Chapitre n°8 : «
Chapitre n°8 : « Symétrie axiale Symétrie axiale » »
I.
I. Définition Définition
1/ Activité
La symétrie est un principe assez naturel.
On trouve des symétries chez l'homme, les animaux ; dans les objets...
Pour avoir « symétrie », il faut de la perpendicularité et des distances égales. Mais précisons cela...
2/ A retenir
Construction à l'équerre et au compas
Définition
A et A' sont symétriques par rapport à un axe d si :
• d et AA' sont perpendiculaires ;
• d passe par le milieu du segment [AA']. (définition à connaître parfaitement par cœur !!!)
Méthode de construction (description)
On suppose que l'axe d et le point A sont déjà tracés.
• Avec l'équerre, on trace la perpendiculaire à d passant par A. Elle coupe d en I.
• Avec le compas, on prend l'écartement AI. Ensuite, on pointe sur I pour faire un arc de cercle qui croise la perpendiculaire (de l'autre côté de l'axe).
• On note le point A' et on code la figure.
Autre exemple
Construis les symétriques des points A, B, C, D et E.
Avec un quadrillage
A l'aide du quadrillage du cahier, sans les instruments, uniquement en comptant les carreaux, construis le symétrique des points suivants.
Pour aller de A à l'axe d, on traverse 2,5 diagonales. Pour placer son symétrique A', on reproduit ce déplacement de l'autre côté de l'axe.
De même pour B ' ; il faut se déplacer de quatre diagonales.
II.
II. Symétrique des figures élémentaires Symétrique des figures élémentaires
1/ Droite
Rappels
On note les droites à l'aide de parenthèses :
• d ; d ' ; d1…
Si une droite passe par les points A et B, on note AB. Construction
On veut construire le symétrique d'une droite par rapport à un axe d.
Méthode
On place tout simplement deux points A et B sur la droite puis on construit leurs symétriques.
Remarque
On peut vérifier la construction en observant que les trois droites sont concourantes.
Rappels
• Si deux droites sont perpendiculaires à une même autre droite alors elles sont parallèles entre elles.
• Des droites sont concourantes si elles sont sécantes en un même point.
Cas où les droites sont parallèles
Dans ce cas, on obtient trois droites parallèles. La méthode de construction est la même.
Cas où les droites sont perpendiculaires La droite d1 est aussi la droite passant par A et B.
Les symétriques de A et B sont les points A' et B ' situés sur la même droite.
On en déduit que le symétrique de
d1 est encore d1.
Propriété
Le symétrique d'une droite est une autre droite. Lorsque la droite est :
• sécante à l'axe, on obtient des droites concourantes ;
• parallèle à l'axe, on obtient des parallèles ;
• perpendiculaire à l'axe, on obtient la même figure (rien ne change !).
Avec un quadrillage
2/ Segment
Rappels
• Un segment est une partie de droite située entre deux points. Ces deux points sont appelés les extrémités.
• Le segment d'extrémités E et F se note [EF]. La longueur du segment [EF] se note EF.
Construction
Pour construire le symétrique de [AB], il suffit de construire les symétriques des extrémités A et B
Cas où le segment est parallèle à l'axe
Dans ce cas, on obtient deux segments parallèles à l'axe de symétrie.
Cas où le segment est perpendiculaire à l'axe
On obtient deux segments perpendiculaires à l'axe.
Cas où le segment traverse l'axe
On obtient deux segments qui se croisent sur l'axe.
Propriété
Le symétrique d'un segment est un autre segment de la même longueur.
Avec quadrillage
3/ Cercle
Rappels
• Un cercle est un ensemble de points tous situés à une même distance d'un point appelé le centre. Cette distance commune est appelée le rayon.
• Une corde est un segment dont les extrémités sont deux points du cercle.
• Un diamètre est une corde qui passe par le centre.
• Le diamètre est le double du rayon.
Construction
Il suffit de construire le symétrique du centre O. En prenant le rayon du premier cercle (avec le compas), on peut tracer le cercle symétrique.
Cas où le cercle croise l'axe en deux points
Si le premier cercle croise l'axe en I et J, le cercle symétrique croise aussi l'axe en ces points.
Cas où le cercle est tangent (c'est à dire il « touche ») à l'axe
Si le premier cercle est tangent à l'axe en I, le cercle symétrique aussi !
Cas où le centre du cercle est sur l'axe Dans ce cas, rien ne change !
Propriété
Le symétrique d'un cercle est un autre cercle de même rayon.
Si le cercle coupe l'axe en deux points I et J alors son symétrique passe aussi par I et J. Si le centre du cercle est sur l'axe, son symétrique est lui-même.
III.
III. Axes de symétrie Axes de symétrie
1/ Segment
L'axe de symétrie du segment est la droite qui partage ce segment en deux parties
superposables.
Propriété
L'axe de symétrie du segment est en fait sa médiatrice.
2/ Cercle
Il y a une infinité d'axes de symétrie : ce sont toutes les droites qui passent par le centre ; elles sont concourantes.
3/ Angle
Remarque
Un angle est formé de deux demi-droites de même origine. On code un angle avec un arc de cercle.
Figure
Définition
L'axe de symétrie d'un angle est appelé bissectrice.
Méthode de construction
A l'aide du compas, on choisit un écartement. On trace un arc sur chaque côté de l'angle, et à partir de là, deux autres arcs qui se croisent à l'intérieur de l'angle.
La bissectrice est la droite passant par le sommet de l'angle et le point formé par les deux arcs de cercle.
4/ Autres figures
