ECOLES NATIONALES SUP´ ´ ERIEURES DE L’A´ ERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,

A 2003 Math PSI 1

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS´ ´ EES.

ECOLES NATIONALES SUP´ ´ ERIEURES DE L’A´ ERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,

DE TECHNIQUES AVANC´ EES, DES T´ EL´ ECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-´ ETIENNE, DES MINES

DE NANCY,

DES T´ EL´ ECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.

ECOLE POLYTECHNIQUE (Fili` ´ ere TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2003 EPREUVE DE MATH´ ´ EMATIQUES

PREMI` ERE ´ EPREUVE Fili` ere PSI

(Dur´ ee de l’´ epreuve : 3 heures)

(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis ` a la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pri´ es de mentionner de fa¸con apparente sur la premi` ere page de la copie :

MATH´ EMATIQUES 1-Fili` ere PSI.

Cet ´ enonc´ e comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´ e ` a prendre.

Soit I le segment d’extr´ emit´ es 0 et 1 : I = [0 , 1] ; dans tout ce probl` eme h et f sont des fonctions r´ eelles donn´ ees d´ efinies et continues sur la droite r´ eelle R . Soit (E) l’´ equation diff´ erentielle suivante :

(E) − y

( x ) + h ( x ) y ( x ) = f ( x ) ,

o` u la fonction y est une fonction inconnue d´ efinie sur la droite r´ eelle R.

Le but de ce probl` eme est d’´ etudier les solutions de cette ´ equation diff´ erentielle (E) qui v´ erifient les conditions “aux limites” suivantes : la solution y recherch´ ee est nulle en chacune des extr´ emit´ es 0 et 1 de l’intervalle I .

Les fonctions h et f ´ etant des fonctions r´ eelles continues sur R , soit (S) le

syst` eme constitu´ e de l’´ equation diff´ erentielle (E) et des ´ equations exprimant la

nullit´ e de la solution y aux extr´ emit´ es 0 et 1 de l’intervalle I :

(S)

−y

( x ) + h ( x ) y ( x ) = f ( x ) , y (0) = 0 , y (1) = 0 .

Une fonction y , d´ efinie sur R, deux fois continˆ ument d´ erivable sur R, v´ erifiant les ´ equations du syst` eme (S) est dite solution du syst` eme (S).

Premi` ere partie

La fonction h est ´ egale ` a une constante et la fonction f est nulle : 1. D´ emontrer que, lorsque la fonction h , d´ efinie sur R, est ´ egale ` a une constante r´ eelle α ( h ( x ) = α ∈ R) et la fonction f est nulle ( f ( x ) = 0), la seule solution y du syst` eme (S) est la fonction nulle ( y ( x ) = 0 pour tout x ), sauf pour certaines valeurs du r´ eel α qui seront pr´ ecis´ ees ; poser α = ω

ou α =

−ω

( ω > 0), suivant que le r´ eel α est strictement positif ou strictement n´ egatif.

Une expression de la solution du syst` eme (S) :

Un r´ esultat pr´ eliminaire : soit ϕ une fonction r´ eelle d´ efinie et continue sur la droite r´ eelle R ; soit Φ la fonction d´ efinie par la relation suivante :

pour tout r´ eel x, Φ ( x ) = (1 − x )

0

t ϕ ( t ) dt + x

x

(1 − t ) ϕ ( t ) dt.

2. D´ emontrer que la fonction Φ est d´ efinie et de classe C

sur toute la droite r´ eelle R ; d´ eterminer sa d´ eriv´ ee seconde Φ´ ´ ainsi que les valeurs prises par la fonction Φ en 0 et en 1 : Φ (0) , Φ (1).

3. D´ emontrer que, si Φ

est une fonction r´ eelle, deux fois d´ erivable sur la droite r´ eelle R, telle qu’elle v´ erifie les relations suivantes :

pour tout r´ eel x, Φ

( x ) = −ϕ ( x ) , Φ

(0) = 0 , Φ

(1) = 0 , les fonctions Φ et Φ

sont ´ egales (Φ

= Φ) .

4. En d´ eduire, lorsque la fonction h est nulle, l’existence et l’unicit´ e d’une solution y du syst` eme (S

) suivant :

(S

)

−y

( x ) = f ( x ) , y (0) = 0 , y (1) = 0 .

Une condition sur la fonction h lorsque la fonction f est nulle : La fonction f est suppos´ ee nulle ( f = 0) ; le syst` eme (S) s’´ ecrit,

(S

)

−y

( x ) + h ( x ) y ( x ) = 0 , y (0) = 0 , y (1) = 0 .

5. D´ emontrer que, pour qu’une fonction y, d´ efinie et continue sur la droite r´ eelle R, v´ erifie le syst` eme (S

) , il faut et il suffit que la fonction y v´ erifie, pour tout r´ eel x , la relation (R) suivante :

(R) pour tout r´ eel x, y ( x ) = ( x − 1)

0

t h ( t ) y ( t ) dt + x

x

( t − 1) h ( t ) y ( t ) dt.

6. D´ emontrer l’existence de deux r´ eels H et Y respectivement maximums des valeurs absolues des fonctions h et y sur le segment I = [0 , 1].

7. Soit y une solution du syst` eme (S

) ; d´ emontrer, pour tout r´ eel x appar- tenant au segment I (0 ≤ x ≤ 1) , l’in´ egalit´ e suivante :

|y ( x ) | ≤ H Y 8 .

8. En d´ eduire une condition n´ ecessaire sur la fonction h , pour qu’il existe des solutions y , autres que la fonction nulle, du syst` eme (S

). V´ erifier que, lorsque la fonction h est constante, cette condition est remplie lorsqu’il y a des solutions diff´ erentes de 0.

Seconde partie

Rappel : une fonction f, r´ eelle, d´ efinie sur la droite r´ eelle R, est dite 2- p´ eriodique si et seulement si : pour tout r´ eel x, f ( x + 2) = f ( x ) . Les coeffi- cients de Fourier a

( f ) , b

( f ) , n ≥ 1 , sont d´ efinis par les relations suivantes :

pour tout n sup´ erieur ou ´ egal ` a 1, a

( f ) =

0

f ( t ) cos ( n π t ) dt, b

( f ) =

0

f ( t ) sin ( n π t ) dt.

Le but de cette seconde partie est de r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle suiv- ante

(F) − y

( x ) + h ( x ) y ( x ) = f ( x ) ,

o` u h et f sont des fonctions d´ efinies sur la droite r´ eelle, continues, impaires, 2- p´ eriodiques. La fonction inconnue y est suppos´ ee impaire, elle aussi 2-p´ eriodique , mais en plus deux fois continˆ ument d´ erivable et v´ erifiant les conditions aux lim- ites suivantes sur le segment I : elle est nulle en 0 et en 1.

Lorsque la fonction y , impaire 2-p´ eriodique, deux fois continˆ ument d´ erivable, v´ erifie l’´ equation diff´ erentielle (F) et les conditions aux limites d´ efinies ci-dessus, elle est dite solution du syst` eme (T) suivant :

(T)

−y

( x ) + h ( x ) y ( x ) = f ( x ) , y (0) = 0 , y (1) = 0 .

Soit G la fonction d´ efinie dans le carr´ e I × I par la relation suivante : ( x, t ) −→ G ( x, t )

t (1 − x ) , si 0 ≤ t ≤ x, x (1 − t ) , si x ≤ t ≤ 1 .

Etant donn´ ´ e un r´ eel x fix´ e du segment I, soit G

la fonction impaire, 2-

p´ eriodique, ´ egale ` a G ( x, t ) pour tout r´ eel t appartenant au segment I :

∀t ∈ I, G

( t ) = G ( x, t ) .

D´ eveloppement en s´ erie de Fourier de la fonction G

:

9. Tracer le graphe de la restriction de la fonction G

au segment [ − 1 , 1].

D´ eterminer le d´ eveloppement en s´ erie de Fourier de la fonction G

.

10. Y a-t-il ´ egalit´ e, pour tout r´ eel t , entre G

( t ) et la somme de la s´ erie de Fourier obtenue ? Pr´ eciser et v´ erifier la nature de la convergence.

11. En d´ eduire que la fonction G : ( x, t ) −→ G ( x, t ) est, dans le carr´ e I × I , la somme d’une s´ erie de fonctions uniform´ ement convergente.

Solution du syst` eme (T) lorsque la fonction h est nulle :

12. D´ emontrer, lorsque la fonction h est nulle, qu’il existe une seule solution possible z au syst` eme (T). Pr´ eciser son expression ` a l’aide de la fonction G .

13. D´ eterminer, lorsque la fonction h est nulle, le d´ eveloppement en s´ erie de Fourier de la fonction z ; exprimer les coefficients de Fourier de la fonction z ` a l’aide de ceux de f . En d´ eduire l’existence d’une solution au syst` eme (T).

14. Exemple : la fonction h est nulle, f est la fonction impaire, 2-p´ eriodique, d´ efinie sur le segment I par la relation suivante

f ( t ) =

t, si 0 ≤ t ≤ 1 / 2 , 1 − t, si 1 / 2 ≤ t ≤ 1 .

D´ eterminer le d´ eveloppement en s´ erie de Fourier de la fonction f puis celui de la fonction u solution du syst` eme (T). Est-ce que le d´ eveloppement en s´ erie de Fourier de la fonction u obtenu est celui d’une fonction deux fois continˆ ument d´ erivable ?

La fonction h est une constante :

La fonction h est suppos´ ee dans la suite ´ egale ` a une constante a diff´ erente de 0 ( a = 0). La fonction f est toujours une fonction impaire, 2-p´ eriodique. Le but de cette question est de rechercher une solution du syst` eme

(T

)

−y

( x ) + a y ( x ) = f ( x ) , y (0) = 0 , y (1) = 0 .

La m´ ethode propos´ ee consiste ` a ´ ecrire ce syst` eme sous la forme suivante : (T

)

−y

( x ) = f ( x ) − a y ( x ) , y (0) = 0 , y (1) = 0 .

et ` a consid´ erer que la fonction x −→ f ( x ) − a y ( x ) joue le mˆ eme rˆ ole que celui jou´ e par la fonction f aux questions 12 et 13 .

15. En supposant qu’il existe une solution z au syst` eme (T

) , d´ eterminer les relations que doivent v´ erifier les coefficients de Fourier de la fonction z .

16. Discuter suivant les valeurs du r´ eel a l’existence de solutions des ´ equations

v´ erifi´ ees par les coefficients de Fourier de la fonction z .

17. D´ emontrer, lorsque les ´ equations donnant les coefficients de Fourier de la fonction z admettent des solutions et que la fonction f est de classe C

par morceaux sur R , l’existence d’une fonction z solution du syst` eme (T

).

18. Exemple : D´ eterminer le d´ eveloppement en s´ erie de Fourier de la fonction z lorsque la fonction f est la fonction d´ efinie ` a la question 14.

FIN DU PROBL` EME