5.9 1) 1
x−1 + x
x2−1 >0 1
x−1 + x
(x−1) (x+ 1) >0 1 (x+ 1) +x
(x−1) (x+ 1) >0 2x+ 1
(x−1) (x+ 1) >0
2x+ 1 − − + +
x−1 − − − +
x+ 1 − + + +
F(x) − + − +
−1 −1
2 1
0
0
S= ]−1 ;−1
2[∪]1 ; +∞[
2) x > 1 x x− 1 x
>0 x2−1
x
>0 (x−1) (x+ 1)
x
>0
x−1 − − − +
x+ 1 − + + +
x − − + +
F(x) − + − +
−1 0 1 0 0
0 0
S= ]−1 ; 0[∪]1 ; +∞[
3) 4x−3 x−1 >2 4x−3
x−1 −2>0 (4x−3)−2 (x−1)
x−1 >0 2x−1
x−1 >0
2x−1 − + +
x−1 − − +
F(x) + − +
1
2 1
0
0
S= ]−∞;12]∪]1 ; +∞[
La borne 1 doit être exclue, car c’est une valeur qui annule le dénomi- nateur et pour laquelle la fraction rationnelle n’est pas définie ; c’est pourquoi elle est marquée par une double barre.
4) x−1 x3
−
x+ 1 x3 −x2
< 3 2x2−x3−x x−1
x3
−
x+ 1 x3 −x2
− 3
2x2−x3−x
<0 x−1
x3
−
x+ 1
x2(x−1) − 3
−x(x2−2x+ 1) <0 x−1
x3
−
x+ 1
x2(x−1) + 3
x(x−1)2 <0 (x−1)3−x(x−1) (x+ 1) + 3x2
x3(x−1)2 <0 x3 −3x2+ 3x−1−x3+x+ 3x2
x3(x−1)2 <0 4x−1
x3(x−1)2 <0
4x−1 − − + +
x3 − + + +
(x−1)2 + + + +
F(x) + − + +
0 14 1
0
0
S= ]0 ;14[
5) 3x2+ 12x+ 1 2x2+ 6x+ 1 >2 3x2+ 12x+ 1
2x2+ 6x+ 1 −2>0
(3x2+ 12x+ 1)−2 (2x2+ 6x+ 1) 2x2+ 6x+ 1 >0
−x2−1
2x2+ 6x+ 1 >0
−x2 −1 − − − ∆ = 02−4·(−1)·(−1) =−4<0 2x2+ 6x+ 1 + − + ∆ = 62−4·2·1 = 28 = 22·7>0
F(x) − + −
x2 = −6+22 √7
·2 = −3+2√7 x1 = −6−22√7
·2 = −3−2√7
x1 x2
S= ]−3−2√7 ;−3+2√7[
Les bornes x1 = −3−
√7
2 et x2 = −3+2√7 doivent être exclues, car ce sont des valeurs qui annulent le dénominateur et pour lesquelles la fraction rationnelle n’est pas définie ; c’est pourquoi elles sont marquées par une double barre.
6) 2x
4x2−1 > 2x+ 1 4x2−4x+ 1 2x
4x2−1 − 2x+ 1
4x2−4x+ 1 >0 2x
(2x−1) (2x+ 1) − 2x+ 1 (2x−1)2 >0 2x(2x−1)−(2x+ 1)2
(2x−1)2(2x+ 1) >0
−6x−1
(2x−1)2(2x+ 1) >0
−6x−1 + + − −
(2x−1)2 + + + +
2x+ 1 − + + +
F(x) − + − −
−1
2 −1
6 1 2
0
0
S= ]−1
2;−1
6]
La borne −12 doit être exclue, car c’est une valeur qui annule le dé- nominateur et pour laquelle la fraction rationnelle n’est pas définie ; c’est pourquoi elle est marquée par une double barre.
7) 5x2+ 2
x2−9 > 5x−4 x−3 5x2+ 2
x2−9 −5x−4 x−3 >0 5x2+ 2
(x−3) (x+ 3) −5x−4 x−3 >0 (5x2+ 2)−(x+ 3) (5x−4)
(x−3) (x+ 3) >0
−11x+ 14 (x−3) (x+ 3) >0
−11x+ 14 + + − −
x−3 − − − +
x+ 3 − + + +
F(x) + − + −
−3 1411 3 0
0
S= ]−∞;−3[∪]1411; 3[
8) 1
x2 −2x 61− 2 x 1
x2 −2x
−1 + 2 x
60
1
x(x−2) −1 + 2 x 60 1−1·x(x−2) + 2 (x−2)
x(x−2) 60
−x2+ 4x−3 x(x−2) 60 x2 −4x+ 3
x(x−2) >0 (x−1) (x−3)
x(x−2) >0
x−1 − − + + +
x−3 − − − − +
x − + + + +
x−2 − − − + +
F(x) + − + − +
0 1 2 3
0
0
0 0
S= ]−∞; 0[∪[1 ; 2[∪[3 ; +∞[
9) x2−3x+ 2 x2 −7x+ 12 >1
x2−3x+ 2
x2 −7x+ 12 −1>0
(x2−3x+ 2)−1 (x2−7x+ 12) x2 −7x+ 12 >0
4x−10
x2 −7x+ 12 >0 2 (2x−5)
(x−3) (x−4) >0
2 + + + +
2x−5 − + + +
x−3 − − + +
x−4 − − − +
F(x) − + − +
5
2 3 4
0
0
S= ]52; 3[∪]4 ; +∞[
10) 5
x2 + 5x+ 6 − 2
x2−4 > 3 x2−9 5
x2 + 5x+ 6 − 2
x2−4− 3
x2−9 >0 5
(x+ 2) (x+ 3) − 2
(x−2) (x+ 2) − 3
(x−3) (x+ 3) >0 5 (x−2) (x−3)−2 (x−3) (x+ 3)−3 (x−2) (x+ 2)
(x−2) (x+ 2) (x−3) (x+ 3) >0
−25x+ 60
(x−2) (x+ 2) (x−3) (x+ 3) >0
−5 (5x−12)
(x−2) (x+ 2) (x−3) (x+ 3) >0
−5 − − − − − −
5x−12 − − − − + +
x−2 − − − + + +
x+ 2 − − + + + +
x−3 − − − − − +
x+ 3 − + + + + +
F(x) + − + − + −
−3 −2 2 125 3 0
0
S= ]−∞;−3[∪]−2 ; 2[∪[125 ; 3[
