Chapitre 4 – Matériaux sous contrainte E

Des Matériaux (3^ème édition) Corrigé des exercices

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Chapitre 4 – Matériaux sous contrainte

E

XERCICE

4-18

a) Épaisseur finale de la tôle après laminage

Au cours d’un laminage, la largeur de la tôle ou du lingot passant dans le laminoir ne varie pas, seules changent sa longueur et son épaisseur. La réduction de section

R

est définie par la relation suivante :

100 e x

e - 100 e S x

S - (%) S R

0 f 0 0

f

0

=

=

⁽¹⁾

D’après cette relation, on en déduit donc l’épaisseur finale

e

faprès une réduction

R

:

( ) ( ^{1 - R 5 1 - 0,4} ) ^{cm 3 cm}

e

e

_f

=

₀

= =

b) Augmentation

∆∆∆∆ W

d’énergie interne après laminage

L’énergie

T

associée à une unité de longueur de dislocation est égale à

Gb

², où

G

est le module de Coulomb du matériau et

b

le vecteur de Burgers des dislocations dans ce matériau ( éq. 4-19 du livre « Des Matériaux »). Dans un métal comme le cuivre, le module du vecteur de Burgers d’une dislocation est égal à la distance interatomique. Puisque le cuivre a un réseau CFC, la distance interatomique est la distance entre les atomes des directions de plus grande densité atomique, qui sont les diagonales des faces du cube (directions

<110>). Pour le cuivre, le module du vecteur de Burgers est donc égal à :

m 0,2556x10 nm

0,2556 nm

2 / 2 0,3615 2

/ 2 a

b = = = =

^{-9 (2)}

L’énergie interne

w

(par unité de volume) associée à une densité

Λ Λ Λ Λ

de dislocations est égale à :

Gb

2

T

w = Λ = Λ

⁽³⁾

La variation d’énergie

∆∆∆∆ w

(par unité de volume) entre l’état initial recristallisé et l’état final laminé est égale à :

f 2 0 2

f

- )Gb Gb

(

w = Λ Λ ≈ Λ

∆

⁽⁴⁾

car la densité finale

Λ Λ Λ Λ

^{f(1013 cm/cm3}) de dislocations est bien supérieure à la densité initiale

Λ Λ Λ Λ

^{0(= 107 cm/cm3).}

Puisque le volume de métal ne varie pas au cours du laminage, la variation d’énergie

∆∆∆∆ W

de la tôle (de volume

V

=

L

0

l

0

e

0), entre son état initial recristallisé et son état final laminé, est donc égale à :

(

00 o

)

f ² f

Gb

2

L l e Gb V

W ≈ Λ = Λ

∆

⁽⁴⁾

Avec les valeurs numériques associées aux diverses grandeurs de l’équation 4, on obtient :

∆∆∆∆ W

= (10x1x0,05 m³)(10¹⁷ m/m³)(49x10⁹ N/m²)[(0,2556x10^-9 m)²] = 1,601 x 10⁸ J/m³

e

_f

= 3 cm

∆∆∆∆ W = 1,601 x 10

⁵

kJ

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c) Hauteur pour communiquer l’énergie

∆∆∆∆ W

à la tôle recristallisée L’énergie potentielle

W

pdoit être égale à

∆W

^:

h V h m W

W =

_p

= γ ∆ = ρ γ ∆

∆

⁽⁵⁾

On en déduit ainsi la variation de hauteur

∆∆∆∆ h

pour communiquer à la tôle recristallisée une énergie potentielle égale à celle due aux dislocations créées pendant le laminage :

) m/s )(9,8 m )(0,5 kg/m 8960 (

J 1,601x10 V W

h

_{3 5 2}

8

γ = ρ ∆

=

∆ = 3 647 m

h = 3 647 m