M´ecanique des ﬂuides

(1)

Gerald Kneller

16 avril 2018

(2)

Mod`ele physique

I Le fluide est mod´elis´e par un continuum.

I Dans cette description, même un élément de volume différentieldV contient encore un très grand nombre de molécules du fluide.

I Les quantit´es physiques sont des champs qui varient en fonction de la position dans l’espace et en fonction du temps.

I Le champ fondamental est le champ de vitesse, ~v(X,t), où X ≡ {x¹,x²,x³} sont des coordonnées cartésiennes ou curvilignes.

I Dans un environnement homogène, les fonctions représentant les champs sont différentiables.

(3)

Champ de vitesse

-10 -5 0 5 10

x¹

x2

∇.v≠0,∇∧v=0

-10 -5 0 5 10

x¹

x2

∇.v=0,∇∧v≠0

Deux exemples pour un champ de vitesse statique en deux dimensions.

(4)

Conservation de la masse – bilan, ´equation de continuit´e

Le changement de masse dans un élément de volumeV est entièrement donné par le flux net de masse à travers la surface du volume,

d dt

Z

V

dVρ(X,t) =− I

∂V

d~a· {ρ(X,t)~v(X,t)}.

Iciρ(X,t)~v(X,t)≡~(X,t) est la densit´e de courant de la masse.

On note que le changement est positif sid~a·~v<0. En applicant le th´eor`eme de Gauß on trouve

d dt

Z

V

dV ρ(X,t) =− Z

V

dV ∇ · {ρ(X~ ,t)~v(X,t)}

ce qui donne l’´equation de continuit´e¹

∂ρ

∂t +∇ · {ρ~~ v}= 0 (1)

1. les arguments (X,t) sont supprim´es.

(5)

Conservation de la masse – d´eriv´ee substantielle

L’équation de continuité pour la masse peut être développée

∂ρ

∂t +~v·∇ρ~ +ρ ~∇ ·~v= 0.

Introduisant la dérivée substantielle _Dt^D ≡ _∂t^∂ +~v·∇~ on écrit Dρ

Dt +ρ ~∇ ·~v = 0 (2) La dérivée substantielle de ρ décrit le changement total par

variation intrins`eque (∂ρ/∂t) et convectiuon (~v·∇ρ). Pour un~ fluide incompressible

∇ ·~ ~v = 0 ou bien I

∂V

d~a·~v= 0.

(6)

Bilan de la quantit´e de mouvement

Le changement de la quantité de mouvement dans un élément de volume est

d dt

Z

V

dV ρ(X,t)~v(X,t) =− I

∂V

d~a· {ρ(X,t)~v(X,t)⊗~v(X,t)}

| {z }

convection

− I

∂V

d~a·P~~(X,t)

| {z }

force du fluide ext´erieur sur∂V

+ Z

V

dV ρ(X,t)~k(X,t)

| {z }

force externe

Ici~~P est le tenseur de pression et~k est la force par masse d’unit´e.

(7)

Bilan de la quantit´e de mouvement – tenseur de pression

En forme matricielle (base euclidienne) on ´ecrit d

dt Z

V

dV ρ(X,t)v(X,t) =− I

∂V

da· {ρ(X,t)v(X,t)·v^T(X,t)}

− I

∂V

da·P(X,t) + Z

V

dVρ(X,t)k(X,t) o`u Pest la matrice contenant les composantes deP~~,

P=





P₁₁ P₁₂ P₁₃ P21 P22 P23

P31 P32 P33



.

(8)

Bilan de la quantit´e de mouvement – tenseur de pression cont.

Visualisation des composantes du tenseur de pression [2] :

La figure montre les forces per unit´e de surface,pxy~ex,pyy~ey,pzy~ez, sur un

élément de surfaced~a=da~ey etp~y =pxy~ex+pyy~ey+pzy~ez. Pour un fluide non-visqueux les composantes non-diagonales du tenseur de pression sont nulles et si le fluide est isotrope le tenseur de pression est entièrement décrit par un scalaire,P=p1.

(9)

Bilan de la quantité de mouvement - équation de continuité

En appliquant le théorème de Gauß au bilan pour la quantité du mouvement on dérive l’équation de continuité

∂

∂t {ρ~v}+∇ · {ρ~~ v⊗~v}=ρ~k−∇ ·~ ~~P (3) Avec l’équation de continuité pour la masse cette équation peut être réécrite sous la forme²

ρD~v

Dt =ρ~k−∇ ·~ P~~ (4)

2. D~v/Dt est la d´eriv´ee substantielle de~v.

(10)

Conservation de l’´energie - bilan

Avec la densité d’énergie cinétique, ρ|~v|²/2, la densité d’énergie potentielle,ρφ, la densité de flux de chaleur,~_Q, le bilan pour le changement d’énergie dans un élément de volumeV s’écrit

∂

∂t Z

dVρ(X,t) 1

2|~v(X,t)|²+φ(X,t)

| {z }

energie dansV

=

− I

∂V

d~a·~_Q(X,t)

| {z }

flux de chaleur

− I

∂V

d~a·~~P(X,t)·~v(X,t)

| {z }

travail effectu´e/temps

− I

∂V

d~a·~v(X,t)ρ(X,t) 1

2|~v(X,t)|²+φ(X,t)

| {z }

convection

.

(11)

Conservation de l’énergie - équation de continuité

En d´efinissant l’abr´eviation = 1

2|~v|²+φ

pour l’énergie par masse d’unité et en utilisant le théorème de Gauß, l’équation du blian mène à l’équation de continuité

∂

∂t(ρ) +∇ · {(ρ)~~ v}=−∇ ·~~ _Q −∇ ·~ ~~P·~v

(5)

(12)

Conservation de l’énergie - équation de continuité 2

Utiliser que∇ ·~ ~~P·~v

=~v·

∇ ·~ ~~P

+P~~ :∇ ⊗~ ~v. Ici “:” d´enote une contraction totale,~~P :∇~~v =P^ij(∇ ⊗~ ~v)ij. Avec ceci

∂

∂t(ρ) +∇ · {(ρ)~~ v}=−∇ ·~~ _Q−~v·

∇ ·~ P~~

−P~~ :∇ ⊗~ ~v. ou bien

D

Dt(ρ) + (ρ)∇ ·~ ~v =−∇ ·~~ Q−~v·

∇ ·~ P~~

−P~~ :∇ ⊗~ ~v.

(13)

Ecrire Dρ

Dt +ρD Dt

| {z }

D Dt(ρ)

+(ρ)∇ ·~ ~v =−∇ ·~~ _Q −~v·

∇ ·~ ~~P

−P~~ :∇~~v.

Avec Eq. (2) (conservation de la masse) il suit que que ρD

Dt =−∇ ·~~ _Q −~v·

∇ ·~ ~~P

−~~P :∇ ⊗~ ~v (6)

(14)

Avec Eq. (4) (conservation de la quantit´e du mouvement) on a

∇ ·~ P~~ =ρ~k−ρ^D~_Dt^v, et Eq. (6) peut être réécrite sous la forme

ρD

Dt =−∇ ·~~ _Q

| {z }

(1)

−ρ~v·~k

| {z }

(2)

+ρ~v·D~v Dt

| {z }

(3)

−P~~ :∇ ⊗~ ~v

| {z }

(4)

(7)

Les sources pour le changement d’´energie : 1. flux de chaleur

2. forces externes 3. flux de masse

4. forces exerc´ees par le fluide environnant

(15)

Equations constitutionnelles/mod`eles

Les équations (2), (4) et (7) sont les équations fondamentales des milieux continus. Il faut pourtant encore préciser~~P et~_Q, afin de pouvoir résoudre des problèmes concrets. A ce point on fait des hypothèses, par exemple la validité de la loi de Fourier,

~Q =−λ ~∇T (8)

où λest le coefficient de contuctivité de chaleur et T est la température. Une deuxième hypothèse est queP~~ est linéaire en

∇ ⊗~ ~v,

P_ij =α^kl_ij(∇ ⊗~ ~v)_kl (9)

(16)

Equations constitutionnelles – viscosit´es

Pour un milieu isotrope qui est seulement d´eform´e et qui n’effectue ni une translation ni une rotation globale, le tenseur~~P a la forme³

Pij =

p+ 2

3η−κ

∇ ·~ ~v

δij +η

∇ ⊗~ ~v

ij +

∇ ⊗~ ~v

ji

(10) Iciη et κsont, respectivement, la viscosité de cisaillement et de volume⁴ et p est la pression scalaire. Le coefficient η mesure la résistivité d’un fluide à un cisaillement et κ la résistivité à une compression. Pour un gaz parfait on aη= 0,κ= 0 et donc Pij =pδij.

3. Voir ref. [2] et les articles cit´es dans cet ouvrage.

4. En anglaisshear viscosity etbulk viscosity.

(17)

D´erivation

L’équation de Navier-Stokes pour le champ de vitesse,~v, d’un fluide est obtenue en insérant l’expression (10) pourP~~ dans l’équation (4) pour le bilan de ’la quantité du mouvement,

ρD~v

Dt =ρ~k+η∆~v+η 3 +κ

∇(~ ∇ ·~ ~v)−∇p~ (11) Développer la dérivée substantielle souligne la forme non-linéaire de cette équation aux dérivées partielles

ρ ∂

∂t +~v·∇~

~

v =ρ~k+η∆~v+η 3 +κ

∇(~ ∇ ·~ ~v)−∇p~ (12)

(18)

En introduisant une longueur typiqueLet une vitesse typique U l’´equation (12) peut s’´ecrire sous la forme (voir TD)

∂

∂t⁰ + Re~v⁰·∇~⁰

~ v⁰

= Re~κ⁰+ ∆~v⁰+ 1

3 +κ η

(∇~⁰·~v⁰)~v⁰+ Re∇~⁰p⁰, o`u

Re = ρUL

η (nombre de Reynolds), = ρL²

τ η .

(19)

Base et base duale

I On distingue entre un vecteur ~u et ses composantes contravariantes {u¹,u²,u³}par rapport `a une base {~b1, ~b2, ~b3}:u~=u¹~b1+u²~b2+u³~b3.

I La base duale, {~b¹, ~b², ~b³}, est d´efinie par~bi·~b^j =δ^j_i et peut ˆ

etre construite via

~b¹ = 1

V(~b2∧~b3), ~b²= 1

V(~b3∧~b1), ~b³ = 1

V(~b1∧~b2), o`u V =~b1·(~b2∧~b3).

I Dans la base duale u~ est repr´esent´e par ses composantes covariantes,~u =u1~b¹+u2~b²+u3~b³.

I La base euclidienne est d´enot´ee par {~e1, ~e2, ~e3}. Elle est orthonormale, ~e_j ·~e^k =δ_jk, tel que~e^k =~e_k (j,k = 1,2,3).

(20)

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteursu~ et ~v est une injection {~u, ~v} →Rqui est lin´eaire dans les deux arguments,⁵

~

u·~v ={uⁱ~b_i} · {v^j~b_j}=uⁱv^j{~b_i·~b_j} ≡g_ijuⁱv^j,

={uⁱ~b_i} · {v_j~b^j}=uⁱv_j{~b_i·~b^j}=uⁱv_i,

={u_i~bⁱ} · {v^j~b_j}=u_iv^j{~bⁱ ·~b_j}=u_ivⁱ,

={u_i~bⁱ} · {v_j~b^j}=u_iv_j{~bⁱ ·~b^j} ≡gîju_iv_j, où g_ij =~b_i ·~b_j sont les coefficients du tenseur métrique et gîj =~bⁱ·~b^j. Avec g≡(gij) il suit que (gîj) =g⁻¹. Avec ceci

ui =giju^j et uⁱ =g^ijuj.

5. On utilise la convention de Einstein pour la sommation (sommation automatique sur deux indices identiques).

(21)

Produit tensoriel, tenseurs

I Le produit tensoriel (dyade) de deux vecteurs ~u et ~v est une injection{~u, ~v} →R³⊗R³ qui est lin´eaire dans les deux arguments,

~

u⊗~v ={uⁱ~bi} ⊗ {v^j~bj}=uⁱv^j{~bi⊗~bj},

={u_i~bⁱ} ⊗ {v^j~b_j}=u_iv^j{~bⁱ ⊗~b_j},

={uⁱ~b_i} ⊗ {v_j~b^j}=uⁱv_j{~b_i⊗~b^j},

={u_i~bⁱ} ⊗ {v_j~b^j}=u_iv_j{~bⁱ ⊗~b^j}.

I Plus généralement, un tenseur de rang 2 est défini par

~~

T =T^ij~bi ⊗~bj,=T_i^j~bⁱ⊗~bj,=T_jⁱ~bi⊗~b^j,=Tij~bⁱ⊗~b^j. Un exemple est le tenseur m´etrique via~~g =g_ij~bⁱ ⊗~b^j.

(22)

Produit scalaire et tensoriel dans une base euclidienne

I On utilise une notation matricielle pour la repr´esentation de vecteurs et de tenseurs de rang 2 dans la base euclidienne,

~ a=X

i

a_i~e_i, a=



 a1

a2

a₃



= (a1,a2,a3)^T,

~~ B=X

i,j

B_ij~e_i⊗~e_j, B=





B11 B12 B13

B21 B22 B23

B₃₁ B₃₂ B₃₃



.

I Produit scalaire et tensoriel

u~·~v :{~u, ~v} →u^T ·v=u1v1+u2v2+u3v3,

~

u⊗~v :{~u, ~v} →u·v^T =





u1v1 u1v2 u1v3

u₂v₁ u₂v₂ u₂v₃ u3v1 u3v2 u3v3



. On note que u^T ·v= tr(u·v^T).

(23)

Champs et bases locales

I X ≡ {x¹,x²,x³} dénote des coordonnées cartésiennes ou généralisées.

I ρ(X,t),~a(X,t) etB(X~~ ,t) d´enotent, respectivement, un champ scalaire, vectoriel et tensoriel (rang 2).

I Les vecteurs de base d’un champ vectoriel (tensoriel) dépendent en général de la position,

~

a(X,t) =X

i

aⁱ(X,t)~b_i(X), etc.,

~~

B(X,t) =X

i

B^ij(X,t)~b_i(X)⊗~b_j(X), etc.

(24)

Coordonn´ees curvilignes

I Un système de 3 coordonnées curvilignes,X ≡ {x¹,x²,x³}, définit une position dans l’espace

R(X~ ) =X

j

R_j(X)~e_j.

I Dans un tel système de coordonnées on un peut définir des vecteurs de base locaux par

~b_i(X) = ∂

∂xⁱR(X~ ).

Ces vecteurs sont tangents aux lignes parcourues par R(X~ ) si seule la coordonn´eex_i varie.

(25)

Gradient, divergence

I Le gradient d’un champ scalaire φ(X) est un champ vectoriel :

∇φ(X~ ) =~bⁱ(X)∂φ

∂xⁱ.

I La divergence d’un champ vectoriel ~u(X) est un scalaire :

∇ ·~ ~u(X) =

~bⁱ(X) ∂

∂xⁱ

·

u^j(X)~b_j(X)

I Le rotationnel d’un champ vectoriel ~u(X) est un vecteur :

∇ ∧~ u(X~ ) =

~bⁱ(X) ∂

∂xⁱ

∧

u^j(X)~b_j(X) .

(26)

1. E. Guyon, J-P Hulin & L. Petit. Hydrodynamique Physique.

EDP Sciences, CNRS Editions. 3^`^eme ´edition. 2012.

2. D. McQuarrie, Statistical Mechanics. Chapitre 17 “Continuum mechanics”. Harper’s Chemistry Series, Harper Collins

Publishers, 1976.