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Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository
Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Ueberberg, J. (1990). Bögen, blockaden und baer-unterräume in endlichen projektiven räumen (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
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UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES
FACULTE DES SCIENCES
BÔGEN, BLOCKADEN UND BAER-UNTERRAUME IN ENDLICHEN PROJEKTIVEN RAUMEN
THESE PRESENTEE EN VUE DE L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES
(GRADE SCIENTIFIQUE)
Année académique 1989 — 1990 Johannes UEBERBERG
Thèse annexe
Les classes de Hôrmander ^ (0 < S < 1) d'opérateurs pseudo—différentiels sont des
ëdgèbres, appelées rf;, dans Ceci implique en particulier que l'inverse de tout
opérateur pseudo-différentiel de classe vÇ ^ < 1 ) dans >Û(LP(R^)) est également un
opérateur pseudo—différentiel de la même classe.
INHALT
Einleitung 6
Kapitel I. Grundlagen ...11
§ 1 Grundlegende Definitionen ...11
§ 2 Einige Ch 2 LTcikterisierungssatze ...16
§ 3 Semilineare Raume ...17
Kapitel II. Bôgen §1 §2 §3 §4 und Faserungen ... 21
\ v,n}—Bôgen in projektiven Ebenen ... 21
Charakterisierung einer Klasse regulârer -| 7 ,n [—Bôgen in projektiven Ebenen ... ... 23
Charakterisierung einer Klôisse regulârer -j v,n [—Bôgen in projektiven Râumen ... 26
Geometrische Fciserungen... 30
Kapitel III. Blockaden und Baer—Unterrâume ... 34
§ 1 Charakterisierung der Menge der Geraden eines Baer—Unterraums eines projektiven Raums ...36
§ 2 Blockaden in PG(2t+l,q) ... 37
§ 3 Charakterisierung einer Klasse von Blockaden ...41
§■ 4 Blockaden minimaler Mâchtigkeit ... 63
§ 5 Verallgemeinerung des Satzes von Beutelspacher und Seeger ... 64
§ 6 Anwendung auf die Klein—Quadrik ... 66
Kapitel IV. Eine ChauraJtterisierung der Menge der Ebenen eines Baer— Unterraums von PG(2t,q) ... 60
§ 1 Die Menge der Ebenen eines Baer—Unterraums von PG(2t,q) ... 60
Beweis des Satzes 1.3 ... 62
§2
§ 3 Ein Beispiel 77
Kapitel V. Durchschnitte von Bcier—Unterràumen ... 79
Literaturverzeichnis ...87
Index...90
EINLEITUNG
Der erste Struktursatz der projektiven Géométrie sagt, daô jeder projektive Raum der Dimension d > 3 ûber einem Kôrper koordinatisiert werden kann. Die Bedeutung dieses Satzes besteht in der Tatsache, daô ans den nach Veblen und Young benannten rein inzidenzgeometrischen Axiomen die Gesamtheit der geometrischen und algebraischen Struktur eines projektiven Raums abgeleitet werden kann.
Ist P = PG(2,q) eine desarguessche projektive Ebene ungerader Ordnung q, und ist B ein i—Bogen in P, d.h. eine Menge von k Punkten, von denen keine drei kollineau: sind, so gilt nach dem Satz von Segre [28]: Es ist k < q+1 mit Gleichheit genau dann, wenn B ein Kegelschnitt ist.
Ebenso wie der erste Struktursatz der projektiven Geometrie die algebraiischen Eigenschaften eines projektiven Raums (der Dimension > 3) aus der geometrischen Axiomatik ableitet, so chaxakterisiert der Satz von Segre die geometrische und algebraische Struktur eines Kegelschnitts durch einen einzigen Parameter (nâmlich die Anzahl seiner Punk te) innerhalb der Klasse aller i—Bôgen.
Es war in erster Linie der zitierte Satz von Segre, der den Anstofi zur Formulierung einer Programmatik innerhalb der Geometrie gab, die von Beutelspacher [7] unter dem Stich—
wort Segrescher Standpunkt zusammengefafit wurde. Daa Ziel dieses Programms ist die Forderung, (klassische) geometrische Strukturen durch deren kombinatorische Eigen—
schaften zu charakterisieren.
Wichtige Ergebnisse, die sich unter den Segreschen Standpunkt einordnen lassen, sind beispielsweise
— die Chaxakterisierung linearer Unterrâume von projektiven Raumen (Tallini [31], Bose, Burton [11]),
— die Charaiterisierung der Quadriken (Buekenhout [20], Tallini [31]),
— die Chaiakterisierung der hermiteschen Quadriken (Tallini Scafati [33]),
— die Charakterisierung der Baer—Unterebenen (Bruen [15]) und der hôher—dimensio—
nalen Baer—Unterrâume (Beutelspax:her [ 6 ]).
Eine ausfûhrliche Liste von Ergebnissen innerhalb dieser Forschungsrichtung findet man
in [7].
♦
Ausgajigspunkt der vorliegenden Arbeit war die Frage, ob sich die Menge der Geraden eines Bafir—Unterraums eines projektiven Raums im Sinne des Segreschen Standpunkts chaxaiterisieren lâfit. Dabei ist ein Baer—ünterraum von P = PG(d,q) ein d—dimensio—
naler projektiver Ünterraum von P der Ordnung y/q. In dieser Arbeit wird u. a. gezeigt, da£ sich diese Frage affirmativ beantworten lâfit.
Bei der Beantwortung dieser Frage ergab es sich, dafi zwangslâufig semilineare Raume, regulâre Bôgen und geometrische Faserungen mituntersucht werden mufiten.
Wir geben im folgenden einen Überblick ûber die erzielten Resultate und den Aufbau dieser Arbeit.
Neben den einführenden Definitionen und Sâtzen bilden die semilinearen Raume den Inhalt von Kapitel I.
Ein semilinearer Raum L ist eine Menge von v > 2 Punkten und b Geraden, so dcifi durch je zwei Punkte von L hôchstens eine Gerade von L geht. Der Grad eines Punktes p von L ist die Anzalil der Geraden aus L durch p. Die semilinearen Raume mit minimaler Anzahl von Geraden kônnen folgendermafien charakterisiert werden:
Ist L ein semilinearer Raum mit v > 2 Punkten und mit b Geraden und ist r der minimale Punktgrad von L, so gilt b > niit Gleichheit genau dann, wenn L ein 5f2,i,v}—Steinersystem mit i = ■ - ist, wenn also L ein linearer Raum ist, so dafi auf jeder Geraden von L genau k Punkte liegen (s. I, 3.3).
Die im folgenden vorgestellten Ergebnisse ûber regulâre Bôgen und geometrische Faserungen sind InhaJt von Kapitel II.
Ein regulârer -{v,ii|—^Bogen B in einem projektiven Raum P ist eine Menge von v Punkten, so dafi jede Gerade von P entweder keinen, genau einen oder genau n Punkte mit B gemeinsam hat. Ist B ein regulârer -{v,n Bogen einer projektiven Ebene P der Ordnung q mit n < q+1 und der zusâtzlichen Eigenschaft, dafi P keine zu B disjunkte Gerade enthâlt, so besagt ein Satz von Tallini Scafati [32]: Ist q eine Primzahlpotenz, so ist B entweder eine Bær—Unterebene von P oder ein UnitaJ in P.
Für n > yJq+1 verallgemeinern wir das Résultat von Tallini Scafati in der folgenden
Weise: Ist B ein regulârer ]v,n[—Bogen in einer projektiven Ebene P der Ordnung q mit
V > n > yRph so ist B eine Baer—Unterebene, ein Unital oder ein maximaler Bogen (d.
h. ein -(('q-f Ijfn—l,n|^—Bogen) in P (s. II, 2.5). Insbesondere kann für n > y/q+1 in dem Satz von Tallini Scafati auf die Voraussetzung, dafi q eine Primzahlpotenz ist, verzichtet werden.
Im Zusammenhang mit der Charakterisierung der Menge der Geraden eines Baer—Unter—
raums ist für uns dcis folgende weiterfûhrende Hesultat von besonderem Interesse:
Sei P = PG(d,q) mit d > 3. Ist B ein regulârer ^v,n|—Bogen in P mit n > y/q+1, der P aufspannt, so ist B ein Baer—Unterraum von P, ein affiner Raum der Ordnung q in P, oder es gilt B = P (s. II, 3.4).
Wie bereits erwàhnt behajideln wir im zweiten Teil von Kapitel II geometrische Faserungen. Eine Paserung F von P = PG(2t+l,q) ist eine Menge von Geraden, so dafi jeder Punkt von P auf genau einer Geraden von F liegt. Man nennt F geometrisch, falls F in jedem dreidimensionalen Unterraum von P, der mindestens zwei Geraden aus F enthâlt, eine Faserung induziert.
Nach einem Satz von Beutelspacher und Eugeni [ 8 ] haben die geometrischen Faserungen F von P = PG(2t+l,q) die Eigenschaft, dafi jeder (t-t-1}—dimensionale Unterraum von P mindestens eine Gerade aus F enthâlt. Die folgende Umkehrung des Satzes von Beutelspacher und Eugeni kann auch als Charakterisierung der geometrischen Faserungen im Sinne des Segreschen Standunkts interpretiert werden.
Ist F eine Teilfaserung in P = PG(2t-hl,q) mit der Eigenschaft, dafi jeder (t+1)—
dimensionale Unterraum von P mindestens eine Gerade aus F enthâlt, so ist F eine geometrische Fêiserung (s. II, 4.7).
Kapitel III bildet den Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit. Hier beweisen wir zwei Charakterisierungssâtze der Menge der Geraden eines Baer—Unterraums eines projekti- ven Raums im Sinne des Segreschen Standpunktes. Ausgauigspunkt für die Charakteri—
siening der Menge der Geraden eines Baer—Unterraums ist der folgende Satz von Bruen [14] (für t = 1) und Beutelspêicher [ 6 ] (für t > I): Ist P = PG(2t,q) und ist B eine Punkt menge in P mit der Eigenschaft, dafi jeder t—dimensionale Unterraum von P mindestens einen Punkt mit B gemeinsam hat und dafi auf jeder Geraden von P min—
2 t
destens ein Punkt aufierhalb von B liegt, so gilt |B| > ■^/q +...+y/q-i-l mit Gleichheit
genau dann, wenn B ein Baer-Unterraum von P ist. Mit einem analogen Ergebnis von
Beutelspacher [ 6 ] für PG(2t+l,q) ergibt sich eine vollstândige Charakterisierung der
Punktmengen von Baer—Unterrâumen von beliebigen projektiven Râumen.
h. ein -j (q+lXa—[—Bogen) in P (s. II, 2.5). Insbesondere kann fur n > >/q+I in dem Satz von Tallini Scafati auf die Voraussetzung, da 6 q eine Primzahlpotenz ist, verzichtet werden.
Im Zusammenhang mit der Chaxakterisierung der Menge der Geraden eines Baer—Unter—
raums ist für uns dcis folgende weiterfûhrende Résultat von besonderem Interesse;
Sei P = PG(d,q) mit d > 3. Ist B ein regulârer ]v,n|^—Bogen in P mit n > y/q+1, der P aufsp 2 uint, so ist B ein Baer—Unterraum von P, ein affiner Raum der Ordnung q in P, oder es gilt B = P (s. II, 3.4).
Wie bereits erwâhnt behandeln wir im zweiten Teil von Kapitel II geometrische Faserungen. Eine Paserung F von P = PG(2t+l,q) ist eine Menge von Gerzwlen, so dafi jeder Punkt von P auf genau einer Ger«iden von F liegt. Man nennt F geometrisch, falls F in jedem dreidimensionalen Unterraum von P, der mindestens zwei Geraden aus F enthâlt, eine Faserung induziert.
Nach einem Satz von Beutelspacher und Eugeni [ 8 ] haben die geometrischen Faserungen F von P = PG(2t-f-l,q) die Eigenschaft, daii jeder dimensionale Unterraum von P mindestens eine Gerade aus F enthâlt. Die folgende Umkehrung des Satzes von Beutelspacher und Eugeni kann auch aJs Charakterisierung der geometrischen Faserungen im Sinne des Segreschen Standunkts interpretiert werden.
Ist F eine Teilfaserung in P = PG(2t+l,q) mit der Eigenschaft, da 6 jeder (t+1)—
dimensionale Unterraum von P mindestens eine Gerade aus F enthâlt, so ist F eine geometrische F 2 iserung (s. II, 4.7).
Kapitel III bildet den Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit. Hier beweisen wir zwei Charakterisierungssâtze der Menge der Geraden eines Baer—Unterraums eines projekti- ven Raums im Sinne des Segreschen Standpunktes. Ausgangspunkt für die Charakteri—
sierung der Menge der Geraden eines Baer-Unterraums ist der folgende Satz von Bruen [14] (für t = 1) und Beutelspacher [ 6 ] (für t > 1): Ist P = PG(2t,q) und ist B eine Punktmenge in P mit der Eigenschaft, dafi jeder t—dimensionale Unterraum von P mindestens einen Punkt mit B gemeinsam hat und dafi auf jeder Geraden von P min—
2 t
destens ein Punkt aufierhalb von B liegt, so gilt |B| > y/q +...+y/q+l mit Gleichheit
genau dann, wenn B ein Baer—Unterraum von P ist. Mit einem analogen Ergebnis von
Beutelspacher [ 6 ] für PG(2t+l,q) ergibt sich eine vollstândige Charakterisierung der
Punktmengen von Baer—Unterrâumen von beliebigen projektiven Râumen.
Der folgende Satz charakterisiert die Menge der Geraden eines Baer—Unterraums von PC(d,q) durch seine Parameter:
Sei £, eine Menge von Geraden in P = PG(d,q) mit der Eigenschaft, dafi es mindestens +...+\/q+l Punkte von P gibt, die jeweils mit mindestens ^+...-f-y/q+l Geraden ans
jC inzidieren. Dann ist |£| > mit Gleichheit genau dann, wenn £
(q—l)(y/^l)
die Menge der Geraden eines Baer—Unterraums von P ist (s. III, 1.1).
Der Beweis dieses Satzes beruht auf dem Satz über semilineare Raume (I, 3.3) und der Charakterisierung der regulâren ^ v,^+2 Bôgen (II, 3.2).
Ein anderer Zugang zu einer Charakterisierung der Menge der Gerciden eines Baer—Unterraums ist durch die folgende Définition (s. III, 2.1) gegeben: Eine Menge £ von Geraden in P = PG{2t+l,q) heiôt Blockade von P, falls £ die beiden folgenden Bedingungen erfüllt;
— Jeder (t-f l}-dimensionale Unterraum von P enthâlt eine Gerade aus £
— Schneiden sich zwei Geraden aus £ in einem Punkt p, so enthâlt jeder (t+1)—
dimensionale Unterraum von P durch p mindestens eine Gerade aus durch p.
Diese Définition ist durch eine Arbeit von Beutelspacher und Seeger [9] motiviert. Im zweiten Abschnitt von Kapitel III stellen wir eine Sérié von Beispielen von Blockaden vor. Diese Beispiele legen die Vermutung nahe, dafi der Begriff der Blockaden zu ail—
gemein ist, um eine vollstândige Klassifizierung zu erhoffen. Als ein weiteres Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit kônnen wir jedoch eine Klasse von Blockaden klassifizieren, wobei aufierdem ein Zuscimmenhang zwischen den geometrischen Fa—
serungen und der Menge der Geraden eines Baer—Unterraums hergestellt wird:
Sei £ eine Blockade in P = PG(2t+l,q), die der folgenden Bedingung genügt. Es exi—
stiert ein t—dimensionaler Unterraum T von P, dessen Punkte mit jeweils hôchstens einer Geraden aus £ inzidieren. Dann ist £ eine geometrische Faserung, die Menge der Geraden eines Baer—Unterraums von P, ein t—Büschel, oder £ entha.lt ein t—Doppel—
büschel (s. III, 3.1). Zur Définition der t—Büschel und der t—Doppelbûschel vgl. III, 2.2 a) und III, 2.2 b).
Als Korollar dieses Satzes erhalten wir eine Charakterisierung der Blockaden minimaler Mâchtigkeit: Ist £ eine Blockade in P = PG(2t+l,q), die keine Teilfaiserung ist, so gilt
/ t-f ~2 JW t-f -1 J,
|£| > —TJ—A3- --- - mit Gleichheit genau dann, wenn £ ein t—Büschel oder die
(qU)(q-l)
Menge der Geraden eines (f-flj-dimensionalen Unterraums von P ist.
Ebenfalls eine Polgerung ans obigem Satz ist die folgende Verallgemeinerung eines Satzes von Beutelspacher und Seeger [9]: Sei £, eine Blockade von P = PG( 2 t + l,q), die der folgenden Bedingung genügt: Schneiden sich zwei Geraden ans £ in einem Punkt p und ist E eine Ebene von P durch p, so enthâlt E eine Gerade durch p, die nicht zu £ gehôrt.
t 2 t
Ist q > 2, so ist |£| > (q +...-hq+l)(y/q -h...+y/q+l) mit Gleichheit genau dann, wenn £ die Menge der Geraden eines Baer—Unterraums von P ist (s. III, 5.2).
Für den Fall t = 1 ist dieser Satz bereits von Beutelspacher und Seeger [9] (auch fûr q = 2 ) bewiesen worden.
In Kapitel IV wird der Begriff der Blockéiden auf die Menge der Ebenen von PG(2t,q) übertragen. Hierzu führen wir zunâchst die Définition eines blockierenden Punktes ein:
Ist 8 eine Menge von Ebenen von P = PG(2t,q), so heiôt ein Punkt p aus P blockierend (bzgl. 8 ), falls jeder (t-f 1 )—dimensionale Unterraum von P durch p mindestens eine Ebene aus 8 durch p enthâlt.
Nun kônnen wir das folgende Ergebnis formulieren, das die Menge der Ebenen eines Baer—Unterraums von P = PG(2t,q) charakterisiert.
Sei 8 eine Menge von Ebenen in P = PG(2t,q), die den folgenden Eigenschaften genügt:
( i) Jeder (t+l)-dimensionale Unterraum von P enthâlt mindestens eine Ebene aus 8 . (ii) Schneiden sich n Ebenen Ep E^ in einem Punkt p = fl ... fl E^, so ist p
ein blockierender Punkt.
(iii) Es existiert ein (f—2j—dimensionaler Unterraum von P, der keine blockierenden Punkte enthâlt.
(iv) Ist ] die Schnittgerade zweier Ebenen aus 8 , so liegt mindestens ein blockierender Punkt auf 1. Jede Ebene von Eenthâlt mindestens einen blockierenden Punkt.
(v) Jede Gerade von P enthâlt mindestens einen nichtblockierenden Punkt.
Dann ist Edie Menge der Ebenen eines Baer—Unterraums von P (s. IV, 1.3).
Abschliefiend beschâftigen wir uns in Kapitel V mit Durchschnitten von Baer—
Unterrâumen. Nach einem Satz von Bruen [16] und Sved [.30] (s. auch Vedder [40]) schneiden sich zwei Baer—Unterrâume B 2 und P = PG(d,q) in ebenso vielen Punkten wie Hyperebenen. Dies verallgemeinern wir in der folgenden Weise; Die Anzabl der s-dimensionalen Unterrâume in fl B^ ist gleich der Anzahl der (d—s—1 j—dimen—
sionalen Unterrâume in B^ fl B^, falls s < d -2
~T ist.
♦
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. A. Beutelspax:her, der mir dieses intéressante Thema vorgeschlagen hat und das Entstehen dieser Arbeit mit viel Engcigement und zcihlreichen Anregungen begleltet hat.
Weiterhin môchte ich den Professoren Jeêui Doyen und Francis Buekenhout herzlich danken, zum einen für die freundschaftliche Aufnahme am Département de Mathéma
tique der Université Libre de Bruxelles, zum anderen fûr zaJilreiche intéressante Diskussionen und wertvolle Literaturhinweise.
Prof. Tallini danke ich für die Anregung, die erzielten Ergebnisse über Baer—Unterrâume auf die Klein—Quadrik zu übertragen.
Ganz herzlich danke ich schlieBlich meiner Frau, die mich vor allem bei der endgûltigen
Redaktion dieser Arbeit intensiv unterstützt hat.
KAPITEL I. GRUNDLAGEN
In §1 werden grundlegende Defmitionen wie beispielsweise Inzidenzstruktur, projektiver Raum und Bcier—Unterraum in Erinnerung gerufen. Gleichzeitig werden damit die Bezeichnungen eingefûhrt, die über die gesamte Arbeit beibehalten werden. Satz 1.11 listet einige wichtige Eigenschaften von Baer—Unterrâumen auf.
Im Zentrum dieser Arbeit stehen Charakterisierungen von Baer—Unterrâumen durch ihre kombinatorischen Eigenschaften. Vorbild fur solche Charakterisierungen sind die in §2 aufgefûhrten Charakterisierungssatze von Bose und Burton, Bruen, Beutelsp 2 u:her sowie Beutelspacher und Seeger.
In §3 schlieôlich werden wir einen Satz vorstellen, der eine untere Abschàtzung fur die Anzahl der Geraden eines semilinearefl Raumes angibt und die Beispiele minimaler Kardinalitât charakterisiert. Dieser Satz wird eine wichtige Rolle in Kapitel III spielen.
Da jede aus Punkten und Geraden eines linearen Raumes bestehende Inzidenzstruktur ein semilineaxer Raum ist, ist der erwâhnte Satz auch von selbstândigem Interesse.
§1 Grundlegende Définit ionen
1.1 Définition. Eine Inzidenzstruktur ist ein Tripel I = (T,B,I) von Mengen mit I Çfyi B.
Die Elemente von V heiSen Punkte, jene von B Blôcke oder auch Geraden. Die Elémente von I schlieBlich nennt man Fabnen oder Inzidenzen. Neben der etwas trockenen Ausdrucksweise "p und B sind inzident" spricht man gewôhnlicb davon, daB p au/ B liegt, bzw. B durch p gebt.
1.2 Prinzip der doppelten Abzâhlung. Sei I = (f,B,I) eine endliche Inzidenzstruktur. Sei [p] der Punktgrad von p, d.h. die Anzahl der Blôcke durch p, und sei [B] die Anzahl der Punkte auf B. Daim gilt E^^.p[pJ = [BJ.
Beweis. Es ist
Eine Klasse besonders wichtiger Inzidenzstrukturen sind die linearen Raume.
1.3 Définition. Ein Unearer Raum L ist eine Inzidenzstruktur L = (T,/!,!) mit der Eigenschah, daB durch je zwei Punkte genau eine Gerade geht und daS auf jeder Geraden mindestens zwei Punite liegen. Um triviale Fâlle auszuschlieBen, {ordert man die Existenz von mindestens zwei Geraden.
Nach einem berûhmten Satz von de Bniijn und Erdôs [19] gilt für die Anzahl b der Geraden und die Anzahl v der Punkte stets b > r mit Gleichheit genau dann, wenn L ein Fcistbûschel oder eine projektive Ebene (vgl. Def. 1.6) ist. Ein Pastbüschel ist ein linearer Raum mit n Punkten und n Geraden, so daB auf einer Geraden genau n—1 Punkte liegen, wâhrend aile anderen Geraden mit jeweils genau zwei Punkten inzidieren.
1.4 Définition. Ein semilmearer Raum L ist eine Inzidenzstruktur L = (T,C>^) Eigenschaft, daB durch je zwei Punkte hôchstens eine Gerade geht.
Ist L = ein linearer Raum und sind P® und Teilmengen von P und L, so bilden P® und mit der von I induzierten Inzidenz einen semilinearen Raum.
Eine wichtige Klasse von linearen Râumen sind die sogenannten Steinersysteme, die eine sehr regulâre Struktur aufweisen.
1.5 Définition. Ein Steinersystem S(2,k,v) ist ein endlicher Unearer Raum S mit v Punkten, so daB auf jeder Geraden von S genau k Punkte liegen.
Ist X ein Punkt eines Steinersystems S, so überdecken die Geraden aus 5 durch x die Punktmenge von S. Für den Punktgrad r^ von x folgt daher r^(k — 1 ) = v — l, also r^ =
v —1
1 = 1 - S hat folglich konstanten Punktgrad, der gewôhnlich mit r abgekürzt wird.
1.6 DeCaition. a) Eine projektive Ebeae ist ein linearer Raum P, der den folgenden Bedingungen genügt:
(i) Je zwei Geraden von P schneiden sich in einem Punit.
(ii) Jede Gerade von P enthâlt mindestens drei Punkte.
b) Ein projektiver Rauna ist ein linearer Raum P, der den folgenden Bedingungen genügt:
(i) Axiom von Veblen—Young: Sind p,q und r drei nichtiollineare Punkte von P, und ist g eine Gerade, die die Geraden pq und pr in zwei verschiedenen Punkten trifft, so schneiden sich auch die Geraden g und qr.
(ii) Jede Gerade von P enthàlt mindestens drei Punkte.
Ist P eine endliche projektive Ebene oder ein endlicher projektiver Raum, so existiert eine natûriiche Zabi q > 2, so dafi auf jeder Geraden von P genau q -h 1 Punkte liegen.
Man nennt q die Ordnung von P.
Zur Définition der Begriffe "Dimension" und "linearer Unterraum" einer projektiven Ebene bzw. eines projektiven Raumes sei beispielsweise auf [4, S.62 ff] verwiesen. Die projektiven desarguesschen Raume der Ordnung q und der Dimension d werden mit PG(d,q), die desarguesschen projektiven Ebenen mit PG{2,q) bezeichnet. Nach dem ersten Struktursatz der projektiven Geometrie ist jeder projektive Raum der Dimension d > 3 desarguessch.
Da wir uns im Verlauf dieser Arbeit ausschliefilich mit endlicher Geometrie befassen, setzen wir von nun an voraus, dafi aile Inzidenzstrukturen endlich sind.
Der Rest dieses Paragraphen ist der Définition und elementaren Eigenschciften der Baer—Unterebenen und der Baer—Unterrrâume gewidmet.
1.7 Définition. Sei P = (T,£,I) eine projektive Ebene der Ordnung q.
a) Eine Inzidenzstruktur P' = (T',1') heiSt projektive Unterebene von P, faJls P' eine projektive Ebene ist und T' C T, £' Ç £ und T' Ç I gilt.
b) Sei q eine Quadratzahl. Eine projektive Unterebene der Ordnung y/q heiSt
Baer—Unterebene von P.
Der Name "Baer—Unterebene" leitet sich aus dem folgenden Satz von Baer [1] ans dem JaJire 1946 ab: Ist P eine projektive Ebene und aeine Kollineation der Ordnung 2 von P, die keine Zentralkollineation ist, so bilden die Fixpunkte und die Fixgerciden von a eine Baer—Unterebene von P.
Wie der folgende Satz von Bruck [13] zeigt, sind die Baer—Unterebenen die echten Unterebenen maximaler Ordnung einer projektiven Ebene.
1.8 Satz (Bnick). Sei P eine projektive Ebene der Ordnung q, und sei P' eine echte projektive Unterebene von P der Ordnung n. Dann gilt n <y/q .
Beweis. s. [13] oder auch [5, S.64 f].
1.9 Satz. Sei P eine projektive Ebene der Ordnung q, und sei q eine Quadratzahl. Ist B eine Baer—Unterebene von P, so gilt:
a) Jede Gerade von P enthalt mindestens einen Punkt von B.
b) Durcb jeden Punkt von P geht mindestens eine Gerade aus B.
Beweis. [5, S.64 f].
1.10 Définition. Sei P = (T,£,I) ein projektiver Raum der Ordnung q und der Dimension d.
a) Eine Inzidenzstruktur P' = (V',C',1'} heiBt projektiver Unterraum von P, fcdls P'ein projektiver Raum der Dimension d ist und T' Ç T, £' Ç £ und I' Ç I gilt.
b) Ist q eine Quadratzahl, und ist P' ein projektiver Unterraum von P der Ordnung so nennt man P' einen Baer—Unterraum von P.
c) Ein r—dimensionaJer Baer—Unterraum von P ist ein Baer—Unterraum eines r—dimensionalen linearen Unterraums von P.
Zur Existenz von Baer—Unterrâumen sei vermerkt, daÆ jeder projektive Raum quadra—
tischer Ordnung der Dimension d > 3 und jede desarguessche Ebene quadratischer Ord—
nung einen Baer—Unterraum bzw. eine Baer—Unterebene enthalt (vgl. etwa [4, S .68 ff]).
1.11 Satz. Sei P = PG(d,q) ein projektîver Raum der Dimension d und der Ordnung q, und sei q eine Quadratzahî. Dann gilt fur jeden Bær—Unterraum B von P:
a) Durch jeden Punkt von P\B geht genau eine Gerade ans B.
b) Jeder (d—s)—dimensionale Unterraum von P schneidet B in einem mindestens (d—2s)—
dimensionaien Baer—Unterraum.
c) Ist d = 2t mit t fc W, so güL’ Jeder t—dimension aie Unterraum von P enthâlt mindestens einen Punkt aus B. Ferner existiert ein (t—l)—dimensionaler Unterraum von P, der keinen Punkt mit B gemeinsam bat.
d) Ist d = 2t-j-l mit f e W, so gilt: Jeder (t-f-l)—dimensionaie Unterraum von P enthâlt mindestens eine Gerade (und damit Vq-fl Punkte) aus B. AuBerdem existiert ein zu B disjunkter t—dimensionaler Unterraum von P.
Beweis. a) [30, Th.l].
b) [ 6 , Res.4].
c) Die erste Aussage ist ein Spezialfall von b). Enthielte jeder (t—I}—dimensionale Unterraum von P mindestens einen Punkt aus B, so folgte mit dem Satz von Bose und Burton (Satz 2.1): [Bj > q^~^^-i-...+q+l, im Widerspruch zu |B| = ^/q^^+--+\/q+l- d) Wiederum ist die erste Aussage ein Spezialfall von b). Die zweite Aussage folgt wie in
c) aus der Anwendung des Satzes von Bose und Burton.
§2 Einige Charakterisierungssâtze
2.1 Satz (Bose, Burton [11]). Sei P = PG(d,q), und sei B eine Menge von Punkten in P, so daJÎ jeder (d—tj—dimensionale Unterraum von P mindestens einen Punkt mit B gemeinsam bat. Dann gilt: |B| > q±...+q-f-l mit Gleicbheit genau dann, wenn B die Punktmenge eines t—dimensionaien Unterraums von P ist.
Fur den Fall d—t = 1 ist der Satz von Bose und Burton bereits von TaJlini [31] gezeigt worden.
Der folgende Satz charakterisiert die Baer—Unterebenen einer projektiven Ebene als
blockierende Mengen minimaler Mâchtigkeit.
2.2 Définition. Eine Menge B von Punkten einer projektiren Ebene P heifit blockierende Menge, falls sie den beiden folgenden Bedingungen genügt:
(i) Jede Gerade von P schneidet B in mindestens einem Punkt.
(ü) Keine Gerade von P ist ganz in B enthalten.
2.3 Satz (Bnien). Sei B eine blockierende Menge in einer projektiven Ebene der Ordnung q. Dann gilt |B| > q-h/q+1 mit Gleicbheit genau dann, wenn B die Punktmenge einer Baer—Unterebene von P ist.
Beweis. s.[15] oder auch [18].
Der Satz von Bruen fand in den beiden folgenden Sâtzen von Beutelspacher eine Verallgemeinerung auf beliebig—dimensionale projektive Ràume.
2.4 Satz (Beutelspacher [ 6 ]). Sei P = PG(2t,q) mit t e W, und sei B eine Menge von Punkten in P, die den folgenden Bedingungen genügt:
(i) Jeder t—dimensionale Unterraum von P schneidet B in mindestens einem Punkt.
(ii) Auf jeder Geraden von P liegt mindestens ein Punkt auûerhcdb B.
2 t
Dann ist |B| > ^5 +-.--h-Jq-hl mit Gleichbeit genau dann, wenn B die Punktmenge eines Baer—Unterraums von P ist.
2.6 Satz (Beutelsfjacher [ 6 ]). Sei P = PG(2t+l,q) mit t e N, und sei B eine Punktmenge in P, so dafl jeder (t+ 1 )—dimensionale Unterraum von P mindestens ■^+1 Punkte mit B gemeinsam bat. Dann ist |B| > ^/g '^^+--+-/q+l- Bei Gleicbheit tritt eine der folgenden Môglichkeiten auf:
a) B ist die Punktmenge von -Jq+l paarweise disjunkten t—dimensionalen Unterrâumen von P.
b) B ist die Punktmenge eines Baer—Unterraums von P.
c) Es ist t = 1 und q = 4. B ist die Menge der Punkte einer Ebene E, die auBerhalb eines
Hyperovals von E liegen.
Satz 2.6 ist eine Verallgemeinerung eines Satzes von de Finis und de Resmini [22], der Baer—Unterrâume von PG(3,q) unter wesentlich stârkeren Voraussetzungen als in 2.6 charakterisiert.
Der folgende Satz chajaikterisiert die Menge der Geraden eines Baer—Unterraums von PG(3,q).
2.6 Définition. Sei P = PG(3,q), und sei C eine Menge von Geraden in P. Ein Punkt p ans P heifit (B,S)—blockiereBd (bzgl. jC), falls p die beiden foîgenden Bedingungen erfüUt:
(i) In jeder Ebene durch p liegt mindestens eine Gerade ans C durch p.
(ii) Jede Ebene durch p enthalt mindestens eine Gerade durch p, die kein Elément von
jC, ist.
2.7 Satz (Beutelspacher, Seeger). Sei P = PG(3,q), und sei C eine Menge von Geraden in P, die den foîgenden Bedingungen genûgt:
(i) In jeder Ebene von P liegt mindestens eine Gerade aus ù
(ii) Schneiden sich zwei Geraden aus Z in einem Punkt, so ist dieser (B,S)—bîockierend.
Dann gilt: Ist L keine Faserung in P, so ist > (q+l)(q+-Jq+l) mit Gleichheit genau dann, wenn C die Menge der Geraden eines Baer—Unterraums von P ist.
Beweis. Satz 2.7 ist die dualisierte Version des Satzes aus [9j.
§3 Semilineare Râume
Wir beginnen diesen Paragraphen mit dem foîgenden arithmetischen Lemma.
3.1 Hilfssatz. Sei I eine endliche Indexmenge, und sei e !N für aile i e I. Des weiteren seien a, c e R mit a > 1 / 2 . Ist aj/j+c, sogilt
^ x.(x.~ l)>( 2 a- lXa|Jl -f cj-a^l7|.
ici
Gleichheit gilt genau daim, wenn = a fur aiie f e I.
Bewels. Es gilt
0 < ^ (xj - af i el
iel iel
< ^ x^-(xj-I)-( 2 a-J)(a|f| + c) -h a"\l\.
iel
Somit folgt £.^j Xj{x- — 1) > (2a — 1 X^Ul + c) — a^| J|.
Sei nun x-^(x^— 1) = (2a— l)(a\I\ + c) — a^|J|. Es folgt
0 = x.(x-~ 1 ) -( 2 a- l)(a\I\ -hc)-ha^\I\
i el
iel iel
iel Damit ist x- = a fûr aile i e 1 .
3.2 Satz. Sei L = (T,C,e) ein semilinearer Raum mit v Punkten und b Geraden. Sei r der minimale Punktgrad der Punkte von L. Dann gilt fûr aile k > 1/2:
b > ^( ( 2 k — l)vr — -f- V ).
Gleichheit gilt genau dann, wenn L ein Steinersystem S(2,k,v) ist.
Beweis. Für p aus V sei die Menge der Geraden von £ durch p, und für 1 aus £ sei Tj die Menge der Punkte von T’auf 1.
1. Schritt. Es ist he£ ~ V ^ v(v — 1) mit Gleichheit genau dann, wenn L ein linearer Raum ist.
Sei dazu X := \ (ppP 2 ^\ Pp Pÿ Pi'i' Pÿ> ^ ^ P p P 2 ^
iT’jidJ’ji - d = i-^i = X X
Je/: peT J e£
Fûr jeden Punkt p aus V gilt (l^^l ~ V ^ v — 1 mit Gleichheit genau dann, wenn p P
mit jedem anderen Punkt von ? auf einer gemeinsamen Geraden liegt. Damit folgt
^peT^le/: i\Vj\ — 1) < v(v — 1 ) mit Gleichheit genau dann, wenn L ein linearer Raum ist.
2. Schritt. Fur k > 1/2 gilt
(( 2 k - l)vr- -f- v).
Gleichheit ^It genau dann, wenn L ein Steinersystem S(2,k,v) ist.
Wegen
le£ peP
kônnen wir Lemma 3.1 mit I =
jC, x- = |Pj|, a = i und c = vr — kh> anwenden. Wir erhalten ~ V ^ (2k — l)vr — k^b mit Gleichheit genau dann, wenn k =
\Tj\ für aile J e
jC. Schritt 1 liefert nun v^ — v > (2k — l)vr — k^b. Gleichheit gilt genau dann, wenn L ein Steinersystem S(2,k,v) ist.
Der folgende Satz ist das wichtigste Résultat dieses Paxagraphen:
3.3 Satz. Sei L = (T,C,I) ein semihnearer Raum mit v Punkten und b Geraden. Sei r der 2
minimale Punktgrad der Punkte von V. Dann gilt b > mit Gleichheit genau dann, wenn L ein Steinersystem S(2,k,v) mit k = ist.
Beweis. Ist L ein Steinersystem S(2,k,v) und vom Punktgrad r, so ist L gleichzeitig ein
_1 ^ 2 ^
semilinearer Raum mit k = ——- und b = —;—r .
r v-tr—l
Sei nun umgekehrt L ein semilinearer Raum. Dann folgt aus Satz 3.2 mit k := v+r-1 .
( v+r-lf
Ebenfcills nach 3.2 gilt Gleichheit genau dann, wenn L ein Steinersystem S(2,k,v) mit i = ^ ist.
r
Wir werden Satz 3.3 mehrfach in der folgenden leicht vêiriierten Version aiiwenden.
3.4 Satz. Sei L ein semilinearer Raum. Enthâh L mindestens v' Punite und gehen durci jeden Punkt von L mindestens r' Geraden, so gilt fur die Anzahl b der Geraden von L:
b > y/j Gleichheit genau dann, wenn L ein Steinersystem S(2,k,v') mit k :=
v'+r'—l . ist.
Beweis. Sei v die Anzahl der Punkte und r der minimale Punktgrad von L. Nach 3.3 gilt
2 j. 2 ^
b > . Aus V > v' und r > r' folgt mit einer einfachen Rechnung >
r'^v' r'^v'
ÿ, ■ Ebenfalls mit 3.3 gilt also b > j Gleichheit genau dann, wenn L ein Steinersystem S(2,k,v) ist mit k = ^ . In diesem Fall ist v = v' und r = r'.
Wir beschliefien den Paragraphen mit dem folgenden Korollar aus 3.3.
3.5 Korollar. Sei L ein semilinearer Raum mit v Punkten und b Geraden. Sei k der
. k^b • ■ •
minimale Geradengrad der Geraden von L. Dann gilt v > Gleichheit genau dann, wenn L ein Steinersystem S(2,k,v) ist.
Beweis. Sei L' der zu L duale Raum. Dann ist L' ein semilinearer Raum mit v' = b
Punkten, b' = v Geraden und minimcilem Punktgrad r' = k. Damit folgt das Korollar
unmittelbar aus Satz 3.3.
KAPITEL IL BÔGEN UND FASERUNGEN
Der erste Abschnitt ist einer kurzen Diskussion der -| Bôgen einer projektiven Ebene gewidraet. Neben der Définition der Bôgen werden einige wichtige Resultate ûber regulâre und ûber maximale Bôgen vorgestellt. Inhalt des §2 ist die folgende Charakterisierung der regulâren Bôgen mit n > yfq+1 einer projektiven Ebene der Ordnung q: Ist B ein regulârer \ v,n}^—Bogen einer projektiven Ebene P der Ordnug q mit V > n > so ist B eine Baer—Unterebene, ein Unital oder ein maximaler Bogen in P.
Diesen Satz verallgemeinern wir in §3 auf projektive Raume beliebiger Dimension. In Kapitel III werden wir von diesem Résultat Gebrauch machen.
Im vierten Abschnitt dieses Kapitels betrachten wir geometrische Faserungen. Nach der EinfQhrung der Définition der Faserungen sowie eines Satzes von Beutelspacher und Eugeni ûber geometrische Faserungen beweisen wir die Umkehrung des erwâhnten Satzes von Beutelspacher und Eugeni. Dieser Satz wird bei der Charakterisierung der Blockaden in Kapitel III ein nûtzliches Hilfsmittel sein.
§1 ■{ y,U [—Bôgen in projektiven Ebenen
Die folgende Définition geht auf Bailotti [3] zurûck.
1.1 Définition. Eine Menge B von v Punkten einer projektiven Ebene P heiBt
\v,n\—Bogen, falls B die beiden folgenden Bedingungen erfülît:
(i) Auf jeder Geraden von P liegen hôchstens n Punk te von B.
(ii) Es gibt mindestens eine Gerade von P, auf der genau n Punkte von B liegen.
1.2 Définition. Sei B ein ■{ v,n f—Bogen in einer projektiven Ebene P.
a) Fur s = 0, 1, 2,..., n bezeichnet L die Anzahl der Geraden von P, auf denen genau i
Punkte von B liegen. Man nennt die Zahlen tp ..., t^ die Cbaraktere von B.
b) B heiÜt vom Typ (m^
idj) mit 0 < < ...< mj = n, falls die einzigen von Null verscbiedenen Charaktere von B sind.
1.3 Définition. Sei B ein -| v,n \—Bogen in einer projektiven Ehene P.
a) B heUit regulâr, lalls B vom Typ (0,n), (l,n) oder (0,1,n) ist oder falls B = P gilt.
b) Ist B vom Typ (0,n) oder ist B = P, so nennt man B maximal.
Ist B ein Bogen in einer projektiven Ebene P der Ordnung q, so ist v <
(q+l)(n—l)pl. Gleichheit gilt genau dann, wenn B vom Typ (0,n) ist oder wenn B = P gilt (in diesem Fall ist B vom Typ (q+1 ))• Dieser Sachverhalt motiviert die Bezeichnung maximal für die j v,n Bôgen vom Typ (0,n). Maximale Bôgen sind intensiv untersucht worden. Wir erwâhnen die folgenden Resultate:
1.4 Satz (Barlotti [3]). Sei B ein maximaler jv,n}^—Bogen in einer projektiven Ebene der Ordnung q. Dann ist n ein Teiler von q, oder es ist B = P.
Der folgende Satz von Denniston zeigt, daô die Umkehrung des Satzes von Barlotti in desarguesschen Ebenen gerader Ordnung gültig ist.
1.5 Satz (Denniston [23]). Sei P eine desarguessche projektive Ebene der Ordnung q = 2™. Ist n ein Teiler von q, so existiert ein maximaler ](q-tl)(n—l)+l, n[—fîogen in P.
Thas vermutete in [34], dafi es in einer desarguesschen projektiven Ebene P = PG(2,q)
ungerader Ordnung neben der affinen Ebene AG(2,q) und P selbst keine weiteren
maximalen Bôgen gibt. Fur den folgenden SpezialfcJl hat Thas diese Vermutung
bewiesen.
1.6 Satz (Thas [34]). In der desarguesscben projektiven Ebene P = PG(2,^), b > 1, gibt es weder maximale -| v,3\—Bôgen nocb maximale -| v,3^ ^ \—Bôgen.
Wir beschliefien diesen Paxagraphen mit der Charaiterisierung der regulâren ] Bôgen vom Typ (l,n) in einer projektiven Ebene von Primzahlpotenzordnung von M. Tallini Scafati [32]. Zuvor erinnern wir an die Définition der Unitale.
1.7 Définition. Sei P eine projektive Ebene der Ordnung q, und sei q eine Quadratzahl.
Bine Menge U von qy/q+1 Punkten von P mit der Eigenscbcdt, daB jede Gerade von P die Menge U in genau y/q+1 oder in genau einem Punkt schneidet, beiBt Unital.
In jeder desarguesscben projektiven Ebene quadratischer Ordnung existieren Unitale.
1.8 Satz (Tallini Scafati [32]). Sei B ein regulaser ]v,n\—Bogen vom Typ (l,n) in einer projektiven Ebene von Primzahlpotenzordnung. Dann tritt eine der folgenden Môglichkeiten au/;
(i) B ist die Punktmenge einer Geraden von P.
(ii) B ist ein Unital in P.
(iii) B ist die Punktmenge einer Baer—Unterebene von P.
§2 Charakterisiemng einer Klasse regulârer \v,n |—Bôgen in projektiven Ebenen
In diesem Paragraphen bezeichnet B stets einen regulâren ]v,n[—Bogen in einer
projektiven Ebene P der Ordnung q. Mit C bezeichnen wir die Menge aller Geraden von
P, die genau n Punkte mit B gemeinsam haben. Dann bilden die Punkte von B und die
Geraden von C, ein Steinersystem S vom Typ S(2,n,v). Mit r bezeichnen wir den
Punktgrad der Punkte von S. Schliefilich sei k := n—1.
2.1 Lemma. Sei x ein Punkt von P\B, und sei die Anzahi der Geraden ans C durch x.
Dann giH s > r — q/k mit Gleichheit genau dann, wenn B vom Typ (l,n) ist.
Beweis. Sei x e P\B, und sei die Anzahi der Geraden von P durch x. die B in genau einem Punkt schneiden (Tangenten durch x an B). Wlr betrachten nun die Geraden von P durch X und erhalten
V = |B| = sjk + 1 ) + t^ = s^k + + t^< s^k P q -t- 1 . Andererseits ist v = rk + 1, woraus > r — q/k folgt.
2.2 Satz. Sei B ein regulârer \ v,n\—Bogen in einer projektiven Ebene der Ordnung q.
Dann giît:
O 2
- (q + 1 + ^)r + (k + 1 ) 0 . Gleichheit gilt genau dann, wenn B vom Typ (l,n) ist.
Beweis. Wir betrachten die auf den Punkten von P\B durch die Geraden von £ induzierte Inzidenzstruktur. Durch Abzâhlen der Inzidenzen erhalten wir
= s^>((P + (l-rk)(r-^), xeP\B
wobei sich die letzte üngleichung aus 2.1 ergibt.
Aus |B| = rkpl und = r|B| folgt |£| = und damit r(rk + l)(q -k)>(q^ + q- rk)(r - |j.
Es folgt
^^k(q - k) + k)r^ + ((q - - q - q)r + (q^ + q)J > 0 , aiso (k(q - k) + (k P l)k)r^ P (q-k-(q^ P 2q)(k P l))r P (q P q)^(k P 1)>0.
Hieraus ergibt sich
/-(q + l+^)r + (k + l)^ > 0 . k
Aus 2.1 folgt, dafi Gleichheit genau dann auftritt, wenn B vom Typ (l,n) ist.
2.3 Lemma. Seien r, q, k e U mit 1 < r < qpl und k > -/q. Dann gilt
f -r)<(q + y/q- r^q-
Beweîs. Für k = y/q gilt Gleichheit. Sei i = Vq -fa mit a > 0. Aus a > 0 und r < q-f 1 <
q-fVq folgt
0<(q + \fq- r)(aP + a^/qj + aq.
Es folgt
q -f q^/qa + q^/q — rq - raVq 2
2 2
< q -f qVqa + qy/q —rq -ray/q -f (q -f Vq ~ + ^>/q) + Wir erhalten
y/q(q(y/q + a + l) - r (y/q + a)) < (q + y/q-r)(a^ + 2 ayfq + q)
Aus k = y/q + a folgt
i(q + yfq- i)(yR + ^9■
y/q(q(k + 1 ) - rk) < (q + y/q - rjiX
Division durch und Multiplikation mit y/q liefert die gewûnschte Ungleichung.
2.4 Satz. Sei B ein regulârer -| v,n\—Bogen mit v > n. Ist n > yfq+l, so ist r e \y/q-hl, q, q+U-
Beweis. 2.2 und 2.3 implizieren
2
0 < r^-(q-h 1 + ^ )r + (k + 1 )Ç = r^-(q-h l)r + | (q^^-r)
< r^-(q + l)r + (q + y/q -r)y/q = - (q + 1 + y/q)r + q(y/q + 1 )
= (r-q)(r-(^/q + !))■
Wegen r > n > y/q+l folgt r e -{^/q-f q, q-f 1 [ .
Wir kommen nun zu dem Hauptergebnis dieses Paragraphen.
2.5 Satz. Sei B ein regulârer \ v,n\—Bogen in einer projektiven Ebene P der Ordnung q.
Ist n > y/q+1, so tritt eine der folgenden Môglichkeiten auf:
(i) B ist die Menge von n Punkten auf einer Geraden von P.
(ii) B ist eine Baer—Unterebene von P.
(iii) B ist ein Unital in P.
(iv) B ist ein maximaler Bogen in P.
Beweis. Im Hinblick auf Satz 2.4 haben wir für v > n die drei Fâlle r = \/q+2, r = q und r = q-f 1 zu betrachten.
r = Vq+1: Aus y/q-f-1 = r > n > y/q+1 folgt n = und somit v = q-hy/q-hl- Damit ist B eine Baer—Unterebene von P.
r = q: Satz 2.2 impliziert
2 2 2 0 < — (q + 1 + ^)r + (k + 1 ) ^ = q^ — (q + 1 + ^)q + (k + l)^ = —q + ^.
k k k
Es folgt k < q und somit k < ^Jq. Mit k+1 = n > >/q-H ergibt sich n = yfq+1 und v = qy/q+l. B ist daher ein Unital in P.
r = q+1: Es ist v = (q-f-1 )(n—lPolglich ist B ein maximaler Bogen in P.
Als Korollar aus Satz 2.5 ergibt sich der folgende Satz von Hubaut [27].
2.6 Korollar (Hubaut). Sei B ein nicitmaximaJer reguiârer -jvjnf—Bogen in einer projektiven Ebene P der Ordnung q. Dann gilt v < q^+l. Gleichbeit giît genau dann,
wenn B ein Unital in P ist.
Wir beschliefien diesen Paragraphen mit der folgenden Folgerung aus Satz 2.5.
2.7 Satz. Jeder reguiâre ] v, y/q-f-1 [—Bogen B einer projektiven Ebene P der Ordnung q (q QuadratzahJ) mit v > 'Jq-f-1 ist entweder eine Baer—Unterebene oder ein Unital in P.
Beweis. Im Hinblick auf 2.5 mûssen wir zeigen, dafi B nicht mciximal ist. Nach dem Satz von Baxlotti (1.4) waje in einem solchen Fcill aber n = ^/q+l ein Teiler von q, was unmôglich ist.
§3 Charakterisierung einer Klaase regulâxer ■{ v,n [—Bogen in projektiven Ràumen
Ziel dieses Paragraphen ist die Verallgemeinerung der Ergebnisse von §2 auf projektive
Raume der Dimension d > 3.
3.1 Définition. Sei P = PG(d,q), und sei B eine Menge von v Punkten in P.
a) B heiÜt \ v,n\—Bogen, falls nicht mebr als n Punkte aus B kollinear sind und falls es eine Gerade von P gibt, au/ der genau n Punkte von B liegen.
b) Ein \v,n\—Bogen heiBt regulâr, falls jede Gerade von P die Menge B in genau 0, 1 oder n Punkten schneidet.
3.2 Satz. Sei P = PG(d,q), und sei q eine QuadratzcLhl. Weiterhin sei B ein regularer -| v,yjq+l 1^—fîogen in P. U
qbezeichne den von den Punkten von B aufgespannten linearen Unterraum von P. Ist dim U
q> 3,
soist B ein Baer—Unterraum von JJÿ.
Beweis. Sei £ die Menge der Geraden von P, auf denen genau i/q-f-l Punkte von B liegen, und sei H ein dreidimensionaler Unterraum von U^, der von Punkten von B aufgespannt wird.
1. Schritt. R enthâlt mindestens eine zu B disjunkte Gerade.
Angenommen, jede Gerade von R enthielte mindestens einen Punkt von B. Dann ist nach 2.7 fûr jede Ebene E von R die Menge E fl B eine Baer—Unterebene oder ein Unital in E.
Sei l eine Gerade aus £, und sei a die Anzahl der Ebenen E von R durch i, so dafi E fl B eine Baer—Unterebene von E ist. Dann liegt 1 in q + 1 — a Ebenen E von R, so dafi E fl B ein Unital in £ ist. Entsprechend sei c die Anzcihl der Ebenen E von R durch eine Gerade g fÊ £, so dafi E fl B eine Baer—Unterebene von P ist.
Es folgt
aq + (q + 1 - a)(qyjq - .jq) -f- y/q-{- 1 = |Hfl B|
= c(q + y/q) + (q + 1 - c)qyfq + 1 , also
(q + l)(qyfq-y/q) + yfq + l - (q + l)qyfq- 1 = (c - a)(q +yfq-qyfq).
Damit gilt
qyfq=(c- a)(qy/q -q-yfq).
Die Gleichung q = (c — a)(q — yJq — 1 ) führt zum Widerspruch.
2. Schritt. Sei R ein dreidimensionaler Unterraum von U
q, der von Punkten ans B auf—
gespainnt wird. Dann ist | Jî D B ] < q>/q + q + y/q + 1.
Sei } eine nach Schritt 1 existierende zu B disjunkte Gerade in R, und sei E eine Ebene von R durch l Die Menge B fl R ist nach 2.7 die Menge von \/q+l Punkten auf einer Geraden von E, eine Baer—Unterebene oder ein Unital in E. Die beiden letzten Môglichkeiten scheiden aus,,.da E die zu B disjunkte Gerade i enthâlt. Somit liegen in jeder Ebene von R durch } hôchstens i/q+l Punkte aus B. Es folgt |R fl B| <
(<i+i)(yR+i) =
3. Schritt. B ist ein Baer—Unterraum von
Wir bezeichnen mit L den von B und £. gebildeten lineciren Raum. Jede Gerade von L enthâlt y/q+1 > 3 Punkte. Sei £ eine Ebene von U^, die von Punkten aus B aufgespannt wird. Nach 2.7 ist E fl B eine Baer—Unterebene oder ein Unital. Sei nun p ein Punkt von B aufierhalb E. Daim enthâlt der von p und E aufgespannte dreidimensionale Unterraum R mindestens (E fl B|^-fl Punkte aus B. Schritt 2 impliziert nun aber |E fl B| <
q-hJq+1- Somit ist E fl B eine Baer—Unterebene von E. L ist damit ein Baer—
Unterraum von Up.
3.3 Satz. Sei P = PG(d,q), und sei B ein reguîaser -j v,n \—Bogen in P mit n > y/q+1. Wie in Satz 3.2 hezeichne U
qden von B aufgespannten linearen Unterraum von P. Ist t :=
dim U
q> 3, so ist entweder n = q, und B ist ein t—dimensionaJer affiner Raum der Ordnug q in P, oder es ist n = q+1 und B = U^.
Beweis. Sei £ die Menge der Geraden von P, auf denen genau n Punkte von B liegen, und sei L der von B und £ gebildete lineare Raum. Sei nun E eine Ebene von U^, die von Punkten aus B erzeugt wird. Wir mûssen zeigen, dab B fl E entweder die Punktmenge einer affinen Ebene in E ist oder daifi B fl E = E gilt. Sei dazu R ein dreidimensionaler Unterraum von durch E, der von Punkten aus B erzeugt wird.
1.Schritt. Jede Gerade von R enthâlt genau n oder keinen Punkt von B.
Angenommen, es existierte eine Gerade i von R, die B in genau einem Punkt trifft. Sei F eine Ebene von R durch b Ist |F H fî| > n. so ist F H B nach 2.5 entweder die Menge von n Punkten auf einer Geraden von F oder aber ein maximaler Bogen in F. Die letzte Môglichkeit scheidet ans, da in F eine Tangente an B liegt. Daher ist |F fl B| < n.
Einfaches Abzâhlen ergibt [H fl B| < (q+l)(n—l)+l. Da F fl B ein maximaler Bogen in E ist, gilt |£ n B] = {q-i-l)(n—l)+î = |K fl B|, also £ fl B = R fl B. Dies ist aber ein Widerspruch.
2. Schritt. B n E ist eine affine Ebene in E, oder es ist B fl E = E.
Sei P e B n R. Dann liegen ncich Schritt 1 auf jeder Geraden von R durch p genau n
n
