Quelques aspects de la physique du GPS

Quelques aspects de la physique du GPS

(Global Positioning System)

Les diff´ erentes parties de ce probl` eme peuvent ˆ etre abord´ ees pour l’essentiel de mani` ere ind´ ependante. Toutefois, la logique du probl` eme recommande de suivre les parties dans l’ordre pour ˆ etre en capacit´ e de r´ epondre de fa¸ con compl` ete et ´ eclair´ ee ` a toutes les questions (no- tamment celles de la derni` ere partie). Certains r´ esultats interm´ ediaires sont donn´ es dans le probl` eme, il est possible de les utiliser pour les questions suivantes, mˆ eme si on ne les a pas

´ etablis.

La copie doit ˆ etre lisible, l’identification de la question trait´ ee doit ˆ etre ´ evidente. La r´ edaction est un point essentiel de la correction : les explications peuvent ˆ etre succinctes du moment qu’elles sont exhaustives et ´ ecrites dans un fran¸ cais correct.

Le

Global Positioning System

ou GPS est un syst` eme de positionnement terrestre par satellites. Le premier satellite a ´ et´ e envoy´ e en 1978. Actuellement, le syst` eme comprend 24 satellites op´ erationnels (Figure 1) orbitant ` a une altitude d’environ 20 180 km. L’en- semble des satellites constituent le segment spatial. Ces satellites ´ emettent en permanence des signaux sous la forme de paquets d’ondes ´ electromagn´ etiques sur deux fr´ equences ν <sub>1</sub> (1 575 420 000, 000 Hz) et ν <sub>2</sub> (1 227 600 000, 000 Hz) pilot´ ees par des horloges atomiques ` a bord des satellites. Les signaux ´ emis sont re¸cus et analys´ es par un r´ ecepteur sur la surface de la Terre (le segment utilisateur) comprenant une horloge.

Figure 1 – Satellite Navstar

Cinq stations au sol, dont la station maˆıtresse ` a Colorado Springs, composent le segment de contrˆ ole. Elles communiquent avec la constellation de satellites pour assurer leur bon fonctionnement et mettre ` a jour les informations utiles pour les mesures. Ces stations sont connect´ ees ` a des horloges atomiques de grande pr´ ecision au sol afin d’assurer la synchroni- sation des horloges de la constellation.

Le principe de la mesure est de d´ eterminer la distance ` <sub>ER</sub> entre le satellite ´ emetteur (E) et le r´ ecepteur (R) en mesurant le temps de propagation ∆t <sub>ER</sub> = t <sub>R</sub> − t <sub>E</sub> du signal entre les deux instruments (t <sub>R</sub> ´ etant l’instant de r´ eception et t <sub>E</sub> l’instant d’´ emission). Dans le cas id´ eal o` u satellite et r´ ecepteur sont isol´ es et dans le vide, le temps de propagation est directement proportionnel ` a la distance : ` _ER = c ∆t _ER o` u c est la c´ el´ erit´ e de la lumi` ere dans le vide. Si l’on connait les positions pr´ ecises de plusieurs satellites ´ emetteurs ` a l’instant de la mesure, il est possible d’en d´ eduire la position du r´ ecepteur.

En pratique, chaque ´ el´ ement du syst` eme intervient dans la mesure en introduisant des in- certitudes et des perturbations. De plus, l’espace de propagation, c’est-` a-dire l’atmosph` ere, n’est pas le vide et il est n´ ecessaire de mod´ eliser son action sur le signal. La distance ` _ER ne repr´ esente donc plus une distance r´ eelle (g´ eom´ etrique) entre le r´ ecepteur et l’´ emetteur, mais une pseudo-distance comprenant l’ensemble des effets intervenant dans la mesure. Il est notamment n´ ecessaire de prendre en compte :

- l’erreur sur l’orbitographie du satellite et son positionnement - la contribution de l’ionosph` ere ` a la propagation du signal - la contribution de la troposph` ere ` a la propagation du signal - les effets relativistes

- les d´ ecalages des horloges du r´ ecepteur et du satellite GPS - les bruits associ´ es au r´ ecepteur et ` a l’´ emetteur

- l’amplitude de ph´ enom` enes usuellement appel´ es

effets des trajets multiples

qui ne se- ront pas d´ etaill´ es dans ce probl` eme.

L’objectif de ce probl` eme est d’´ etudier quelques-uns des principaux facteurs intervenant dans

la mesure et d’en d´ eduire des contraintes sur le fonctionnement d’un syst` eme op´ erationnel.

Les donn´ ees num´ eriques du probl` eme sont pr´ esent´ ees, quand cela est possible, avec le nombre de chiffres significatifs correspondant ` a l’´ etat de l’art des connaissances

R ₀ 6 371, 0 km rayon terrestre moyen

M 0 5, 9724 × 10 ²⁴ kg masse terrestre ₀ 8, 854 187 817 × 10 ⁻¹² F · M ⁻¹ permittivit´ e du vide

µ ₀ 4π × 10 ⁻⁷ N · A ⁻² perm´ eabilit´ e magn´ etique du vide π 3,141 592 653 59 ...

G 6, 674 08 × 10 ⁻¹¹ m ³ · kg ⁻¹ · s ⁻² constante gravitationnelle c 299 792 458 m · s ⁻¹ vitesse de la lumi` ere m at 1, 660 539 040 × 10 ⁻²⁷ kg unit´ e de masse atomique m _C 132, 905 451 96 m _at masse du C´ esium

k _B 1, 380 648 52 × 10 ⁻²³ J · K ⁻¹ constante de Boltzmann e 1, 602 176 6208 × 10 ⁻¹⁹ C unit´ e de charge

m _e 9, 109 383 56 × 10 ⁻³¹ kg masse de l’´ electron

R 8, 314 4598 J · mol ⁻¹ · K ⁻¹ constante des gaz parfaits On rappelle que pour un vecteur − →

V quelconque

−→ rot( −→ rot − →

V ) = −−→

grad(div − →

V ) − ∆ − → V

Ordres de grandeurs

Dans cette partie, l’objectif est de calculer quelques caract´ eristiques et ordres de grandeur du syst` eme GPS. On se place dans le r´ ef´ erentiel g´ eocentrique suppos´ e galil´ een, ce qui revient

`

a consid´ erer la Terre comme isol´ ee. On suppose de plus qu’elle est sph´ erique, homog` ene et sans rotation. L’origine O est situ´ ee au centre de la Terre. Un satellite de masse m tourne autour d’elle avec une orbite ferm´ ee circulaire ` a l’altitude h _c = 20180 km.

1. D´ eterminer le module de la vitesse du satellite v _c dans le r´ ef´ erentiel g´ eocentrique en fonction des donn´ ees du probl` eme. Effectuer l’application num´ erique.

2. D´ eterminer et calculer num´ eriquement la p´ eriode T _orb de cette orbite.

3. On n´ eglige les effets de l’atmosph` ere en faisant l’hypoth` ese que le signal se propage dans le vide. Calculer le temps de propagation t ₀ du signal du satellite ` a un r´ ecepteur situ´ e ` a la surface de la Terre lorsque le satellite passe ` a la verticale du r´ ecepteur.

4. Si l’on souhaite un positionnement ` a une pr´ ecision meilleure que le m` etre, d´ eterminer la pr´ ecision n´ ecessaire sur la mesure du temps de propagation. Commenter.

5. Dans le cas id´ eal o` u l’on ne prend en compte aucune incertitude, ni aucune perturbation dans le syst` eme, o` u les positions des satellites sont parfaitement connues, d´ eterminer le nombre de satellites n´ ecessaires simultan´ ement pour une mesure de positionnement d’un r´ ecepteur situ´ e sur la surface terrestre.

6. Les horloges des satellites sont synchronis´ ees par le segment de contrˆ ole, mais l’horloge du r´ ecepteur peut g´ en´ eralement montrer un d´ ecalage par rapport aux horloges des satellites.

Mˆ eme question qu’en (5).

Orbites des satellites

On suppose ` a pr´ esent que l’orbite du satellite est elliptique. On se place toujours dans le r´ ef´ erentiel g´ eocentrique et on suppose que la Terre est sph´ erique, homog` ene et sans rotation.

On appelle r la distance entre le satellite et le centre de la Terre O ; − → r repr´ esente ainsi le vecteur position du satellite, − → v sa vitesse et − → a son acc´ el´ eration.

Enfin, on suppose toujours que la masse du satellite est n´ egligeable devant celle de la Terre.

7. Montrer, en utilisant les caract´ eristiques de la force gravitationnelle, que l’orbite du satellite est plane.

8. On se place d´ esormais dans le plan de l’orbite. Un syst` eme de coordonn´ ees polaires (r, θ) est utilis´ e. On choisit l’origine de l’angle θ quand le satellite est au plus proche de la Terre. On note ( − → e <sub>r</sub> , − → e <sub>θ</sub> ) la base orthonorm´ ee associ´ ee aux coordonn´ ees polaires. On appelle apog´ ee la position o` u le satellite est ` a la distance maximale r max de la Terre et p´ erig´ ee la position correspondant ` a la distance minimale r _min . Faire un sch´ ema en indiquant les caract´ eristiques de l’orbite ainsi que le rep` ere.

9. Exprimer les composantes a _r et a _θ de l’acc´ el´ eration dans ce rep` ere.

10. Donner l’expression de la seconde loi de Newton dans ce rep` ere.

11. On pose C = r ² dθ

dt . Retrouver la loi des aires ou deuxi` eme loi de K´ epler en pr´ ecisant ce que repr´ esente C.

12. On pose : u = 1/r. D´ eterminer l’expression de la composante radiale de l’acc´ el´ eration en fonction de C, de u et des d´ eriv´ ees de u par rapport ` a θ.

13. Montrer que l’´ equation de l’orbite est du type r = C ²

K

1 1 + e 0 cosθ On exprimera K en fonction des donn´ ees du probl` eme.

Donner la signification g´ eom´ etrique de e ₀ .

14. Donner, en fonction de e ₀ , C, K, le demi grand-axe A et le demi petit-axe B corres- pondant ` a la solution propos´ ee dans la question pr´ ec´ edente. On donnera les unit´ es et les dimensions des quantit´ es explicit´ ees. Nommer la position particuli` ere o` u se trouve le centre de la Terre.

15. V´ erifier que l’on a la relation

v ² = 2K 1

r − 1 2A

16. On donne A = R 0 + h c et e 0 = 0, 01. Calculer num´ eriquement la distance r max (respecti-

vement r _min ) du satellite au centre de la Terre lorsqu’il est ` a l’apog´ ee (respectivement au

p´ erig´ ee). En d´ eduire les valeurs maximale v _max et minimale v _min de la vitesse du satellite.

D´ eplacement de fr´ equence par effet Doppler classique et relativiste

Le principe de mesure du syst` eme porte sur la comparaison des horloges dans le satellite avec une horloge au sol (` a la surface de la Terre de rayon R ₀ ) que l’on suppose fixe par rapport au r´ ef´ erentiel g´ eocentrique. On suppose que les horloges sont identiques et utilisent la mˆ eme fr´ equence de r´ ef´ erence dans leur r´ ef´ erentiel propre. L’objectif de cette partie est d’estimer les effets Doppler classiques et relativistes sur la mesure de la fr´ equence de l’horloge du satellite dans le r´ ef´ erentiel li´ e au r´ ecepteur. On appelle ν la fr´ equence ´ emise par l’horloge du satellite telle qu’elle est capt´ ee par le r´ ecepteur et ν ₀ la fr´ equence de r´ ef´ erence des horloges.

Effet Doppler classique

17. Dans le cadre de la composition classique des vitesses, d´ eterminer l’expression classique du d´ ecalage en fr´ equence ∆ν _cl

ν ₀ =

ν − ν ₀ ν ₀

cl

par effet Doppler lorsque le satellite a une vitesse − → v par rapport au r´ ef´ erentiel du r´ ecepteur. La vitesse − → v pr´ esente un angle φ par rapport ` a la ligne de vis´ ee (figure 2).

orbite Satellite − → v

R´ecepteur Ligne

de vis ´ee

φ

Figure 2 – Positions du r´ ecepteur et du satellite pour la d´ etermination de l’effet Doppler classique

18. On fait de nouveau l’hypoth` ese que le satellite suit une orbite circulaire. On suppose que la Terre est sph´ erique, sans rotation, et que le r´ ecepteur peut capter le signal du satellite d` es que celui-ci est plus haut que l’horizon. Enfin, on suppose que la trajectoire du satellite le fait passer ` a la verticale du r´ ecepteur.

D´ eterminer comment varie la fr´ equence du signal ´ emis par le satellite, pendant la tra- vers´ ee du satellite d’un bout ` a l’autre de l’horizon.

19. On consid` ere un temps de mesure, carat´ eristique du choix du r´ ecepteur, t _mes = 1 s. On

admet que l’erreur induite par l’effet Doppler sur la mesure du temps de propagation

s’´ ecrit : δt _ER = ∆ν _cl

ν ₀ t _mes . Calculer l’erreur en position issue de l’effet Doppler classique.

Commenter la pertinence de compenser un tel ph´ enom` ene et conclure sur les param` etres d’orbite que le r´ ecepteur doit connaˆıtre pour permettre un positionnement satisfaisant.

Relativit´ e restreinte

20. On prend en compte ` a pr´ esent les effets pr´ edits par la relativit´ e restreinte. On suppose que le satellite suit une orbite circulaire qui passe ` a la verticale du r´ ecepteur. On pose τ = 1

ν la p´ eriode du signal du satellite dans le r´ ef´ erentiel du r´ ecepteur ` a l’instant o` u celui-ci passe ` a la verticale du r´ ecepteur. D´ eterminer τ en fonction de la vitesse v c , de la p´ eriode de r´ ef´ erence τ ₀ = 1

ν ₀ de l’horloge et des donn´ ees du probl` eme.

21. D´ eterminer la variation relative ∆ν _RR ν ₀ =

ν − ν ₀ ν ₀

RR

en fr´ equence par effet Doppler transverse pr´ edite par la relativit´ e restreinte en fonction de la vitesse v _c et des donn´ ees du probl` eme. On pr´ ecisera dans quel sens a lieu la variation en fr´ equence.

22. Application num´ erique : en faisant les mˆ emes hypoth` eses que celles de la question (19), d´ eterminer l’erreur induite sur la mesure de distance au satellite pour un temps de mesure d’une seconde si l’on ne prend pas en compte cet effet de d´ erive.

Relativit´ e g´ en´ erale

23. On suppose maintenant que le satellite reste fixe par rapport au r´ ef´ erentiel galil´ een g´ eocentrique tout comme l’horloge r´ eceptrice sur le sol. Les deux horloges sont alors plac´ ees ` a des positions diff´ erentes dans le potentiel gravitationnel de la Terre. Le principe d’´ equivalence pr´ edit que les effets de la gravitation sur les fr´ equences des horloges sont

´

equivalents ` a ceux d’horloges acc´ el´ er´ ees. Le r´ ecepteur au sol observe alors un d´ eplacement de la fr´ equence ν _RG de l’horloge du satellite sous la forme

∆ν _RG ν ₀ =

s 1 + ^2U _c

1 + ^2U _c

− 1

o` u U <sub>sat</sub> est le potentiel gravitationnel cr´ e´ e par la Terre ` a la position du satellite pour l’orbite circulaire et U _rec le potentiel gravitationnel cr´ e´ e par la Terre au niveau du sol.

Exprimer ∆ν _RG ν ₀ =

ν − ν ₀ ν ₀

RG

au premier ordre en U

c ² en fonction des positions des deux horloges et des donn´ ees du probl` eme. On pr´ ecisera dans quel sens a lieu la variation en fr´ equence.

24. Application num´ erique : en faisant les mˆ emes hypoth` eses que celles de la question (19), d´ eterminer l’erreur induite sur la mesure de distance au satellite pour un temps de mesure d’une seconde si l’on ne prend pas en compte cet effet de d´ erive.

25. Dans le cas de la constellation GPS, ces deux termes relativistes sont compens´ es directe-

ment en modifiant la fr´ equence de r´ ef´ erence de l’horloge dans le satellite de mani` ere ` a ce

qu’elle apparaisse ` a la mˆ eme fr´ equence que l’horloge au sol pour le r´ ecepteur. On suppose

que les deux effets relativistes s’additionnent. Calculer les valeurs des deux fr´ equences

ν ₁ ⁰ et ν ₂ ⁰ ´ emises par le satellite dans son r´ ef´ erentiel propre.

26. Les effets relativistes sont ainsi compens´ es directement ` a bord du satellite. Cependant, pour leur calcul, il a ´ et´ e suppos´ e que le satellite ´ etait en orbite circulaire. En reprenant les caract´ eristiques de l’orbite elliptique donn´ ees en premi` ere partie, d´ eterminer l’erreur relative en fr´ equence induite par cette approximation circulaire. Commenter le r´ esultat obtenu.

Principe de fonctionnement d’une horloge atomique

La pr´ ecision requise sur la mesure du temps n´ ecessite l’usage d’horloges atomiques. Dans les satellites du syst` eme GPS, quatre horloges atomiques contrˆ olent les fr´ equences du signal : deux horloges ` a C´ esium et deux horloges ` a Rubidium. Ces quatre horloges assurent une redondance en cas de dysfonctionnement. Elles sont synchronis´ ees aux horloges du segment de contrˆ ole qui r´ ealise une ´ echelle de temps coordonn´ ee entre des horloges atomiques de r´ ef´ erence. Seul le r´ ecepteur ne poss` ede pas, dans le cas g´ en´ eral, d’horloge atomique, mais un oscillateur, par exemple ` a quartz, ` a qui l’on demande juste de conserver une pr´ ecision en temps suffisante pendant la dur´ ee de la mesure (ce qu’il est capable de faire ` a condition qu’il soit synchronis´ e avec les horloges du satellite en d´ ebut de mesure).

Une horloge atomique ` a C´ esium ou ` a Rubidium utilise donc, comme r´ ef´ erence en fr´ equence, un paquet d’atomes dont l’´ ecart entre deux niveaux d’´ energie est particuli` erement bien connu.

Depuis 1967, la seconde a ´ et´ e d´ efinie comme la dur´ ee de 9 192 631 770 p´ eriodes de la radiation correspondant ` a la transition entre les niveaux hyperfins F = 3 et F = 4 de l’´ etat fonda- mental 6 S <sup>1/2</sup> de l’atome de c´ esium 133. Cette d´ efinition pr´ ecise ainsi la fr´ equence ν <sub>0</sub> de la transition correspondante du C´ esium. Les horloges atomiques ` a C´ esium constituent donc des

´

etalons primaires pour la mesure du temps. Le probl` eme porte sur leur fonctionnement.

On suppose que les atomes de l’horloge sont des syst` emes ` a deux niveaux avec un ´ etat fondamental norm´ e | f i et un ´ etat excit´ e norm´ e | e i correspondant respectivement ` a des ni- veaux d’´ energie E _f et E _e tels que

¯

hω ₀ = E _e − E _f On a alors ω ₀ = 2 πν ₀ avec ν ₀ = 9 192 631 770 Hz.

L’´ etat quantique d’un atome, que l’on suppose norm´ e, s’´ ecrit au temps t

| η(t) i = γ f (t) | f i + γ e (t) | e i On se propose d’´ etudier l’´ evolution d’un tel ´ etat.

Le Hamiltonien H ₀ associ´ e ` a l’atome libre satisfait aux relations suivantes H 0 | f i = E f | f i

H ₀ | e i = E _e | e i

27. Donner l’´ equation d’´ evolution de l’´ etat | η(t) i .

28. Si l’on suppose qu’au temps t = 0 l’atome est dans l’´ etat initial

| η(0) i = γ _f (0) | f i + γ _e (0) | e i

d´ eterminer l’expression de l’´ etat de l’atome | η(t) i a un instant ` t quelconque en fonction de E _f , t, ¯ h, ω ₀ , | f i et | e i .

Dans une horloge atomique, les atomes sont interrog´ es par un signal micro-onde issu d’un oscillateur g´ en´ eralement ` a quartz. En pratique, on suppose qu’au temps t = 0 les atomes sont dans l’´ etat fondamental

| η(0) i = | f i

L’oscillateur envoie un signal sous la forme d’un champ magn´ etique p´ eriodique orient´ e suivant l’axe Oz tel que

−

→ B = B ₀ cos(ωt + α) − → u _z

o` u − → u _z est un vecteur unitaire de l’axe Oz et ω = 2πν est la pulsation (et ν la fr´ equence) du signal de l’oscillateur que l’on choisit proche de la fr´ equence de r´ ef´ erence.

L’objectif de la mesure est de d´ eterminer la probabilit´ e de transition de l’atome vers l’´ etat excit´ e | e i ` a l’issue de l’interaction avec ce champ magn´ etique. On cherche alors, en modi- fiant la fr´ equence de l’oscillateur, ` a maximiser la probabilit´ e de transition. Lorsqu’elle est maximale, la fr´ equence de l’oscillateur est accord´ ee ` a celle de la transition atomique. En effectuant une boucle d’asservissement, il est alors possible d’utiliser le signal de l’oscillateur comme une r´ ef´ erence en fr´ equence.

Les ´ el´ ements de matrice du Hamiltonien d’interaction H 1 entre le champ magn´ etique et l’atome sont

h f | H ₁ | f i = h e | H ₁ | e i = 0

h f | H ₁ | e i = h e | H ₁ | f i = ¯ hΩ cos(ωt + α) avec Ω = − χB 0 .

29. Donner les dimensions et unit´ es de la quantit´ e χ. Donner les noms de quantit´ es physiques repr´ esent´ ees par χ et Ω.

30. D´ eterminer le Hamiltonien H ⁰ d’un atome en interaction avec le champ magn´ etique. En d´ eduire l’´ equation d’´ evolution associ´ ee pour un atome dans l’´ etat | η(t) i .

On pose

| φ(t) i = exp iE _f t

¯ h

| η(t) i avec | φ(t) i = g _f (t) | f i + g _e (t) exp( − i ω ₀ t) | e i .

31. A partir de l’´ equation d’´ evolution, d´ eterminer les deux ´ equations diff´ erentielles coupl´ ees du premier ordre que satisfont g e (t) et g f (t).

32. ω ´ etant assez proche de ω ₀ , il est possible de se placer d´ esormais dans l’approximation du champ tournant. Cette approximation consiste ` a consid´ erer que, ` a l’´ echelle de temps de la mesure, les termes p´ eriodiques de pulsation (ω + ω ₀ ) ont un effet moyen n´ egligeable par rapport ` a ceux de pulsation δ = ω − ω ₀ . Ecrire les ´ equations pr´ ec´ edentes dans le cadre de l’approximation du champ tournant.

33. D´ eterminer l’´ equation diff´ erentielle du deuxi` eme ordre satisfaite par g _f , ainsi que celle

satisfaite par g _e .

34. Dans le cas g´ en´ eral o` u l’atome se trouve dans l’´ etat | φ(0) i = g <sub>f</sub> (0) | f i +g <sub>e</sub> (0) | e i ` a l’instant t = 0, montrer que les solutions de ces ´ equations sont de la forme

g _f (t) =g _f (0) exp i δ t

2 cos

Ω ⁰ t 2

− i δ Ω ⁰ sin

Ω ⁰ t 2

− i g _e (0) exp(iα) exp i δ t

2 Ω

Ω ⁰ sin Ω ⁰ t

2

g _e (t) =g _e (0) exp

− i δ t

2 cos

Ω ⁰ t 2

+ i δ

Ω ⁰ sin Ω ⁰ t

2

− i g _f (0) exp( − iα) exp

− i δ t 2

Ω Ω ⁰ sin

Ω ⁰ t 2

Donner l’expression de Ω ⁰ en fonction des donn´ ees du probl` eme.

35. Pour les besoins de la mesure, on s´ electionne des atomes dans l’´ etat fondamental | f i . A t = 0, on d´ eclenche le champ magn´ etique avec un d´ ephasage nul α = 0. Apr` es un temps d’interaction t avec le champ magn´ etique, d´ eterminer la probabilit´ e P <sub>e</sub> (t) de mesurer l’atome dans l’´ etat excit´ e | e i ` a l’instant t (appel´ ee aussi probabilit´ e de transition) en fonction de Ω et δ.

36. Pour cette question, on suppose que δ = 0. La probabilit´ e de transition oscille alors en fonction du temps. Donner le nom de ces oscillations ainsi que leur pulsation. D´ eterminer les valeurs de t o` u cette probabilit´ e est ´ egale ` a 1, puis ` a 1/2. Justifier les appellations respectives

impulsion π

et

impulsion π/2

pour les interactions aboutissant ` a ces deux probabilit´ es.

37. Pour une pulsation ω quelconque de l’oscillateur, d´ eterminer le temps τ max (ω) d’inter- action le plus court permettant d’obtenir le maximum P _max (ω) pour la probabilit´ e de transition. En d´ eduire l’expression de P _max (ω).

38. Dans le cadre du fonctionnement d’une horloge atomique, l’objectif est de rechercher le maximum de P _max (ω) en fonction de ω. Donner l’allure de la courbe P _max (ω). Pr´ eciser sa valeur maximale ainsi que la valeur de ω associ´ ee. D´ eterminer la largeur ` a mi-hauteur de la courbe en fonction de Ω.

39. Justifier l’utilisation du terme de r´ esonance pour cette exp´ erience. Montrer qu’il est possible, par un asservissement adapt´ e, de s’assurer que le signal ´ emis par l’oscillateur correspond ` a la fr´ equence d’horloge de r´ ef´ erence.

40. On appelle τ _0max le temps d’interaction entre le champ magn´ etique et l’atome lorsque le syst` eme (oscillateur+atomes) est ` a la r´ esonance. Donner la relation entre τ 0max et Ω.

Exprimer la largeur ` a mi-hauteur de la courbe de r´ esonance en fonction de τ <sub>0max</sub> . D´ ecrire un protocole exp´ erimental permettant d’obtenir une tr` es bonne pr´ ecision pour la mesure de cette horloge et pr´ eciser les limitations pour ce type de mesure.

Pour des horloges atomiques de r´ ef´ erence, il est possible de d´ evelopper un dispositif plus com-

plexe permettant d’atteindre de meilleures pr´ ecisions. Ce dispositif consiste en un syst` eme

interf´ erom´ etrique permettant d’obtenir des franges dites de Ramsey.

Le principe est le suivant :

- Les atomes sont initialement s´ electionn´ es dans l’´ etat fondamental | f i .

- A t = 0, ils interagissent avec le champ magn´ etique sous la forme d’une impulsion π/2. On appelle τ le temps d’interaction correspondant.

- A partir de t = τ , le champ magn´ etique est coup´ e et les atomes ´ evoluent librement pendant une dur´ ee T .

- A t = τ + T , le champ magn´ etique est rallum´ e et les atomes subissent une impulsion π/2.

La mesure consiste en la d´ etermination du maximum de probabilit´ e de transition des atomes.

Avec les notations pr´ ec´ edentes, on a donc ` a t = 0 : g _e (0) = 0 ; g _f (0) = 1 ; α = 0.

41. En reprenant les r´ esultats des questions pr´ ec´ edentes, d´ eterminer l’´ etat des atomes | η(τ) i

`

a la fin de la premi` ere interaction avec le champ magn´ etique pour t = τ.

42. D´ eterminer l’´ etat des atomes | η(τ + T ) i apr` es leur ´ evolution libre sans champ magn´ etique pour t = τ + T .

43. Calculer g _e (2τ + T ). On prendra en compte le fait qu’avant la deuxi` eme impulsion π/2, le champ magn´ etique s’est d´ ephas´ e pendant l’intervalle de temps (τ + T ). Montrer que la probabilit´ e de transition d’un atome P <sub>e</sub> (2τ + T ) vers l’´ etat excit´ e apr` es l’ensemble du dispositif s’´ ecrit

P _e (2τ + T ) = Ω ² Ω ² + δ ²

cos

δT 2

− δ

√ Ω ² + δ ² sin δT

2 2

44. Justifier l’appellation de

franges de Ramsey

pour ce r´ esultat. D´ eterminer la largeur

`

a mi-hauteur de la frange centrale.

Figure 3 – Franges de Ramsey d’une horloge atomique. Le cadre en haut ` a droite est un

zoom de la frange centrale de la figure o` u les fl` eches indiquent la largeur ` a mi-hauteur.

45. La figure 3 repr´ esente le r´ esultat d’une mesure effectu´ ee sur une fontaine atomique dans un laboratoire de m´ etrologie. Les points exp´ erimentaux sont report´ es sous la forme de disque donnant la barre d’erreur. On admet que chaque point a ´ et´ e obtenu avec un temps de mesure correspondant au temps d’´ evolution libre des atomes, t _mes = T . Une courbe th´ eorique est superpos´ ee aux points exp´ erimentaux. Montrer que le r´ esultat ob- tenu correspond aux calculs pr´ ec´ edents en d´ ecrivant les caract´ eristiques principales de cette courbe. Comparer les r´ esultats obtenus avec ce dispositif ` a la mesure de r´ esonance pr´ ec´ edemment ´ etudi´ ee.

46. Au lieu de mesurer directement le maximum de la frange centrale, les m´ etrologues pr´ ef` erent effectuer deux s´ eries de mesures d´ ecal´ ees en fr´ equence de part et d’autre de la frange centrale. Expliquer quelle est la motivation de ce protocole exp´ erimental et d´ eterminer le d´ ecalage en fr´ equence optimal.

47. La figure 4 montre la stabilit´ e de deux types d’horloges : un oscillateur ` a quartz (tel qu’il peut y en avoir dans le r´ ecepteur) et une horloge atomique ` a C´ esium (telle qu’il peut y en avoir dans les satellites GPS ou au segment sol). La stabilit´ e correspond ` a la d´ etermination de la pr´ ecision relative en fr´ equence de l’horloge ´ etudi´ ee en fonction du temps de mesure effectu´ e.

V´ erifier que les ordres de grandeurs pr´ esent´ es sont compatibles avec la courbe obtenue pr´ ec´ edemment pour l’horloge atomique. Justifier l’utilisation d’un oscillateur ` a quartz pour le r´ ecepteur.

Figure 4 – Stabilit´ e de l’horloge. La stabilit´ e correspond ` a la pr´ ecision relative de la mesure en fonction du temps de mesure.

48. Pour les horloges atomiques de r´ ef´ erence au sol, les laboratoires de m´ etrologie emploient

parfois des atomes de C´ esium froids comme ´ etalon de fr´ equence. D´ ecrire ce que signifie

le terme

atomes froids

et d´ eterminer les avantages d’une telle technologie pour le

fonctionnement des horloges atomiques.

Effets de l’atmosph` ere

Les satellites ´ etant ` a une altitude d’environ 20180 km, les signaux ´ emis traversent plusieurs couches de l’atmosph` ere terrestre. Le syst` eme GPS ´ emet des signaux sur deux fr´ equences diff´ erentes ν ₁ et ν ₂ d´ ecrites dans l’introduction.

Les perturbations induites par la travers´ ee de l’atmosph` ere sont class´ ees en deux cat´ egories : - les perturbations issues de la composante ionis´ ee de l’atmosph` ere (appel´ ee, pour simplifier, l’ionosph` ere)

- les perturbations induites par la composante neutre de l’atmosph` ere (appel´ ee, pour simpli- fier, du nom de sa couche la plus dense : la troposph` ere).

En dehors de l’atmosph` ere, on consid` ere que les signaux se propagent dans le vide.

Les caract´ eristiques physiques de l’atmosph` ere (´ epaisseur, densit´ e, composition, temp´ erature, pression, ...) sont tr` es variables sur toutes les ´ echelles spatiales et sur des ´ echelles de temps allant de la minute aux ´ echelles g´ eologiques en passant par les variations journali` eres et saisonni` eres. Il est donc indispensable pour le syst` eme GPS de d´ evelopper des techniques permettant de passer outre ces variations.

L’ionosph` ere

L’ionosph` ere est constitu´ ee d’un plasma qui s’´ etend environ ` a des altitudes de 50 km ` a 800 km. Le vent solaire est ` a l’origine d’une grande partie de l’ionisation de cette couche atmosph´ erique.

On suppose que l’ionosph` ere est compos´ ee d’un plasma homog` ene globalement neutre.

On veut ´ etudier les conditions de propagation d’une onde ´ electromagn´ etique dans le plasma ionosph´ erique. On suppose qu’il s’agit d’une onde plane progressive harmonique transversale, polaris´ ee rectilignement, se propageant suivant le vecteur unitaire − → u _x , de pulsation ω = 2π ν, de vecteur d’onde − →

k = k − → u _x correspondant ` a un champ ´ electrique de la forme

−

→ E (x, t) = E 0 cos(ωt − kx) − → u y

avec ( − → u x , − → u y , − → u z ) base orthonorm´ ee. Il r` egne alors dans le plasma un champ ´ electrique − → E et un champ magn´ etique − →

B qui d´ ependent tous les deux a priori de la position et du temps.

49. On note ` a pr´ esent − → v <sub>e</sub> la vitesse des ´ electrons dans le plasma et − → v <sub>i</sub> la vitesse des ions posi- tifs. On mod´ elise la r´ eponse du plasma ` a la pr´ esence de l’onde par un mod` ele aboutissant aux relations

m _e d − → v _e

dt = − e − → E

−

→ v _i = 0

D´ ecrire et justifier toutes les hypoth` eses sous-jacentes ` a ces r´ esultats.

50. On appelle N _e la densit´ e volumique ´ electronique suppos´ ee uniforme. D´ eterminer, en pr´ ecisant les conditions de son existence, l’´ equation de dispersion de l’onde dans l’io- nosph` ere en fonction de N <sub>e</sub> et des donn´ ees du probl` eme. Qu’appelle-t-on

pulsation plasma

, not´ ee ω _p ? Donner son expression.

51. D´ eterminer les conditions pour qu’une onde puisse se propager dans l’ionosph` ere.

52. La densit´ e d’´ electrons N _e dans l’ionosph` ere varie usuellement de 10 cm <sup>−3</sup> ` a 10 ⁶ cm ⁻³ . On suppose que ces variations se produisent sur des ´ echelles de temps et d’espace suf- fisamment grandes pour que les ´ equations pr´ ec´ edentes restent valides. D´ eterminer la gamme de variation de la fr´ equence plasma ν _p = ω _p

2π de l’ionosph` ere. D´ emontrer que les fr´ equences ´ emises par les satellites du syst` eme GPS peuvent se propager ` a travers l’ionosph` ere.

53. On se place dans la situation o` u l’onde se propage. D´ eterminer l’expression de la vitesse de phase v <sub>ϕ</sub> et de la vitesse de groupe v <sub>g</sub> de l’onde dans le plasma en fonction de la pulsation ω, de la pulsation plasma ω <sub>p</sub> et des donn´ ees du probl` eme.

54. En d´ eduire que l’indice de r´ efraction n = c

v _g de l’ionosph` ere suit la relation au premier ordre en ω _p ²

ω ²

n = 1 + 40, 3 N _e ν ²

pour des quantit´ es exprim´ ees en unit´ es du syst` eme international.

Expliquer pourquoi cet indice de r´ efraction est celui utilis´ e pour le fonctionnement du GPS pr´ esent´ e en introduction.

55. D´ eterminer l’erreur syst´ ematique induite par la pr´ esence de l’ionosph` ere sur la mesure de distance entre le satellite et le r´ ecepteur. Donner l’ordre de grandeur de la valeur sup´ erieure que peut prendre cette erreur en supposant l’ionosph` ere homog` ene pour un signal ` a la fr´ equence ν ₁ .

56. En ne prenant pas en consid´ eration les autres sources d’erreur, ´ ecrire l’int´ erˆ et d’utiliser

simultan´ ement deux fr´ equences diff´ erentes pour le signal GPS. En particulier, donner une

combinaison des deux pseudo-distances ` <sub>1</sub> et ` ₂ ainsi obtenues permettant de s’affranchir

des effets ionosph´ eriques quel que soit l’´ etat de l’ionosph` ere travers´ ee.

La troposph` ere

La troposph` ere est un milieu neutre. L’interaction entre le signal ´ emis par les satellites et la troposph` ere correspond ` a une interaction avec un milieu di´ electrique. Seule la partie la plus dense de l’atmosph` ere participe ` a cette interaction. Pour ce probl` eme, on consid` ere qu’elle s’´ etend du sol jusqu’` a une altitude de 50 km.

Cette couche de l’atmosph` ere est essentiellement consitu´ ee d’air plus ou moins humide sui- vant la situation m´ et´ eorologique. On rappelle les valeurs de pression et de temp´ erature pour des conditions normales : P _n = 101 325 Pa et T _n = 273, 15 K.

Des exp´ eriences de communication radio dans la troposph` ere ont permis d’´ etablir la relation empirique suivante pour l’indice de r´ efraction de la partie s` eche de la troposph` ere

n _S − 1 = 77, 6 × 10 ⁻⁸ P _S

T ⁰

o` u T <sup>0</sup> est la temp´ erature de l’air exprim´ ee en Kelvin et P <sub>S</sub> est la pression partielle de l’at- mosph` ere s` eche exprim´ ee en Pascal.

57. Calculer n _S − 1 dans les conditions normales de temp´ erature et de pression. En d´ eduire l’´ ecart en terme de positionnement que cette diff´ erence d’indice entraˆıne. Commenter.

On veut ´ etudier plus pr´ ecis´ ement la r´ eponse de la troposph` ere au passage du signal GPS.

On consid` ere la troposph` ere comme un gaz di´ electrique dilu´ e compos´ e de mol´ ecules sans moment dipolaire (N ₂ , O ₂ , gaz rares, CO ₂ ) et de mol´ ecules avec moment dipolaire (H ₂ O).

On va donc d´ eterminer de fa¸con ind´ ependante le comportement de l’air sec et celui de la vapeur d’eau en supposant que les effets se superposent en s’additionnant. Par ailleurs, on suppose que l’air est un gaz parfait.

58. Donner la relation entre la permittivit´ e di´ electrique relative de l’air _r et son indice de r´ efraction n ⁰ .

59. La relation exp´ erimentale donnant n _S propose une expression de la d´ ependance en temp´ erature et en pression de l’indice de r´ efraction de la partie s` eche de la troposph` ere.

On souhaite retrouver cette d´ ependance par un mod` ele physique simplifi´ e du gaz. La composante s` eche de la troposph` ere est alors mod´ elis´ ee comme un gaz de mol´ ecules identiques ayant, au passage du signal GPS, un moment dipolaire induit − → p tel que

−

→ p = α − → E l

o` u α est la polarisabilit´ e des mol´ ecules et − → E <sub>l</sub> est le champ ´ electrique local vu par les mol´ ecules. La polarisabilit´ e des mol´ ecules qui composent la partie s` eche de l’air vaut approximativement α ≈ 20 × 10 ⁻³⁰ ₀ .

On pose N le nombre de mol´ ecules par unit´ e de volume. On suppose que le gaz est dilu´ e, c’est-` a-dire que le champ ´ electrique local − →

E _l qui s’exerce sur une mol´ ecule est ´ egal au champ macroscopique − →

E dans le gaz di´ electrique au moment du passage du signal GPS

(onde ´ electromagn´ etique) dans le di´ electrique.

D´ eterminer les hypoth` eses sous-jacentes ` a cette approximation, commenter l’ordre de grandeur donn´ e pour la polarisabilit´ e et v´ erifier la validit´ e des hypoth` eses pour l’air dans des conditions normales de temp´ erature et de pression.

60. L’air est suppos´ e ˆ etre un milieu lin´ eaire. Donner la relation entre la polarisabilit´ e α et la permittivit´ e di´ electrique relative de l’air sec _S pour N mol´ ecules par unit´ e de volume.

61. En d´ eduire l’expression de l’indice de l’air sec en fonction le temp´ erature T ⁰ et de la pression partielle en air sec P _S . V´ erifier que la relation obtenue est compatible en ordre de grandeur avec l’expression de n S recommand´ ee pour les communications radio.

62. Pour l’indice de r´ efraction de la vapeur d’eau, les mˆ emes recommandations pour les com- munications radio donnent la relation

n H = 1 + 72, 0 × 10 ⁻⁸ × P _H

T ⁰ + 3, 75 × 10 ⁻³ × P _H (T ⁰ ) ² avec P _H pression partielle de vapeur d’eau dans l’air.

Donner l’origine du terme suppl´ ementaire en P _H

(T ⁰ ) ² et discuter qualitativement de sa d´ ependance en T ⁰ .

On consid` ere d´ esormais que l’indice de r´ efraction total de l’air troposph´ erique s’´ ecrit n ⁰ = 1 + 77, 6 × 10 ⁻⁸ × P _S

T ⁰ + 72, 0 × 10 ⁻⁸ × P _H

T ⁰ + 3, 75 × 10 ⁻³ × P _H (T ⁰ ) ² On pose ainsi

n ⁰ = 1 + κ ₁ P _S

T ⁰ + κ ₂ P _H

T ⁰ + κ ₃ P _H (T ⁰ ) ²

Il convient ` a pr´ esent de connaˆıtre l’´ evolution de la temp´ erature et de la pression en fonction de l’altitude pour avoir un mod` ele thermodynamique complet de la troposph` ere.

La pression P ⁰ et la temp´ erature T ⁰ de la troposph` ere sont d´ etermin´ ees ` a partir des hypoth` eses suivantes :

- l’air est un gaz parfait.

- la troposph` ere est en ´ equilibre a´ erostatique en supposant que l’acc´ el´ eration de la pesanteur g reste constante ` a l’´ echelle de la troposph` ere.

- la temp´ erature d´ ecroˆıt lin´ eairement avec l’altitude h (loi empririque) T ⁰ (h) = T ⁰ = T ₀ ⁰ − ξh

o` u T ₀ ⁰ est la temp´ erature de l’air au sol.

De la mˆ eme fa¸con, on note P ₀ ⁰ la pression troposph´ erique au sol et P ⁰ = P ⁰ (h) la pression ` a l’altitude h. On appelle M <sup>0</sup> la masse molaire de l’air composant la troposph` ere.

63. D´ eterminer la relation entre la pression P ⁰ et la temp´ erature T ⁰ ` a l’altitude h sous la forme

P ⁰ T ^0−β = constante

Donner l’expression de β en fonction de g, M ⁰ , ξ et la constante des gaz parfaits R.

Comment appelle-t-on un tel mod` ele d’atmosph` ere ?

64. La composition de l’atmosph` ere en partie s` eche et partie humide est variable. Il faut

donc introduire les contributions de ces deux parties. On note M _S la masse molaire de

l’air sec et M _H la masse molaire de la vapeur d’eau pr´ esente dans l’atmosph` ere. On pose P <sub>S</sub> = P <sub>S</sub> (h) la pression partielle de la composante s` eche de la troposph` ere et P _H = P _H (h) la pression partielle de la composante humide.

Montrer que l’on a la relation dP ⁰

P ⁰ = gM _S ξR

dT ⁰

T ⁰ − gM _S P _H ξRP ₀ ⁰

T ⁰ T ₀ ⁰

−β

1 − M _H M _S

dT ⁰ T ⁰

65. En plus de la mesure de la temp´ erature et de la pression au sol, il est possible de mesurer l’humidit´ e relative, c’est-` a-dire le rapport entre la pression partielle en vapeur d’eau P <sub>H</sub> et la pression de vapeur saturante Π. On suppose que ce rapport est constant sur la partie de la troposph` ere travers´ ee par le signal GPS.

On montre que, dans ces conditions, la pression de vapeur saturante varie suivant l’ex- pression

Π(h) Π(0) =

T ⁰ T ₀ ⁰

σ

avec σ > 3.

Que devient alors l’´ equation pr´ ec´ edente ?

66. La contribution de la vapeur d’eau dans la masse molaire de l’air est faible (moins de 5 pourcent). On peut donc faire l’approximation suivante

β ≈ gM _S ξR

Ecrire et r´ esoudre l’´ equation pr´ ec´ edente avec cette approximation. Montrer que la solu- tion prend la forme

P ⁰ P ₀ ⁰ =

T ⁰ T ₀ ⁰

β

exp(W )

en donnant l’expression de W en fonction de β, σ, T ⁰ , T ₀ ⁰ , M _H

M _S et P _H0 P ₀ ⁰ .

67. Les mesures effectu´ ees sur l’atmosph` ere montrent que W ≤ 0, 003. Effectuer un d´ evelop- pement au premier ordre en W de l’exponentielle dans l’´ equation pr´ ec´ edente.

68. D´ eduire des ´ equations ´ etablies pr´ ec´ edemment l’expression de la pression partielle en vapeur d’eau P H ainsi que la pression partielle en air sec P S en fonction de l’altitude h, des caract´ eristiques de temp´ erature, pression, pression partielle de vapeur d’eau de l’atmosph` ere au sol et des donn´ ees du probl` eme.

69. Montrer qu’il est possible de d´ eduire des r´ esultats pr´ ec´ edents l’expression de l’effet de

la troposph` ere ∆` _tropo sur la mesure de la pseudo-distance par le r´ ecepteur GPS lorsque

le satellite passe ` a la verticale en fonction des caract´ eristiques de l’atmosph` ere au sol et

de l’´ epaisseur h _tropo de la troposph` ere. Le calcul de l’int´ egrale n’est pas demand´ e.

Bilan d’erreurs du GPS

La table 1 pr´ esente le bilan typique de l’incertitude quadratique issue de chaque ´ el´ ement participant ` a la mesure de la pseudo-distance pour le positionnement pour un r´ ecepteur ne d´ etectant qu’une fr´ equence. La ligne

r´ eflexions multiples

d´ ecrit le bruit de mesure induit par la r´ eflexion des signaux GPS sur les objets environnant le r´ ecepteur.

Source de bruit Incertitude en m Horloges des satellites 2

Eph´ em´ erides 2,5

Ionosph` ere 5

Troposph` ere 0,5 R´ eflexions multiples 1

R´ ecepteur 3

Table 1 – Bilan d’erreur typique d’une mesure de positionnement avec un r´ ecepteur mo- nofr´ equence

70. On suppose que les diff´ erentes sources de bruit sont ind´ ependantes. D´ eterminer l’incer-

titude quadratique globale en m` etre de l’ensemble du syst` eme pour un r´ ecepteur mo-

nofr´ equence, puis pour un r´ ecepteur captant les deux fr´ equences. Conclure et proposer

des techniques pouvant permettre d’am´ eliorer ces performances.