le 18 F´evrier 2010 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr
Matrices et applications lin´ eaires
1 Matrice d’une application lin´ eaire.
A partir de maintenant, soit E et F, 2 espaces vectoriels sur K = R ou C de dimensions finies respectives n et p munis de bases respectives B = {e1, e2, ..., en} et U = {u1, u2, ..., up}.
Soit f :E −→F une application lineaire.
Soitx∈E alorsx=x1.e1+x2.e2+...+xn.en(´ecriture unique) et, dans la baseB,xB =
x1 x2 ...
xn
.
Question 1.1 Quelles sont les coordonn´ees de f(x) dans la base U?
f(x) = f(x1.e1 +x2.e2+...+xn.en) = x1.f(e1) +x2.f(e2) +...+xn.f(en) que que soit x∈ E donc f est d´efinie de fa¸con unique par la donn´ee de {f(e1), f(e2), ..., f(en)}.
Mais f(e1) = a1,1.u1+a2,1.u2 +...+ap,1.up (i.e. f(e1)U =
a1,1 a2,1
...
ap,1
),
f(e2) =a1,2.u1+a2,2.u2+...+ap,2.up (i.e. f(e2)U =
a1,2 a2,2 ...
ap,2
), ...
f(en) =a1,n.u1+a2,n.u2+...+ap,n.up (i.e. f(e1)U =
a1,n
a2,n ...
ap,n
),
Donc
f(x) = x1(a1,1u1+a2,1u2 +...+ap,1up) +x2(a1,2u1 +a2,2u2+...+ap,2up) +...+xn(a1,nu1 + a2,nu2+...+ap,nup)
= (x1a1,1+x2a1,2+...+xna1,n).u1+ (x1a2,1+x2a2,2+...+xna2,n).u2+...+ (x1ap,1+x2ap,2+ ...+xnap,n).up.
Donc f(x)U =
x1a1,1+x2a1,2+...+xna1,n
x1a2,1+x2a2,2+...+xna2,n ...
x1ap,1+x2ap,2+...+xnap,n
.
On remarque alors que f(x)U =
a1,1 a1,2 ... a1,n
a2,1 a2,2 ... a2,n ... ... ... ...
ap,1 ap,2 ... ap,n
.
x1
x2 ...
xn
.
Conclusion 1.2 Etant choisies une base de´ E et une base de F, on a une correspondance bijective entre les matrices de Mp,n(K) et les applications lin´eaires de E dans F.
D´efinition 1.3 SoientE,F K-e.v. de bases respectivesB={e1, e2, ..., en}etU ={u1, u2, ..., up}. Soit f :E −→F une application lin´eaire.
On appellematrice de l’application lin´eairef relativement aux basesB etU, la matrice dont les colonnes sont les f(ei)U :
Mf,B,U =M(f,B,U) :=(
f(e1)U | f(e2)U | ... | f(en)U )
∈ Mp,n(R).
On a
∀V ∈E, f(V)U =Mf,B,U.VB.
Exemples 1.4 i) Soit D: R3[X] −→ R2[X]
P(X) 7→ P′(X)
Soient B ={1, X, X2, X3} base de R3[X] et U ={1, X, X2} base de R2[X].
Exo. : Faire la mˆeme chose avec B′ ={1 +X, X+X2, X2+X3, X3} et U′ ={1 +X, X2, X}.
ii) u=
1 2 3
. Soit ub: R3 −→ R3
x y z
7→
x y z
∧u .
Quelle est la matrice de bu dans les bases canoniques ? Et dans B =U ={
1 1 0
,
2 1 0
,
0 1 1
}?
Propri´et´es 1.4.1 E, F, GK-espaces vectoriels de dim. finies et de bases respectives B, U, V. i) Pour f, g:E −→F lin´eaires, Mf+g,B,U =Mf,B,U +Mg,B,U,
ii) pour λ ∈K et f :E −→F lin´eaire, Mλ.f,B,U =λ.Mf,B,U,
iii) si f : E −→ F et g : F −→ G lin´eaires alors g ◦f : E −→ G est lin´eaire et Mg◦f,B,V = Mg,U,V×Mf,B,U.
iv) pour f :E −→E, Mf,B,B =I ⇐⇒f =idE.
Preuve en exo.
2 Isomorphismes et matrices.
On a vu queF ≃G⇐⇒dimF = dimG.
Soient E, F des e.v. de dim.n,f :E −→F lin´eaires, g :F −→E On a vu que f◦g =Id⇐⇒Mf ×Mg =In.
On en d´eduit le
Th´eor`eme 2.1 Soient E, F des e.v. de dim. n et de bases respectives B et B′ et f :E −→F lin´eaire :
f bijective⇐⇒Mf,B,B′ est inversible et, dans ce cas Mf,−B1,B′ =Mf−1,B′,B
D´efinition 2.2 (rang d’une matrice)
Le rang d’une matrice est le rang de l’application lin´eaire associ´ee : rang(M) =rang(fM) = dim(Im(fM)).
C’est le rang de la famille constitu´ee des vecteurs colonnes.
Remarque 2.3 pour A matrice,
Rang(A) = 0 ⇐⇒A = 0.
Corollaire 2.4 A∈Mn(R) est inversible ssi rang(A) = n.
Remarque 2.5 On sait (voir TD de MT11) que (tA)−1 =t(A−1), donc
A inversible ⇐⇒la f amille constitu´ee des vecteurs ligne de A est libre.
3 Matrice d’un endomorphisme et matrice de passage.
3.1 Cas d’un endomorphime.
f :E −→E endomorphisme.
Deux cas se pr´esentent :
1er cas : On prend la mˆeme base B au d´epart et `a l’arriv´ee.
f :E −→E, B={e1, e2, ..., en} base de E.
Mf,B :=Mf,B,B =(
f(e1)B | f(e2)B | ... |f(en)B )
∈ Mn(K)
nous donne les coordonn´ees de l’image dex dans B en fonction des coordonn´ees de x dans B : f(x)B =Mf,B.xB.
2`eme cas : On prend deux bases diff´erentes au d´epart (B ={e1, e2, ..., en}) et `a l’arriv´ee (B′ = {e′1, e′2, ..., e′n}).
f :E −→E.
Mf,B,B′ =(
f(e1)B′ | f(e2)B′ | ...| f(en)B′ )
∈ Mn(K)
nous donne les coordonn´ees de l’image de xdans B′ en fonction des coordonn´ees dexdans B : f(x)B′ =Mf,B,B′.xB.
Exemples 3.1 Soit
f : R3 −→ R3
x y z
7→
x+ 2y y+ 3z
0
Soient B ={e1 =
1 0 0
, e2 =
0 1 0
, e3 =
0 0 1
} B′ ={e′1 =
0 1 1
, e′2 =
1 1 0
, e′3
1 1 1
}.
On cherche Mf,B,B′.
3.2 Changement de base.
Soit E un K-espace vectoriel de dim. finie n muni de 2 bases B = {e1, e2, ..., en} et B′ = {e′1, e′2, ..., e′n}.
Soit V ∈E. On veut d´eterminer les coordonn´ees de V dans B′ en fonction des coordonn´ees de V dans B.
Exemples 3.2 Prenons E =R2[X] muni de 2 bases B = {1, X, X2} et B′ ={1 +X, X, X + X2}.
(1 + 2X+ 3X2)B =
1 2 3
et (1 + 2X+ 3X2)B′ =
1
−2 3
But : trouver la matrice qui permet de passer d’une base `a l’autre.
Id´ee : chercher la matrice de l’application identit´e (lin´eaire) de E dans E avec au d´epart la base B et `a l’arriv´ee la base B′.
MidE,B,B′ nous donnera alors, pour V ∈E, les coordonn´ees de idE(V) =V dans la base B′ en fonction des coordonn´ees de V dans la baseB.
D´efinition 3.3 (matrice de passage)
Soit E, K-espace vectoriel de dim. n.Soient B = {e1, e2, ..., en} et B′ ={e′1, e′2, ..., e′n}, 2 bases de E.
On appelle matrice de passage de B′ `a B, la matrice PB′,B ∈ Mn(K) telle que
∀V ∈E, VB′ =PB′,B.VB. Donc
PB′,B :=MidE,B,B′ =(
(e1)B′ | (e2)B′ | ... | (en)B′ ) .
Remarque 3.4 Le nom matrice de passage de B′ `a B est justifi´e par le fait que : (e1, e2, ..., en) = (e′1, e′2, ..., e′n).PB′,B.
Exercice 3.5 Soit E =R3 avec sa base canonique. Soient B ={
1 1 0
,
1 0 1
,
0 0 1
} et
B′ ={
1 1 1
,
1 1 0
,
1 0 0
}.
1) Trouver PB′,B et PB,B′. 2) Que constatons-nous ?
3.3 Matrices de passage et applications lin´ eaires.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dim. finie respectiven ∈Net p∈N. Soient B et B′ deux bases de E.
Soient C etC′ deux bases deF.
Soit f :E −→F une application lin´eaire.
Question :quelle est la relation entre Mf,B,C et Mf,B′,C′?
Soit X ∈E, on a, par d´efinition : f(X)C =Mf,B,C.XB,
f(X)C′ =Mf,B′,C′.XB′, XB =PB,B′.XB′,
f(X)C =PC,C′.f(X)C′, Donc
Mf,B,C =PC,C′.Mf,B′,C′.PB−,1B′.
Th´eor`eme 3.6 Soient f ∈ L(E, F) avec E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie alors
Mf,B,C =PC,C′.Mf,B′,C′.PB−1,B′.
Exercice 3.7 Soit f :R3 −→R3. Soit C la base canonique de R3. Supposons
Mf,C =
1 1 0
−1 2 1 2 1 −1
.
Ecrire la matrice de f dans la base B={
−1 1
−1
,
−1 1 0
,
0 1 1
}.
Solution : Mf,B =
2 4 4
−2 −4 −5
2 3 4
.
