TD 10
Représentations paramètriques de droites et de plans (et autres ...)
T.S
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•My Maths Space - 2016
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EXERCICE 1 Position relative de deux droites
Dans un repère de l’espace,detd′ sont les deux droites de représentations paramétriques suivantes :
d :
x= 5 + 3t
y= 2 +t t∈R, z= 1−4t
et d′ :
x=−11 + 2u
y= 10−2u u∈R, z= 4 +u
Etudier la position relative des droitesdetd′.
EXERCICE 2 Positions relatives droites et plans
ABCDEF GH est un cube.
Partie A : Parallélisme
1. Démontrer que la droite (EG) et le plan (ABC) sont parallèles.
2. Démontrer que les plans (ACH) et (EGB) sont parallèles.
Partie B : Orthogonalité
1. Démontrer que les droites (DH) et (EG) sont orthogonales.
En déduire que les droites (DF) et (EG) sont orthogonales.
2. Démontrer que les droites (BE) et le plan (AF D) sont orthogonaux.
En déduire que la droite (DF) et le plan (BEG) sont orthogonaux. A B F E
D C
G H
EXERCICE 3 Vrai/Faux
L’espace est rapporté à un repère (O;−→ i;−→
j;−→ k).
On considère les points :A(2; 1;−1), B(−1; 2; 4),C(0;−2; 3) etD(1; 1;−2).
Pour chacune des affirmations suivantes dire si elle est vraie ou fausseen justifiant la réponse.
Affirmation 1 :Les pointsA, B etC définissent un plan.
Affirmation 2 :Les pointsA, B,Cet D sont coplanaires.
Affirmation 3 :Une représentation paramétrique de la droite (AC) est :
x= 2t
y =−2 + 3t t∈R z= 3−4t
Affirmation 4 :La droite (BD) est incluse dans le planP de représentation paramétrique :
x=−3 +t+t′
y= 1 + 2t−t′ t∈R, t′ ∈R z=−1 +t+ 4t′
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EXERCICE 4 Type BAC
D C
G H
A B
F E
On se place dans le repère orthonormé (A;−−→ AB;−−→
AD;−→
AE).
1. (a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DB).
(b) Montrer que les points de la droite (AG) sont les points de coordonnées (t;t;t) oùt est un réel.
2. Soitsettdeux réels quelconques. on noteM(s; 1−s; 0) un point de la droite (DB) etN(t;t;t) un point de la droite (AG).
(a) Montrer queM N2= 3(t−13)2+ 2(s−12)2+16.
(b) En déduire la position des points M etN pour laquelle la distanceM N est minimale.
3. (Sera vue en L10) Soit M un point quelconque de la droite (DB) et N un point quelconque de la droite (AG).
Démontrer que la droite (M N) est perpendiculaire aux deux droites (DB) et (AG) si et seulement siM etN ont pour coordonnées respectives (12 : 12; 0) et (13 : 13;13). Quelle conclusion peut-on émettre ?
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