Licence STS, semestre 4 2013–14
Math´ematiques pour l’Informatique (Info 229) 5 avril 2014
http://www.lri.fr/~paulin/MathInfo
Devoir Maison sur les preuves par r´ ecurrence
`
a rendre `a votre charg´e de TD avant le 16 avril 2014
Le but de ces questions est de s’entrainer `a faire proprement des preuves par r´ecurrence. Faˆıtes attention `a votre r´edaction, mettez bien en avant le sch´ema de preuve, ainsi que les moments o`u vous utilisez l’hypoth`ese de r´ecurrence.
Exercice 1 R´ecurrences Simples. Dans les questions suivantes, vous devrez r´edigez une r´ecurrence classique pour montrer les propri´et´es suivantes pour tout n∈N:
1. 1 + 4 + 9 +. . .+n2=
n
P
i=1
k2=n(n+1)(2n+1)
6 .
2. ∀x6= 1,1 +x+x2. . .+xn=
n
P
i=0
xk =xn+1x−1−1.
Exercice 2 R´ecurrences Fortes. Dans les questions suivantes, vous devrez r´edigez une r´ecurrence forte pour montrer les propri´et´es suivantes surn. Pour rappel, le sch´ema d’une r´ecurrence forte sur la propri´et´eP se fait en deux ´etapes :
– Montrer queP(0) est vrai.
– Soitntel que pour toutk≤n,P(k) est vrai. Montrer queP(n+ 1) est ´egalement vrai.
Questions.
1. Soit la suite (un)n∈N d´efinie comme suit :
u0= 2 u1= 3
∀n≥2, un+2= 3un+1−2un
Montrez par r´ecurrence forte que pour toutn∈N,un= 1 + 2n. 2. Soit la suite (vn)n∈Nd´efinie comme suit :
v0= 1
∀n, vn+1=v0+v1+. . .+vn=
n
P
i=0
vn
(a) Calculezv1,v2,v3,v4.
(b) Montrez par r´ecurrence forte que pour toutn≥1,vn= 2n−1. (Vous pourrez utiliser le r´esultat de la question 2 de l’exercice 1.)
3. Montrez par r´ecurrence forte que pour toutn≥1, il existepet qtels quen= 2p(2q+ 1).
1
