École Normale Supérieure 24, rue Lhomond - 75231 PARIS CEDEX 05 LICENCE- MASTER DESSCIENCES DE LAPLANÈTETERRE- L3 17 janvier 2007 MATHÉMATIQUES- Examen
Mathématiques L3– Examen 2007
Exercice 5. Preuve de la convergence de la méthode d’Euler-Cauchy (25 mn)
Soit à résoudre numériquement, par la méthode d’Euler-Cauchy, le système d’équations différentielles ordi-
naires suivant : (
y0(t) =f(t, y(t)), t∈I0
y(t0) =y0∈Rm , (1)
oùI0= [t0, t0+T],T >0, est un intervalle fermé deRetf est une fonction nonlinéaire de classeC1deI0×Rm dansRm. On suppose aussi quef est lipchitzienne par rapport à la variableypour toutt ∈I0. On considère une subdivisiont0 < t1 < . . . < tn < . . . < tN = t0+T de l’intervalle I0. On posehn = tn+1−tn (pour 0≤n≤N−1) eth= max(hn).
1) Définir et calculer l’erreur locale de troncature de la méthode d’Euler-Cauchy.
2) Soit la définition générale des méthodes à un pas
yn+1=yn+hnΦ(tn, yn, hn), (2)
oùΦest une fonction que l’on suppose au moins continue deI0×Rm×[0, h]dansRm. On fait démarrer le schéma de façon naturelle pary0=y(0).
En s’appuyant sur les théorèmes généraux relatifs aux méthodes à un pas, montrer que la méthode d’Euler- Cauchy est :
2a) consistante, 2b) stable, 2c) convergente.
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