Notions de géostatistique Annexe A

Annexe A

Notions de géostatistique

Cette annexe présente de manière condensée les notions de géostatistique nécessaires à la bonne compréhension de certaines étapes de la méthode de simulation stochastique utilisée pour la cartographie et l'estimation du dégazage total du CO 2 . Les concepts qui vont être développés ici sont la géostatistique linéaire, le semivariogramme, le krigeage et la simulation stochastique gaussienne séquentielle.

Pour les personnes qui veulent approfondir ces notions, voici deux références très utiles : Applied Geostatistics (Isaaks and Strivastava, 1992) et Practical Geostatistics 1979 (Clark, 2001).

A.1. Géostatistique linéaire

Le but des méthodes géostatistiques est l'estimation de valeurs inconnues sur une grille régulière à partir de points mesurés en utilisant un modèle statistique.

Soit la variable d'étude z mesurée en différents points de coordonnées régionalisées (x i ) i=1,p =(x i ,y i ) i=1,p pour les p valeurs expérimentales.

A.1.1. Concept de fonction aléatoire A.1.1.1. Variable régionalisée

La variable régionalisée est une fonction z(x), supposée continue, représentant les valeurs mesurées aux points (x i ) i=1,p (Matheron, 1970).

A.1.1.2. Variable aléatoire

Soit le jeu de p valeurs expérimentales (z ^exp (x i )) i=1,p comme le résultat d'un mécanisme aléatoire: la valeur mesurée z ^exp (x i ) représente une des valeurs possibles de la variable aléatoire Z(x i ). Une variable aléatoire continue est une variable susceptible de prendre un nombre infini de valeurs possibles. Par exemple, le poids, la hauteur, les flux de CO 2 sont des variables aléatoires continues.

A.1.1.3. Fonction aléatoire

Une fonction aléatoire Z(x) est une fonction mathématique d'une ou de

plusieurs variables aléatoires. La variable régionalisée z(x) est supposée être une

réalisation particulière d'une fonction aléatoire Z(x) continue et obéissant à une loi

spatiale.

A.1.2. Loi spatiale

La loi spatiale F définit la fonction aléatoire Z(x) qui lui est associée en terme de probabilité. C'est la loi de probabilité conjointe des (Z(x 1 ), Z(x 2 ),…..,Z(x n )), quel que soit l'ordre n et quels que soient les points (x 1 ,x 2 ,…..,x n ).

F(s 1 ,s 2 ,…….,s n ) = P{(Z(x 1 ) ≤ s 1 ) et (Z(x 2 ) ≤ s 2 ) et ……..et (Z(x n ) ≤ s n )} (A.1) avec P{A}, la probabilité d'occurrence de l'événement A.

La loi spatiale complète inclut la loi monovariable (n=1) et la loi bivariable (n=2).

A.1.2.1. Loi spatiale monovariable

La loi spatiale monovariable permet de définir la fonction de répartition (ou de distribution cumulative) des probabilités de Z(x) en tout point. Cette fonction est la probabilité que Z(x) soit inférieur à une valeur numérique s donnée.

F Z(x) (s) = P{Z(x) ≤ s} (A.2)

Pour une fonction aléatoire continue, la densité de probabilité est définie selon:

ds s f dF _Z(x) ( )

Z(x) = (A.3)

La fonction de distribution des probabilités se déduit de la fonction de densité par intégration:

(A.4)

∫ ∞

−

×

= ^s f s ds s

F _Z(x) ( ) _Z(x) ( )

La densité de probabilité intervient dans le calcul des moments.

• Moment d'ordre m:

(A.5)

ds s f s

M _Z ^m _{( x )} = ^+∞ ∫ ^m × _{Z (x)} ( ).

∞

−

• Moment centré d'ordre m:

(A.6)

m Z Z

m

m s f s ds M

Mc _{Z(x )} = ^+∞ ∫ × _(x) ( ) × − ( ¹ _{( x )} )

∞

−

Les moments d'ordre 1 et 2 permettent de définir l'espérance mathématique et la variance.

L'espérance mathématique de Z au point x, E[Z(x)], est définie comme le moment d'ordre 1 de la densité de probabilité f Z(x) (s).

(A.7)

[ ] ^+∞ ∫

∞

−

×

×

=

= M s f s ds

Z

E (x) _Z ¹ _{( x ) Z(x)} ( )

La variance de Z au point x, , est définie comme le moment centré d'ordre 2 de la densité de probabilité f

) x

2 ( σ z Z(x) (s).

[ ]

( ²

Z(x) 2 2

Z ( x ) = ^+∞ ∫ s × f ( s ) × ds − E Z (x)

∞

−

σ )

[ ]

( )

[ ^{Z (x) E Z (x) 2} ]

E −

= (A.8)

A.1.2.2. Loi spatiale bivariable

La loi spatiale bivariable de Z(x), F Z(x1),Z(x2) (s 1 ,s 2 ), est définie comme la probabilité conjointe de deux points (x 1 ,x 2 ).

F Z(x1),Z(x2) (s 1 ,s 2 )) = P{(Z(x 1 ) ≤ s 1 ) et (Z(x 2 ) ≤ s 2 )} (A.9) La densité de probabilité conjointe f Z(x1),Z(x2) (s 1 ,s 2 ) est:

2 1

2 1 Z(x2) Z(x1), 2

1 Z(x2) Z(x1),

) , ) (

,

( s s

s s s dF

s

f = ∂ ∂ (A.10)

La covariance et le semivariogramme sont caractérisés par la loi spatiale bivariable.

Ils permettent d'estimer le degré de corrélation entre deux points (x 1 ,x 2 ) suivant les équations:

• Covariance (centrée):

[ ( x ) ] [ ( x ) ]

) x , x ( )

x , x

( _{1 2} C _{1 2} E Z ₁ E Z ₂

C _Z = _Z ^nc − × (A.11)

[ ( x ) ( x ) ]

centrée non

covariance la

est

où C _Z ^nc C _Z ^nc = E Z ₁ × Z ₂

• Semivariogramme:

[ ]

( 1 2 ² )

2

1 (x ) - (x )

2 ) 1 x , x

( E Z Z

Z =

γ (A.12)

A.2. Semivariogramme

A.2.1. Définition

Le semivariogramme est défini comme suit:

[ ]

( _{i i} ) ²

) N(h

1

) (x h) N(h) (x

2 ) 1 h

( Z Z

i

Z = ∑ + −

=

γ (A.13)

où h est la distance entre deux points de mesures et N(h) est le nombre de couple de points distants de h.

L'unité de γ z (h) est l'unité de la valeur au carré (ex: ppm ² ).

L'utilisation de cette équation implique deux hypothèses de bases:

• Hypothèse de stationnarité (Matheron, 1970): La fonction aléatoire Z(x) est stationnaire si sa loi spatiale est invariante par translation. Si (x 1 ,x 2 ,…,x n ) sont n points d'appui, les n variables aléatoires (Z(x 1 ), Z(x 2 ),….Z(x n )) ont la même loi spatiale que les variables aléatoires (Z(x 1 +h), Z(x 2 +h),…..Z(x n +h)).

L'espérance mathématique et la variance d'une fonction aléatoire stationnaire sont des constantes indépendantes du point d'appui:

F Z(x) (s) = F(s) (A.14)

E[Z(x)] =m Z (A.15)

où m z est la moyenne de la variable z(x)

[ ]

[ 2 ] Z ²

2

Z ( x ) ( (x) (x) ) σ

σ = E Z − E Z = (A.16)

où σ _z ² est la variance de la variable aléatoire z(x)

• Hypothèse intrinsèque: le variogramme γ est indépendante du point d'appui x 0 , par exemple, le passage de γ(x,h) à γ(h).

[ Z (x ₀ h ) Z ( x ₀ ) ] m ( h )

E + − = (A.17)

[ ^{Z (x} ₀ ^{+ h ) − Z (x} ₀ ⁾ ] ^{= 2 γ ( h )}

Var (A.18)

A.2.2. Représentation du semivariogramme

L'élaboration du semivariogramme consiste en un semivariogramme expérimental, construit à partir des données originales et qui caractérise la continuité spatiale de l'ensemble des données. Un modèle de semivariogramme est ensuite ajusté au semivariogramme expérimental. La continuité spatiale est réalisée quand les valeurs entre deux points proches l'une de l'autre sont similaires.

Les informations fournies par un semivariogramme sont les suivants:

▪ la portée (range) , notée a (en m; figure A-1a) représente l'espacement limite, suivant l'axe des abscisses, entre deux points au delà de laquelle les deux points ont des valeurs très différentes.

▪ le palier (sill), notée c ("unité de la valeur" ² , figure A.1a) représente la limite à partir de laquelle la croissance du semivariogramme se stabilise.

▪ effet pépite (nugget effect), notée c 0 ("unité de la valeur" ² ): bien que la valeur du

semivariogramme pour h = 0 est strictement 0, d'autres facteurs, telle qu'une erreur

d'échantillonnage et une variabilité importante entre les valeurs sur des espacements

très faibles. Le saut vertical à partir de la valeur 0 à l'origine jusqu'à la valeur du

semivariogramme à des séparations faibles est appelé effet pépite (figure A.1a).

h (m)

0 50 100 150 200 250

γ (h)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

palier (c) portée (a)

effet pépite (C ₀ )

h (m)

0 50 100 150 200 250

γ (h)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

modèle de semivariogramme

(b) (a)

Figure A.1. Semivariogrammes (a) expérimental et (b) modèle.

Dans l'élaboration du semivariogramme expérimental, on essaie de trouver la meilleure direction de continuité spatiale de la structure (figure A-1b).

Il existe plusieurs modèles de semivariogramme (Deutsch and Journel, 1998):

▪ Modèle sphérique:

a h si , a h si ,

5 . 0 5 . ) 1

(

3

0 ≤

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

≥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

×

= + c

a h a

c h h c

γ (A.19)

▪ Modèle exponentiel :

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

−

× +

= a

c h c

h 3

exp 1 )

( ₀

γ (A.20)

▪ Modèle Gaussien:

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

× +

= ₀ ( 3 ₂ ) ² exp

1 )

( a

c h c

γ h (A.21)

▪ Modèle de puissance:

(A.22)

h w

c c h ) = ₀ + × γ (

où la puissance w se situe entre 0 et 2

▪ Modèle du "Hole effect":

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ ×

−

× +

= π

γ a

c h c

h ) 1 cos

( ₀ (A.23)

A partir du modèle, qui s'ajuste le mieux au semivariogramme expérimental,

les paramètres (le palier c, la portée a et l'effet pépite c 0 ) seront ensuite utilisés dans

les simulations stochastiques.

A.3. Le krigeage

Le principe du krigeage est d'estimer la valeur de la variable aléatoire z(x), en tout point x 0 d'une grille de calcul, par interpolation linéaire à partir des valeurs (z ^exp (x i )) i=1,p , également notées (z i ) i=1,p , connues aux points expérimentaux (x i ) i=1,p :

(A.24)

i p

i

i z

z = ∑ ×

=1 0

*

0 λ

où z ₀ ^* est la valeur estimée

et λ ⁱ ₀ est le coefficient de pondération

Il existe trois types de krigeage: le krigeage simple, le krigeage ordinaire et le krigeage universel. Le krigeage ordinaire est le plus utilisé mais seul le krigeage simple sera développé ici car il intervient dans l'algorithme de simulation stochastique gaussienne séquentielle (cf. chapitre A.1.5).

L'estimateur du krigeage simple linéaire de z ^* ₀ z(x 0 ) au point x 0 est défini comme suit:

(A.25)

[ _i ]

i i

z m

m

z = + −

= ∑

= i

p

1 0 0

*

*

0 ( x ) z

z λ

où m z et m i sont les moyennes de z(x) et de z i

Il s'agit de trouver, en tout point x 0 , la valeur des coefficients inconnus appelés coefficients de pondération du krigeage.

p , 1 0 ) ( λ ⁱ _{i =}

Deux conditions portant sur l'erreur d'estimation , sont imposés à cet estimateur :

0

* 0 0 ) x

( = z − z

ε

*

z 0

• La condition de non biais car le krigeage essaie d'avoir la moyenne résiduelle ou erreur égale à 0

[ * 0 ] ⁰

0 − z =

z

E (A.26)

• La condition de minimum de la variance de l'erreur d'estimation

[ ] [ * 0 ² ]

0 0

*

0 z E ( z z )

z

Var − = − minimum (A.27)

La variance de l'erreur d'estimation au point x 0 est:

(A.28)

[ ] ^{( x , x ) ( x} 0 ^{x ) 0}

1 0 0

0 2

0 0

*

0 − = = − ∑ × − ≥

= i

p i

i C

C z

z

Var σ λ

Le système linéaire de krigeage, pour un modèle de semivariogramme, s'écrit sous sa forme matricielle suivante:

C × λ ⁱ ₀ = D

(A.29)

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

=

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

1 0

1 1

1 1

1 0

1 0

1 0

0 20 10

0 0 2 0 1 0

3 2 1

2 23

21

13 12

n n

n n n

n in

γ γ γ

µ λ λ λ

γ γ γ

γ γ

γ

γ γ

γ

M M K

K

M M M

M M

K K

où γ _ij (matrice de gauche) est la valeur du semivariogramme calculée pour la distance entre les deux points expérimentaux x i et x j : γ _ij = γ _Z ( x _i , x _j ) ;

et γ _{i 0} (matrice de droite) est la valeur du semivariogramme calculée pour la distance entre le point estimé x 0 et le point expérimental x i : γ _{i 0} = γ _Z ( x _i , x ₀ ) .

Pour résoudre ce système, il suffit d'inverser la matrice, pour tout point x 0 . Ce système dépend uniquement de la distance entre les points expérimentaux (z i ) i=1,p et du modèle du semivariogramme choisi.

= C

i

λ 0 ^-1 × D (A.32)

Le coefficient de pondération est déduit par le système matriciel (A.32) et l'estimateur est alors calculé en utilisant l'équation (A.25).

*

z 0

Le krigeage dépend beaucoup des paramètres du modèle de semivariogramme définis. Ces paramètres peuvent affecter les coefficients de pondération du krigeage (Isaaks et Srivastava,1992):

• Le palier: le palier affecte la variance du krigeage, elle augmente du même facteur qui est utilisé pour mettre le palier à l'échelle du semivariogramme.

• L'allure du semivariogramme: suivant le modèle choisi, on peut obtenir des coefficients de pondération négatifs, ce qui peut produire une estimation erronée.

• L'effet pépite: plus l'effet pépite est élevé et plus la variance du krigeage augmente. L'estimation se rapproche alors d'un simple calcul de la moyenne des données.

• La portée: les changements dans la portée change de façon notable l'estimation.

La variance du krigeage n'est pas une "réelle" mesure sur la précision de

l'estimation de la valeur estimée, car elle ne dépend pas des valeurs aux points d'appui

mais dépend de la configuration spatiale des données (cf. équation (A.31)). Bien que

la variance associée à une valeur estimée diminue vers 0 quand on se rapproche de la

position du point simulé, l'incertitude au niveau d'un point simulé à la frontière entre

un point mesuré avec une valeur élevée (forte concentration par exemple) et un point

mesuré avec une valeur basse, sera faible. En effet, l'incertitude est seulement le

résultat de calcul lié à la propriété d'agencement spatial des points et non à la valeur

de ces points (Rautman and Istok, 1996).

A.4. Simulations stochastiques

Les simulations stochastiques génèrent un ensemble de réalisations qui sont statistiquement équivalentes (même loi spatiale) et statistiquement indépendantes, toutes reproduisant les caractéristiques statistiques et spatiales générales des données originales.

Le processus de simulations stochastiques permet, non pas d'obtenir la meilleure estimation (comme dans le cas du krigeage) mais de fournir des exemples de ce que pourrait être la réalité (inconnue) à l'intérieur d'une gamme d'incertitude donnée par l'estimation.

A.4.1. Simulations stochastiques non- conditionnelles

Les valeurs d'une réalisation de simulation stochastique non conditionnelle peuvent différer de celles des données expérimentales (Figure A.2b).

A.4.2. Simulations stochastiques conditionnelles

Les simulations stochastiques conditionnelles génèrent des réalisations qui

vérifient les valeurs observées (Figure A.2c).

Figure A.2. Comparaison des valeurs réelles et des valeurs obtenues (a) par krigeage, (b) par

simulations stochastiques non-conditionnelles et (c) par simulation stochastiques conditionnelles

(d’après Rentier, 2002).

A.4.3. Méthode de simulation stochastique Gaussienne séquentielle A.4.3.1. Introduction

De nombreuses méthodes de simulation stochastique sont utilisées (Deutsch and Journel, 1998; Goovaerts, 1997) et parmi ces méthodes, on en distingue deux types: les méthodes gaussiennes et non gaussiennes. Les méthodes gaussiennes considèrent que les variables suivent une loi de distribution gaussienne ayant toutes la même moyenne (espérance), la même variance et le même variogramme. Les algorithmes qui sont les plus utilisés sont ceux de la méthode des bandes tournantes (Matheron, 1973; Mantoglou and Wilson, 1982), des méthodes spectrales (Gutjahr, 1989), de la méthode de décomposition LU de Cholesky (Clifton and Neuman, 1982) et de la méthode des simulations gaussiennes séquentielles (Deutsch and Journel, 1998). Les méthodes non gaussiennes considèrent que les variables ne suivent pas une loi de distribution gaussienne. Les algorithmes principales utilisés sont les méthodes de simulation des indicatrices (SIS) (Journel and Alabert, 1989,1990; Gomez- Hernandez and Srivastava, 1990), l'algorithme du recuit simulé (Deutsch and Journel, 1998), l'approche booléenne (Haldorsen and Chang, 1986) et la méthode des chaînes de Markov (Doveton, 1994).

Seule la méthode de simulation gaussienne séquentielle sera décrite ici car c'est celle utilisée dans notre procédure d'estimation (Deutsch et Journel, 1998).

Ces simulations stochastiques diffèrent du krigeage principalement par deux aspects (Deutsch and Journel, 1998; figure A.3):

1. Le krigeage fournit la meilleure estimation donc unique de la valeur estimée sans tenir compte des résultats des propriétés statistiques et spatiales de l'ensemble des valeurs estimées. La simulation stochastique fournit des représentations globales en reproduisant les caractéristiques statistiques et spatiales originales.

2. Le krigeage fournit seulement une incertitude sur la précision de la valeur estimée

(cf. paragraphe A.3) et non sur l'ensemble des résultats. Les simulations fournissent

des incertitudes sur la valeur estimée mais aussi des incertitudes globales sur

l'ensemble des valeurs simulées sur la surface d'étude. Ces mesures d'incertitude sont

données soit en faisant la différence entre n valeurs simulées à chaque point (précision

locale) ou soit entre n cellules simulées (précision globale).

(a) (b)

Figure A.3. Représentation schématique de la procédure d’estimation (a) par krigeage et (b) par simulation

stochastique (d’après Rautman and Istok, 1996).

A.4.3.2. Procédure de la méthode de simulation stochastique gaussienne séquentielle

Dans l'algorithme de simulation gaussienne séquentielle, une valeur simulée au point x 0 , est estimée en utilisant une fonction de distribution cumulative calculée à partir des valeurs observées (mesurées) et des valeurs précédemment simulées au voisinage de ce point. L'algorithme commence en un point sélectionné de façon aléatoire et continue de façon séquentielle, suivant une trajectoire, sur toute la grille représentant la zone qui doit être simulée. Si des réalisations multiples sont nécessaires, l'algorithme est répété n fois en considérant un ordre aléatoire différent pour chaque réalisation.

L'algorithme gaussienne séquentielle procède en 4 étapes:

(1) La procédure de simulation gaussienne séquentielle opère sur la base de données ayant une distribution Gaussienne multivariable. Les données de flux de CO 2

sont généralement biaisées positivement dues aux anomalies élevées. Ces données doivent alors être transformées pour obtenir une distribution normale (Figure A.4).

On utilise une transformation qui procède par substitution des valeurs mesurées en

quantiles correspondantes d'une distribution normale centrée (moyenne égale à 0)

réduite (écart type égale à 1).

Flux de CO2 en scores normaux (pas d'unité)

-3 -2 -1 0 1 2 3

Fréqu en ce (% )

0 2 4 6

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Fréqu en ce (% )

0 2 4 6 8 10

F réq u ence cumu lée

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Flux de CO2 (g.m-2.j-1)

F réqu ence cumu lée

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(a) (b)

Figure A.4. Histogrammes et distributions cumulatives (a) des flux de CO et (b) des valeurs transformées en scores normaux.

252

La condition pour qu'une fonction aléatoire stationnaire Y(u) soit multivariable normal est que la fonction de distribution cumulative soit monovariable:

{ ^{Y u y} } ^{G y y}

ob ( ) ≤ = ( ), ∀

Pr (A.33)

où G(y) est la fonction de distribution cumulative Gaussienne centrée réduite

Soient Z(x i ) et Y(y i ) deux variables aléatoires et Z(x) et Y(y) les deux fonctions de distribution cumulative respectives. La transformation Y(y i )= ϕ ( Ζ (x i )) détermine les probabilités cumulatives correspondantes au p quantiles Z(x i ) et Y(y i ):

[ ] 0 , 1

) x ( ) y

( = Z = p ∀ p ∈

Y p p (A.34)

( ( x ) )

y

donc = Y ^{− 1} Z (A.35)

où Y ^-1 est l'inverse de la fonction de la distribution cumulative ou la fonction quantile de la variable aléatoire Y(y i )

, (A.36)

) (

y _p = Y ^{− 1} p ∀ y

Si Y(y i ) est une variable normale centrée réduite avec Y(y) = G(y), G ^-1 (Z(x)) est la fonction de la transformation en score normal.

En exemple, n x échantillons sont d'abord classés par ordre croissant. Soit c i la probabilité cumulative associée à la k ^ième plus grande valeur de x i (i = 1, n) ( = ∑ ⁱ = ).

j j

i p

c ₁

La transformé y i en score normal associée avec x i est :

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⁻ ⎛ + ⁻ 2

1 i i 1

i

c G c

y (A.37)

(2) Bien que la nouvelle variable Y(y) obtenue par transformation en score normal ait une distribution normale, il faut vérifier que la fonction de distribution cumulative bivariable de chaque couple de valeurs Y(u), Y(u+h), ∀ u, h, soit normale.

∀

Il faut vérifier que la fonction de distribution cumulative bivariable de chaque ensemble de couple de données { y ( u _i ), y(u _i + h), i = 1,..., N(h) } est en fait normale bivariable centrée réduite avec la fonction de covariance C Y (h):

{ ^{Y Y} } ^p _{π θ} ^{d θ}

P _{p p} ^C

^Y

^{h p} ⎟ ⎟ ×

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

− + +

=

≤ +

≤ ∫ 0 ^{arcsin ( )}

2 2

sin 1 exp y 2

y 1 ) h u ( , y ) u

( (A.38)

où y p = G ^-1 (p) est le quantile p normal centré réduit .

et ^P { ^{Y ( u )} ≤ ^y p ^{, Y ( u} + ^{h )} ≤ ^y p } = ^p − γ I ^{( h ; p )} (A.39) où ) γ _I ( h ; p est le semivariogramme indicateur pour le quantile p et comme limite y p .

La vérification consiste à comparer les semivariogrammes γ I (h;p), avec les trois quartiles y comme limites, avec l'expression normale bivariable (équation A.38).

(3) Les paramètres du modèle de semivariogramme sont définis à partir des données transformées en scores normaux ainsi que la grille de simulation contenant x cellules.

La procédure de simulation procède alors:

(a) en définissant une trajectoire aléatoire qui passe une seule fois par chaque point u d'une cellule de la grille.

(b) en utilisant le krigeage simple (qui se base sur le modèle du

semivariogramme) pour déterminer les paramètres (moyenne et variance) de la

fonction de distribution cumulative conditionnelle de la fonction aléatoire de Y(u) au

point u:

Moyenne:

(A.40)

{ } [ ] ^*

1

* ( )

)

( u m u m u y

Y

E _{i i}

p i

i − =

=

= ∑

=

λ

où m(u i ) est la moyenne de la variable aléatoire (y(u i ) ) i=1,p

et λ ⁱ est le coefficient de pondération du krigeage

La moyenne de la variable aléatoire y(u) n'est pas reprise ici dans l'équation (A.40) car la moyenne est égale à 0 pour les données en score normale.

Variance:

(A.41)

{ ( ) } ( u , u ) ( u u )

1 2

i p

i

i C

C u

Y

Var = = − ∑ × −

=

∗ λ

σ

La valeur est simulée sur base d'un nombre spécifié de données conditionnées par les données originales y et par les données y* simulées précédemment et se trouvant dans le voisinage du point simulé.

(c) en dessinant la valeur simulée à partir de cette fonction de distribution cumulative conditionnelle.

y *

(d) en ajoutant la valeur y ^* simulée à l'ensemble des données

(e) en procédant au point suivant, puis autres points jusqu'à ce que toutes les cellules de la grille soient simulées.

(4) Les valeurs simulées { ^{y * ( u ); u ∈ A} } sont ensuite retransformées en valeurs physiques { ^{z * ( u ) = ϕ − 1} ( ^{y * ( u )} ) ^{, u ∈ A} } ^.

( ( * ( ) )

) (

* u F ¹ G y u

z = ⁻ (A.42)

où F ^-1 est la fonction de distribution cumulative des données originales

Si de multiples réalisations sont nécessaires { ^{z * ( u ), u ∈ A} } ^{, l = 1,...., L} l'algorithme

précédent est répété n fois en changeant la trajectoire aléatoire pour chaque réalisation.

Annexe B

Mesures de flux de CO ₂ :

résultats bruts

Tableau 1: Flux de CO

2

sur le lac du Kelud en 2001.

X(m) Y(m) Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

) X(m) Y(m) Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

) X(m) Y(m) Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

)

0 10 342 -75 60 237 75 180 1434

0 30 451 -75 80 635 75 200 1563

0 50 848 -75 100 786 75 220 1439

0 70 451 -75 120 973 75 240 378

0 90 1000 -75 140 516 75 270 873

0 110 1073 -75 160 409 75 290 354

0 130 983 -75 180 457 75 310 835

0 150 974 -75 200 501 75 330 1520

0 170 939 -75 220 1492 75 350 1756

0 190 433 25 0 1479 100 -20 1111

0 210 434 25 20 1011 100 0 1238

0 230 713 25 40 932 100 20 1470

0 250 1244 25 60 630 100 40 1609

0 270 459 25 90 563 100 60 1293

0 290 656 25 120 1521 100 80 1537

0 310 850 25 140 1150 100 100 1000

0 330 1094 25 160 1900 100 120 1312

-25 -20 1494 25 175 1885 100 140 1040

-25 0 1723 25 200 1548 100 160 1851

-25 20 1095 25 220 1734 100 180 1303

-25 40 306 25 245 1780 100 200 1260

-25 60 471 25 270 1870 100 220 1181

-25 80 1008 25 290 397 100 240 911

-25 100 2008 25 310 936 100 260 648

-25 120 1214 25 340 1352 100 280 300

-25 140 840 50 5 910 100 300 1158

-25 160 1079 50 30 624 100 320 846

-25 180 805 50 50 1266 100 340 1208

-25 200 588 50 70 879 125 -20 1442

-25 220 997 50 100 676 125 0 1147

-25 240 643 50 120 1509 125 20 1330

-55 -40 411 50 140 1362 125 40 809

-55 -20 647 50 160 935 125 60 495

-55 0 1519 50 175 1442 125 80 629

-55 20 569 50 200 3187 125 100 1153

-55 40 890 50 220 1157 125 120 1286

-55 60 1029 50 245 1234 125 140 1268

-55 80 307 50 270 1001 125 160 1126

-55 100 658 50 290 553 125 180 1613

-55 120 258 50 310 1782 125 200 461

-55 140 581 50 340 612 125 220 495

-55 160 311 75 -20 614 125 240 673

-55 180 668 75 0 577 125 260 499

-55 200 578 75 20 1247

-55 220 1112 75 40 1052

-55 240 169 75 60 1946

-75 -40 465 75 80 1598

-75 -20 267 75 100 2045

-75 0 267 75 120 1953

-75 20 294 75 140 1521

Tableau 2: Flux de CO

2

sur le lac du Kelud en 2002.

X(m) Y(m)

Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

)

X(m) Y(m)

Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

)

X(m) Y(m)

Flux de

CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

)

643544 9122346 6856 643589 9122491 274 643657 9122406 536

643548 9122353 294 643604 9122513 645 643671 9122421 698

643560 9122368 205 643613 9122527 249 643688 9122440 750

643570 9122380 752 643626 9122539 943 643700 9122452 977

643582 9122394 145 643586 9122530 396 643710 9122464 1073

643597 9122409 191 643582 9122522 596 643722 9122479 1051

643609 9122426 174 643572 9122505 585 643737 9122496 1058

643621 9122440 279 643560 9122489 657 643749 9122510 1153

643633 9122455 118 643551 9122474 1103 643761 9122527 1165

643647 9122469 264 643539 9122457 365 643773 9122539 244

643659 9122484 790 643524 9122440 790 643793 9122532 113

643671 9122498 251 643512 9122421 556 643785 9122525 219

643683 9122513 170 643502 9122406 897 643775 9122510 147

643695 9122528 552 643493 9122389 241 643763 9122496 203

643514 9122341 363 643481 9122373 170 643749 9122479 495

643527 9122358 841 643570 9122346 527 643737 9122467 439

643543 9122375 303 643582 9122363 197 643724 9122452 1409

643560 9122394 355 643594 9122377 179 643712 9122438 1131

643577 9122414 518 643606 9122392 400 643698 9122421 604

643592 9122431 210 643621 9122409 232 643686 9122404 770

643604 9122445 676 643635 9122426 227 643669 9122387 709

643618 9122462 477 643650 9122443 652 643657 9122373 938

643635 9122479 844 643662 9122457 205 643645 9122358 1021

643647 9122493 307 643674 9122472 726 643630 9122341 960

643662 9122513 665 643688 9122486 162 643616 9122327 765

643676 9122527 1363 643700 9122501 561 643599 9122307 808

643686 9122534 1383 643712 9122518 254 643587 9122291 357

643659 9122544 2264 643724 9122532 217 643580 9122283 1225

643654 9122539 487 643734 9122544 515 643601 9122276 661

643642 9122527 198 643746 9122559 804 643609 9122288 361

643628 9122510 215 643758 9122571 1070 643623 9122305 1261

643618 9122493 169 643766 9122556 162 643636 9122320 804

643604 9122476 194 643756 9122544 241 643647 9122332 902

643592 9122462 323 643741 9122527 217 643659 9122346 1086

643577 9122445 510 643727 9122508 188 643674 9122365 1034

643565 9122431 310 643710 9122489 254 643693 9122385 834

643551 9122411 276 643696 9122472 498 643705 9122399 1810

643536 9122394 297 643681 9122455 364 643722 9122419 355

643519 9122380 246 643669 9122440 930 643734 9122433 749

643510 9122365 311 643652 9122421 721 643744 9122448 536

643498 9122349 167 643640 9122404 677 643756 9122462 832

643483 9122332 85 643623 9122387 700 643770 9122479 1162

643471 9122336 471 643609 9122368 200 643785 9122496 955

643480 9122350 219 643597 9122351 273 643799 9122515 587

643495 9122368 190 643580 9122332 709 643811 9122530 1170

643502 9122382 335 643570 9122320 844 643833 9122525 72

643514 9122397 128 643577 9122310 627 643824 9122513 217

643526 9122411 410 643587 9122322 428 643811 9122496 161

643539 9122426 514 643601 9122339 741 643799 9122479 860

643551 9122440 192 643616 9122358 547 643787 9122462 544

643563 9122457 790 643628 9122373 510 643775 9122445 956

643575 9122474 163 643642 9122387 740 643761 9122428 1023

Tableau 2 (suite)

X(m) Y(m)

Flux de CO

2

(g.m

^-2

.j

^-1

)

X(m) Y(m)

Flux de CO

2

(g.m

^-2

.j

^-1

) 643746 9122409 778 643795 9122349 923 643734 9122394 856 643782 9122332 762 643722 9122378 752 643770 9122312 682 643710 9122363 1272 643758 9122295 1120 643700 9122346 976 643746 9122278 203 643686 9122329 712 643735 9122262 1596 643671 9122315 566 643765 9122270 701 643659 9122298 702 643773 9122278 2428 643650 9122286 1100 643781 9122292 296 643640 9122271 1131 643795 9122312 953 643628 9122257 1104 643806 9122330 883 643851 9122504 327 643819 9122346 1050 643837 9122488 900 643828 9122363 661 643826 9122474 856 643843 9122380 718 643814 9122460 1574 643855 9122394 1126 643804 9122445 1644 643864 9122412 13681 643792 9122428 1782 643884 9122404 2729 643780 9122414 1019 643874 9122387 1293 643768 9122397 1030 643862 9122373 791 643756 9122382 503 643850 9122356 970 643744 9122365 1522 643836 9122336 1618 643729 9122344 1170 643826 9122322 481 643717 9122324 1408 643814 9122305 331 643703 9122307 1282 643802 9122288 1317 643691 9122293 1266 643790 9122272 1345 643676 9122276 1167 643818 9122272 2231 643662 9122259 1013 643823 9122281 883 643652 9122245 8185 643833 9122298 537 643681 9122237 1456 643848 9122315 376 643698 9122257 972 643857 9122332 634 643710 9122271 1270 643869 9122351 146 643722 9122291 788 643881 9122373 638 643737 9122312 1605 643894 9122392 1136 643749 9122329 1032 643877 9122334 159 643763 9122346 1771 643869 9122324 1793 643775 9122365 1380 643860 9122310 310 643785 9122380 1340 643850 9122293 9451 643797 9122397 1959 643840 9122278 2511 643809 9122411 1826 643527 9122481 107 643821 9122428 1399 643534 9122489 491 643833 9122443 1282 643546 9122506 627 643848 9122460 737 643560 9122525 1311 643860 9122477 559

643869 9122492 1285

643889 9122481 145

643879 9122467 361

643867 9122450 557

643855 9122433 1513

643843 9122416 1941

643828 9122399 606

643816 9122382 1020

Tableau 3: Flux de CO

2

du lac du Kelud et vitesse du vent en 2003.

X(m) Y(m)

Flux de CO

2

(g.m

^-2

.j

^-1

)

Vitesse du vent (m.s

^-1

)

X(m) Y(m)

Flux de CO

2

(g.m

^-2

.j

^-1

)

Vitesse du vent (m.s

^-1

)

643748 9122576 136 - 643663 9122394 676 4.5

643739 9122568 156 - 643653 9122384 1137 5

643729 9122549 156 - 643636 9122372 1386 4

643702 9122522 163 - 643627 9122348 465 4.6

643683 9122504 205 - 643618 9122340 414 2

643672 9122490 146 - 643602 9122324 644 3.2

643658 9122474 403 - 643586 9122300 255 0

643645 9122457 366 - 643583 9122291 6718 -

643632 9122438 693 - 643576 9122284 592 -

643619 9122420 326 - 643604 9122292 209 -

643606 9122406 199 - 643616 9122306 266 4

643592 9122392 229 - 643629 9122316 347 3.4

643578 9122376 264 - 643644 9122334 306 3.2

643565 9122360 378 - 643655 9122350 556 4.6

643555 9122344 258 - 643666 9122366 595 6.1

643757 9122560 287 - 643679 9122386 905 7.2

643750 9122554 141 - 643697 9122400 562 3.1

643737 9122540 152 - 643714 9122410 283 2.2

643723 9122524 159 - 643723 9122432 473 2.9

643694 9122492 343 - 643740 9122446 264 3

643680 9122478 291 - 643750 9122462 362 4.7

643666 9122462 258 - 643761 9122482 257 5.3

643652 9122448 131 - 643779 9122496 762 5.8

643641 9122430 865 - 643794 9122510 659 2.3

643617 9122398 622 - 643805 9122526 696 5

643605 9122382 1330 - 643835 9122527 521 3

643595 9122360 188 - 643814 9122498 546 4

643578 9122346 323 - 643805 9122492 473 4.3

643565 9122330 3102 - 643796 9122474 275 4.6

643574 9122308 136 - 643785 9122460 150 4.1

643586 9122330 177 - 643770 9122444 695 4

643600 9122344 307 - 643759 9122426 535 3.9

643613 9122360 368 - 643746 9122410 510 3.7

643623 9122376 521 - 643733 9122394 399 4

643636 9122394 860 - 643721 9122378 512 2.7

643653 9122404 417 - 643705 9122362 357 3

643667 9122422 597 - 643694 9122342 506 3.1

643678 9122442 506 - 643676 9122330 477 4

643686 9122460 319 - 643665 9122314 198 3.2

643701 9122472 752 - 643663 9122300 833 4

643718 9122486 233 - 643654 9122288 866 4.7

643732 9122500 295 - 643640 9122268 293 3.6

643743 9122510 297 - 643631 9122258 199 3.4

643761 9122530 212 - 643660 9122254 6500 4.5

643770 9122546 289 - 643663 9122256 473 4.8

643792 9122532 129 3.4 643675 9122276 699 4.7

643779 9122518 152 3 643689 9122290 614 3.7

643765 9122502 251 2.9 643702 9122307 531 3.4

643750 9122488 213 2.5 643715 9122318 473 2.3

643734 9122470 355 3.2 643723 9122336 525 5.2

643726 9122456 377 3.1 643737 9122346 736 2.9

643709 9122442 283 5.1 643745 9122368 879 1.9

643684 9122412 828 3.9 643758 9122384 682 2.9

Tableau 3 (suite)

X(m) Y(m)

Flux de CO

2

(g.m

^-2

.j

^-1

)

Vitesse du vent (m.s

^-1

)

X(m) Y(m)

Flux de CO

2

(g.m

^-2

.j

^-1

)

Vitesse du vent (m.s

^-1

)

643776 9122400 150 3.4 643811 9122316 342

643782 9122420 328 1.2 643823 9122334 450 0

643797 9122435 709 4.6 643836 9122352 562 2.1

643809 9122452 395 5.4 643846 9122368 442 1.8

643821 9122467 339 1.8 643858 9122384 821 2.6

643830 9122486 399 3.6 643871 9122402 488 0

643841 9122498 427 1.9 643877 9122410 810 -

643852 9122508 411 2.2 643890 9122405 1258 -

643863 9122497 316 2.6 643883 9122394 172 -

643857 9122490 572 2.6 643874 9122379 295 -

643844 9122474 419 2.1 643866 9122364 403 -

643833 9122457 167 0 643856 9122348 723 -

643820 9122442 413 3.1 643846 9122331 304 -

643807 9122421 217 4 643838 9122318 364 -

643796 9122404 335 2.7 643829 9122302 546 -

643780 9122384 808 3.2 643825 9122296 649 -

643770 9122362 678 2.9 643883 9122350 164 -

643754 9122346 715 0 643879 9122344 459 -

643744 9122324 566 2.1 643873 9122322 515 -

643729 9122308 1085 3.4 643861 9122304 11682 -

643721 9122296 668 2.4 643847 9122290 682 -

643707 9122282 579 4.1 643840 9122280 161 -

643702 9122274 533 0 643532 9122342 190 3.1

643695 9122265 364 0 643535 9122347 234 3.4

643689 9122257 500 0 643538 9122360 348 4.1

643726 9122258 295 0 643554 9122374 276 4.5

643732 9122262 277 2.5 643560 9122390 880 4.6

643756 9122302 2375 0 643583 9122415 885 2.1

643763 9122316 142 3.7 643594 9122432 772 2

643773 9122334 364 3.2 643606 9122448 592 2.5

643793 9122356 217 2.2 643623 9122474 200 1.8

643793 9122372 525 3 643629 9122490 699 2.5

643808 9122390 380 3.3 643645 9122510 366 4.1

643820 9122408 471 3.6 643659 9122526 639 4.2

643834 9122424 647 3.4 643670 9122542 700 3.6

643845 9122442 277 3 643675 9122547 425 -

643859 9122460 459 4.4 643648 9122546 2784 -

643874 9122478 601 2.2 643643 9122541 256 -

643881 9122486 130 0 643641 9122538 696 -

643858 9122420 7094 1.3 643633 9122527 497 5

643855 9122414 344 2.3 643623 9122513 581 2.8

643844 9122398 362 2.9 643610 9122492 97 5

643833 9122382 719 2.1 643600 9122480 559 5.1

643822 9122364 312 3.6 643590 9122467 789 3.4

643807 9122348 583 3.4 643580 9122453 743 4.5

643798 9122330 544 2.6 643568 9122437 1056 3.2

643787 9122312 696 0 643558 9122422 806 3.1

643776 9122294 682 0 643548 9122410 1233 5.3

643767 9122286 527 0 643536 9122393 411 3.9

643759 9122272 324 0 643524 9122377 300 2.2

643790 9122274 4400 1.6 643495 9122354 262 0

643799 9122288 742 3.4 643506 9122372 259 1.2

Tableau 3 (suite)

X(m) Y(m)

Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

)

Vitesse du vent (m.s

^-1

)

643530 9122405 740 0

643543 9122425 752 -

643554 9122440 1197 4.4 643565 9122457 128 4.3

643576 9122473 395 0

643588 9122489 782 0

643598 9122504 1043 4.4 643607 9122518 1200 2.1 643619 9122530 1272 0 643621 9122540 997 1.3 643632 9122543 2511 -

643597 9122533 306 0

643589 9122521 564 0

643578 9122506 650 0

643563 9122483 745 0

643556 9122471 929 -

643559 9122495 835 -

643547 9122459 346 2

643535 9122444 990 0

643524 9122425 1038 0 643511 9122400 1126 0

643503 9122392 165 0

643489 9122370 1081 0 643474 9122346 1023 0

643455 9122322 531 -

643456 9122324 174 -

643480 9122368 191 2.2 643485 9122376 294 1.4

643498 9122406 497 0

643512 9122426 568 0

643522 9122440 392 2.5 643528 9122450 616 1.9

643540 9122462 467 0

643551 9122486 383 0

643564 9122508 591 0

643576 9122524 630 3.1

643580 9122528 817 0

643585 9122533 4523 0

643556 9122525 416 0

643551 9122517 388 3.2

643546 9122510 811 -

643518 9122469 42 0

643518 9122472 66 2.2

643543 9122517 6643 2.4

Tableau 4 : Flux de CO

2

et vitesse du vent du lac en 2004.

X(m) Y(m)

Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

)

Vitesse du vent (m.s

^-1

)

X(m) Y(m)

Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

)

Vitesse du vent (m.s

^-1

)

643692 9122527 60 3.8 643674 9122414 126 1.6

643686 9122520 160 4.1 643661 9122398 183 1.8

643673 9122504 199 4.2 643651 9122379 143 2.4

643662 9122488 100 2.7 643637 9122362 172 1.2

643647 9122472 143 1.6 643619 9122351 720 2.4

643636 9122456 168 5.6 643606 9122337 699 0

643622 9122440 137 4.5 643591 9122319 86 2

643609 9122424 100 3.1 643584 9122312 370 0

643600 9122409 128 4 643576 9122305 453 0

643585 9122392 156 3.2 643825 9122526 79 0.7

643574 9122375 135 2.7 643819 9122519 88 1.7

643557 9122348 141 2.6 643804 9122504 395 2.1

643762 9122557 118 0 643792 9122489 199 2.4

643750 9122540 66 0.8 643776 9122475 520 2.8

643736 9122525 130 0.9 643760 9122461 437 3.4

643724 9122509 101 0 643745 9122446 447 2.6

643712 9122494 307 2.5 643730 9122432 249 5.3

643698 9122478 314 2.7 643716 9122416 241 3.4

643679 9122469 595 4 643701 9122402 335 5

643663 9122453 285 3.8 643686 9122388 147 0

643649 9122439 351 2.3 643672 9122369 280 0.6

643642 9122421 71 3.5 643659 9122354 455 1.8

643629 9122403 397 3.9 643644 9122339 131 2.5

643614 9122389 362 3.7 643630 9122325 578 2.9

643601 9122372 630 3 643617 9122306 118 0.9

643587 9122356 84 3.8 643605 9122289 385 2.1

643576 9122338 168 0.9 643589 9122274 318 2.9

643565 9122326 139 2 643517 9122342 81 7.4

643786 9122537 268 3 643528 9122349 264 5.5

643778 9122528 130 1 643539 9122367 145 5.1

643767 9122516 155 3 643557 9122380 674 10

643752 9122502 201 0.7 643573 9122396 214 7.6

643740 9122485 305 0 643582 9122413 312 8.3

643726 9122470 96 3.1 643599 9122427 191 7.1

643709 9122457 145 1.4 643610 9122444 576 8

643695 9122442 139 0 643622 9122461 449 8.3

643679 9122425 228 0 643636 9122478 345 10

643665 9122412 137 0 643652 9122494 165 7.1

643650 9122398 103 4.2 643660 9122514 143 1.2

643637 9122381 92 2.4 643673 9122529 154 2

643622 9122367 282 3.1 643677 9122537 464 3

643608 9122351 212 2.9 643495 9122334 178 3.1

643594 9122336 145 0.9 643503 9122351 330 5.6

643580 9122320 199 0 643519 9122363 355 7.1

643574 9122315 464 2 643532 9122381 353 7.2

643809 9122533 149 1.4 643545 9122396 66 6

643801 9122522 353 0 643560 9122410 262 2.6

643790 9122514 98 0 643566 9122428 195 5.9

643780 9122503 345 2.1 643580 9122444 180 2.3

643755 9122485 457 3.4 643595 9122459 328 2.4

643739 9122468 152 2.7 643608 9122476 224 4.1

643722 9122455 210 2.7 643622 9122493 449 2.1

643710 9122438 224 2.1 643630 9122510 131 2.7

Tableau 4 (suite)

X(m) Y(m)

Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

)

Vitesse du vent (m.s

^-1

)

X(m) Y(m)

Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

)

Vitesse du vent (m.s

^-1

)

643653 9122535 226 3.6 643673 9122290 235 5.1

643661 9122544 105 0 643689 9122305 139 1.9

643472 9122332 58 6.8 643703 9122321 343 3.1

643483 9122348 274 3.6 643715 9122339 355 4

643494 9122366 141 4.8 643730 9122352 639 5.7

643506 9122383 166 6 643745 9122369 472 0

643516 9122402 462 6 643762 9122383 757 3.1

643530 9122416 403 4.8 643777 9122399 518 2.7

643559 9122450 428 7.3 643794 9122410 224 4.7

643570 9122468 122 5.2 643804 9122431 455 0

643586 9122482 199 7.5 643817 9122448 426 1.7

643590 9122505 92 2.4 643833 9122461 557 2.7

643603 9122521 210 1.7 643846 9122479 439 1.8

643610 9122530 135 4.5 643860 9122493 389 2.5

643618 9122536 291 0 643865 9122499 199 3.5

643473 9122357 62 3.4 643878 9122493 66 4.5

643482 9122371 51 0.9 643863 9122473 118 2.3

643487 9122387 47 5.8 643848 9122458 634 3

643497 9122406 111 3.1 643832 9122442 285 3.9

643508 9122422 129 5.7 643819 9122427 497 5.1

643523 9122439 459 4.5 643805 9122412 722 4.1

643532 9122458 343 4.2 643792 9122395 645 1.4

643543 9122474 130 3.4 643776 9122380 607 5.9

643551 9122495 362 1.6 643762 9122364 362 4.1

643565 9122511 453 3.1 643748 9122344 664 5.2

643576 9122529 222 3.2 643734 9122331 647 3.4

643555 9122525 522 0 643722 9122314 142 5.4

643556 9122516 153 1 643705 9122301 156 4.1

643535 9122499 176 3.8 643693 9122285 144 2.3

643525 9122491 405 4.1 643678 9122270 416 0

643526 9122500 92 0 643664 9122254 470 0

643534 9122508 305 1.7 643658 9122246 1597 2

643544 9122514 1059 643893 9122480 103 0

643846 9122519 103 8.3 643881 9122469 203 0

643839 9122509 353 3.9 643858 9122433 2756 0

643824 9122488 668 5 643845 9122420 280 3.2

643813 9122467 362 6 643831 9122403 129 0

643794 9122451 143 7.3 643817 9122387 114 1.9

643778 9122437 318 7.4 643802 9122372 99 2.2

643764 9122424 297 0 643791 9122354 657 2.2

643755 9122402 362 5.9 643776 9122340 691 1.2

643736 9122387 118 2.8 643763 9122324 591 1

643724 9122372 614 7.3 643747 9122309 148 0

643709 9122357 420 9.9 643735 9122292 595 0.9

643695 9122340 936 11 643722 9122276 574 0

643676 9122330 566 8.5 643706 9122260 693 2

643663 9122316 453 4.3 643692 9122245 135 1.5

643647 9122303 599 5.7 643684 9122234 266 0

643632 9122286 443 3.9 643727 9122269 855 2.8

643616 9122272 366 5 643736 9122278 149 3.1

643608 9122263 599 5 643750 9122294 118 3.1

643636 9122246 374 2.3 643764 9122311 237 3.6

643642 9122253 430 2.4 643781 9122323 110 2.4

643659 9122272 270 3.4 643795 9122341 135 2.1

Tableau 4 (suite)

X(m) Y(m)

Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

)

Vitesse du vent (m.s

^-1

) 643808 9122356 97 2.5

643824 9122371 541 4

643839 9122384 189 0

643853 9122398 532 1.6 643865 9122416 1095 0

643882 9122401 312 0

643852 9122369 551 2.2 643835 9122355 578 0.9

643821 9122337 491 2

643807 9122325 487 3.2

643791 9122310 591 0

643778 9122294 653 0

643765 9122281 836 1.3

643758 9122275 557 0

643881 9122362 514 0

643873 9122350 86 2.3 643857 9122336 666 4.7 643843 9122320 559 7.1 643827 9122308 349 2.8 643811 9122294 743 5.4 643798 9122283 813 5.4 643819 9122269 574 5.7 643831 9122284 335 3.1 643844 9122298 314 3.8 643862 9122310 607 6.1 643877 9122326 1205 8.6

643652 9122236 199 8

Tableau 5: Température mesurée au fond du lac en 2004.

X(m) Y(m)

Température fond du lac

(°C)

X(m) Y(m)

Température fond du lac

(°C) 643693 9122528 33.9 643690 9122425 48.3 643686 9122520 36.8 643674 9122414 50.5 643673 9122504 42.8 643661 9122398 50.4 643662 9122488 41.4 643651 9122379 47.3 643647 9122472 41.3 643637 9122362 45.2 643636 9122456 44.6 643619 9122351 36.5 643622 9122440 45.8 643606 9122337 38.2 643609 9122424 42.3 643591 9122319 42.3 643600 9122409 45.2 643584 9122311 39.7 643585 9122392 36.5 643576 9122305 34.6 643574 9122375 36.1 643825 9122526 33.8 643562 9122357 35.9 643819 9122519 35.2 643557 9122348 34.5 643804 9122504 35.5

643762 9122557 34 643792 9122489 47

643750 9122540 35.2 643776 9122475 52.3 643736 9122525 35.6 643760 9122461 91.5 643724 9122509 35.5 643745 9122446 76.1 643712 9122494 35.8 643730 9122432 60.7 643698 9122478 36.6 643716 9122416 53.3 643679 9122469 38.7 643701 9122402 42.8 643663 9122453 41.1 643686 9122388 48.6 643649 9122439 46.7 643672 9122369 56 643642 9122421 49.2 643659 9122354 39.4 643629 9122403 48.1 643644 9122339 37.4 643614 9122389 44.1 643630 9122325 35.4 643601 9122372 46.3 643617 9122306 35.5 643587 9122356 41.9 643605 9122289 36.2 643576 9122338 36.9 643589 9122274 41.8

643565 9122326 35 643517 9122342 34

643786 9122537 33.7 643528 9122349 34.4 643778 9122528 33.8 643539 9122367 35 643767 9122516 35.2 643557 9122380 37.2 643752 9122502 36.3 643573 9122396 36.7 643740 9122485 36.2 643582 9122413 46.9 643726 9122470 36.5 643599 9122427 47.4 643709 9122457 41.6 643610 9122444 41.4

643695 9122442 37 643622 9122461 45.3

643679 9122425 35 643636 9122478 43.2

643665 9122412 42.5 643652 9122494 38.5

643650 9122398 45.6 643660 9122514 40.1

643637 9122381 43.5 643673 9122529 35.7

643622 9122367 38.8 643677 9122537 33.7

643608 9122351 35.8 643495 9122334 33.4

643594 9122336 38.6 643503 9122351 33.4

643580 9122320 34.4 643519 9122363 33.9

643574 9122315 34.6 643532 9122381 34.7

643809 9122533 36.3 643545 9122396 35.1

643801 9122522 33.8 643560 9122410 34.4

643790 9122514 35.4 643566 9122428 38.7

643780 9122503 42.6 643580 9122444 48

643755 9122485 43.5 643595 9122459 41.3

643739 9122468 43.2 643608 9122476 41.3

643722 9122455 71.5 643622 9122493 35.9

643710 9122438 82.2 643630 9122510 36.7

Tableau 5 (suite)

X(m) Y(m)

Température fond du lac

(°C)

X(m) Y(m)

Température fond du lac

(°C)

643644 9122527 37.1 643636 9122245 34

643656 9122544 34.4 643642 9122253 36.7

643665 9122547 35.6 643659 9122272 34.3

643472 9122332 33.8 643673 9122290 35.5

643483 9122348 33.9 643689 9122305 35.3

643494 9122366 34.6 643703 9122321 34.4

643506 9122383 34.4 643715 9122339 45.7

643516 9122402 35.5 643730 9122352 53.2

643530 9122416 39 643745 9122369 44.9

643544 9122433 35.6 643762 9122383 44.6

643559 9122450 35.3 643777 9122399 93.6

643570 9122468 35.7 643794 9122410 69.4

643586 9122482 34.3 643804 9122431 42.5

643590 9122505 38 643817 9122448 36.6

643603 9122521 34.8 643833 9122461 35.2

643610 9122531 33.5 643846 9122479 34.3

643621 9122538 33.5 643860 9122493 33.6

643469 9122356 33.4 643864 9122498 33.6

643478 9122371 33.7 643878 9122493 33.6

643487 9122387 34.5 643863 9122473 33.6

643497 9122406 34.5 643848 9122458 34.8

643508 9122422 36.9 643832 9122442 44.2

643523 9122439 34.9 643819 9122427 39.3

643532 9122458 42.2 643805 9122412 40.6

643543 9122474 53.4 643792 9122395 81.6

643551 9122495 34.4 643776 9122380 46.6

643565 9122511 39.4 643762 9122364 56.5

643576 9122529 33.6 643748 9122344 41.6

643555 9122525 39.6 643734 9122331 34.8

643556 9122516 34.2 643722 9122314 36.1

643535 9122499 40.2 643705 9122301 35.6

643525 9122491 33.8 643693 9122285 38.8

643526 9122500 33.3 643678 9122270 36.3

643534 9122507 34 643664 9122254 42.1

643542 9122513 41.1 643658 9122246 34

643546 9122518 35 643858 9122433 42.9

643846 9122519 33.7 643845 9122420 35.7

643839 9122509 34.7 643831 9122403 42.9

643824 9122488 37 643817 9122387 41.2

643813 9122467 42.4 643802 9122372 106.3

643794 9122451 38.9 643791 9122354 77.3

643778 9122437 35.6 643776 9122340 49

643764 9122424 55.5 643763 9122324 39.2

643755 9122402 48.2 643747 9122309 37

643736 9122387 41.5 643735 9122292 36.5

643724 9122372 101.3 643722 9122276 36.5

643709 9122357 42.7 643706 9122260 35.9

643695 9122340 37.1 643692 9122245 34.9

643676 9122330 35.5 643684 9122234 52.1

643663 9122316 36.2 643727 9122269 39.5

643647 9122303 40.7 643736 9122278 40.5

643632 9122286 35.9 643750 9122294 72.8

643616 9122272 34.7 643764 9122311 38.1

Tableau 5 (suite)

X(m) Y(m)

Température fond du lac

(°C)

643795 9122341 77.3

643808 9122356 44.7

643824 9122371 57.1

643839 9122384 46.4

643853 9122398 44.3

643865 9122416 37.4

643889 9122409 37.4

643882 9122401 33.9

643868 9122384 34.3

643852 9122369 36.5

643835 9122355 50.2

643821 9122337 50.6

643807 9122325 35.8

643791 9122310 42.6

643778 9122294 37.9

643765 9122281 45.7

643758 9122275 33.8

643881 9122362 35

643873 9122350 34

643857 9122336 37.7

643843 9122320 53.9

643827 9122308 37.3

643811 9122294 41.9

643798 9122283 35.3

643819 9122269 34

643831 9122284 43.5

643844 9122298 35.2

643862 9122310 46.8

643877 9122326 36

Tableau 6 : Flux de CO

2

sur le lac du Kelud et vitesse du vent du lac en 2005.

X(m) Y(m)

Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

)

Vitesse du vent (m.s

^-1

)

X(m) Y(m) Flux de CO

₂

(g.m

^-2

.j

^-1

)

Vitesse du vent (m.s

^-1

)

643554 9122349 49 3 643703 9122415 248 1.4

643562 9122353 213 2.6 643716 9122432 562 0.9

643574 9122371 409 2.7 643731 9122445 787 1.7

643590 9122390 521 2.8 643744 9122460 225 2.2

643603 9122408 438 4.1 643758 9122478 603 1.8

643614 9122423 463 2.9 643768 9122495 756 2.1

643627 9122440 596 2.7 643782 9122511 588 2.6

643640 9122455 385 4.7 643796 9122524 432 2.7

643654 9122470 249 5.5 643824 9122521 57 0

643666 9122485 157 5.2 643817 9122511 570 2.9

643678 9122504 400 2.7 643804 9122494 344 1.2

643688 9122517 350 2 643792 9122479 174 0

643696 9122525 156 0 643780 9122464 205 1.8

643739 9122445 297 2.2 643766 9122447 701 0

643743 9122540 137 2.7 643753 9122430 332 0

643731 9122526 456 3.1 643741 9122415 625 0

643720 9122511 378 3.4 643726 9122400 475 0

643708 9122498 452 2.3 643714 9122384 500 0

643695 9122484 465 2.5 643701 9122368 234 1.5

643678 9122468 342 2.7 643688 9122351 377 0.9

643666 9122450 417 0 643674 9122336 525 0

643653 9122433 541 0 643662 9122317 443 0

643641 9122415 332 0 643646 9122304 180 0

643628 9122400 382 1 643634 9122287 430 0

643615 9122383 301 2.7 643621 9122272 430 0

643603 9122366 373 1.1 643612 9122254 285 0

643590 9122349 410 0 643635 9122251 291 0

643576 9122334 432 0 643641 9122258 621 0

643569 9122320 545 0 643652 9122276 654 0

643771 9122539 179 0 643667 9122293 123 0

643760 9122522 591 0 643678 9122309 557 0

643747 9122507 485 1.3 643690 9122326 568 0

643734 9122489 375 1.5 643701 9122342 644 1.7

643721 9122475 359 0.9 643714 9122359 492 2.1

643711 9122458 567 0 643726 9122374 693 2.4

643695 9122445 430 1.4 643741 9122389 609 3

643681 9122431 66 2.8 643753 9122406 475 3.1

643673 9122413 214 0 643764 9122423 408 2.4

643656 9122399 330 0 643778 9122437 535 1.9

643645 9122381 607 2.6 643792 9122454 709 3.7

643634 9122366 504 0 643804 9122470 580 2.1

643608 9122335 623 1 643817 9122486 553 2.1

643593 9122320 566 0 643832 9122500 570 0

643578 9122305 510 0 643840 9122514 111 1.2

643573 9122294 391 0 643856 9122501 105 3.1

643594 9122282 503 0 643850 9122495 121 2.7

643602 9122289 487 1.8 643840 9122481 86 2.1

643616 9122303 247 0 643826 9122466 123 0.9

643628 9122318 465 0 643815 9122448 365 1

643642 9122335 322 0 643803 9122433 96 3.6

643654 9122350 508 0 643789 9122416 344 0

643665 9122367 588 2.6 643776 9122401 90 0

643676 9122382 629 0 643763 9122384 154 0