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Submitted on 1 Jan 1913
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Formules utilisées dans la détermination des coefficients d’aimantation
A. Guillet
To cite this version:
A. Guillet. Formules utilisées dans la détermination des coefficients d’aimantation. J. Phys. Theor.
Appl., 1913, 3 (1), pp.324-333. �10.1051/jphystap:019130030032400�. �jpa-00242035�
324
FORMULES UTILISÉES DANS LA DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS
D’AIMANTATION;
Par M. A. GUILLET.
1. Question.
-Un chimiste
rqui possède seulement les connais-
sances mathématiques et mécaniques exigées des candidats au certi-
ficat de mathématiques générales » me demande si le Journal de
Physique ne pourrait pas établir et coordonner, d’une manière simple
et concise, les formules si couramment utilisées aujourd’hui pour la
détermination de la Susceptiôilité magnétique des corps. Il prétend
être embarrassé
«par les développements épars des traités qu’il
a consultés » .
Pour être classique et rigoureux, il me paraît difficile d’éviter la théorie générale des milieux polarisés sous l’une de ses formes, au
moins dans le cas fort important d’une polarisation durement induite, c’est-à-dire équivalente à une distribution convenable de
magnétisme sur la surface limitant le corps.
Nlais peut-étre pourrait-on borner l’exposé aux considérations élé- mentaires suivantes, afranchies de la notion d’énergie potentielle
de laquelle on tire habituellement l’expression des forces inter- venant dans la mesure des susceptibilités.
II. Problèlnes prélirninaires.
-cc) On sait que le champ newtonien,
en un point P d’une sphère attirante homogène, de centre 0, a pour intensité désignant la distance OP et p la masse spécifique de
la matière dont la sphère est faite.
b) S’il était possible de constituer un système formé de deux sphères massives et homogènes, de même masse spécifique p, ayant
une partie commune, et telles que la matière de l’une agissant par
attraction, celle de l’autre agisse par toujours selon la loi quantitative de N e,vton, le champ résultant serait uni(orlne dans la région commune aux deux sphères.
On a en effet (voir fige J ) :
et par suite :
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019130030032400
325
Construisons la résultante R des champs/et/’; comme les triangles MPQ et OO’NI ont un anéqle
égal À et à
compril entre côtés propor-
MPQ et ont un angle égal M et Q compris entre côtés propor- tionnels, ils sont semblables, et le côté R est parallèle à la ligne des
centres 0’0 des deux sphères. Posons 00’ = e, on a :
FIG. 1.
,Donc le champ R dans la région considérée est parallèle à 00’ et
a pour intensité :
-Comme les éléments communs aux deux sphères agissent d’une
manière égale et contraire en tout point, ils se neutralisent l’un par l’autre, et l’on peut dire que les deux distributions lenticulaires ombrées - et + déterminent dans l’espace lenticulaire vide un champ uni-
forme R 2).
Ce cas, fictif en gravitation, devient réel en électricité et en magné- tisme, où les phénomènes observés manifestent la dualité - et
-supposée, et la distribution de centres actifs, dont l’exercice précé-
dent offre l’image, va jouer désormais un rôle fondamental.
Le système des centres O, O’ de coefficients 4 3 1t pouvant remplacer
pour l’extérieur l’ensemble des deux sphères actives se nomme couple ou doublet; le calcul du potentiel et du champ en un point provenant d’un tel élément est immédiat.
c) Qu’advient-il si l’on place une sphère conductrice dans un champ électrique uniforme c,, ?
En raison du phénomène d’influence, le conducteur se chargera d’électricité, de façon que la distribution induite rende le champ
actuel nul en tout point de la sphère, car telle est la définition sta-
tique du conducteur.
,326
Or la sphère étant neutre, le champ est l’ par hypothèse, donc la
distribution par influence, considérée seule, doit produire le champ
uniforme - c~.
D’après b), ce résultat est fourni par deux distributions lenti- culaires fl- et
-répondant à la condition :
pe mesure la charge par unité de surface sur l’axe; donc (fig. ‘~~ :
Le glissement e n’intervient pas par lui-même, mais par le pro- duit pe.
On peut donc prendre pour densité superficielle a sur le parallèle
de la sphère défini par l’angle e, la valeur crû cos 9 qui correspond à l’épaisseur de la couche lenticulaire en 0.
Les phénomènes dus au champ magnétique ne conduisent pas à la notion de conducteur magnétique, c’est-à-dire d’un corps pour tous les points duquel le champ actuel serait nul.
Comme les propriétés spécifiques de la matière n’interviennent pas dans de tels conducteurs statiques, et que les formes géométriques qui en limitent la distribulion et les positions relatives sont les seuls éléments efficaces à considérer, le problème des conducteurs est
sans intérêt pour le chimiste.
FIG. 2.
1
Cavendish savait, et Faraday a retrouvé, que les substances iso- laîites pouvaient intervenir spécifiqttement dans les phénomènes d’équilibre électrique : deux condensateurs géométriquement iden- tiques sont différents si l’isolant qui en sépare les armatures n’est
pas le même. Et il a paru naturel de mesurer l’influence du diélec-
trique par le rapport des capacités du condensateur après et avant
l’introduction du diélectrique, ou en suivant les variations d’une gran-
327
deur, fonction de la capacité : la période de décharge du condensa- teur par exemple.
Mais de telles mesures et de telles considérations, bien que fort
précieuses, ne constituent pas une théorie.
Heureusement l’expérience de brisé, en imposant la
notion de dualité moléculaire,
-,de doublet élé’rnenta£re
-fit naître la conception de milieu polarisé, qui permit d’expliquer le rôle des diélectriques et, dans un grand nombre de cas, les manifestations
magnétiques des corps.
Précisons cette notion dans le cas simple, mais fondamental, de la polarisation uniforme.
Fic. 3.
Soit une sphère S 3), dans laquelle on isole par la pensée un cylindre B’B dont les génératrices sont parallèles à A’OA. Isolons
encore dans ce cylindre, de section droite dSo, et par deux plans perpendiculaires à B’B menés par a et b, un élément ab de lon-
gueur du et de volume
-dS, X du.
,La sphère est dite uniformément aimantée dans le sens A’A, si un
élément quelconque tel que ab se comporte comme un aimant infini- ment petit dont la face
-serait en b, la face + en a, et de moment
magnétique :
5 étant une constante.
,En désignant par ~~, la densité de distribution en a, on a :
ou
Deux éléments contigus ab, a’b’ ont une face commune, b’ coïncide
avec c~, et la somme algébrique du magnétisme de ces faces est nulle.
Il ne peut donc y avoir de magnétisme libre, déterminant un champ,
que sur la surface de la sphère. Or la portion de surface ~S découpée
par le cylindre B’B a pour mesure :
328
et, comme le magnétisme Uo dS, relatif à la section dSo se trquve réparti à la sortie sur l’aire dS, la densité de distribution sur cette aire est :
D’après c), une telle distribution produit l’intérieur de S un champ uniforme, parallèle à AA’, et d’intensité :
d) Une sphère neutre, c’est-à-dire pour laquelle )
=o, est portée
dans un champ magnétique uniforme ?; déterminer la distribution de polarisation.
La sy77ie’trie conduit à envisager une polarisation uniforme, c’est-à-
dire une distribution cos e, correspondant au champ R = 4 3
Mais, pour aller plus loin, il faut faire une hypothèse.
Dans le cas de la sphère conductrice, la distribution d’influence
est déterminée par la condition :
Ce champ résultant est nul, à l’équilibre, à l’intérieur de la sphère ; mais, dans le cas actuel, comment limiter la polarisation ?
On admet, avec Poisson, qu’à l’équilibre l’intensité r3 de polarisation
est proportionnelle au résultant
-R, et la cons-
tante de proportionnalité
xest appelée susceptibilité de polarisation
de la matière dont la sphère est faite.
L’hypothèse de Poisson, suffisante pour beaucoup de substances et de champs polarisants, fournit donc les valeurs finales de R et de
~ par les deux équations :
qui, résolues, donnent, en posant K ; 1 +
.
K désigne ce que l’on nomme le pouvoir inducteur du milieu
(diélectriques) ou la perrnéabilité du milieu B magnétisme).
329 Les méthodes de détermination de
xfondées sur des mesures de forces ont une base théorique commune, les champs magnétique et électrique jouant des rôles correspondants. La différenciation des
techniques résulte de l’intervention des effets d’induction dans le
cas des mesures magnétiques et des effets de capacité dans le cas
des mesures électriques. Le coefficient
xest positif ou négatif selon
que la matière est para 1nagnét£que ou diaJnag>iétiqie.
III. Formules les plus usuelles.
-Il est maintenant possible
d’établir les formules qui sont à la base des techniques visées par
mon correspondant.
Soit un champ magnétique produit par un aimant ou par un élec-
tro-aimant ; X, Y, Z les composantes du champ ? en un point 0 (x, y, ~ ) . Plaçons une sphère dans ce champ de façon que son centre soit au point 0. Au point de vue de la polarisation, tout se passe
comme si la sphère, supposée très petite, était soumise à l’action d’un
champ uniforme p ; elle se polarisera donc de telle manière que :
D’après (b et (d, la sphère se comporte, au point de vue magnétique,
comme un système de deux centres 0’, O" (fig. 4), auxquels se trou-
veraient les quantités - p et + p. de magnétisme, et l’on a :
clv désignant le volume de l’échantillon étudié.
Si dfx est la composante de la force qui tend à déplacer le corps dans le champ magnétique parallèlement à l’axe des a~, on a :
X~-~ et Xo’ étant les composantes du champ suivant x’x en 0’
Donc :
o330
Comme au champ magnétique correspond un potentiel, les compo- santes X, Y, Z du champ sont les dérivées d’une certaine fonction des coordonnées ; on a par suite :
En conséquence,
’
Mais les points 0’ et 0// sont sur la direction du champ , en 0 ;
X V 7
dont les cosinus direcieurs en posant OO"
#E‘, il vient,
dont les cosinus directeurs sont
m en posant 00’ == eB il vient
et, en portant ces valeurs dans (3),
Or ?2
~X2 + Y2 + Z-2@ on a donc :
En remplaçant p par sa valeur et remarquant que 2 ’
-e, il vient enfin : 1
en posant :
On obtiendrait de la même manière :
Fréquemment
xest très petit ~pour l’eau
x = -0,72 X 10-6) , en
sorte que £xx est négligeable devant l’unité, alors
331 CAS PARTICULIERS.
---1. lY1éthode de Réduisons à deux pôles l’aimant, ou l’électro-aimant, qui produit le champ magné- tique utilisé, et soit O/X la ligne des pôles Il est évident qu’en
un point de la perpendiculaire y’y menée par le milieu de A’A == 2d, le champ est dirigé parallèlement à la ligne des pôles et du côté du pôle négatif A. Donc, en un tel point,
et l’action du champ se réduit à la force
Fi 4.
,
C’est la formule mise en oeuvre par P. Curie dans son si remar-
quable mémoire sur les Propriétés n2agnétiguesdes corps à différentes températures; elle suppose la détermination expérimentale auxi-
liaire d} X ei de la dérivée 2’X )y
d la dérivée 1
liaire du champ X et de la dérivée ou de la dérivée
20132013 qui a la
"
e’ y (. x
"même valeur. On construira ces courbes dans le cas théorique sup-
,
1 h t
..
1 b X I-) x d ’ t
.
posé plus haut, ainsi que la courbe u
=on déterminera
p 1?/
la position sur Oy qui correspond au maximum de ce produit.
332
de Gouy (’ ~.
-Si l’on dispose un mince cylindre de
section s de la substance suivante Oy entre et l’aciion sur
l’élément sdy sera:
.donc, on aura, en supposant que les éléments dv interviennent
comme s’ils étaient pris séparément, c’est-à-dire sans exercer
d’actions l’un sur l’autre :
et, si le champ est négligeable dans la région la plus éloignée,
On trouvera dans la note de M. Gouy, Sur 1’e’nergie potentielle nia- gnétique et la 1nesure des coefficients d’aimantation, comment on peut supposer
xfonction du champ.
2’. Méthode hydrostatique de Quincke (2). - Dans le cas des liquides,
le cylindre considéré est constitué par le fluide remplissant l’une des
branches d’un tube en U dont l’autre branche aboutit à une cuvette de section S. Le champ magnétique détermine alors une dénivella- tion, et le poids de la colonne, d’un liquide de densité ~, soulevée par
exemple, est étant la dénivellation. On a donc :
d’oÙ:
La constante
xest ici rapportée à l’unité de volume ; or l’unité de
masse de la substance occupe le volume ), donc la susceptibilité ou
(i) C. R., 1889, CIX, p. 935.
333
coefficient d’aiynantation rapportée à l’unité de masse est :
Il n’y a plus, dans cette technique, que des mesures de champ à
effectuer. Si h, est la course que doit subir un microscope pour pointer
successivement le niveau du liquide, l’électro-aimant étant neutre ou
excité, la dénivellation h aura en réalité pour valeur hj (1 -~- s à
cause de la variation du niveau du liquide dans la cuvette.
Le produit Z M, M étant la masse moléculaire de la substance, est appelé coefficient d’aimantation moléculaire, on trouvera dans le
Recueil de constantes physiques (p. 666 à 67 1) un tableau des valeurs
1
