Co u r s : Mécanique des fluides

Co u r s : Mécanique des fluides

Année 2012/13 Filière : STPI

Module : Physique V

Responsable : Pr Anoua M.

Co u r s : Mécanique des fluides

Année 2012/13 Filière : SMP

Module : Physique 7

Responsable du module : Pr. ANOUA M.

FACULTE DES SCIENCES Département de Physique

EL JADIDA

- Elément de Module 2 : Thermodynamique 2 - Elément de Module 1 : Mécanique des fluides

Travaux pratique de mécanique des fluides : - TUBE DE VENTURI

- VISCOSIMETRE

3

Travaux pratique de thermodynamique:

- Moteur Diesel - Réfrigérateur MODULE : Physique 7

FACULTE DES SCIENCES Département de Physique

EL JADIDA

I- INTRODUCTION

II- CINEMATIQUE DES FLUIDES

1- Particule fluide

2- Descriptions lagrangienne et Eulérienne des écoulements 3- Trajectoires, lignes de courant

4- Champs de vitesse dans un liquide (Théorème de Chauchy) 5- Applications

1- La mécanique des milieux indéformable et déformables?

SOMMAIRE

MECANIQUE D E S F L U I D E S

2- Objet de la mécanique des fluides

3- Milieux déformables : solides et Fluides 4- Approche adopté à mécanique des fluides 5- Hypothèses en mécanique des fluides

6- Points géométriques et matériels 7- Définition d’un

fluide

III- ÉQUATIONS FONDAMENTALES DE LA MÉCANIQUE DES FLUIDES

1- Introduction: solide, liquide, gaz; qu'est-ce qu'un fluide ? 2- Propriétés du fluide parfait en équilibre

3- Théorème fondamental de la statique des fluides

4- Applications :surface libre; surface de séparation de liquides non miscibles;

vases communicants; pression atmosphérique; variation avec l'altitude;

transmission des pressions; paradoxe hydrostatique

Applications : poids apparent, mélange; iceberg, équilibre d’un solide flottant...

Applications : Force de pression sur une paroi

1- conservation de la masse

2- conservation de la quantité des mouvements 3- conservation d’énergie

4- Equations d’états

5- Conditions aux limites et initiales

IV- STATIQUE DES FLUIDES

5- THÉORÈME D'ARCHIMÈDE

6- CALCUL DES EFFORTS SUR LES PAROI

V- DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

1- Conservation du débit.

2- Équation de Bernoulli 3 - Applications:

- orientation du tube - Tube de Pitot

- Effet Venturi

- Force associée à la dissymétrie,

- Limites d'application (variation brusque de section) - Extension aux cas des gaz

VI- NOTIONS SUR LES FLUIDES VISQUEUX

1- Viscosité: phénomène macroscopique i.e. résistance au mouvement,

valeurs de viscosité; faibles / grandes vitesses

2- Viscosité: phénomène microscopique, loi fondamentale des fluides visqueux

- Loi de Poiseuille, profil de vitesse - Débit, vitesse moyenne

- Applications: arrosage; transfusion sanguine,...

- Notion de régime turbulent et nombre de Reynolds

 MECANIQUE DU POINT MATERIEL

 MECANIQUE DES SOLIDES INDERFORMABLES (solide)

 MECANIQUE DES SOLIDES DERFORMABLES (Méca. Fluide.)

 Système :Point Matériel M(m)

1- La mécanique ?

Chapitre I: INTRODUCTION

 Système :Milieu indéformable (solide), définition???

 Système :Milieu déformable (Particule fluide)

 Champ de vitesse :translation, pas de rotation? mais on étudié la rotation W_R/R0

 Champ de vitesse :translation + rotation : W_solide/R0 = 3 rotations (y , q , j )

 Champ de vitesse :translation + rotation + Déformation

0 0

/ R / R R / R

V(M ') V(M) + (M) W MM '

   

0 0

/ R / R R / R

V(M') V(M) + (M)    W MM '

MM'

 D

/ 0

) ( )

(

_R

a

M V M

V  

R

r

M V M

V ( ) ( )

_/

,  

M O O

V M

V

e

( ) ( ' )

R R R

'

,

₀

0 /

/

 W 

 

 Trajectoire absolue, trajectoire relative , Mouvement d’entraînement

 Trajectoire, ligne de courant

 Trajectoire (base , roulante)

Echelle?

Echelle?

[Difficultés: dérivée un vecteur]

[Difficultés: imagination dans l’espace et I ]

[ Difficultés: calcul de la vitesse ]

PAR CONTRE, en Mécanique des solides indéformables

Pour connaître la vitesse d’un point d'un solide indéformable, on a :

/ R / R R / R

V(M ')   V(M ) + (M )  W    MM '

2- Objet de la mécanique des fluides

La mécanique des fluides fait partie de la mécanique des milieux déformables. En fait, ce cours devrait s'appeler:

MÉCANIQUE DES MILIEUX DÉFORMABLES

Par exemple,

-  Air sortant d'un ventilateur,……..

-  Eau s'écoulant dans un canal,

sont des milieux continus déformables, c'est-à-dire que la distance entre deux particules du milieu peut varier au cours du mouvement.

Donc : le nombre de paramètres pour décrire le mouvement d'un

milieu continu déformable est infini : définir un champs de vitesse,….

 On peut distinguer les solides déformables et les fluides :

 Les solides soumis à des efforts ne subissent qu'une déformation limitée (RDM)

 alors que le fluide ne cesse de se déformer : il s'écoule.(Mécanique des Fluides.)

 Pour un solide déformables la relation entre effort et déformation est représentée sur le graphe de la figure 1 :

 domaine élastique : la relation est linéaire et réversible,

 domaine plastique : la relation n'est ni linéaire ni réversible.

 On distingue deux domaines :

rupture

Domaine élastique Domaine plastique

Déformation Contrainte

3- Milieux déformables : solides et Fluides

Or, les connaissances de physique moléculaire et atomique, vu par une approche microscopique, sont en contradiction flagrante avec cette hypothèse !

La définition mathématique précédente suppose que pour deux points très proches, la définition de la grandeur physique a encore un sens.

La Méca.flu. traite les milieux avec une approche Macroscopique ou phénoménologique .

En effet les notions de masse volumique, de pression ou de vitesse du milieu n'ont aucun sens à cette échelle, puisque la matière vue à cette échelle est essentiellement constituée de vide.

4- Approche adopté à la mécanique des fluides

Si l'on regarde la matière de « très près » (échelle macroscopique), la matière est granulaire, faite d'atomes.

A notre échelle, un objet solide semble continu,

c'est-à-dire que ses propriétés semblent varier progressivement :

 Approche microscopique

 Approche macroscopique

Mécanique des fluides

- isotrope : ses propriétés ne dépendent pas du repère dans lequel elles sont observées ou mesurées. Assure que les propriétés sont identiques dans toutes les directions de l'espace.

5- Hypothèses en mécanique des fluides

 L'hypothèse de la mécanique des fluides consiste à considérer des milieux dont les propriétés caractéristiques, masse volumique, déformation,

élasticité, etc. sont continues

 Des hypothèses supplémentaires peuvent éventuellement être faites:

- homogène : ses propriétés sont les mêmes en tout point ( quelque soit x ).

- compressible et incompressible :

- la viscosité : dans un écoulement chaque molécule de fluide ne s’écoule pas à la même vitesse : on dit qu’il existe un profil de vitesse

Un fluide est dit incompressible lorsque son volume demeure quasiment constant sous l'action d'une pression externe. 

- Fluide parfait: En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de viscosité

en termes mathématiques, cela signifie que la masse volumique d'un tel fluide est supposée constante

ρ = ρ₀ = constante

le fluide est incompressible 

En réalité, tous les fluides sont compressibles, certains plus que d'autres. La  compressibilité d'un fluide mesure la variation de volume d'une certaine  quantité de ce fluide lorsqu'il est soumis à une pression extérieure.

Ainsi si l'on bouche l'orifice de sortie d'une pompe à vélo et que l'on pousse  sur la pompe, on voit que l'on peut comprimer l'air contenu à l'intérieur.

C'est pour cette raison que pour simplifier les équations de la mécanique 

des fluides, on considère souvent que les liquides sont incompressibles. En effet,

(r= constante) Exemple :

c'est parce que la compressibilité de l'eau (et de tous les liquides) est très faible En revanche si l'on faisait la même expérience avec de l'eau à l'intérieur,

on ne pourrait quasiment pas déplacer la pompe :

Ecoulement permanent en moyenne :

Très souvent, les grandeurs physiques décrivant le fluides dépendent du temps mais restent constantes en moyenne.

V

temps

(On se place en un point fixe de l’écoulement et on mesure la vitesse à des instants différents) : si ces vitesses st des ctes donc l’écoul. est permenent Écoulement permanent (ou stationnaire) :

On dit qu’un écoulement est permanent si le champ des vitesses, la pression, la masse volumique en chaque point ne dépendent pas du temps.

- Ecoulement uniforme si le champ des vitesses est indépendant de l’espace : V(t)

(On mesure la vitesse en différents points de l’écoulement, au même instant) : Si ces vitesses st des ctes donc l’écoulement est uniforme

6- Points géométriques et matériels

L'espace E3   est constitué de points géométriques. Le milieu matériel est constitué de points matériels appelés aussi particules.

Si le milieu matériel est en mouvement, les points matériels se déplacent et leur position coïncide à chaque instant avec des points géométriques différents.

A chaque particule sont attachées des grandeurs physiques

(pressions, température, vitesse, tenseur des contraintes, tenseur des déformations, etc.)

La position à l'instant t est donc un vecteur OM de E3.   

 Points géométriques

 Points matériels

 - Trajectoire

On appelle trajectoire de la particule P, l'ensemble des positions géométriques occupées par la particule P au cours du temps.

 - ligne de courant

On détermine, à un instant t donné, l’ensemble des vitesses associées à chaque point de l’espace occupé par le fluide :

Ligne de courant à t₁

M₁ M₂

M₃

V₁ (t₁ ) V₂ (t₁ )

V₃ (t₁ ) V₁ (t₂ )

V₂ (t₂ ) V₃ (t₂ )

Ligne de courant à t₂ Photo instantanée de l’écoulement P(t₀) P(t₁)

P(t₂)

P(t_n)

La vitesse est tangente à la trajectoire V(t)

7- Définition d’un fluide:

Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres.

Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.

Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler.

La propriété physique qui permet de faire la différence entre les deux est la compressibilité.

18

IL s’agit de l’étude des fluides en mouvement : On fera une description des écoulements sans faire le calcul des forces mises en jeu.

I- Définitions :

I.1-La particule fluide :

C’est un ‘‘paquet’’ de molécules entourant un point M donné : Les molécules sont toutes à la même vitesse à l’instant t et possèdent les mêmes propriétés

cinématiques et physiques ( V, p, T, r )

ChapitreII- Cinématique des fluides

La cinématique, c'est l'étude du mouvement des fluides sans tenir compte des forces qui lui donne naissance.

Choix du volume élémentaire représentatif (VER)?

VER r

Volume

19

Soient M(x₀ ,y₀, z₀ ) les coordonnées d’une particule de fluide à l’instant t_o dans le repère 0,x,y,z.

Ces coordonnées indépendantes (x₀ ,y₀, z₀ ,t) sont appelées variables de Lagrange.

La position de la particule à l’instant t est M(x, y, z, t).

x=f₁(x₀, y₀, z₀, t) y=f₂(x₀, y₀, z₀, t) z=f₃(x₀, y₀, z₀, t) Pour avoir l’évolution du fluide ,

il faut déterminer les relations suivantes:

Remarque : M décrit une trajectoire

M à t₀

M à t

O x

y z

I.2- Description Lagrangienne

.

Dans cette description l’observateur suit une particule donnée au cours de son mouvement à partir de l’instant initial.

C’est la même particule M

20

Exemple : Mouvement défini par une description Lagrangienne :

0 0 0

x x (1 t) y y

z z

 

  

  



Par définition La vitesse de M est :

x t V (M ) y

t z

t















Soit :

x

0

V (M ) 0 0

 

2 2 2

2 2

2

x t (M ) y

t z t





 







 0

(M ) 0 0

 

Et l’accélération de M : Soit:

21

- Trajectoires d’une particule fluide

Il suffit donc de suivre l’évolution de la particule fluide au fil du temps.

Ainsi le lieu géométriques (trace) des positions successives occupées par une particule constitue ce qu’on appelle la « trajectoire » de cette particule M

M(t₀ ) M(t₁ )

M(t₂ )

M(t₃ )

M e trajectoire donc

dy dz dt dx

u v w

  

dM V dt   

Et si

^{V u, v, w }  )

On peut écrire donc : 3 équation du premier ordre

3 constantes d’intégrations.

O x

y z

V(x⁰, y⁰, z⁰, t) = dOM/dt

Remarque : la vitesse est par définition :

dOM/dt=dérivée sur place de OM

22

Par intégration :

dx dy

dt  a   t  b

^Soit

dt dx

a t

    ^a   t dt dx )  dt dy

 b bdt dy 

2

1

at t x a

  2   bt y a  

2

1°) l’unité de a et b ont l’unité d’une vitesse (m/s) et  est une accélération (m/s²) 2°) Pour une particule fluide qui appartient à la trajectoire:



2

1

x t at a

  2   y bt a  

2

Équation paramétrique

Et par élimination de t :

₂

 ^a

₂

)

²

^a  ^a

₂

) ^a

₁

2b y b

x  y

    

C’est l’équation cartésienne de la trajectoire :



Trajectoires : Paraboles

Exemple : Soit un écoulement tel que le vecteur vitesse d’une particule fluide est :

a t

V ( M ) b 0

   Où a  et b sont des constantes

1°) quelle est l’unité de a,  et b

2°) Déterminer la trajectoire de cette particule fluide

23

Cette fois l’observateur est placé en un point M fixe du repère, et regarde passer les particules fluides devant lui. Ainsi, à deux instant différents, ce n’est pas le même particule qui occupe la position de M de l’observateur.

I.3- Description Eulérienne

Et on calcule les variables (vitesse,pression,température,) du point qui passe par M.

Cette description de l’écoulement consiste à établir à un instant donné l’ensemble des vitesses associées à chaque point de l’espace occupé par le fluide

M₁

M₂ V₁(t₁)

V₂(t₁)

V₁(t₂)

V₂(t₂)

A chaque instant t , l’écoulement du fluide est décrit au moyen d’un champ de vecteur vitesse. « photo instantanée de l’écoulement »

On étudie ce qui se passe, à chaque instant (on fixe le temps), en chaque point de l’espace :

A l’instant t₁ , M₁ à une vitesse V₁(t₁) Et M₂ à une vitesse V₂(t₁) A l’instant t₂ , M₁ à une vitesse V₁(t₂)

Et M₂ à une vitesse V₂(t₂)

(x,y,z,t) sont appelées variables d’Euler

Toutes les grandeurs relatives à la particule (vitesse, pression, température, ...) sont données en fonction du vecteur lieu actuel (x, y, z) et le temps t

O x

y z

- DÉTERMINATION DE L’ACCÉLÉRATION EN VARIABLES D’EULER :

dt 0

V(t dt) V(t) dV(M) (M) lim

dt dt



 

 

    

 

  



Mais en description Eulérienne les vitesses sont des vitesses de particules fluides différentes .

En cinématique, pour déterminer l’accélération, on cherche le taux de variation de la vitesse d’une même particule fluide au cours du temps : Si V(x,y,z,t) est le champ eulérien de vitesse,

Et  (x,y,z,t) celui d’accélération . Rappel :

dt 0

V(x, y, z, t dt) V(x, y, z, t) (x, y, z, t) lim

dt



 

 

 



25

d V ( x , y , z , t ) d t



V V V V

dV dx dy dz dt

x y z t

   

   

   

   

 dV V dx V dy V dz V

x y

dt dt d t z dt t

   

   

   

 

^{On a :}

  



(M ) dV

d gr dV V

t  V t a

 

  

 

   

 

Donc, on doit calculer la dérivée :

V u v w

i j k

x x x x

   

  

   

   

, V u v w

i j k

y y y y

      

   

   

_{V u v w}

et i j k

z z z z

   

  

   

   

dV u v w dx

i j k

dt x x x dt

  

 

         

    u v w dy

i j k

y y y dt

    

         

  

u v w dz V

i j k

z z z dt t

   

 

        

 

 

dV dt 

  ^{u dx}

x dt





u dy y dt

 

 ^{u z} )  ^... )  ^... )

d t k

d

z i j

   



  

u u u

x y z

v v v

x y z

w w

d x d t

d y V

d t t

w d

x y z

t

t d

d d

z V

    

    

 

    

    



 

 

 

   

 

    



 

 

 

 

   

   







 V E V u i v j w k

          

_{V V V}

, , s 'é c r i v e n t :

x y z

e t   

  

  

En reportant ces expressions dans (1) :

(1)



^V

t

 





26

dV V

(M) gradV V

dt t

    



 

 

  V

t ai

 



 

u u u

x y z

v v v

gradV

x y z

w w w

x y w

    

    

 

    

       

    

    

 

 



On a: Et puisque : et

0 0 0 b 0 0 0 0 0

 

 

  

 

 

Donc :

  (M) ai atbj    

Exemple :La représentation eulérienne d’ un mouvement est donnée par :

V(M) =at i +bx j . Déterminer l’accélération d’une particule fluide de ce mouvement

27

On appelle « Ligne de courant» la courbe qui, en chacun de ses points, est tangente aux vecteurs vitesses (à instant t fixe)

O

x y

z

M₁

M₂ V₁(t₁) V₂(t₁)

V₁(t₂)

V₂(t₂) M₁ M₂

L’équation d’une ligne de courant:

Ligne de courant à t₁ Ligne de courant à t₂ V₃(t₁)

M₃

M₃ V₃(t₂)

Le long d’une telle ligne, à t_o on a : dx et V(x,y,z,t₀ ) sont colinéaires : Donc : dx V 0   

0 0 0

u(x, y, z, t )

dx 0

dy v(x, y, z, t ) 0 dz w(x, y, z, t ) 0

  d x d y d z

u  v  w

- Ligne de courant

28

Exemple : Soit un écoulement tel que le vecteur vitesse d’une particule fluide est :

a t

V ( M ) b 0

   Où a  et b sont des constantes

1°) quelle est l’unité de a,  et b

2°) Déterminer la trajectoire de cette particule fluide 3°) donner la ligne de courant à t₀

0

dx dy

a t  b

 

3°) La ligne de courant à t₀, vérifiée l’équation suivante :



0

)

bdx  a   t dy 

0

)

b cte

a t

y  x 

 

Donc les lignes de courant sont des droites

d x d y d z

u  v  w

^{Soit :}

29

- Ecoulement stationnaire (permanent)

Dans ce cas, les trajectoires sont données par :

dy dz

dt dx

u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z)

  

Et les lignes de courants par : (u , v, w ne dépendent pas de t (implicitement ils dépendent de t))

dy dz

u(x, y, z) dx  v(x, y, z)  w(x, y, z)

Donc si l’écoulement est permanent : ligne de courant = trajectoire

d x d y d z

u  v  w

dy dz dt dx

u v w

  

Exemple 1: de robinet :

On a donc la vitesse qui dépende que de x,y,z :

Le champ de vitesse ne dépend pas du temps :

à t₁ V(A) V(B)

V(C)

Quant on ouvre un robinet, après le régime transitoire, le régime devient permanent si : V=V(x,y,z)

car

car

A l’instant t₁ : VA=1m/s, VB= 4m/s , VC=1m/s VA’=2m/s, VB’= 6m/s , VC’=2m/s

Si à l’instant t₂ ces vitesses gardent les mêmes valeurs

Donc :

le régime est permanent C-à-d :

à t₂ V(A) V(B) V(C)

A B C

A’

B’

C’

Exemple 2 : d’un écoulement dans un canal :

Définition :Un écoulement est permanent si en description eulérienne les grandeurs sont indépendantes du temps

30

Exercice

La description du mouvement d ‘un fluide est donnée par les équations suivantes : x (x₀, y₀, z₀,t) = x₀ exp( t)

y (x₀, y₀, z₀,t) = y₀ exp(- t) z(x₀, y₀, z₀,t) = z₀

x₀, y₀, z₀ sont les coordonnées d'une particule dans la configuration de référence, et les x,y,z sont les coordonnées de la particule au temps t.

 est une constante positive.

1- Par quelle description est définie ce mouvement?

2- A quel instant t₀ (donner sa valeur) correspond la configuration de référence ? 3- Quelle est la description lagrangienne des composantes du vecteur vitesse ? 4-Quelle est la description eulérienne des composantes de ce même vecteur vitesse ? L’écoulement est-il permanent ?

5- Quelles sont les composantes Dij du tenseur des taux de déformation ? (voir fin de chapitre)

31

Solution :

Ce mouvement est décrit par la description de Lagrange

2°) La configuration de référence est :

OM 

₀

 x

₀

i   y

₀

 j  z

₀

k 

Donc , il correspond à t=0, car :

x (x₀, y₀, z₀,t) = x₀ exp( t) y (x₀, y₀, z₀,t) = y₀ exp(- t) z(x₀, y₀, z₀,t) = z₀

On a : Et pour t=o, on a bien : x (x₀, y₀, z₀,0) = x₀ y (x₀, y₀, z₀,0) = y₀ z(x₀, y₀, z₀,0) = z₀ Donc à t=0 correspond à la configuration de référence

3- Quelle est la description lagrangienne des composantes du vecteur vitesse ?

On a : ⁰

( ) 0

0

B

t

t

x x

t

y y

e

V M

z t e

t







 ^

 



  



 





4-Quelle est la description eulérienne des composantes de ce même vecteur vitesse ?

La vitesse doit être fonction de x, y, z ,t : soit V=V(x,y,z,t) : 1- Par quelle description est définie ce mouvement?

32

0

( )

0

0

t

B

x e

t

V M y e









^

 

On a:

Et puisque : x = x₀ exp( t) y = y₀ exp(- t)

z= z₀



^x0 = x exp(- t) y₀ = y exp( t)

z₀ =z

Donc la vitesse s’écrit en description d’Euler :

( )

B

0

x y V M





 

L’écoulement est-il permanent ?

Oui , car la vitesse ne dépond que de x, y, z et ne dépond pas du temps, dans la description d’Euler.

Remarque : x, y, z dépendent implicitement du temps t.

33

1 u v 1 u w 2 y x 2

1 v u

D 2 x y

1

z x u

x

v y

w z 1 v w 2 z

w u 1 w v

2 x z z

y 2 y

     

     

 

  

 

 

 

    

 

    

 

 

   

 

       

        

 

   

















( )

B

0 u

M v

w

y V

 x





 





Le tenseur de déformation s’écrit:

Dans notre cas :

0 D

0

0 0

0 0

0

 

 

  

 

 

Donc :

Remarque : Calculer la divergence de V(M) ?

( ) u v w 0 0

x y

di V M

v  ^  ^  ^ z       

  



Pas de variation de volume

On peut le constater en calculant la trace de :^D Trace de = 0^D

5- Quelles sont les composantes du tenseur des taux de déformation ?^D

34

- CHAMP DE VITESSE DANS UN FLUIDE ( milieu déformable)

Soient un domaine élémentaire de centre le point C, tel que:

C M (D)

B

x O C y z



B

x dx

OM y dy

z dz









Et le point M de (D) tel que :

Pour déterminer le champ de vitesse dans le domaine (D), on détermine la vitesse de M par rapport à R:

On a: / R

R

V(M) dOM

dt

 

  

 



 Et puisque :

OM OC CM     

R R R

d d d

OM OC CM

dt dt dt

     

     

     

  

Soit : _{/ R / R}

R

V(M) V(C) d CM (1) dt

 

     



 

Soit un repère R( oxyz) muni d’une base orthonormée B =( i, j, k ) fixe galiléen

d CM ?

dt

  

 

 



Pour déterminer (la vitesse de M)/R , il nous reste à déterminer :

et u, v, w les composantes de sa vitesse_/R à t.

R

et u’, v’, w’ les composantes de sa vitesse_/R :

V ( C )

B

u v w



V ( M )

/ R  u ' i  v ' j  w ' k

   

x

y z

O

35 R

d CM ?

dt

  

 

 

 CM CO OM     

B B

x x dx

CM OC OM y y dy

z z dz



       



  

On a :

Et sa dérivée/t / R :

On a :

i

C M  d x   d y j  dz k

 )  )  )

R

d C M

d x i j k

d d d

d t d t d y d t d z d t

 

  

 

 

 

 



(i j k sont liés à R)

R

dCM d i

d d d

dt d

x

t dt

dy dz

dt j k

          

       

 

  

 

Soit :

d u i d v j d w k

     

u u u

d u d x d y d z

x y z

  

  

  

v v v

d v d x d y d z

x y z

  

  

  

w w w

d w d x d y d z

x y z

  

  

  

36

/ R / R

R

V(M) V(C) d CM (1) dt

 

   

 



 

B B

u' u

v' v

w' w

 

/ R / R

V ( M )   V ( C )   g r a d V ( C )  C M  



En reportant ces expression dans l’équation (1):

u u u dx

x y z

v v v

x y z dy

w w w

x y z dz

    

    

 

    

    

 

   

    

 

u u u

d x d y d z

x y z

  

 

  

B

Vitesse de translation

d’ensemble de son centre d’inertie

Vitesse de rotation (en bloc) de (D)+ déformation de (D)

v v v

d x d y d z

x y z

    

  

w w w

d x d y d z

x y z

  

 

  

Vitesse générale de la particule fluide

37

/ R / R

V ( M )  V (C )  g rad V (C ) C M 



- Décomposition du mouvement général d’une particule fluide:

v v v

v ' v d x d y d z

x y z

  

   

  

u u u

u ' u d x d y d z

x y z

  

   

  

w w w

w ' w d x d y d z

x y z

  

   

  

On a : Ou encore :

Posons : 1

2

w

p zv

y

   

     

1

q 2 u w

z x

 

 

     

1 2

v

r uy

x

   

     

Le système (I) , devient :

u 1 u v 1 u w

u ' u d x d y d z

x 2 y

q d z rd

x 2 z x

y         

                

(I)

v 1 v w 1 v u

v ' v d y d z d x

y 2 z

rd x p d

y 2 x y

z         

                

w 1 w u 1 w v

w ' w d z d x d y

z 2 x

pd y qd

z 2 y z

x         

                

(II) et

38

Dans le système ci-dessus (II), les composantes : ^{qdz  rdy} rdx  pdz

pdy  qdx

Représentent les composantes du produit vectoriel suivant: d x

r z

p

q d y

d



u 1 u v 1 u w

d x d y d z

x 2 y x 2 z x

 

            

        

v 1 v w 1 v u

d y d z d x

y 2 z y 2 x y

   

    

       

        

w 1 w u 1 w v

d z d x d y

z 2 x z 2 y z

 

            

On pose le vecteur W de composantes p, q, r et puisque le vecteur CM est de

Et soit D le vecteur de composantes:

Qui peut se mettre sous la forme suivante : d x

d M

p q r

y C

d z

W

     

D

B

composantes dx, dy, dz . Ce produit vectoriel s’écrit :

39

u 1 u v 1 u w

d x d y d z

x 2 y x 2 z x

 

            

        

v 1 v w 1 v u

d y d z d x =

y 2 z y 2 x y

   

    

       

        

w 1 w u 1 w v

d z d x d y

z 2 x z 2 y z

 

            

1 v u

2 x y

1

1 u v 1 u w

u x

v y

2 y x 2 z x d x

1 v w

2 z y d y

w u 1 w v

2 x z y z d

2

w z

z

 

 

 

     

      

   

 

 



           

       

  



    

 



  



    

   





   

 





    

   



 

 

 

 

 







 D

B

Tenseur symétrique(déformation pure)= ^D

40

Avec ces notations on obtient la relation vectorielle suivante :

/ R / R

C M D

V ( M )   V ( C )   W     

/ R / R

V ( M )   V ( C  )  W   C M   D C  M



V ( C )

B

u v w



1 2

w v

p y z

   

     

1 2

u w

q z x

 

 

     

1 2

v u

r x y

   

     

w v

u y z

x

u w

V(C) v

y z x

v u

w r

y ot

z x

 

 

 



  

   

  

 

 

 







 



Et puisque :

On obtient :

1

rot )

2 V (C W     

Remarque : 1- le rotationnel de V(C), s’écrit : On a : Donc : Ou encore :

C’est le vecteur tourbillon L’écoulement du fluide est dite irrotationnel si

W   0  

C

ot V ( ) 0

r     

41

.. .. .. dx CM .. .. .. dy .. .. .. dz

   

   

W       

   

   

 

1 2

w

p vz

y

   

     

1

q 2 u w

z x

 

 

     

1 2

v

r uy

x

   

     

p d x

C M d y

d q

z r

W       

1 v u 1 u w

2 x y 2 z x d x

1 w v

2 y z d y

d 0

0 C

z M

0

       

            

 

     

   

 

 

 

 

 

W   

 

   

 

 

   

 

 







  

   

2- le tenseur des rotations pures , noté G ?

G= Tenseur antisymétrique(rotation pure)

On a: ^{qdz  rdy}

rdx  pdz

pdy  qdx

0 r q dx

CM r 0 p dy

q p 0 dz

    

   

W       

   

   

 

En écriture matricielle:

Et puisque :

Il vient :

42

1 2 1 3

2 1 3 1

3 2

1 1

2 2

3 3

3 2

1 1

2 2

u x

u

u u u u

x x x x

u u

x x

D x

u x

 

         

     

   

  

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  







     

 







Ce qui implique que les composantes de D et G sont :

3

1 2 1

2 1 3 1

3 2

3 2

1 1

0

0

0

2 2

           

             

 

     

 

            

 

 

 

 

 

u

u u u

x x x x

G u u

x x

Soit en écriture indicielle :

i j ij

j i

u u 1

2 x x

   

e          

i j ij

j i

u u 1

2 x x

   

          

i c’est la ligne

j c’est la colonne

43

/ R / R

V ( M )   V ( C  )  W   C M   D C  M



1- d’une translation d’ensemble de son centre d’inertie,

/ R / R

C M D

V ( M )   V ( C )   W     

/ R / R

V ( M )  V (C )  G C M   D C M 

 

 

0 r q

G r 0 p

q p 0

  

 

   

 

 

1 u v 1 u w 2 y x 2

1 v u D 2 x y

1

z x u

x

v y

w z 1 v w 2 z w u 1 w v

2 x z z

y 2 y

     

     

 

  

 

 

 

    

 

    

 

 

   

 

       

       

 

  

















B

1 rot 2

p V(C) q r

 W  

3- d’une déformation caractérisée par D

2- d’une rotation autour du centre d’inertie, caractérisée par G

L’expression de V(M) montre que le mouvement le plus général de la particule fluide est formé :

Récapitulation :

1 2

w

p vz

y

   

      1

q 2 u w

z x

 

 

      1

2

v

r uy

x

   

     

44

A- ANALYSE DES TERMES DIAGONAUX (signification physique des termes diagonaux)

I- ETUDE DU TENSEUR E DES DEFORMATIONS PURES

Soit D dans le cas où tous les termes sont nuls sauf e

₁₁

:

1 1 0 0

0 0

0 0

0

0 D

 e 

 

  

 

 

11 1

1

 

 u e x

1 2

   

         

i j ij

j i

u u

x x

e Donc :

Et puisque : On a donc :

D

3

1 2 1

2 1 3 1

2 3 1

1

2 2

3 3

3 2

1 1

2 2

u x

u

u

u u u

x x x x

u u

x x

D x

u x

 

       

    

   

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  







    

 







On a :

(signification physique des termes de D)

45

Soit N un point voisin de M sur l’axe Ox

₁



1

)

Déterm in ation de N

M e MN'

, N

e  

1 1 1

11 0 0

NN ' D 0 0 0

0 0

dx

dx e 0

0 0

e 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

N N’

et le point N se déplace en N’

x

₁



e1

) x

₂



e2

)



1

)

M, e N ' MN

 N

e 

- Déterminer l’allongement relatif dans la direction e

₁

?

M

N N '  D M N



 

On peut écrire : 1- Puisque MN s’est transformé en NN’ ,

Soit:

1

1 11

11

dx 0 0

N

M e

e 

  e

 

 

 

  

On a, par définition,

l’allongement relatif dans la direction e₁

:

Et puisque NN’ = /NN’/ e₁= NN’ e₁

(1)

(2)

11

N M N e  N '

Donc e

₁₁

représente l’allongement relatif dans la direction e

₁

Et par égalisation de (1) et (2):

On obtient :

MN=dx₁ e₁ ___________> NN’