch´ ema FMG-GS(1,2,2), sugg´ er´ e par les auteurs, ` a notre probl` eme

donne une erreur angulaire de 1.9

. La m´ ethode ADES produit une erreur inf´ erieur ` a 1, 9

apr` es 4 it´ erations avec un pas en temps τ = 15. Les temps de calcul des deux m´ ethodes sont

approximativement les mˆ emes avec notre mise en œuvre. Nos exp´ eriences sugg` erent toute-

fois l’utilisation d’environ 10 it´ erations. D’autres exp´ eriences devraient ˆ etre men´ ees pour

une comparaison plus rigoureuse des deux m´ ethodes. Nos r´ esultats, certes pr´ eliminaires,

sugg` erent cependant que le sch´ ema propos´ e est une alternative int´ eressante.

Sch´emas num´eriques pour le GVF 9

5 Conclusion

Depuis son introduction, le flot de vecteur gradient est devenu tr` es populaire et est largement utilis´ e dans de nombreuses applications. Le principal inconv´ enient de l’approche GVF et de sa g´ en´ eralisation est son coˆ ut important en temps de calcul. Nous avons pro- pos´ e et compar´ e dans ce travail diff´ erents sch´ emas num´ eriques efficaces pour r´ esoudre cette probl´ ematique. Nous avons montr´ e que le sch´ ema ADES peut ˆ etre une bonne alter- native aux techniques multigrille. Nos r´ esultats montrent ´ egalement que notre proposition d’approximation par factorisation AFI est largement meilleure que les autres m´ ethodes de factorisation connues dans la litt´ erature. Enfin, il est ` a noter que le sch´ ema ADE et ses variantes sont peu connus par la communaut´ e de traitement d’image. Leur utilisation pour r´ esoudre d’autres probl` emes d’EDP de traitement d’image est certainement d’int´ erˆ et.

Remerciement : Ce travail de rechercher est partiellement financ´ e par la r´ egion Picar- die dans le carde du projet de Recherche R´ egional et Structurant 2008 (ECHOPEDIA).

L’auteur remercie ´ egalement JF. Lerallut pour sa relecture et ses nombreuses corrections.

A Stabilit´ e d’un sch´ ema num´ erique

La condition minimale de stabilit´ e impose que le vecteur de composantes u

reste born´ e pour tout k ∈ [0, K]. Une technique simple de calcul de la stabilit´ e d’un sch´ ema est donn´ ee dans le cas de probl` emes lin´ eaires par l’analyse de Fourier (voir, par exemple [1]). Cette approche ´ etudie le comportement du sch´ ema pour un mode de Fourier discret. Dans notre cas, donn´ e par u

= ξ

exp{ıπh(im+jn)}, o` u l’indice k sur ξ est un exposant multiplicatif.

Une condition n´ ecessaire et suffisante de stabilit´ e est obtenue par la restriction de h et τ de telle sorte que |ξ| ≤ 1.

a) Sch´ ema explicite : L’´ etude de stabilit´ e du sch´ ema (7) nous conduit ` a : ξ = [1 − τ h

− 4r

+ 2r

(cos(πmh) + cos(πnh))] .

Posons γ = cos(πmh) + cos(πnh) et rempla¸ cons r

par sa valeur τ h

g

, et apr` es quelques manipulations alg´ ebriques, nous arrivons ` a la condition suivante

0 ≤ τ

h

+ 2g

h

(2 − γ)

≤ τ

h

+ 8g

h

≤ 2 . La condition de stabilit´ e du sch´ ema explicite est alors donn´ e par :

τ ≤ 2h

max

(h

h

+ 8g

) (A.1) b) Sch´ ema semi-implicite : En utilisant la mˆ eme proc´ edure, la condition de stabilit´ e

pour le sch´ ema donn´ e en (10) implique

1 − τ h

1 + 2r

(2 − γ )

≤ 1 , (A.2)

o` u γ est comme ci-dessus. Connaissant que (2 − γ ) ≥ 0 et que r

≥ 0, il est simple de v´ erifier que le d´ enominateur est toujours ≥ 1. En plus h

≥ 0, ce qui induit

τ ≤ 2 h

avec h

= max

i,j

h

. (A.3)

c) Sch´ ema implicite : pour le sch´ ema implicite donn´ e en (9) nous obtenons

ξ = 1

1 + h

τ + 2r

(2 − γ) , (A.4) o` u γ est comme ci-dessus. La condition |ξ| ≤ 1 donne : |1 + h

τ + 2r

(2 − γ )| ≥ 1 qui est toujours vrai car (2 − γ) ≥ 0, r

≥ 0 et h

≥ 0. Donc le sch´ ema implicite est inconditionnellement stable.

R´ ef´ erences

1. G. Aubert and P. Kornprobst. Mathematical Problems in Image Processing, volume 147 of Applied Mathematical Sciences. Springer Verlag, November 2001.

2. D. Barash, T. Schlick, M. Israeli, and R. Kimmel. Multiplicative operator splitting in nonlinear diffusion : from spatial splitting to multiple timesteps. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 19(1) :33 – 48, March 2003.

3. L.D. Cohen. On active contour models and balloons. CVGIP : Image Understanding, 53 :211–218, 1991.

4. L.D. Cohen and I. Cohen. Finite element methods for active contour models and balloons for 2D and 3D images. IEEE Trans. PAMI, 15(11) :1131–1147, 1993.

5. O. Colliot, O. Camara, and I. Bloch. Integration of fuzzy spatial relations in deformable models–

Application to brain MRI segmentation. Pattern Recogn., 39(8) :1401–1414, August 2006.

6. Papandreou G. and Maragos P. Multigrid geometric active contour models. IEEE Trans. Image Processing, 16(1) :229–40, January 2007.

7. X. Han, C. Xu, and J.L. Prince. Fast numerical scheme for gradient vector flow computation using a multigrid method. IET Image Processing, 1(1) :48 – 55, March 2007.

8. M. Sabry Hassouna and Aly A. Farag. On the extraction of curve skeletons using gradient vector flow.

InICCV, Brazil, Oct. 14-20, pages 1–8, 2007.

9. M. Kass, A. Witkin, and D. Terzopoulos. Snake : Active contour model. Int J. Computer Vision, 1 :321–331, 1987.

10. B. Leroy, I. Herlin, and L.D. Cohen. Multi-resolution algorithm for active contour models. In 12th Int. Conf. Anal. Opt. System, 15(11) :58–65, 1996.

11. Bing Li and Scott T Acton. Active contour external force using vector field convolution for image segmentation. IEEE Trans. Image Processing, 16(8) :2096–2106, August 2007.

12. N. Paragios, O. Mellina-Gottardo, and V. Ramesh. Gradient vector flow fast geometric active contours.

IEEE Trans. PAMI, 26(3) :402–407, March 2004.

13. N. Ray and S. T. Acton. Motion gradient vector flow : An external force for tracking rolling leukocytes with shape and size constrained active contours. IEEE Trans. Med. Imag., 23(12) :1466–1478, 2004.

14. P. Tauber, H. Batatia, and A. Ayache. A robust active contour initialization and gradient vector flow for ultrasound image segmentation. InIAPR, Tsukuba, Japan. Prof. Katsushi Ikeuchi, 2005.

15. Joachim Weickert, Bart M. ter Haar Romeny, and Max A. Viergever. Efficient reliable schemes for nonlinear diffusion filtering. IEEE Trans. Image Processing, 7(3) :398–410, 1998.

16. C. Xu and J.L. Prince. Generalized gradient vector flow external forces for active contours. Signal Processing, 71 :131–139, 1998.

17. C. Xu and J.L. Prince. Snakes, shapes, and gradient vector flow. IEEE Trans. Image Processing, 7(3) :359–369, March 1998.

18. R. Yang, M. Mirmehdi, and X. Xie. A charged active contour based on electrostatics. In Advanced Concepts for Intelligent Vision Systems, pages 173–184. Springer-Verlag LNCS 4179, 2006.