Quelques aspects de la physique du GPS (Global Positioning System)

Quelques aspects de la physique du GPS (Global Positioning System)

Les diff´ erentes parties de ce probl` eme peuvent ˆ etre abord´ ees pour l’essentiel de mani` ere ind´ ependante. Toutefois, la logique du probl` eme recommande de suivre les parties dans l’ordre pour ˆ etre en capacit´ e de r´ epondre de fa¸ con compl` ete et ´ eclair´ ee ` a toutes les questions (no- tamment celles de la derni` ere partie). Certains r´ esultats interm´ ediaires sont donn´ es dans le probl` eme, il est possible de les utiliser pour les questions suivantes, mˆ eme si on ne les a pas

´ etablis.

La copie doit ˆ etre lisible, l’identification de la question trait´ ee doit ˆ etre ´ evidente. La r´ edaction est un point essentiel de la correction : les explications peuvent ˆ etre succinctes du moment qu’elles sont exhaustives et ´ ecrites dans un fran¸ cais correct.

Le

Global Positioning System

ou GPS est un syst` eme de positionnement terrestre par satellites. Le premier satellite a ´ et´ e envoy´ e en 1978. Actuellement, le syst` eme comprend 24 satellites op´ erationnels (Figure 1) orbitant ` a une altitude d’environ 20 180 km. L’en- semble des satellites constituent le segment spatial. Ces satellites ´ emettent en permanence des signaux sous la forme de paquets d’ondes ´ electromagn´ etiques sur deux fr´ equences ν

(1 575 420 000, 000 Hz) et ν

(1 227 600 000, 000 Hz) pilot´ ees par des horloges atomiques ` a bord des satellites. Les signaux ´ emis sont re¸cus et analys´ es par un r´ ecepteur sur la surface de la Terre (le segment utilisateur) comprenant une horloge.

Figure 1 – Satellite Navstar

Cinq stations au sol, dont la station maˆıtresse ` a Colorado Springs, composent le segment

de contrˆ ole. Elles communiquent avec la constellation de satellites pour assurer leur bon

fonctionnement et mettre ` a jour les informations utiles pour les mesures. Ces stations sont

connect´ ees ` a des horloges atomiques de grande pr´ ecision au sol afin d’assurer la synchroni- sation des horloges de la constellation.

Le principe de la mesure est de d´ eterminer la distance `

entre le satellite ´ emetteur (E) et le r´ ecepteur (R) en mesurant le temps de propagation ∆t

= t

− t

du signal entre les deux instruments (t

´ etant l’instant de r´ eception et t

l’instant d’´ emission). Dans le cas id´ eal o` u satellite et r´ ecepteur sont isol´ es et dans le vide, le temps de propagation est directement proportionnel ` a la distance : `

= c ∆t

o` u c est la c´ el´ erit´ e de la lumi` ere dans le vide. Si l’on connait les positions pr´ ecises de plusieurs satellites ´ emetteurs ` a l’instant de la mesure, il est possible d’en d´ eduire la position du r´ ecepteur.

En pratique, chaque ´ el´ ement du syst` eme intervient dans la mesure en introduisant des in- certitudes et des perturbations. De plus, l’espace de propagation, c’est-` a-dire l’atmosph` ere, n’est pas le vide et il est n´ ecessaire de mod´ eliser son action sur le signal. La distance `

ne repr´ esente donc plus une distance r´ eelle (g´ eom´ etrique) entre le r´ ecepteur et l’´ emetteur, mais une pseudo-distance comprenant l’ensemble des effets intervenant dans la mesure. Il est notamment n´ ecessaire de prendre en compte :

- l’erreur sur l’orbitographie du satellite et son positionnement - la contribution de l’ionosph` ere ` a la propagation du signal - la contribution de la troposph` ere ` a la propagation du signal - les effets relativistes

- les d´ ecalages des horloges du r´ ecepteur et du satellite GPS - les bruits associ´ es au r´ ecepteur et ` a l’´ emetteur

- l’amplitude de ph´ enom` enes usuellement appel´ es

effets des trajets multiples

qui ne se- ront pas d´ etaill´ es dans ce probl` eme.

L’objectif de ce probl` eme est d’´ etudier quelques-uns des principaux facteurs intervenant dans

la mesure et d’en d´ eduire des contraintes sur le fonctionnement d’un syst` eme op´ erationnel.

Les donn´ ees num´ eriques du probl` eme sont pr´ esent´ ees, quand cela est possible, avec le nombre de chiffres significatifs correspondant ` a l’´ etat de l’art des connaissances

R

6 371, 0 km rayon terrestre moyen

M

5, 9724 × 10

kg masse terrestre

8, 854 187 817 × 10

F · M

permittivit´ e du vide

µ

4π × 10

N · A

perm´ eabilit´ e magn´ etique du vide π 3,141 592 653 59 ...

G 6, 674 08 × 10

m

· kg

· s

constante gravitationnelle c 299 792 458 m · s

vitesse de la lumi` ere m

1, 660 539 040 × 10

kg unit´ e de masse atomique m

132, 905 451 96 m

masse du C´ esium

k

1, 380 648 52 × 10

J · K

constante de Boltzmann e 1, 602 176 6208 × 10

C unit´ e de charge

m

9, 109 383 56 × 10

kg masse de l’´ electron

R 8, 314 4598 J · mol

· K

constante des gaz parfaits On rappelle que pour un vecteur − →

V quelconque

−→ rot( −→ rot − →

V ) = −−→

grad(div − →

V ) − ∆ − → V

Ordres de grandeurs

Dans cette partie, l’objectif est de calculer quelques caract´ eristiques et ordres de grandeur du syst` eme GPS. On se place dans le r´ ef´ erentiel g´ eocentrique suppos´ e galil´ een, ce qui revient

`

a consid´ erer la Terre comme isol´ ee. On suppose de plus qu’elle est sph´ erique, homog` ene et sans rotation. L’origine O est situ´ ee au centre de la Terre. Un satellite de masse m tourne autour d’elle avec une orbite ferm´ ee circulaire ` a l’altitude h

= 20180 km.

1. D´ eterminer le module de la vitesse du satellite v

dans le r´ ef´ erentiel g´ eocentrique en fonction des donn´ ees du probl` eme. Effectuer l’application num´ erique.

Solution: v

= q

GM0

hc+R0

= 3874, 6 m · s

2. D´ eterminer et calculer num´ eriquement la p´ eriode T

de cette orbite.

Solution: T =

c

= 43056 s Soit 11 heures 57 minutes et 30 secondes.

3. On n´ eglige les effets de l’atmosph` ere en faisant l’hypoth` ese que le signal se propage dans

le vide. Calculer le temps de propagation t

du signal du satellite ` a un r´ ecepteur situ´ e ` a

la surface de la Terre lorsque le satellite passe ` a la verticale du r´ ecepteur.

Solution: t

=

= 67, 313 ms

4. Si l’on souhaite un positionnement ` a une pr´ ecision meilleure que le m` etre, d´ eterminer la pr´ ecision n´ ecessaire sur la mesure du temps de propagation. Commenter.

Solution: δt =

≈ 3 ns. Les horloges du syst` eme doivent donc ˆ etre capables d’une pr´ ecision meilleure que la nanoseconde, il est donc n´ ecessaire d’utiliser des horloges atomiques dans la constellation GPS.

5. Dans le cas id´ eal o` u l’on ne prend en compte aucune incertitude, ni aucune perturbation dans le syst` eme, o` u les positions des satellites sont parfaitement connues, d´ eterminer le nombre de satellites n´ ecessaires simultan´ ement pour une mesure de positionnement d’un r´ ecepteur situ´ e sur la surface terrestre.

Solution: Il faut trois coordonn´ ees pour d´ eterminer la position du r´ ecepteur. Il est donc n´ ecessaire d’avoir les mesures de distance avec trois satellites distincts simul- tan´ ement pour d´ eterminer ces coordonn´ ees.

6. Les horloges des satellites sont synchronis´ ees par le segment de contrˆ ole, mais l’horloge du r´ ecepteur peut g´ en´ eralement montrer un d´ ecalage par rapport aux horloges des satellites.

Mˆ eme question qu’en (5).

Solution: Il suffit d’effectuer la mesure avec 4 satellites (au moins).

Orbites des satellites

On suppose ` a pr´ esent que l’orbite du satellite est elliptique. On se place toujours dans le r´ ef´ erentiel g´ eocentrique et on suppose que la Terre est sph´ erique, homog` ene et sans rotation.

On appelle r la distance entre le satellite et le centre de la Terre O ; − → r repr´ esente ainsi le vecteur position du satellite, − → v sa vitesse et − → a son acc´ el´ eration.

Enfin, on suppose toujours que la masse du satellite est n´ egligeable devant celle de la Terre.

7. Montrer, en utilisant les caract´ eristiques de la force gravitationnelle, que l’orbite du satellite est plane.

Solution: Le moment cin´ etique − L →

reste constant car la force gravitationnelle − → F est une force centrale :

d−→ L0

dt

= − → r ∧ − → F = − → 0

L’orbite du satellite reste dans le plan perpendiculaire ` a − → L

.

8. On se place d´ esormais dans le plan de l’orbite. Un syst` eme de coordonn´ ees polaires

(r, θ) est utilis´ e. On choisit l’origine de l’angle θ quand le satellite est au plus proche de

la Terre. On note ( − → e

, − → e

) la base orthonorm´ ee associ´ ee aux coordonn´ ees polaires. On appelle apog´ ee la position o` u le satellite est ` a la distance maximale r

de la Terre et p´ erig´ ee la position correspondant ` a la distance minimale r

. Faire un sch´ ema en indiquant les caract´ eristiques de l’orbite ainsi que le rep` ere.

9. Exprimer les composantes a

et a

de l’acc´ el´ eration dans ce rep` ere.

Solution: a

= r

− r( θ

)

a

=

(r

θ

) = 2 r

θ

+r θ

10. Donner l’expression de la seconde loi de Newton dans ce rep` ere.

Solution: −

= r

− r( θ

)

0 =

(r

θ

)

11. On pose C = r

dθ

dt . Retrouver la loi des aires ou deuxi` eme loi de K´ epler en pr´ ecisant ce que repr´ esente C.

Solution: C = r

θ

0 =

(r

θ

) =

(C)

C est la constante des aires et correspond au double de la vitesse ar´ eolaire. C est constant, donc − → r balaye des aires ´ egales pendant des intervalles de temps ´ egaux.

12. On pose : u = 1/r. D´ eterminer l’expression de la composante radiale de l’acc´ el´ eration en fonction de C, de u et des d´ eriv´ ees de u par rapport ` a θ.

Solution: a

= − C

u

d²u dθ²

+ u

13. Montrer que l’´ equation de l’orbite est du type r = C

K

1 1 + e

cosθ On exprimera K en fonction des donn´ ees du probl` eme.

Donner la signification g´ eom´ etrique de e

. Solution: K = GM

e

est sans dimension, il s’agit de l’excentricit´ e.

14. Donner, en fonction de e

, C, K, le demi grand-axe A et le demi petit-axe B corres-

pondant ` a la solution propos´ ee dans la question pr´ ec´ edente. On donnera les unit´ es et

les dimensions des quantit´ es explicit´ ees. Nommer la position particuli` ere o` u se trouve le

centre de la Terre.

Solution: Le demi grand-axe a la dimension d’une longueur (en m` etre) A =

=

0

Le demi petit-axe a la dimension d’une longueur (en m` etre) B = A p

1 − e

=

√

1−e²₀

La Terre est plac´ ee ` a un des foyers de l’ellipse.

15. V´ erifier que l’on a la relation

v

= 2K 1

r − 1 2A

Solution: Cette question peut ˆ etre abord´ ee en utilisant les formules de Binet.

On peut aussi remarquer qu’en ´ ecrivant la conservation de l’´ energie m´ ecanique au p´ erig´ ee et ` a l’apog´ ee, on a ( r= 0)

1 2

C²

r²_min

−

=

max

−

Par ailleurs on a 2A = r

+ r

et C = constante

On obtient alors v

= 2K

−

16. On donne A = R

+ h

et e

= 0, 01. Calculer num´ eriquement la distance r

(respecti- vement r

) du satellite au centre de la Terre lorsqu’il est ` a l’apog´ ee (respectivement au p´ erig´ ee). En d´ eduire les valeurs maximale v

et minimale v

de la vitesse du satellite.

Solution: r

= 26817 km r

= 26286 km

v

= 3913, 4 m.s

v

= 3835, 9 m.s

D´ eplacement de fr´ equence par effet Doppler classique et relativiste

Le principe de mesure du syst` eme porte sur la comparaison des horloges dans le satellite avec une horloge au sol (` a la surface de la Terre de rayon R

) que l’on suppose fixe par rapport au r´ ef´ erentiel g´ eocentrique. On suppose que les horloges sont identiques et utilisent la mˆ eme fr´ equence de r´ ef´ erence dans leur r´ ef´ erentiel propre. L’objectif de cette partie est d’estimer les effets Doppler classiques et relativistes sur la mesure de la fr´ equence de l’horloge du satellite dans le r´ ef´ erentiel li´ e au r´ ecepteur. On appelle ν la fr´ equence ´ emise par l’horloge du satellite telle qu’elle est capt´ ee par le r´ ecepteur et ν

la fr´ equence de r´ ef´ erence des horloges.

Effet Doppler classique

17. Dans le cadre de la composition classique des vitesses, d´ eterminer l’expression classique du d´ ecalage en fr´ equence ∆ν

ν

=

ν − ν

ν

cl

par effet Doppler lorsque le satellite a une vitesse − → v par rapport au r´ ef´ erentiel du r´ ecepteur. La vitesse − → v pr´ esente un angle φ par rapport ` a la ligne de vis´ ee (figure 2).

orbite Satellite −→v

R´ecepteur Ligne

devis´ee

φ

Figure 2 – Positions du r´ ecepteur et du satellite pour la d´ etermination de l’effet Doppler classique

Solution: Si on pose k− → v k = v ν = ν

1 −

cos φ

18. On fait de nouveau l’hypoth` ese que le satellite suit une orbite circulaire. On suppose

que la Terre est sph´ erique, sans rotation, et que le r´ ecepteur peut capter le signal du

satellite d` es que celui-ci est plus haut que l’horizon. Enfin, on suppose que la trajectoire

du satellite le fait passer ` a la verticale du r´ ecepteur.

D´ eterminer comment varie la fr´ equence du signal ´ emis par le satellite, pendant la tra- vers´ ee du satellite d’un bout ` a l’autre de l’horizon.

Solution: Il s’agit de d´ eterminer l’effet Doppler classique du premier ordre en v c ν

= ν

1 ±

cos φ

Comme le r´ ecepteur est sur le sol (rayon ´ equatorial : 6371 km) et que les satellites sont ` a une orbite d’altitude h

, l’angle entre le vecteur vitesse du satellite (tangent

`

a l’orbite) et la ligne de vis´ ee vaut alors φ

= arccos

0+hc

= 1, 3285 rad

R H

R0

Z

R0+hc

ΦH

π/2−ΦH

π/2−ΦH

hc

La vitesse du satellite sur son orbite est v

L’effet Doppler induit donc une d´ ecroissance de la fr´ equence du signal observ´ e au sol lorsque le satellite passe d’un bout ` a l’autre de l’horizon. L’amplitude relative maximale de cet effet Doppler (qui est nul lorsque le satellite est au z´ enith) est donn´ ee par la formule

∆νcl

ν0

= ±

cos(φ

) = ± 3, 1013 × 10

Pour une fr´ equence ν

= 1, 57542 GHz, l’amplitude de l’effet Doppler devient

∆ν

= ± 4, 8858 kHz

Dans les faits, l’effet est doubl´ e par tous les effets qui ne sont pas pris en compte dans ce calcul approximatif : rotation de la Terre, vitesse de d´ eplacement du r´ ecepteur,

´

ecart ` a la circularit´ e de l’orbite du satellite, etc. On peut donc estimer que

∆ν

≈ ± 10 kHz

19. On consid` ere un temps de mesure, carat´ eristique du choix du r´ ecepteur, t

= 1 s. On admet que l’erreur induite par l’effet Doppler sur la mesure du temps de propagation s’´ ecrit : δt

= ∆ν

ν

t

. Calculer l’erreur en position issue de l’effet Doppler classique.

Commenter la pertinence de compenser un tel ph´ enom` ene et conclure sur les param` etres d’orbite que le r´ ecepteur doit connaˆıtre pour permettre un positionnement satisfaisant.

Solution: δt

= 3, 0 × 10

s

Soit une erreur en distance de 900 m. C’est ´ enorme ! Il est imp´ eratif de le compenser

par calcul num´ erique dans le r´ ecepteur ce qui impose de connaˆıtre la vitesse du

satellite en plus de sa position.

Relativit´ e restreinte

20. On prend en compte ` a pr´ esent les effets pr´ edits par la relativit´ e restreinte. On suppose que le satellite suit une orbite circulaire qui passe ` a la verticale du r´ ecepteur. On pose τ = 1

ν la p´ eriode du signal du satellite dans le r´ ef´ erentiel du r´ ecepteur ` a l’instant o` u celui-ci passe ` a la verticale du r´ ecepteur. D´ eterminer τ en fonction de la vitesse v

, de la p´ eriode de r´ ef´ erence τ

= 1

ν

de l’horloge et des donn´ ees du probl` eme.

Solution: Il s’agit du ph´ enom` ene de dilatation des temps.

τ =

(

)

21. D´ eterminer la variation relative ∆ν

ν

=

ν − ν

ν

RR

en fr´ equence par effet Doppler transverse pr´ edite par la relativit´ e restreinte en fonction de la vitesse v

et des donn´ ees du probl` eme. On pr´ ecisera dans quel sens a lieu la variation en fr´ equence.

Solution: La fr´ equence de l’horloge du satellite est observ´ ee plus faible que celle de l’horloge au sol pour le r´ ecepteur.

∆νRR

ν0

= q

1 −

− 1

22. Application num´ erique : en faisant les mˆ emes hypoth` eses que celles de la question (19), d´ eterminer l’erreur induite sur la mesure de distance au satellite pour un temps de mesure d’une seconde si l’on ne prend pas en compte cet effet de d´ erive.

Solution:

0

= − 8, 3513 × 10

Sur une mesure d’une seconde, l’erreur induite sur le temps est donc un retard de δt

= 8, 3513 × 10

seconde. Cela correspond ` a une erreur en position de D

= cδt

= − 2, 50 cm

Relativit´ e g´ en´ erale

23. On suppose maintenant que le satellite reste fixe par rapport au r´ ef´ erentiel galil´ een g´ eocentrique tout comme l’horloge r´ eceptrice sur le sol. Les deux horloges sont alors plac´ ees ` a des positions diff´ erentes dans le potentiel gravitationnel de la Terre. Le principe d’´ equivalence pr´ edit que les effets de la gravitation sur les fr´ equences des horloges sont

´

equivalents ` a ceux d’horloges acc´ el´ er´ ees. Le r´ ecepteur au sol observe alors un d´ eplacement

de la fr´ equence ν

de l’horloge du satellite sous la forme

∆ν

ν

=

s 1 +

1 +

− 1

o` u U

est le potentiel gravitationnel cr´ e´ e par la Terre ` a la position du satellite pour l’orbite circulaire et U

le potentiel gravitationnel cr´ e´ e par la Terre au niveau du sol.

Exprimer ∆ν

ν

=

ν − ν

ν

RG

au premier ordre en U

c

en fonction des positions des deux horloges et des donn´ ees du probl` eme. On pr´ ecisera dans quel sens a lieu la variation en fr´ equence.

Solution: La fr´ equence de l’horloge du satellite est observ´ ee plus grande que celle de l’horloge au sol pour le r´ ecepteur.

∆νRG

ν0

=

R0

−

24. Application num´ erique : en faisant les mˆ emes hypoth` eses que celles de la question (19), d´ eterminer l’erreur induite sur la mesure de distance au satellite pour un temps de mesure d’une seconde si l’on ne prend pas en compte cet effet de d´ erive.

Solution:

0

= 5, 2905 × 10

Sur une mesure d’une seconde, l’erreur induite sur le temps est donc un retard de δt

= 5, 2905 × 10

seconde. Cela correspond ` a une erreur en position de D

= cδt

= 15, 86 cm

25. Dans le cas de la constellation GPS, ces deux termes relativistes sont compens´ es directe- ment en modifiant la fr´ equence de r´ ef´ erence de l’horloge dans le satellite de mani` ere ` a ce qu’elle apparaisse ` a la mˆ eme fr´ equence que l’horloge au sol pour le r´ ecepteur. On suppose que les deux effets relativistes s’additionnent. Calculer les valeurs des deux fr´ equences ν

et ν

´ emises par le satellite dans son r´ ef´ erentiel propre.

Solution: Les horloges dans le satellite paraissent avoir une fr´ equence plus rapide que les horloges au sol pour le r´ ecepteur. En cons´ equence, la fr´ equence des horloges du satellite doit ˆ etre diminu´ ee pour compenser l’effet

∆νmodif

ν0

= − 4, 4557 × 10

Le satellite ´ emet donc deux fr´ equences ν

= 1575419999, 298 Hz

ν

= 1227599999, 453 Hz

26. Les effets relativistes sont ainsi compens´ es directement ` a bord du satellite. Cependant,

pour leur calcul, il a ´ et´ e suppos´ e que le satellite ´ etait en orbite circulaire. En reprenant

les caract´ eristiques de l’orbite elliptique donn´ ees en premi` ere partie, d´ eterminer l’erreur

relative en fr´ equence induite par cette approximation circulaire. Commenter le r´ esultat obtenu.

Solution: Le d´ eplacement relativiste total en fr´ equence s’´ ecrit

∆ν_rel

ν0

= −

+

−

Pour l’apog´ ee, on a

0

= − 4, 4889 × 10

Pour le p´ erig´ ee, on a

0

= − 4, 4221 × 10

En ne compensant pas les effets de l’ellipticit´ e, on effectue une erreur de moins de

1%. Cette erreur n’est pas cruciale pour des mesures usuelles de positionnement,

mais on doit la calculer pour des mesures de haute pr´ ecision comme les relev´ es en

g´ eophysique.

Principe de fonctionnement d’une horloge atomique

La pr´ ecision requise sur la mesure du temps n´ ecessite l’usage d’horloges atomiques. Dans les satellites du syst` eme GPS, quatre horloges atomiques contrˆ olent les fr´ equences du signal : deux horloges ` a C´ esium et deux horloges ` a Rubidium. Ces quatre horloges assurent une redondance en cas de dysfonctionnement. Elles sont synchronis´ ees aux horloges du segment de contrˆ ole qui r´ ealise une ´ echelle de temps coordonn´ ee entre des horloges atomiques de r´ ef´ erence. Seul le r´ ecepteur ne poss` ede pas, dans le cas g´ en´ eral, d’horloge atomique, mais un oscillateur, par exemple ` a quartz, ` a qui l’on demande juste de conserver une pr´ ecision en temps suffisante pendant la dur´ ee de la mesure (ce qu’il est capable de faire ` a condition qu’il soit synchronis´ e avec les horloges du satellite en d´ ebut de mesure).

Une horloge atomique ` a C´ esium ou ` a Rubidium utilise donc, comme r´ ef´ erence en fr´ equence, un paquet d’atomes dont l’´ ecart entre deux niveaux d’´ energie est particuli` erement bien connu.

Depuis 1967, la seconde a ´ et´ e d´ efinie comme la dur´ ee de 9 192 631 770 p´ eriodes de la radiation correspondant ` a la transition entre les niveaux hyperfins F = 3 et F = 4 de l’´ etat fonda- mental 6 S

de l’atome de c´ esium 133. Cette d´ efinition pr´ ecise ainsi la fr´ equence ν

de la transition correspondante du C´ esium. Les horloges atomiques ` a C´ esium constituent donc des

´

etalons primaires pour la mesure du temps. Le probl` eme porte sur leur fonctionnement.

On suppose que les atomes de l’horloge sont des syst` emes ` a deux niveaux avec un ´ etat fondamental norm´ e | f i et un ´ etat excit´ e norm´ e | e i correspondant respectivement ` a des ni- veaux d’´ energie E

et E

tels que

¯

hω

= E

− E

On a alors ω

= 2 πν

avec ν

= 9 192 631 770 Hz.

L’´ etat quantique d’un atome, que l’on suppose norm´ e, s’´ ecrit au temps t

| η(t) i = γ

(t) | f i + γ

(t) | e i On se propose d’´ etudier l’´ evolution d’un tel ´ etat.

Le Hamiltonien H

associ´ e ` a l’atome libre satisfait aux relations suivantes H

| f i = E

| f i

H

| e i = E

| e i 27. Donner l’´ equation d’´ evolution de l’´ etat | η(t) i .

Solution: H

| η(t) i = i¯ h

28. Si l’on suppose qu’au temps t = 0 l’atome est dans l’´ etat initial

| η(0) i = γ

(0) | f i + γ

(0) | e i

d´ eterminer l’expression de l’´ etat de l’atome | η(t) i a un instant ` t quelconque en fonction de E

, t, ¯ h, ω

, | f i et | e i .

Solution: | η(t) i = exp( −

)(γ

(0) | f i + exp( − iω

t)γ

(0) | e i )

Dans une horloge atomique, les atomes sont interrog´ es par un signal micro-onde issu d’un oscillateur g´ en´ eralement ` a quartz. En pratique, on suppose qu’au temps t = 0 les atomes sont dans l’´ etat fondamental

| η(0) i = | f i

L’oscillateur envoie un signal sous la forme d’un champ magn´ etique p´ eriodique orient´ e suivant l’axe Oz tel que

−

→ B = B

cos(ωt + α) − → u

o` u − → u

est un vecteur unitaire de l’axe Oz et ω = 2πν est la pulsation (et ν la fr´ equence) du signal de l’oscillateur que l’on choisit proche de la fr´ equence de r´ ef´ erence.

L’objectif de la mesure est de d´ eterminer la probabilit´ e de transition de l’atome vers l’´ etat excit´ e | e i ` a l’issue de l’interaction avec ce champ magn´ etique. On cherche alors, en modi- fiant la fr´ equence de l’oscillateur, ` a maximiser la probabilit´ e de transition. Lorsqu’elle est maximale, la fr´ equence de l’oscillateur est accord´ ee ` a celle de la transition atomique. En effectuant une boucle d’asservissement, il est alors possible d’utiliser le signal de l’oscillateur comme une r´ ef´ erence en fr´ equence.

Les ´ el´ ements de matrice du Hamiltonien d’interaction H

entre le champ magn´ etique et l’atome sont

h f | H

| f i = h e | H

| e i = 0

h f | H

| e i = h e | H

| f i = ¯ hΩ cos(ωt + α) avec Ω = − χB

.

29. Donner les dimensions et unit´ es de la quantit´ e χ. Donner les noms de quantit´ es physiques repr´ esent´ ees par χ et Ω.

Solution: χ est le facteur gyromagn´ etique. Ω est la pulsation de Larmor donnant la vitesse angulaire de la pr´ ecession de Larmor. L’unit´ e de χ est T

· s

ou C · kg

et ses dimensions par rapport au S.I. sont [I][T][M]

.

30. D´ eterminer le Hamiltonien H

d’un atome en interaction avec le champ magn´ etique. En d´ eduire l’´ equation d’´ evolution associ´ ee pour un atome dans l’´ etat | η(t) i .

Solution: H

= H

+ H

H

| η(t) i = i¯ h

On pose

| φ(t) i = exp iE

t

¯ h

| η(t) i avec | φ(t) i = g

(t) | f i + g

(t) exp( − i ω

t) | e i .

31. A partir de l’´ equation d’´ evolution, d´ eterminer les deux ´ equations diff´ erentielles coupl´ ees du premier ordre que satisfont g

(t) et g

(t).

Solution:

i

= Ω cos(ωt + α)g

exp( − i ω

t)

i

= Ω cos(ωt + α)g

exp(+i ω

t) (1) 32. ω ´ etant assez proche de ω

, il est possible de se placer d´ esormais dans l’approximation

du champ tournant. Cette approximation consiste ` a consid´ erer que, ` a l’´ echelle de temps de la mesure, les termes p´ eriodiques de pulsation (ω + ω

) ont un effet moyen n´ egligeable par rapport ` a ceux de pulsation δ = ω − ω

. Ecrire les ´ equations pr´ ec´ edentes dans le cadre de l’approximation du champ tournant.

Solution:

i

=

exp(iα)g

exp(i (ω − ω

) t)

i

=

exp( − iα)g

exp( − i (ω − ω

) t) (2) 33. D´ eterminer l’´ equation diff´ erentielle du deuxi` eme ordre satisfaite par g

, ainsi que celle

satisfaite par g

.

Solution:

= −

g

+ i (ω − ω

)

d²ge

dt²

= −

g

− i (ω − ω

)

34. Dans le cas g´ en´ eral o` u l’atome se trouve dans l’´ etat | φ(0) i = g

(0) | f i +g

(0) | e i ` a l’instant t = 0, montrer que les solutions de ces ´ equations sont de la forme

g

(t) =g

(0) exp i δ t

2 cos

Ω

t 2

− i δ Ω

sin

Ω

t 2

− i g

(0) exp(iα) exp i δ t

2 Ω

Ω

sin Ω

t

2

g

(t) =g

(0) exp

− i δ t

2 cos

Ω

t 2

+ i δ

Ω

sin Ω

t

2

− i g

(0) exp( − iα) exp

− i δ t 2

Ω Ω

sin

Ω

t 2

Donner l’expression de Ω

en fonction des donn´ ees du probl` eme.

Solution: δ = ω − ω

Ω

= √

Ω

+ δ

35. Pour les besoins de la mesure, on s´ electionne des atomes dans l’´ etat fondamental | f i . A t = 0, on d´ eclenche le champ magn´ etique avec un d´ ephasage nul α = 0. Apr` es un temps d’interaction t avec le champ magn´ etique, d´ eterminer la probabilit´ e P

(t) de mesurer l’atome dans l’´ etat excit´ e | e i ` a l’instant t (appel´ ee aussi probabilit´ e de transition) en fonction de Ω et δ.

Solution: P

(t) = | g

(t) |

=

sin

(

) =

1−cos(√ Ω²+δ²t) 2

36. Pour cette question, on suppose que δ = 0. La probabilit´ e de transition oscille alors en fonction du temps. Donner le nom de ces oscillations ainsi que leur pulsation. D´ eterminer les valeurs de t o` u cette probabilit´ e est ´ egale ` a 1, puis ` a 1/2. Justifier les appellations respectives

impulsion π

et

impulsion π/2

pour les interactions aboutissant ` a ces deux probabilit´ es.

Solution: Ce sont les oscillations de Rabi. La pulsation est ´ egale ` a Ω. On obtient une probabilit´ e de 1 pour une interaction durant un temps t =

+ k

avec k entier.

Il s’agit d’une impulsion telle que Ωt = π d’o` u son nom. On obtient une probabilit´ e de 1/2 pour une interaction durant un temps t =

+ k

avec k entier. Il s’agit alors d’une impulsion Ωt = π/2.

37. Pour une pulsation ω quelconque de l’oscillateur, d´ eterminer le temps τ

(ω) d’inter- action le plus court permettant d’obtenir le maximum P

(ω) pour la probabilit´ e de transition. En d´ eduire l’expression de P

(ω).

Solution: τ

(ω) = √

Ω²+(ω−ω0)²

P

(ω) =

38. Dans le cadre du fonctionnement d’une horloge atomique, l’objectif est de rechercher le maximum de P

(ω) en fonction de ω. Donner l’allure de la courbe P

(ω). Pr´ eciser sa valeur maximale ainsi que la valeur de ω associ´ ee. D´ eterminer la largeur ` a mi-hauteur de la courbe en fonction de Ω.

Solution: La courbe est une lorentzienne. La valeur maximale est 1, elle correspond au cas o` u ω = ω

. La largeur ` a mi-hauteur vaut ∆ω = 2Ω.

39. Justifier l’utilisation du terme de r´ esonance pour cette exp´ erience. Montrer qu’il est possible, par un asservissement adapt´ e, de s’assurer que le signal ´ emis par l’oscillateur correspond ` a la fr´ equence d’horloge de r´ ef´ erence.

Solution: La courbe est une lorentzienne caract´ eristique d’une r´ esonance. Les atomes

ne r´ eagissent ` a la pr´ esence du champ magn´ etique que lorsque la fr´ equence de l’oscil-

lateur est proche de celle correspondant ` a la transition. Si l’on asservit le signal de

l’oscillateur sur le maximum de la courbe de r´ eponse, il a alors une fr´ equence tr` es

proche de la fr´ equence d’horloge.

40. On appelle τ

le temps d’interaction entre le champ magn´ etique et l’atome lorsque le syst` eme (oscillateur+atomes) est ` a la r´ esonance. Donner la relation entre τ

et Ω.

Exprimer la largeur ` a mi-hauteur de la courbe de r´ esonance en fonction de τ

. D´ ecrire un protocole exp´ erimental permettant d’obtenir une tr` es bonne pr´ ecision pour la mesure de cette horloge et pr´ eciser les limitations pour ce type de mesure.

Solution: τ

=

∆ω =

0max

Pour am´ eliorer la pr´ ecision de la mesure (et donc r´ eduire la largeur ` a mi-hauteur), il faut augmenter le temps d’interaction entre le champ magn´ etique et les atomes.

On peut anticiper deux limitations : les atomes ne peuvent pas ˆ etre maintenus isol´ es pendant une longue dur´ ee et dans un espace restreint et le champ magn´ etique peut difficilement ˆ etre maintenu constant sur une longue dur´ ee.

Pour des horloges atomiques de r´ ef´ erence, il est possible de d´ evelopper un dispositif plus com- plexe permettant d’atteindre de meilleures pr´ ecisions. Ce dispositif consiste en un syst` eme interf´ erom´ etrique permettant d’obtenir des franges dites de Ramsey.

Le principe est le suivant :

- Les atomes sont initialement s´ electionn´ es dans l’´ etat fondamental | f i .

- A t = 0, ils interagissent avec le champ magn´ etique sous la forme d’une impulsion π/2. On appelle τ le temps d’interaction correspondant.

- A partir de t = τ , le champ magn´ etique est coup´ e et les atomes ´ evoluent librement pendant une dur´ ee T .

- A t = τ + T , le champ magn´ etique est rallum´ e et les atomes subissent une impulsion π/2.

La mesure consiste en la d´ etermination du maximum de probabilit´ e de transition des atomes.

Avec les notations pr´ ec´ edentes, on a donc ` a t = 0 : g

(0) = 0 ; g

(0) = 1 ; α = 0.

41. En reprenant les r´ esultats des questions pr´ ec´ edentes, d´ eterminer l’´ etat des atomes | η(τ) i

`

a la fin de la premi` ere interaction avec le champ magn´ etique pour t = τ.

Solution: g

(τ ) = exp(

)(cos(

) −

sin(

)) g

(τ ) = −

sin(

) exp(

)

Or Ω

τ =

g

(τ ) = exp(

)(

√2 2

−

√2 2

) g

(τ ) = −

√2

2

exp( −

)

| η(τ ) i = exp( −

) (g

(τ ) | f i + exp( − iω

τ )g

(τ ) | e i )

42. D´ eterminer l’´ etat des atomes | η(τ + T ) i apr` es leur ´ evolution libre sans champ magn´ etique pour t = τ + T .

Solution: g

(τ + T ) = exp(

) n

exp(

)(

√2 2

−

√2 2

) o g

(τ + T ) = exp(

) n

−

√ 2

2

exp( −

) o

| η(τ + T ) i = g

(τ + T ) | f i + g

(τ + T ) | e i

43. Calculer g

(2τ + T ). On prendra en compte le fait qu’avant la deuxi` eme impulsion π/2, le champ magn´ etique s’est d´ ephas´ e pendant l’intervalle de temps (τ + T ). Montrer que la probabilit´ e de transition d’un atome P

(2τ + T ) vers l’´ etat excit´ e apr` es l’ensemble du dispositif s’´ ecrit

P

(2τ + T ) = Ω

Ω

+ δ

cos

δT 2

− δ

√ Ω

+ δ

sin δT

2

Solution: g

(2τ + T ) =

−

h

exp(

) exp( − iδτ )(1 + i

) + exp(

) exp( − iω(τ + T )) 1 − i

i

P

(2τ + T ) =

h

cos(

) −

sin(

) i

44. Justifier l’appellation de

franges de Ramsey

pour ce r´ esultat. D´ eterminer la largeur

`

a mi-hauteur de la frange centrale.

Figure 3 – Franges de Ramsey d’une horloge atomique. Le cadre en haut ` a droite est un zoom de la frange centrale de la figure o` u les fl` eches indiquent la largeur ` a mi-hauteur.

Solution: Le dispositif est un interf´ erom` etre, les oscillations sont donc bien des franges d’interf´ erences. La largeur ` a mi-hauteur de la frange centrale est ∆ω =

. 45. La figure 3 repr´ esente le r´ esultat d’une mesure effectu´ ee sur une fontaine atomique dans

un laboratoire de m´ etrologie. Les points exp´ erimentaux sont report´ es sous la forme de

disque donnant la barre d’erreur. On admet que chaque point a ´ et´ e obtenu avec un

temps de mesure correspondant au temps d’´ evolution libre des atomes, t

= T . Une courbe th´ eorique est superpos´ ee aux points exp´ erimentaux. Montrer que le r´ esultat ob- tenu correspond aux calculs pr´ ec´ edents en d´ ecrivant les caract´ eristiques principales de cette courbe. Comparer les r´ esultats obtenus avec ce dispositif ` a la mesure de r´ esonance pr´ ec´ edemment ´ etudi´ ee.

Solution: L’enveloppe de la courbe est la lorentzienne obtenue avec la r´ esonance des oscillations de Rabi. Les franges de Ramsey permettent donc d’obtenir une pr´ ecision bien meilleure.

46. Au lieu de mesurer directement le maximum de la frange centrale, les m´ etrologues pr´ ef` erent effectuer deux s´ eries de mesures d´ ecal´ ees en fr´ equence de part et d’autre de la frange centrale. Expliquer quelle est la motivation de ce protocole exp´ erimental et d´ eterminer le d´ ecalage en fr´ equence optimal.

Solution: Si l’on effectue les mesures de part et d’autre de la frange centrale ` a mi- hauteur, la probabilit´ e de transition a alors une pente maximale. La mesure est alors bien plus sensible et donc plus pr´ ecise que si l’on effectue la mesure au maximum de probabilit´ e o` u la pente est horizontale.

47. La figure 4 montre la stabilit´ e de deux types d’horloges : un oscillateur ` a quartz (tel qu’il peut y en avoir dans le r´ ecepteur) et une horloge atomique ` a C´ esium (telle qu’il peut y en avoir dans les satellites GPS ou au segment sol). La stabilit´ e correspond ` a la d´ etermination de la pr´ ecision relative en fr´ equence de l’horloge ´ etudi´ ee en fonction du temps de mesure effectu´ e.

V´ erifier que les ordres de grandeurs pr´ esent´ es sont compatibles avec la courbe obtenue pr´ ec´ edemment pour l’horloge atomique. Justifier l’utilisation d’un oscillateur ` a quartz pour le r´ ecepteur.

Solution: La courbe de franges de Ramsey donne une largeur ` a mi-hauteur de 1 Hz environ pour une fr´ equence de 10 GHz. On peut consid´ erer que la mesure est plus sensible que cette largeur de raie d’un facteur 100 au moins ´ etant donn´ ee la largeur des points exp´ erimentaux. Le temps de mesure pour une telle courbe correspond au temps de vol des atomes dans l’horloge, c’est-` a-dire environ 1 s. C’est compatible avec la courbe donn´ ee pour l’horloge ` a C´ esium.

La mesure de GPS usuelle entre le r´ ecepteur et le satellite ne dure pas plus qu’une seconde. Pour un tel temps de mesure, un oscillateur ` a quartz est aussi performant, voire meilleur en stabilit´ e qu’une horloge ` a C´ esium pour un coˆ ut nettement moindre.

Il est donc normal de mettre de telles horloges dans les r´ ecepteurs.

48. Pour les horloges atomiques de r´ ef´ erence au sol, les laboratoires de m´ etrologie emploient

parfois des atomes de C´ esium froids comme ´ etalon de fr´ equence. D´ ecrire ce que signifie

le terme

atomes froids

et d´ eterminer les avantages d’une telle technologie pour le

fonctionnement des horloges atomiques.

Figure 4 – Stabilit´ e de l’horloge. La stabilit´ e correspond ` a la pr´ ecision relative de la mesure en fonction du temps de mesure.

Solution: Les atomes sont sous forme gazeuse ` a la temp´ erature T

. L’agitation thermique induit une dispersion de vitesse pour les atomes. La raie se retrouve ´ elargie par effet Doppler (mais il n’y pas pas de d´ eplacement du maximum). La r´ epartition des vitesses suit une statistique de Boltzmann. Si l’effet est pr´ epond´ erant, la raie n’est plus lorentzienne, mais gaussienne (la situation interm´ ediaire donne un profil de Voigt). Il faut int´ egrer la statistique des vitesses sur la ligne de vis´ ee pour obtenir la largeur ` a mi-hauteur

FWHM = 2(ln 2)

ω

2kBTgaz

mCc²

L’utilisation des atomes froids permettent d’´ eliminer l’effet Doppler. D’autre part, une dispersion de vitesses plus faible permet d’obtenir des vitesses de groupe plus faibles pour le paquet d’atomes et donc un temps d’interrogation T plus grand, c’est-

`

a-dire une largeur de frange centrale plus faible. Par exemple, avec une temp´ erature

T

= 10

K, l’effet Doppler diminue : on passe d’une largeur de raie de 10 kHz ` a 1

Hz et la dispersion de vitesse des atomes est r´ eduite d’un facteur 100. Cela diminue

d’autant la vitesse de groupe du paquet, augmente de mˆ eme le temps d’interrogation,

ce qui induit une raie 100 fois plus fine si l’effet Doppler est n´ egligeable.

Effets de l’atmosph` ere

Les satellites ´ etant ` a une altitude d’environ 20180 km, les signaux ´ emis traversent plusieurs couches de l’atmosph` ere terrestre. Le syst` eme GPS ´ emet des signaux sur deux fr´ equences diff´ erentes ν

et ν

d´ ecrites dans l’introduction.

Les perturbations induites par la travers´ ee de l’atmosph` ere sont class´ ees en deux cat´ egories : - les perturbations issues de la composante ionis´ ee de l’atmosph` ere (appel´ ee, pour simplifier, l’ionosph` ere)

- les perturbations induites par la composante neutre de l’atmosph` ere (appel´ ee, pour simpli- fier, du nom de sa couche la plus dense : la troposph` ere).

En dehors de l’atmosph` ere, on consid` ere que les signaux se propagent dans le vide.

Les caract´ eristiques physiques de l’atmosph` ere (´ epaisseur, densit´ e, composition, temp´ erature, pression, ...) sont tr` es variables sur toutes les ´ echelles spatiales et sur des ´ echelles de temps allant de la minute aux ´ echelles g´ eologiques en passant par les variations journali` eres et saisonni` eres. Il est donc indispensable pour le syst` eme GPS de d´ evelopper des techniques permettant de passer outre ces variations.

L’ionosph` ere

L’ionosph` ere est constitu´ ee d’un plasma qui s’´ etend environ ` a des altitudes de 50 km ` a 800 km. Le vent solaire est ` a l’origine d’une grande partie de l’ionisation de cette couche atmosph´ erique.

On suppose que l’ionosph` ere est compos´ ee d’un plasma homog` ene globalement neutre.

On veut ´ etudier les conditions de propagation d’une onde ´ electromagn´ etique dans le plasma ionosph´ erique. On suppose qu’il s’agit d’une onde plane progressive harmonique transversale, polaris´ ee rectilignement, se propageant suivant le vecteur unitaire − → u

, de pulsation ω = 2π ν, de vecteur d’onde − →

k = k − → u

correspondant ` a un champ ´ electrique de la forme

−

→ E (x, t) = E

cos(ωt − kx) − → u

avec ( − → u

, − → u

, − → u

) base orthonorm´ ee. Il r` egne alors dans le plasma un champ ´ electrique − → E et un champ magn´ etique − → B qui d´ ependent tous les deux a priori de la position et du temps.

49. On note ` a pr´ esent − → v

la vitesse des ´ electrons dans le plasma et − → v

la vitesse des ions posi- tifs. On mod´ elise la r´ eponse du plasma ` a la pr´ esence de l’onde par un mod` ele aboutissant aux relations

m

d − → v

dt = − e − → E

−

→ v

= − → 0

D´ ecrire et justifier toutes les hypoth` eses sous-jacentes ` a ces r´ esultats.

Solution: Ce mod` ele ´ etablit la relation fondamentale de la dynamique sur les por- teurs de charge. La premi` ere hypoth` ese est que les ions restent immobiles et que seuls les ´ electrons libres sont mobiles. Cette hypoth` ese est justifi´ ee par le fait que les ions ont une masse au moins mille fois plus grande que les ´ electrons libres.

Dans ce mod` ele, il convient d’introduire toutes les forces agissant sur les ´ electrons - force issue du champ ´ electrique : c’est celle restant dans l’´ equation finale

- l’interaction magn´ etique : pour une onde ´ electromagn´ etique, elle est n´ egligeable par rapport ` a la force issue du champ ´ electrique.

- la force d’interaction avec l’environnement, proportionnelle ` a la vitesse : dans un plasma atmosph´ erique dilu´ e, elle est n´ egligeable par rapport ` a la force exerc´ ee par le champ ´ electrique.

50. On appelle N

la densit´ e volumique ´ electronique suppos´ ee uniforme. D´ eterminer, en pr´ ecisant les conditions de son existence, l’´ equation de dispersion de l’onde dans l’io- nosph` ere en fonction de N

et des donn´ ees du probl` eme. Qu’appelle-t-on

pulsation plasma

, not´ ee ω

? Donner son expression.

Solution: k

=

µ

ω

−

ω

= q

Nee² 0me

51. D´ eterminer les conditions pour qu’une onde puisse se propager dans l’ionosph` ere.

Solution: Un signal ´ electromagn´ etique peut traverser un plasma si sa fr´ equence est sup´ erieure ` a la fr´ equence de plasma (ou de Langmuir). Cette limite est impos´ ee par la relation de dispersion des ondes dans un milieu ionis´ e, issue des ´ equations de Maxwell. Cette relation de dispersion n’a de sens (ou de solution) que si la pulsation du signal v´ erifie l’in´ egalit´ e ω > ω

=

q

52. La densit´ e d’´ electrons N

dans l’ionosph` ere varie usuellement de 10 cm

` a 10

cm

. On suppose que ces variations se produisent sur des ´ echelles de temps et d’espace suf- fisamment grandes pour que les ´ equations pr´ ec´ edentes restent valides. D´ eterminer la gamme de variation de la fr´ equence plasma ν

= ω

2π de l’ionosph` ere. D´ emontrer que les fr´ equences ´ emises par les satellites du syst` eme GPS peuvent se propager ` a travers l’ionosph` ere.

Solution: La densit´ e maximale d’´ electrons dans l’ionosph` ere est de l’ordre de N

= 10

m

. Prenons cette derni` ere pour calculer la fr´ equence plasma

ν

=

q

Nee² 0me

ν

=

q

ν

≈ 10M Hz

Quand la densit´ e d’´ electrons est 10

fois plus faible, la fr´ equence plasma diminue

d’autant. Cette fr´ equence plasma, mˆ eme dans le cas le plus extrˆ eme pour la densit´ e

´

electronique, est notablement inf´ erieure aux fr´ equences du GPS. Les fr´ equences du GPS traversent donc l’ionosph` ere.

53. On se place dans la situation o` u l’onde se propage. D´ eterminer l’expression de la vitesse de phase v

et de la vitesse de groupe v

de l’onde dans le plasma en fonction de la pulsation ω, de la pulsation plasma ω

et des donn´ ees du probl` eme.

Solution:

v

=

=

ω2

v

=

= c q

1 −

54. En d´ eduire que l’indice de r´ efraction n = c

v

de l’ionosph` ere suit la relation au premier ordre en ω

ω

n = 1 + 40, 3 N

ν

pour des quantit´ es exprim´ ees en unit´ es du syst` eme international.

Expliquer pourquoi cet indice de r´ efraction est celui utilis´ e pour le fonctionnement du GPS pr´ esent´ e en introduction.

Solution: n =

g

≈ 1 +

n = 1 +

0meπ²ν²

n = 1 + 40, 3

Comme cela est dit en introduction, le satellite envoie des paquets d’onde. Il est donc n´ ecessaire d’utiliser l’indice de groupe pour mod´ eliser les effets de l’ionosph` ere et non pas l’indice li´ e ` a la vitesse de phase.

55. D´ eterminer l’erreur syst´ ematique induite par la pr´ esence de l’ionosph` ere sur la mesure de distance entre le satellite et le r´ ecepteur. Donner l’ordre de grandeur de la valeur sup´ erieure que peut prendre cette erreur en supposant l’ionosph` ere homog` ene pour un signal ` a la fr´ equence ν

.

Solution: On a `

= c(t

− t

) = `

+ R

E

(n − 1)d`

L’erreur introduite par la pr´ esence de l’ionosph` ere est donc

∆`

=

R

N

d`

∆`

≈ 12 m

56. En ne prenant pas en consid´ eration les autres sources d’erreur, ´ ecrire l’int´ erˆ et d’utiliser

simultan´ ement deux fr´ equences diff´ erentes pour le signal GPS. En particulier, donner une