58 Ch. Suquet , CoursI.F.P.

Chapitre 3

Int´ egration des fonctions mesurables positives

Dans tout ce chapitre, (Ω,F, µ) d´esigne un espace mesur´e. Notre but est de construire et ´etudier l’int´egrale sur Ω par rapport `aµ, d’abord pour les fonctions ´etag´ees positives, puis par extension pour toutes les applications f : Ω→R+, mesurablesF-Bor(R+).

3.1 Int´ egration des fonctions ´ etag´ ees positives

On note E+ l’ensemble des fonctions ´etag´ees Ω→R+, mesurables F-Bor(R+).

D´efinition 3.1. Soit u∈E+, de d´ecomposition canonique u=

n

X

i=1

y_i1_Ai. On pose Z

Ω

udµ:=

n

X

i=1

y_iµ(A_i). (3.1)

Cette quantit´e s’appelle int´egrale sur Ω de u par rapport `a la mesureµ.

L’int´egrale R

Ωudµ est un ´el´ement de R+. Bien que les y_i soient tous r´eels (d’apr`es la d´efinition des fonctions ´etag´ees), elle peut tr`es bien valoir +∞, si pour un y_i > 0, le µ(Ai) correspondant vaut +∞. Rappelons la convention«0×(+∞) := 0»qui est bien utile ici lorsque µ u⁻¹({0})

= +∞.

Exemple 3.1. Siuest une fonction constante, alors sa d´ecomposition canonique s’´ecrit u=c1_Ω, avec c∈R+. La formule (3.1) nous donne alors

Z

Ω

cdµ=cµ(Ω).

Exemple 3.2. Si u = c1_A, avec c ∈]0,+∞[, A ∈ F et A 6= Ω, sa d´ecomposition canonique est u=c1_A+ 0×1_A^c d’o`u

Z

Ω

c1Adµ=cµ(A) + 0×µ(A^c) =cµ(A).

Ce r´esultat reste vrai pour c= 0 par l’exemple 3.1(la d´ecomposition canonique est alors u= 0×1Ω). Il est commode de retenir le cas particulierc= 1 qui permet d’exprimer la mesure d’un ensemble sous la forme d’une int´egrale :

∀A∈F, Z

Ω

1_Adµ=µ(A). (3.2)

Le lemme suivant donne plus de souplesse dans le calcul de l’int´egrale d’une fonction

´etag´ee en ´evitant le recours syst´ematique `a la d´ecomposition canonique. Il sera utile pour prouver l’additivit´e de l’int´egrale sur E+.

Lemme 3.2. Si u∈E+ s’´ecrit u=

r

X

k=1

tk1C_k, lesCk appartenant tous `a Fet ´etant deux

`

a deux disjoints, les r´eels t_k n’´etant pas forc´ement tous distincts, Z

Ω

udµ=

r

X

k=1

t_kµ(C_k).

D´emonstration. En notant u(Ω) = {y₁, . . . , y_n}, les y_i ´etant tous distincts et A_i :=

u⁻¹({y_i}), la d´ecomposition canonique est u=

n

X

i=1

y_i1_Ai

Comme les C_k sont deux `a deux disjoints, u est constante sur chaque C_k non vide.

Chaque Ck non vide est donc inclus dans un Ai. Notons K(i) :=

k∈ {1, . . . , r}; ∅ 6=C_k⊂A_i , i= 1, . . . , n.

Si k ∈K(i), C_k n’´etant pas vide a au moins un ´el´ement ω qui n´ecessairement est aussi dans A_i, d’o`u t_k =u(ω) =y_i. Ainsi

∀i= 1, . . . , n, ∀k∈K(i), t_k =y_i. (3.3) Par construction de K(i), on a clairement

∀i= 1, . . . , n, ∪

k∈K(i)C_k ⊂A_i. A-t-on l’´egalit´e ? Supposons que l’ensemble A_i \ ∪

k∈K(i)C_k ait au moins un ´el´ement ω.

D’une partω ∈A_i donc u(ω) =y_i. D’autre part ω n’appartient `a aucun desC<sub>k</sub> index´es par K(i), ni `a aucun des Ck index´es par un autre K(j) pour j 6=i puisqu’alors il serait dans A_j qui est disjoint de A_i. Ainsi ω n’appartient `a aucun des C_k, puisqu’on vient de les ´eliminer tous. . . sauf ceux qui sont vides ! Alors ou bien le compl´ementaire dans Ω de

1≤k≤r∪ Ck est vide et on a une contradiction, ou bienω appartient `a ce compl´ementaire et

3.1. Int´egration des fonctions ´etag´ees positives

dans ce cas, u(ω) = 0 puisque tous les 1_Ck(ω) sont nuls. L`a aussi on a une contradiction, sauf si yi = 0. Nous venons donc de v´erifier que :

Siy_i 6= 0, A_i\ ∪

k∈K(i)C_k=∅, d’o`uA_i = ∪

k∈K(i)C_k.

Les C_k index´es parK(i) formant ainsi une partition finie de A_i, on en d´eduit par addi- tivit´e de la mesure µet (3.3) :

si y_i 6= 0, y_iµ(A_i) =y_i X

k∈K(i)

µ(C_k) = X

k∈K(i)

y_iµ(C_k) = X

k∈K(i)

t_kµ(C_k).

Finalement, Z

Ω

udµ=

n

X

i=1

y_iµ(A_i) =

n

X

yi=1i6=0

y_iµ(A_i) =

n

X

yi=1i6=0

X

k∈K(i)

t_kµ(C_k) =

r

X

tk=1_k6=0 C_k6=∅

t_kµ(C_k) =

r

X

k=1

t_kµ(C_k).

Proposition 3.3. L’int´egrale sur E+ est homog`ene, additive et croissante : pour tous u, v ∈E+, c∈R+,

i) Z

Ω

cudµ=c Z

Ω

udµ; ii)

Z

Ω

(u+v) dµ= Z

Ω

udµ+ Z

Ω

vdµ; iii) si u≤v,

Z

Ω

udµ≤ Z

Ω

vdµ.

D´emonstration. D’abord, il est clair que pour u, v ∈ E+ et c ∈ R+, les fonctions cu et u+v appartiennent `a E+. Notonsu=Pm

i=1y_i1_Ai etv =Pn

j=1z_j1_Bj les d´ecompositions canoniques respectives de u et v. Ainsi {A_i; 1 ≤ i ≤ m} et {B_j; 1 ≤ j ≤ n} sont des partitions de Ω.

L’homog´en´eit´e i) est ´evidente car la d´ecomposition canonique de cu est Pm

i=1cy_i1_Ai si c >0 et 0×1_Ω sic= 0.

Pour v´erifier l’additivit´e ii), posons

C_i,j :=A_i∩B_j, 1≤i≤m, 1≤j ≤n.

Ces ensembles sont deux `a deux disjoints, certains pouvant ˆetre vides. On voit que

∀i= 1, . . . , m, A_i = ∪ⁿ

j=1C_i,j et ∀j = 1, . . . , n, B_j = ∪^m

i=1C_i,j. (3.4) V´erifions le pour la premi`ere ´egalit´e :

∪n

j=1C_i,j = ∪ⁿ

j=1A_i∩B_j =A_i∩ n j=1∪ B_j

=A_i∩Ω =A_i.

Sur chaque C_i,j non vide, la fonction u+v est constante et vaut y_i +z_j. Les C_i,j sont deux `a deux disjoints et la r´eunion detous lesCi,j est Ω. Enfin si Ci,j =∅, (yi+zj)1Ci,j

est la fonction identiquement nulle. Ces remarques justifient l’´ecriture u+v =

m

X

i=1 n

X

j=1

(y_i+z_j)1_Ci,j.

Cette ´ecriture n’est pas forc´ement la d´ecomposition canonique de u+v car certains des C_i,j peuvent ˆetre vides et les (y_i+z_j) ne sont pas n´ecessairement tous distincts. C’est ici qu’intervient le lemme3.2 qui l´egitime la premi`ere des ´egalit´es suivantes :

Z

Ω

(u+v) dµ =

m

X

i=1 n

X

j=1

(y_i+z_j)µ(C_i,j)

=

m

X

i=1 n

X

j=1

y_iµ(C_i,j) +

m

X

i=1 n

X

j=1

z_jµ(C_i,j)

=

m

X

i=1

y_i

n

X

j=1

µ(C_i,j) +

n

X

j=1

z_j

m

X

i=1

µ(C_i,j)

=

m

X

i=1

y_iµ(A_i) +

n

X

j=1

z_jµ(B_j) (3.5)

= Z

Ω

udµ+ Z

Ω

vdµ,

l’´egalit´e (3.5) d´ecoulant de (3.4) et de l’additivit´e de la mesure µ.

La croissance iii) r´esulte de l’additivit´e. En effet rappelons que u ≤ v signifie que pour tout ω ∈ Ω, u(ω) ≤ v(ω) et comme u et v sont ´etag´ees, donc `a valeurs r´eelles, v(ω)−u(ω) est bien d´efini et v(ω)−u(ω) ≥ 0. Alors v −u ∈ E+, et v =u+ (v−u).

Par ii), on a

Z

Ω

vdµ= Z

Ω

udµ+ Z

Ω

(v−u) dµ≥ Z

Ω

udµ, puisque R

Ω(v−u) dµ∈R+.

Lemme 3.4. Soit u∈E+. La fonction d’ensembles ν :F→R+, B 7→ν(B) =

Z

Ω

u1_Bdµ=:

Z

B

udµ est une mesure sur (Ω,F).

D´emonstration. Si B ∈ F et u ∈ E+, la fonction u1_B appartient elle aussi `a E+ et en notant u=Pn

i=1y_i1_Ai la d´ecomposition canonique de u, on a u1_B =

n

X

i=1

y_i(1_Ai·1_B) =

n

X

i=1

y_i1_Ai∩B.

3.2. Int´egrale dans M+

Les A_i∩B ´etant deux `a deux disjoints, le lemme 3.2 nous donne

∀B ∈F, Z

Ω

u1_Bdµ=

n

X

i=1

y_iµ(A_i∩B).

Cette ´egalit´e s’´ecrit aussi ν=Pn

i=1y_iν_i, o`u les fonctions d’ensemblesν_i sont d´efinies par ν_i :F→R+, B 7→ν_i(B) :=µ(A_i∩B).

On voit ainsi que ν_i est la mesure trace de µ sur A_i (cf. Chapitre 1, exemple 1.4).

Pour chaque i, yiµi est donc aussi une mesure (si yi = 0, c’est la mesure nulle, mˆeme si µ_i n’est pas finie, en raison de la convention «0×(+∞) := 0»). Une somme finie de mesures est clairement une mesure (la somme h´erite de la σ-additivit´e de chacun des termes par la formule de sommation par paquets dans R⁺). La fonction d’ensembles ν est donc bien une mesure sur F.

3.2 Int´ egrale dans M

Nous notons M+ l’ensemble des applications f : Ω → R+, mesurables F-Bor(R+).

Grˆace au corollaire 2.11,E+ est inclus dans M+.

D´efinition 3.5. Pourf ∈M+, on appelle int´egrale surΩdef par rapport `aµl’´el´ement de R+ not´e R

Ωfdµ et d´efini par Z

Ω

fdµ:= sup Z

Ω

udµ; u∈E+, u≤f

. (3.6)

Pour A∈F, f1_A appartient encore `a M+ et on d´efinit aussi Z

A

fdµ:=

Z

Ω

f1_Adµ. (3.7)

Cette d´efinition pose deux probl`emes de coh´erence, r´esolus par les deux remarques suivantes.

Remarque 3.6. Si f ∈ E+, les deux d´efinitions de son int´egrale par (3.1) et (3.6) co¨ıncident. Pour le voir, notons provisoirement R´etag

Ω fdµ l’int´egrale de f au sens de (3.1) et Rmes+

Ω fdµ celle au sens de (3.6). Pour toute u ∈ E+ telle que u ≤ f, on a par croissance de l’int´egrale des fonctions ´etag´ees (cf. proposition 3.3 iii) l’in´egalit´e R´etag

Ω udµ≤R´etag

Ω fdµ. Par cons´equent dans (3.1), le supremum est atteint pouru=f, ce qui implique Rmes+

Ω fdµ=R´etag Ω fdµ.

Remarque 3.7. Pour s’assurer de la coh´erence de la d´efinition de R

Afdµpar (3.7), le lecteur r´esoudra avec profit l’exercice suivant.

Soit A∈F, on note FA :={A∩B; B ∈F}.

a) V´erifier que FA est une tribu sur A (tribu trace). Par construction FA ⊂F, donc la restrictionµA de µ`a FA est bien d´efinie (noter que FA n’est pas une sous-tribu de F). V´erifier que µ_A est une mesure sur (A,FA).

b) Montrer que pour toutef ∈M+(F), sa restriction f_A a`A appartient `a M+(FA) et que

Z

A

f_Adµ_A = Z

Ω

f1_Adµ,

la premi`ere int´egrale ´etant comprise au sens de (3.6), appliqu´ee `a l’espace mesur´e (A,FA, µ_A).

Dans le langage de la th´eorie des probabilit´es, les notations traditionnelles sont un peu diff´erentes de celles utilis´ees ci-dessus.

D´efinition 3.8. Soit (Ω,F) un espace probabilisable. On appelle variable al´eatoire po- sitive sur (Ω,F) toute application X : Ω → R+, mesurable F-Bor(R+). Si P est une mesure de probabilit´e sur (Ω,F), on appelle esp´erance de X sous P, l’int´egrale

EX :=

Z

Ω

XdP, au sens de (3.6).

Notons au passage qu’une variable al´eatoire positive n’est pas n´ecessairement une variable al´eatoire r´eelle (elle l’est si +∞∈/ X(Ω), v´erification laiss´ee en exercice).

Proposition 3.9 (Croissance de l’int´egrale). Pour toutes f, g ∈M+, f ≤g ⇒

Z

Ω

fdµ≤ Z

Ω

gdµ. (3.8)

D´emonstration. C’est une cons´equence imm´ediate de la d´efinition 3.5 et de l’inclusion {u∈E+; u≤f} ⊂ {u∈E+; u≤g}.

Nous abordons maintenant le premier des grands th´eor`emes d’interversion limite int´egrale «R

lim = limR

» qui font toute la puissance de la th´eorie de l’int´egration au sens de Lebesgue.

Th´eor`eme 3.10 (de convergence monotone ou de Beppo Levi). Soit(fn)n∈N une suite croissante dans M+. Alors f := sup

n∈N

f_n = lim

n→+∞f_n est aussi dans M+ et Z

Ω

fdµ= lim

n→+∞

Z

Ω

f_ndµ= sup

n∈N

Z

Ω

f_ndµ. (3.9)

3.2. Int´egrale dans M+

D´emonstration. L’appartenance def `aM+ a d´ej`a ´et´e vue (proposition2.19). Par crois- sance de l’int´egrale (prop.3.9), la suite R

Ωfndµ)n∈Nest croissante dansR⁺, donc conver- gente dans R+ vers une limite que nous noterons L :

L:= lim

n→+∞

Z

Ω

f_ndµ= sup

n∈N

Z

Ω

f_ndµ. (3.10)

L’in´egalit´e fn ≤ f, vraie pour tout n ∈ N, implique par croissance de l’int´egrale, R

Ωf_ndµ≤R

Ωfdµ, puis en prenant le supremum sur n (ou par passage `a la limite) : L≤

Z

Ω

fdµ. (3.11)

Pour obtenir l’in´egalit´e inverse et achever ainsi la preuve de (3.9), il suffit de montrer que :

∀u∈E+, u≤f ⇒ Z

Ω

udµ≤L, (3.12)

en effet en prenant dans (3.12) le supremum sur les u major´ees parf il vient : Z

Ω

fdµ= sup Z

Ω

udµ; u≤f, u∈E+

≤L. (3.13)

Preuve de (3.12). Soit u∈E+, u≤f. Fixonsp∈]0,1[ et d´efinissons : A_n:=

ω ∈Ω; pu(ω)≤f_n(ω) .

Grˆace `a la proposition2.18, on sait queA<sub>n</sub>appartient `a la tribu F. La suite (A_n)n∈N est croissante pour l’inclusion car si ω∈A_n, alors pu(ω)≤f_n(ω)≤f_n+1(ω) par croissance de (fn)n∈N, donc ω ∈ An+1. La r´eunion de la suite (An)n∈N est ´egale `a Ω. En effet pour tout ω ∈Ω,

– ou bien 0< f(ω)≤+∞, alors commeu(ω)≤f(ω) et p <1, on a pu(ω)< f(ω) ; orfn(ω) converge versf(ω), il existe donc unn0 ∈N tel quefn0(ω)> pu(ω), d’o`u ω ∈A_n0 et ω ∈ ∪

n∈N

A_n;

– ou bien f(ω) = 0 alors d’une part l’in´egalit´e u ≤ f implique u(ω) = 0 d’o`u pu(ω) = 0 et d’autre part les in´egalit´es 0 ≤ fn ≤ f impliquent pour tout n, f<sub>n</sub>(ω) = 0 ; dans ce cas,ω appartient `a tous les A_n donca fortiori `a leur r´eunion.

Nous venons ainsi de v´erifier que :

A_n ↑Ω, dans F. (3.14)

Nous disposons des in´egalit´es suivantes :

∀ω ∈Ω, pu(ω)1_An(ω)≤f_n(ω)1_An(ω)≤f_n(ω), (3.15) en effet si ω ∈A_n, 1_An(ω) = 1 et la premi`ere in´egalit´e r´esulte de la d´efinition de A<sub>n</sub>, si ω ∈A<sup>c</sup><sub>n</sub>,1<sub>An</sub>(ω) = 0 et (3.15) se r´eduit `a 0≤0≤f_n(ω). R´e´ecrivant (3.15) sous la forme

pu1_An ≤ f_n1_An ≤ f_n d’une in´egalit´e entre fonctions appartenant `a M+ , on en d´eduit par croissance de l’int´egrale :

Z

An

pudµ= Z

Ω

pu1_Andµ≤ Z

Ω

f_n1_Andµ≤ Z

Ω

f_ndµ≤L.

Compte-tenu de l’homog´en´eit´e de l’int´egrale sur E+ (noter que u1_An est ´etag´ee), nous retenons de ces in´egalit´es vraies pour tout n, que

∀n ∈N, p Z

An

udµ≤L. (3.16)

Cette in´egalit´e peut encore s’´ecrire pν(An)≤L, en introduisant la fonction d’ensembles ν : B 7→ν(B) :=R

Budµ. Par le lemme 3.4, ν est une mesure sur (Ω,F). Sa continuit´e croissante s´equentielle et (3.14) nous donnent alors la convergence ν(A_n) ↑ ν(Ω) = R

Ωudµ. Faisant tendre n vers l’infini dans (3.16) on obtient ainsi : p

Z

Ω

udµ≤L. (3.17)

Jusqu’ici, nous avons travaill´e avec p fix´e, mais quelconque dans ]0,1[. L’ensemble An

d´ependait de p, mais nous venons de l’´eliminer. L’in´egalit´e (3.17) est donc vraie pour tout p ∈]0,1[ et on peut y faire tendre p vers 1 (par valeurs inf´erieures) pour obtenir finalement

Z

Ω

udµ≤L.

Comme les seules hypoth`eses faites sur u pour aboutir `a ce r´esultat ´etaient u ∈ E+ et u≤f, ceci ´etablit (3.12) et ach`eve la preuve du th´eor`eme.

Corollaire 3.11 (homog´en´eit´e et additivit´e de l’int´egrale dansM+). Pour toutes fonctions f, g∈M+ et toute constante c∈R+,

a) Z

Ω

cfdµ=c Z

Ω

fdµ; b)

Z

Ω

(f +g) dµ= Z

Ω

fdµ+ Z

Ω

gdµ.

D´emonstration. Le cas c <+∞ dans le a) est une cons´equence imm´ediate de la d´efini- tion 3.5 et de la proposition 3.3 i) et ne requiert pas le th´eor`eme de Beppo Levi. Pour traiter le casc= +∞, posons f<sub>n</sub> :=nf. La suite (f<sub>n</sub>)n∈N est croissante dans M+. Sa li- mite estcf. En effet, sif(ω) = 0, cf(ω) = (+∞)×0 = 0 etf<sub>n</sub>(ω) =nf(ω) = 0 converge bien vers 0. Sif(ω)∈]0,+∞],cf(ω) = (+∞)×f(ω) = +∞etf<sub>n</sub>(ω) =nf(ω) tend vers +∞ puisque f(ω)>0. Par le th´eor`eme de Beppo Levi, R

Ωcfdµ=R

Ωlimn→+∞f_ndµ= limn→+∞

R

Ωf_ndµ. Par le casc <+∞(avecc=n),R

Ωf_ndµ=nR

Ωfdµ. SiR

Ωfdµ >0, la limite de nR

Ωfdµ est +∞. Si R

Ωfdµ = 0, cette limite vaut 0. Dans les deux cas, cette limite s’´ecrit (+∞)×R

Ωfdµ grˆace `a nos conventions sur la multiplication dans R+. Finalement on a bien R

Ω(+∞)×fdµ= (+∞)×R

Ωfdµ.

3.2. Int´egrale dans M+

Pour prouver le b), le th´eor`eme 2.23nous fournit deux suites croissantes (u_n) et (v_n) dans E+ convergentes vers f etg respectivement. Clairement la suite (un+vn) est alors croissante dans E+ et converge vers f +g. Par additivit´e de l’int´egrale des fonctions

´

etag´ees,

∀n ∈N, Z

Ω

(u_n+v_n) dµ= Z

Ω

u_ndµ+ Z

Ω

v_ndµ. (3.18)

Une triple application du th´eor`eme de Beppo Levi nous donne quandntend vers l’infini : Z

Ω

(u_n+v_n) dµ↑ Z

Ω

(f+g) dµ, Z

Ω

u_ndµ↑ Z

Ω

fdµ, Z

Ω

v_ndµ↑ Z

Ω

gdµ, ce qui permet de conclure par passage `a la limite dans (3.18).

Corollaire 3.12 (Interversion s´erie-int´egrale dans M+). Soit (f_k)k∈N une suite dans M+. La fonction

+∞

X

k=0

f_k est aussi dans M+ et

Z

Ω +∞

X

k=0

f_k

! dµ=

+∞

X

k=0

Z

Ω

f_kdµ (´egalit´e dans R+). (3.19) D´emonstration. Posons

s_n :=

n

X

k=0

f_k, s:=

+∞

X

k=0

f_k.

L’application s_n est mesurable positive comme somme d’un nombre fini d’applications mesurables positives. La suite (sn) converge en croissant (dans R⁺) vers s. L’additivit´e de l’int´egrale vue au corollaire 3.11 b) pour la somme de deux ´el´ements deM+ s’´etend imm´ediatement `a la somme d’un nombrefini quelconque de termes dansM+, d’o`u

∀n≥1, Z

Ω

s_ndµ=

n

X

k=0

Z

Ω

f_kdµ. (3.20)

Par le th´eor`eme de Beppo Levi, s ∈ M+ et R

Ωs_ndµ converge en croissant dans R+

vers R

Ωsdµ. Ainsi le premier membre de (3.20) converge vers celui de (3.19). D’autre part, R

Ωf_kdµest dans R+ donc positif. Par cons´equent la suite Pn k=0

R

Ωf_kdµ

n∈N est croissante donc convergente dans R+ et sa limite est P+∞

k=0

R

Ωf_kdµ. Le second membre de (3.20) converge ainsi vers celui de (3.19). L’´egalit´e (3.20) ´etant vraie pour toutn≥1 nous donne donc l’´egalit´e (3.19) par passage `a la limite.

Corollaire 3.13 (Lemme de Fatou). Si (f_n)n∈N est une suite dans M+, Z

Ω

lim inf

n→+∞fndµ≤lim inf

n→+∞

Z

Ω

fndµ. (3.21)

D´emonstration. Posonsg := lim infn→+∞f_n. Par d´efinition de la limite inf´erieure, g = lim

n→+∞inf

k≥nf_k = sup

n∈N

k≥ninf f_k.

La fonction g_n := infk≥nf_k appartient `a M+ (cf. corollaire 2.20 i) et la suite (g_n)n∈N

converge en croissant vers g. Par le th´eor`eme de Beppo Levi, on a donc Z

Ω

g_ndµ↑ Z

Ω

gdµ= Z

Ω

lim inf

n→+∞ f_ndµ. (3.22)

D’autre part, on a clairement pour tout n ∈ N, g_n ≤ f_n, d’o`u par croissance de l’int´egrale,

∀n∈N, Z

Ω

g_ndµ≤ Z

Ω

f_ndµ. (3.23)

Nous ne savons pas si la limite quand n tend vers l’infini du second membre de (3.23) existe, mais par contre la limite inf´erieure existe toujours. Ainsi le passage `a la limite inf´erieure dans (3.23) conserve l’in´egalit´e large et nous donne

lim inf

n→+∞

Z

Ω

g_ndµ≤lim inf

n→+∞

Z

Ω

f_ndµ. (3.24)

Par (3.22), on sait que la limite inf´erieure au premier membre de (3.24) est en fait une limite et vaut :

lim inf

n→+∞

Z

Ω

g_ndµ= lim

n→+∞

Z

Ω

g_ndµ= Z

Ω

lim inf

n→+∞ f_ndµ, d’o`u la conclusion.

Remarque 3.14. Voici un exemple simple qui peut servir `a m´emoriser le sens de l’in´ega- lit´e dans le lemme de Fatou et `a montrer que celle-ci peut ˆetre stricte. Prenons Ω = R, F = Bor(R) et µ = λ, mesure de Lebesgue. Prenons pour (f_n) la suite de fonctions

´etag´ees

f_n =

(1_[0,1] si n est pair, 1_]1,2] si n est impair.

Il est clair que lim inff_nest la fonction identiquement nulle surR, d’o`uR

Rlim inff_ndλ= 0. D’autre part l’int´egrale de fonction ´etag´eeR

Rfndλvautλ([0,1]) pournpair etλ(]1,2]) pour n impair, donc pour tout n, R

Rf_ndλ = 1 et la suite constante (R

Rf_ndµ) a pour limite inf´erieure 1. Finalement sur cet exemple nous avons

0 = Z

R

lim inff_ndλ <lim inf Z

R

f_ndλ= 1.

Remarque 3.15. Une lecture rapide de la d´emonstration du lemme de Fatou pourrait laisser l’impression qu’elle s’adapte avec les limites sup´erieures au lieu des limites inf´e- rieures. Il n’en est rien. En ´ecrivanth_n := sup_k≥nf_k, on voit imm´ediatement quef_n≤h_n,

3.3. Applications aux mesures

d’o`u R

Ωf_ndµ ≤ R

Ωh_ndµ et par conservation de l’in´egalit´e large lim supR

Ωf_ndµ ≤ lim supR

Ωhndµ. La deuxi`eme partie de la preuve s’adapte ainsi facilement. Par contre la premi`ere partie ne fonctionne plus. En effet h_n converge en d´ecroissant vers h = lim supf_n et nous n’avons pas de th´eor`eme de Beppo Levi pour les suites d´ecroissantes.

Il n’est donc plus possible d’identifier lim supR

Ωhndµcomme R

Ωhdµ.

Remarque 3.16. Le fait que lapreuve du lemme de Fatou ne s’adapte pas aux limites sup´erieures n’interdit pas l’existence d’une in´egalit´e analogue pour les limites sup´erieures.

La confrontation des deux exemples suivants montre qu’il faut renoncer d´efinitivement

`

a l’id´ee d’un lemme de Fatou pour les limites sup´erieures. Le premier est celui de la remarque 3.14, o`u lim supf_n=1_[0,2] et

1 = lim sup Z

R

f_ndλ <

Z

R

lim supf_ndλ= 2.

Le second exemple est sur le mˆeme espace mesur´e, la suite (g_n) de fonctions ´etag´ees d´efinies par g_n := ¹_n1[0,+∞[. Clairement lim supg_n = 0 d’o`u R

Rlim supg_ndλ = 0. Par contre, R

Rg_ndλ = +∞ pour tout n, d’o`u lim supR

Rg_ndλ = +∞. Contrairement au premier exemple, nous avons ici

0 = Z

R

lim supgndλ <lim sup Z

R

gndλ= +∞.

3.3 Applications aux mesures

Nous ´etudions dans cette section quelques retomb´ees du th´eor`eme de Beppo Levi pour la construction de nouvelles mesures et l’int´egration par rapport `a une mesure image.

Th´eor`eme 3.17 (mesure `a densit´e par rapport `a une autre mesure). Soit (Ω,F, µ) un espace mesur´e et f : Ω→R+, mesurable F-Bor(R+). D´efinisssons la fonc- tion d’ensembles

ν :F→R⁺, A7→ν(A) :=

Z

A

fdµ.

a) ν est une mesure sur (Ω,F). On dit qu’elle est de densit´e f par rapport `a µ.

b) Pour toute g : Ω→R+, mesurable F-Bor(R+), Z

Ω

gdν = Z

Ω

gfdµ. (3.25)

Pour exprimer que ν est `a densit´ef par rapport `aµ, on pourra ´ecriresymboliquement : dν=fdµ ou dν

dµ =f.

Preuve du a). Calculons ν(∅) en appliquant la d´efinition deν : ν(∅) =

Z

∅

fdµ= Z

Ω

f1_∅dµ= Z

Ω

0 dµ= 0.

Pour prouver la σ-additivit´e de ν, soit (A_i)i∈N une suite dans F, `a termes deux `a deux disjoints et A sa r´eunion. Nous commen¸cons par v´erifier que

1_A =X

i∈N

1_Ai. (3.26)

Pour cela, comparons les images de ω ∈ Ω par chacun des deux membres de l’´egalit´e fonctionnelle (3.26).

– Ou bienω n’appartient pas `aAet alors il ne peut appartenir `a aucun desA_i, donc 1_A(ω) = 0 et 1_Ai(ω) = 0 pour tout i. Dans ce cas 1_A(ω) = 0 =P

i∈N1_Ai(ω).

– Ou bien ω ∈ A et dans ce cas il existe un unique i₀ = i₀(ω) tel que ω ∈ A_i0 : l’existence vient de la d´efinition de A comme r´eunion des A_i et l’unicit´e du fait que les A_i sont deux `a deux disjoints. Dans ce cas on a1_A(ω) = 1, 1_Ai

0(ω) = 1 et pour touti6=i0,1Ai(ω) = 0, d’o`u 1A(ω) = 1 =P

i∈N1Ai(ω).

En appliquant la d´efinition deνet (3.26), on justifie la premi`ere ligne du calcul suivant : ν

i∈∪N

A_i

= Z

A

fdµ= Z

Ω

1_Afdµ = Z

Ω

X

i∈N

1_Ai

! fdµ

= Z

Ω

X

i∈N

(1_Aif)

!

dµ (3.27)

= X

i∈N

Z

Ω

1_Aifdµ (3.28)

= X

i∈N

ν(A_i).

L’´egalit´e (3.27) r´esulte de la distributivit´e de la multiplication sur l’addition dans R+

(noter que dans la s´erie P

i∈N1Ai(ω), il y a au plus un terme non nul). Pour chaque i, la fonction 1_Aif appartient `a M+, ce qui permet d’appliquer le corollaire 3.12 pour l´egitimer (3.28). Ainsi laσ-additivit´e deν est ´etablie et νest une mesure sur (Ω,F).

Preuve du b). D´ecrivons d’abord la d´emarche utilis´ee pour prouver l’´egalit´e (3.25), il s’agit d’une m´ethode standard d’usage courant dans ce cours. On commence par v´erifier (3.25) pour les fonctions indicatrices g =1A, A ∈ F. Par additivit´e et homog´en´eit´e, on

´etend cette ´egalit´e aux fonctions ´etag´ees. Enfin on obtient l’´egalit´e pour les fonctions g mesurables positives quelconques par un passage `a la limite en les approximant par une suite de fonctions ´etag´ees. Voyons cela en d´etail.

L’´egalit´e (3.25) est vraie pour toute g de la forme g =1_A, A∈F. En effet, Z

Ω

1Adν =ν(A) = Z

A

fdµ= Z

Ω

1Afdµ.

3.3. Applications aux mesures

La premi`ere de ces ´egalit´es est simplement le calcul de l’int´egrale de la fonction ´etag´ee 1A par rapport `a lamesure ν, cf. (3.2). Les deux autres ´egalit´es sont la d´efinition de ν et celle de l’int´egrale sur A.

Soit maintenant g ∈E+, de d´ecomposition canonique g =Pn

i=1y_i1_Ai. Son int´egrale sur Ω par rapport `a la mesure ν est par d´efinition

Z

Ω

gdν =

n

X

i=1

y_iν(A_i).

En utilisant successivement la d´efinition de ν(Ai), celle de l’int´egrale surAi, l’additivit´e et l’homog´en´eit´e de l’int´egrale par rapport `aµ dans M+, on en d´eduit :

Z

Ω

gdν=

n

X

i=1

y_i Z

Ai

fdµ=

n

X

i=1

y_i Z

Ω

1_Aifdµ= Z

Ω n

X

i=1

y_i1_Aifdµ= Z

Ω

gfdµ.

Ainsi (3.25) est v´erifi´ee pour toute g ∈E+.

Soit g ∈ M+ quelconque. Par le th´eor`eme 2.23, il existe une suite croissante (g<sub>n</sub>) dans E+, convergeant vers g. La fonction f ´etant mesurable positive, le produit g<sub>n</sub>f est aussi mesurable positif (en g´en´eral, ce n’est plus une fonction ´etag´ee, seulement un ´el´ement de M+). Par positivit´e de f et croissance de (g<sub>n</sub>), la suite (g<sub>n</sub>f) est aussi croissante dansM+. V´erifions la convergence de (g<sub>n</sub>f) versgf, c’est-`a-dire la convergence dans R+ de g_n(ω)f(ω)

vers g(ω)f(ω), pour tout ω ∈ Ω. Cette convergence r´esulte des r`egles classiques sur la limite d’un produit¹ lorsque le couple g(ω), f(ω)

n’est ni (0,+∞), ni (+∞,0). Voyons donc ces deux cas particuliers. Si g(ω) = 0 et f(ω) = +∞

alors, parce que la suite g_n(ω)

est croissante² dans R+, tous les g_n(ω) sont nuls et g_n(ω)f(ω) = 0×(+∞) = 0 converge trivialement vers g(ω)f(ω) = 0×(+∞) = 0. Si g(ω) = +∞ et f(ω) = 0, alors pour tout n, g_n(ω)f(ω) = g_n(ω)×0 = 0 et cette suite nulle converge trivialement vers 0 =g(ω)f(ω) = (+∞)×0.

Les hypoth`eses du th´eor`eme de Beppo Levi sont donc satisfaites aussi bien par la suite (g_n) que par (g_nf). L’application du th´eor`eme de Beppo Levi relativement `aν pour (g_n) et `a µpour (g_nf) nous donne les convergences :

Z

Ω

g_ndν ↑ Z

Ω

gdν, Z

Ω

g_nfdµ↑ Z

Ω

gfdµ. (3.29)

Comme g_n appartient `aE+, elle v´erifie (3.25) :

∀n∈N, Z

Ω

g_ndν = Z

Ω

g_nfdµ. (3.30)

Les convergences (3.29) permettent de passer `a la limite dans l’´egalit´e (3.30) pour conclure que g v´erifie (3.25).

1On pourrait dire aussi que la multiplicationm: (x, y)7→xyest continue en tout point deR²+, sauf aux points (0,+∞) et (+∞,0).

2Voici un contre-exemple simple montrant l’utilit´e de la croissance de gn ici : si f(ω) = +∞ et gn(ω) = 1/n, alorsgn(ω)f(ω) = +∞(pour tout n) ne converge pas versg(ω)f(ω) = 0×(+∞) = 0.

Nous ´etudions maintenant l’int´egration par rapport `a une mesure image. Le r´esul- tat fondamental est le th´eor`eme de transfert. Travaillant avec deux espaces mesurables (Ω₁,F1) et (Ω₂,F2), nous noterons pour i = 1,2, E+(Ω_i) et M+(Ω_i) les ensembles de fonctions Ω_i →R+ respectivement ´etag´ees mesurables ou mesurablesFi-Bor(R+).

Th´eor`eme 3.18 (th´eor`eme de transfert). Soient (Ω₁,F1) et (Ω₂,F2) deux espaces mesurables et ϕ : Ω₁ → Ω₂, une application F1-F2 mesurable. Soit µ une mesure sur (Ω₁,F1) et ν :=µ◦ϕ⁻¹ sa mesure image sur (Ω₂,F2). Alors pour toute h∈M+(Ω₂),

Z

Ω1

(h◦ϕ) dµ= Z

Ω2

hdν. (3.31)

Ce th´eor`eme est essentiellement un th´eor`eme de changement de variable dans l’in- t´egrale sur un espace abstrait. En ´ecrivant le premier membre de (3.31) sous la forme R

Ω1h ϕ(ω₁)

dµ(ω₁), on voit qu’il suffit de poser ω₂ = ϕ(ω₁) et de remplacer µ par sa mesure image ν = µ ◦ ϕ⁻¹ pour effectuer le changement de variable et obtenir R

Ω2h(ω₂) dν(ω₂). Autrement dit, le changement de variable dans une int´egrale abstraite se r´eduit `a la d´etermination de la mesure image. Remarquer que l’on ne fait aucune hypoth`ese surϕ, `a part sa mesurabilit´e. En particulier,ϕ n’a nul besoin d’ˆetre bijective.

D´emonstration. D’abord, puisqueh∈M+(Ω₂) etϕestF1-F2mesurable,h◦ϕappartient

`

aM+(Ω₁), donc le premier membre de (3.31) est bien d´efini. Nous utilisons `a nouveau la m´ethode standard vue ci-dessus en v´erifiant (3.31) successivement pour les indicatrices, les fonctions ´etag´ees et enfin les applications mesurables positives.

Cas des indicatrices : h= 1B, B ∈ F2. Par mesurabilit´e deϕ, A :=ϕ⁻¹(B) appartient

`

aF1 et on a : Z

Ω2

1Bdν =ν(B) = µ ϕ⁻¹(B)

=µ(A) = Z

Ω1

1Adµ.

Il ne reste plus qu’`a v´erifier que 1_A =1_B◦ϕ, ce qui r´esulte des ´egalit´es suivantes :

∀ω ∈Ω₁, 1_A(ω) =

(1 siω ∈ϕ⁻¹(B) 0 siω /∈ϕ⁻¹(B) =

(1 si ϕ(ω)∈B

0 si ϕ(ω)∈/ B =1_B ϕ(ω) .

Cas des fonctions ´etag´ees : h ∈ E+(Ω₂), de d´ecomposition canonique h = Pn

i=1y_i1_Bi. Alors h◦ϕ = Pn

i=1y_i(1_Bi ◦ϕ). En utilisant l’additivit´e et l’homog´en´eit´e de l’int´egrale par rapport `aµ et `a ν et l’´egalit´e (3.31) pour les indicatrices, on obtient :

Z

Ω1

(h◦ϕ) dµ=

n

X

i=1

y_i Z

Ω1

(1_Bi ◦ϕ) dµ=

n

X

i=1

y_i Z

Ω2

1_Bidν = Z

Ω2

n

X

i=1

y_i1_Bidν = Z

Ω2

hdν, ce qui ´etablit (3.31) pour h ∈E+(Ω₂).

Cas des fonctions mesurables positives : h ∈M+(Ω₂). Alors il existe une suite (h_n)n∈N

dansE+(Ω₂), croissante et convergente versh. On voit alors imm´ediatement que la suite

3.3. Applications aux mesures

(h_n◦ϕ)n∈N est dansE+(Ω₁), croissante et convergente versh◦ϕ. L’´egalit´e (3.31) ´etablie ci-dessus pour les ´el´ements de E+(Ω2) nous donne :

∀n∈N, Z

Ω1

(hn◦ϕ) dµ= Z

Ω2

hndν. (3.32)

Le th´eor`eme de Beppo Levi appliqu´e aux suites (h<sub>n</sub>◦ϕ) et (h<sub>n</sub>) permet de passer `a la limite dans (3.32) pour obtenir R

Ω1(h◦ϕ) dµ = R

Ω2hdν et achever ainsi la preuve du th´eor`eme.

Voici une importante application du th´eor`eme de transfert aux calculs d’esp´erances.

Nous l’´enon¸cons dans le cas des vecteurs al´eatoires Ω→R^d, le lecteur pourra l’adapter

`

a celui des variables al´eatoires r´eelles en faisant d= 1, ou `a celui des variables al´eatoires complexes.

Corollaire 3.19 (Calcul d’esp´erance par transfert). Soit(Ω,F,P)un espace proba- bilis´e et X : Ω→R^d un vecteur al´eatoire sur (Ω,F). Notons E l’esp´erance relativement

`

a PetP_X la loi deX sousP. Alors pour toute fonction mesurable positiveh:R^d→R⁺, Eh(X) =

Z

Ω

h(X) dP= Z

Ω

(h◦X) dP= Z

R^d

hdP_X. (3.33)

V´erification. Il suffit d’appliquer le th´eor`eme de transfert avec Ω1 = Ω,F1 =F,ϕ =X, Ω₂ =R^d, F2 = Bor(R^d) et ν =P_X =P◦ϕ⁻¹.

Ce corollaire 3.19 est d’importance capitale. `A lui seul il serait d´ej`a une motivation suffisante pour notre entreprise de construction de l’int´egrale abstraite. Le corollaire3.19 montre queEh(X) ne d´epend que dehet de la loi deX. On pourrait ainsi calculer cette esp´erance en ignorant tout de l’espace (Ω,F,P), pourvu que l’on connaisse la loi deX.

De plus (3.33) ram`ene l’int´egration sur l’espace abstrait Ω `a une int´egration sur l’espace beaucoup plus familier R^d. Pour que ce proc´ed´e soit effectif, il reste `a savoir identifier P<sub>X</sub> et `a savoir int´egrer sur R^d. Un cas important en pratique est celui o`u la loi de X a une densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue.

Corollaire 3.20 (Esp´erances pour des lois `a densit´e). Si la loi du vecteur al´eatoire X a une densit´e f par rapport `a la mesure de Lebesgue λ_d de R^d, pour toute fonction mesurable positive h:R^d→R+,

Eh(X) = Z

R^d

hfdλ_d. (3.34)

V´erification. L’´egalit´e (3.34) r´esulte imm´ediatement de la combinaison du corollaire3.19 et du th´eor`eme 3.17 b).

Terminons par un corollaire qui aura son utilit´e dans les calculs effectifs de lois.

Corollaire 3.21 (Identification de lois). Les vecteurs al´eatoires X et Y `a valeurs dans R^d ont mˆeme loi si et seulement si pour toute h:R^d→R+ mesurable positive,

Eh(X) = Eh(Y).

D´emonstration. Remarquons d’abord qu’il n’est pas n´ecessaire queX etY soient d´efinis sur le mˆeme espace probabilis´e (Ω,F,P). Si X et Y ont mˆeme loi, cela signifie l’´egalit´e des mesures P_X et P_Y d´efinies sur (R^d,Bor(R^d)). Alors pour toute h ∈ M+(R^d), on a l’´egalit´e d’int´egrales R

R^dhdP_X = R

R^dhdP_Y qui grˆace au corollaire 3.19, s’´ecrit aussi Eh(X) =Eh(Y).

Pour la r´eciproque, il suffit de noter que siν₁etν₂sont deux mesures sur (R^d,Bor(R^d)) telles que pour touteh∈M+(R^d),R

R^dhdν₁ =R

R^dhdν₂, alors ν₁ =ν₂, ce qui est ´evident en prenant desh de la forme 1B, o`uB est un bor´elien quelconque de R^d.