Une représentation des cobords faibles d'un système dynamique

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HAL Id: hal-03180182

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Preprint submitted on 24 Mar 2021

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Une représentation des cobords faibles d’un système

dynamique

Thierry Bousch

To cite this version:

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Une repr´

esentation des cobords faibles

d’un syst`

eme dynamique

Thierry Bousch∗

28 f´evrier 2021

Abstract

Let T : X → X be a continuous transformation of a compact space X. It is proved that every weak coboundary of (X, T ) can be written asP

n>1(fn◦ T n_{− f}

n), where the fn are continuous functions on X such thatP kfnk < ∞.

R´esum´e

Soit T : X → X une transformation continue d’un espace compact X. On d´emontre que tout cobord faible de (X, T ) peut s’´ecrire sous la formeP

n>1(fn◦ T n

− fn), o`u les fn sont des fonctions continues sur X telles queP kfnk < ∞.

Titre anglais: A representation of the weak coboundaries of a dynamical system Mots-cl´es (fran¸cais/anglais): cobord faible / weak coboundary

Classification AMS (2010): 37B99 (topological dynamics)

1 Cobords et cobords faibles

Soit X un espace m´etrique compact, non vide, et T une application continue de X dans lui-mˆeme. Comme d’habitude, on note C(X) l’espace vectoriel des fonctions continues de X dans R, muni de la norme uniforme k·k.

On appelle cobord (topologique) une fonction de la forme f ◦ T − f , où f : X → R est une fonction continue. Les cobords constituent évidemment un sous-espace vectoriel de C(X), qui en général n’est pas fermé [Koc]. Une fonction de la forme f ◦ Tn_{− f , avec n > 0 et f continue,}

est aussi un cobord, car on peut l’écrire (Snf ) ◦ T − (Snf ), où Snf désigne la somme ergodique

Snf = f + f ◦ T + · · · + f ◦ Tn−1.

Plus généralement, toute fonction de la forme f0 + f1◦ T + · · · + fn◦ Tn, où les fi sont des

fonctions continues dont la somme est nulle, est un cobord.

On appelle cobord faible une fonction continue X → R qui est limite uniforme de cobords. Il est évident que si f est un cobord faible, alors f est de moyenne nulle pour toute mesure de probabilité T -invariante sur X. Comme il est bien connu [Kri, MOP, IP, BJ], la réciproque est également vraie: si une fonction continue f : X → R est de moyenne nulle pour toute mesure de probabilité invariante, alors f est un cobord faible.

∗_{Laboratoire de Math´ematique d’Orsay (UMR 8628 du CNRS), bˆ}_{at. 307, Universit´e Paris-Saclay, 91405 Orsay} Cedex, France. E-mail: Thierry.Bousch@math.u-psud.fr

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Cette seconde description des cobords faibles n’est malheureusement pas beaucoup plus explicite que la premi`ere.

L’article [BJ] présente une construction de cobords faibles, due à Michel Zinsmeister, et qu’on peut généraliser de la manière suivante. Soit (fn)n>1 une suite d’éléments de C(X) vérifiant

P kfnk < ∞. Alors la somme

X

n>1

fn◦ Tn− fn

est bien définie, comme élement de C(X), et c’est un cobord faible, car tous les termes de la somme sont des cobords. Ou, pour présenter les choses un peu différemment: toute fonction de la forme P

n>0fn◦ Tn, o`u les (fn)n>0 sont des fonctions continues v´erifiant P kfnk < ∞ et

dont la somme est nulle, est un cobord faible.

Il est naturel de se demander si tout cobord faible de (X, T ) peut être obtenu par ce procédé. L’objet de cette note est de montrer que c’est effectivement le cas.

Théorème 1. _{Pour tout cobord faible f : X → R du système dynamique (X, T ), on peut trouver} une suite (fn)n>0 de fonctions continues X → R vérifiant

X

kfnk 6 12 kf k

avec P fn= 0 et telles que f =P fn◦ Tn.

2 D´

emonstration du th´

eor`

eme

Consid´erons d’abord le cas o`u la fonction est un cobord.

Lemme 2. _{Pour tout cobord f : X → R du syst`eme dynamique (X, T ), on peut trouver un} entier n > 1 et des fonctions continues f0, f1, . . . , fn: X → R v´erifiant

X

06i6n

kfik 6 4 kf k

avec f0+ · · · + fn= 0 et telles que f = f0+ f1◦ T + · · · + fn◦ Tn.

Démonstration. On peut évidemment supposer kf k 6= 0. Soit g : X → R une fonction continue telle que f = g ◦ T − g, et n un entier strictement positif. De l’égalité g ◦ Tn_{− g = f + f ◦ T +}

· · · + f ◦ Tn−1 _{on d´eduit}

nf = (n − 1)f − g − f ◦ T − · · · − f ◦ Tn−1_{+ g ◦ T}n

ce qu’on peut ´ecrire

f = f0+ f1◦ T + · · · + fn◦ Tn

avec f0= (n − 1)f − g/n, f1 = · · · = f_n−1= −f /n et fn= g/n. Les fonctions fi sont bien de

somme nulle, et kf0k + kf1k + · · · + kf_n−1k + kfnk 6 (n − 1) kf k + kgk n + (n − 1) kf k n + kgk n = 2 n h (n − 1) kf k + kgki

qui est 6 4 kf k, si n est choisi tel que (n + 1) kf k > kgk.

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Traitons maintenant le cas g´en´eral, avec f cobord faible quelconque.

Comme les cobords sont denses parmi les cobords faibles, on peut trouver une suite (ϕm)m>0

d’´el´ements de C(X) qui sont des cobords, tels que ϕ0 = 0 et kf − ϕmk 6 2−mkf k pour tout

m > 0. D´efinissons alors fm _{= ϕ}

m+1 − ϕm pour m > 0. Ces fonctions fm sont des cobords,

avec kfm_{k 6 3/2}m+1_{kf k, et f =}_{P f}m_{. Notons que}_{P kf}m_{k 6 3 kf k.}

Appliquons maintenant le lemme ci-dessus aux fonctions fm_{: il existe une famille (f}m n )m,n>0

d’´el´ements de C(X) tels que pour tout entier naturel m, on a

X n kf_nmk 6 4 kfmk avec fm₌P nfnm◦ Tn et P nfnm = 0. En particulier X m,n kfm n k 6 X m 4 kfm_{k 6 12 kf k .}

On peut donc ´ecrire f =P

mfm =

P

m,nfnm◦ Tn=

P

nfn◦ Tn, o`u les fonctions (fn)n>0 sont

d´efinies par fn=P_mfnm. Ces fonctions fn satisfont

X n kfnk 6 X m,n kf_nmk 6 12 kf k et enfin P nfn=Pm,nfnm = 0, puisque P

nfnm = 0 pour tout m, ce qui termine la preuve du

th´eor`eme.

R´

ef´

erences

[BJ] T. Bousch & O. Jenkinson_{, Cohomology classes of dynamically non-negative C}k functions, Invent. Math. 148 (2002), 207–217

[IP] R. B. Israel & R. R. Phelps_{, Some convexity questions arising in statistical} me-chanics, Math. Scand. 54 (1984), 133–156

[Koc] A. Kocsard_{, On cohomological C}0_{-(in)stability, Bull. Braz. Math. Soc. (new series)}

44_{(2013), 489–495}

[Kri] W. Krieger_{, On quasi-invariant measures in uniquely ergodic systems, Invent. Math.} 14_{(1971), 184–196}

[MOP] J. Moulin-Ollagnier & D. Pinchon, Syst`emes dynamiques topologiques. I. Etude des limites de cobords, Bull. Soc. Math. France 105 (1977), 405–414