THEOREME DE PYTHAGORE
Un peu d’histoire :
Pythagore est un mathématicien, astronome, médecin et philosophe grec, il est né
approximativement en -580 à Samos ; et il serait mort en -497 à l’Age de (-497-(-580) = 83 ans).
Sa vie était entourée de mystères (école pythagoricienne).
Nous allons étudier une « goutte d’eau » de son immense œuvre : théorème de Pythagore.
I. Théorème de Pythagore.
1. Version directe
Si un triangle est rectangle alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Exemple :
Dans le triangle DEF rectangle en D,
L’hypoténuse est : [EF].
D’après le théorème de Pythagore :
EF²DE²DF²
2. Utilité du théorème de Pythagore.
Le but du théorème de Pythagore est de trouver une longueur manquante dans un triangle RECTANGLE.
Exemples :
a. Trouver la longueur d’un hypothenuse.
Trouver la longueur du segment [BC].
Dans le triangle ABC rectangle en A.
L’hypoténuse est le segment : [BC].
D’après le théorème de Pythagore (à citer):
2 2 2
2 2 2
2
2
6 4
36 16 52
52 7, 2
BC AB AC BC
BC BC BC
BC cm
Ce résultat est cohérent car la mesure de BC est plus grande que les deux autres côtés.
b. Trouver une longueur’un côté de l’angle droit.
Trouver
Dans le triangle DEF rectangle en D.
L’hypoténuse est le segment : [EF].
D’après le théorème de Pythagore (à citer) :
2 2 2
2 2 2
2
2
2
9 7
81 49
81 49 32
32 5,6
DE DF DF
DF DF
DF DF
DF cm EF
3. Conséquence. (ex 27,28,30,36,37,45,46 page 168)
Si le carré du plus grand côté d’un triangle n’est pas egal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.
4. Utilité de la conséquence
Cette propriété permet de démontrer :
Qu’un triangle n’est pas rectangle.
Ou que deux droites ne sont pas perpendiculaires
Exemple :
Est-ce que le triangle JKL est rectangle ?
Dans le triangle JKL.
Le plus grand côté [LK] = 7cm.
Calcul :
D’une part LK² = 7² =49
D’autre part :
² ² 3,38² 6,18²
² ² 11, 4244 38,1924
² ² 49,6168 JL JK
JL JK JL JK
Ainsi LK²JL²JK²
D’après la propriété : Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle n’est pas egal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.
: le triangle JKL n’est pas rectangle
II. Réciproque du théorème de Pythagore.
1. Enoncé.
Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.
2. Utilité de la réciproque de Pythagore.
Cette propriété permet de démontrer qu’un triangle est rectangle ou que deux droites sont perpendiculaires.
Exemple :(exe 76 page 172 ; 109 page 176) On considère le triangle GEF.
Démontrer que ce triangle est un triangle rectangle.
Dans le triangle GEF.
Le plus grand côté est FG Calculs comparatifs:
D’une part FG2 13² 169 D’autre part
² ² 5² 12²
² ² 25 144 169 EF EG
EF EG
Ainsi
FG ² EF ² EG ²
D’après l’égalité de Pythagore : Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.
Le triangle EFG est rectangle en E.
