Master 2 EADM 2011-2012 Capes Externe
UE 19 Epreuve sur dossier
05/04/2012
DOSSIER Alg 3
Thème : Divisibilité
L’exercice proposé au candidat
On se propose d’étudier l’existence des solutions (x, y) IN2 de l’équation (E) : x2 – y2 = n, où n est un entier naturel non nul.
1) a) Montrer que (E) admet au moins une solution si et seulement s’il existe deux entiers naturels p et q de même parité tels que n = p q (on pourra utiliser l’identité
x2 – y2 = (x + y) (x – y)).
b) En déduire que, si n est un entier impair, (E) admet au moins une solution.
2) Montrer que n est un nombre premier si et seulement si le couple est l’unique solution de (E).
Le travail à exposer devant le jury
1. Quelles sont les connaissances et compétences mises en jeu dans cet exercice ? 2. Quels aménagements apporteriez – vous à l’énoncé pour l’utiliser dans une classe de
terminale scientifique ?
3. Exposez une correction de la question 2) comme vous le feriez devant une classe de terminale scientifique.
4. Présentez un programme sur calculatrice ou logiciel permettant d’obtenir tous les diviseurs positifs d’un entier naturel donné.
5. Proposez trois exercices sur le thème « Arithmétique : Divisibilité », en variant les thèmes abordés ainsi que les niveaux.
