Application d'une théorie alternative de la diffraction pour l'étude des profils de modulation des réseaux holographiques de volume

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Submitted on 1 Jan 1992

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Application d’une théorie alternative de la diffraction pour l’étude des profils de modulation des réseaux

holographiques de volume

S. Mechahougui, J. Harthong

To cite this version:

S. Mechahougui, J. Harthong. Application d’une théorie alternative de la diffraction pour l’étude des

profils de modulation des réseaux holographiques de volume. Journal de Physique II, EDP Sciences,

1992, 2 (2), pp.163-174. �10.1051/jp2:1992121�. �jpa-00247621�

Classification

Physics

Abstracts

42.40 42.70G 42.80F

Application d'une th40rie alternative de la diJfraction _pour l'4tude des profits de modulation des r4seaux holographiques

de volume

S.

Mechahougui

et J.

Harthong

Ecole Nationale

Sup4rieure

de

Physique,

Laboratoire des

syst+mes photoniques,

7 _rue de l'uni-

versit6,

F-67084

Strasbourg Cedex,

France

(Received

24

May1991, accepted

16

October1991)

Rdsumd. Nous

pr4sentons

_une 4tude

num4rique

de l'influence du

profit

de modulation de l'indice de

r4fraction,

sur

quelques parambtres

tels _que: l'eflicacit4 de

diffraction,

la s41ectivit4 spectrale et

angulaire.

Les mat4riaux

photosensibles

les

plus

utilis4s _en

holographie

£ savoir les

halog4nures d'argent

et la

g41atine bichromat4e,

sont fortement _non lin6aires _pour des

expositions

41ev4es. Nous _avons choisi

une s6rie de

profils correspondant

^{£ des}

expositions

di1f4rentes. Pour

ces

profits

_{nous avons} fait _une 4tude

num4rique compl+te

_en utilisant _une th40rie alternative de la diffraction dons les milieux modu14s [1].

Abstract In this contribution _we present _a numerical study of the influence ofthe refractive index modulation

profile

onto several parameters of interest such that diffraction

efficiency, spectral selectivity,

_or

angular selectivity.

The most

widely

used mater1als

(silver

halides and

dichromated

gelatin)

have

a

strongly

non-linear _{response at}

high

_exposures.

Many

_papers have been

published

about this

subject. Solymar

and his group

[22 24]

have studied in detail the formation of _a modulation

profile

for the refractive index in the

region

^of saturation. For linear _exposures the

profile

will be

sinusoidal,

but for exposures with

saturation,

it will be _non-

sinusoidal. We have selected _a series of

possible profiles,

which

correspond

to the

properties

of the materials at

saturation,

_as

they

have been studied in

[22-24].

For these models of

profiles

we have carried _{out a}

complete

set of numerical

computations, using

_programs of _{our own.}

These _programs

are based _{on a}

complete

and exact solution of the Maxwell equations. The programs have been used for the

computation

of the efficiencies and of the

angular selectivity

at

Bragg

incidence for the different models of non-sinusoidal

profiles.

We _were interested

mainly by

the

optimal

_cases; indeed the efficiencies _{at a}

given

order

depend strongly

_on the thickness

and _on the modulation

amplitude:

for each

given

thickness, there is _a

precise

value of the modulation

amplitude

_at which the

efficiency

is

maximum; conversely,

for each

given amplitude

of modulation, there is _a

precise

value of the thickness at which the

efficiency

is maximum. We have then studied the

dependence

of the

efficiency

and ofthe

angular selectivity

with respect to the

profile,

in the

neighbourhocd

of these optimal _cases. This

study

should

explain theoretically

the _way

by

which the

efficiency depends

_on the exposure: it is due not

only

to the fact that the modulation

amplitude

increases with the _exposure, but also to the fact that after

having

reached saturation, the

profiles

gets a non-sinusoidal form for which the theoretical

efficiency

is better than for the sinusoidal from. We present

only

_a theoretical

analysis;

for the

analysis

of

the correlation between the _exposure and the form of the

resulting profile,

_we follow the work of

Solymar

and his group.

1 Introduction.

Comme

ii'est

_bien

connu, la

g41atine

bichromatde et les dmulsions

argentiques

sont les matdri-

aux

photosensibles

les

plus

utilisds _en

holographie.

Durant _un sibcle les dmulsions h base

d'halogdnure d'argent

ont 4t4 utilis4es pour

l'enregistrement

dans diffdrents domaines: la

pho- tographie,

la

cin4matographie, l'astronomie,

la

spectroscopie,

la

microscopie

et ainsi de suite.

Elles _se

distinguent

_par leur haute

sensibilitd,

leur bonne rdsolution

(en

fonction de la finesse des

grains),

mais surtout par la facilit4 de leur utilisation _ce

qui

^donne une bonne

reproductibil-

itd des rdsultats

pratiquement inddpendamrnent

des conditions environnantes

(ce qui

n'est _pas le _cas de la

g41atine

bichromatde _par

exemple).

Par _un

procdd4

de

blanchiment,

_on

peut

trans-

former _un

hologramrne d'amplitude

en un

hologramme

de

phase;

il s'ensuit _une

augmentation

de la

luminosit4,

donc de l'efficacit4 de diffraction

[2].

^Plusieurs travaux ont 4t4 effectu4s _pour am41iorer les

caract4ristiques

de _ce mat4riau _{en vue} de _son utilisation _en

holographie [3-9].

^Mal-

gr4

la forte concurrence de la

g41atine bichromatde,

les dmulsions h base

d'halog4nures d'argent

restent _encore le matdriau

photosensible

le

plus

^utilisd et le

plus

commode _en

holographie.

Depuis

_que Scankoi

[10]

a ddcouvert _que l'efficacitd de diffraction des couches de

g41a-

tine bichromat4e

peut

s'accroitre sensiblement _{par un} traitement

chimique

h

l'isopropanol,

l'intdr6t de _ce matdriau

ne cesse

d'augmenter

de

jour

_en

jour; depuis

_{ce temps}

plusieurs

4tudes

thdoriques

et caract4risations

exp4rimentales

ont dtd mendes

ii1-19].

La

gdlatine

bichromatde

peut

^{6tre considdrde} comrne un matdriau

d'enregistrement

_en volume

iddal,

si _ce n'est le

prob-

lime de

reproductibilit4

dfi h _sa variabilit4 selon les conditions environnantes. En

eiet,

_sa r4solution

spatiale

est uniforme et _se situe entre loo et 5000

traits/mm,

elle est

homogIne

et par

cons4quent pr4sente

_une faible

dispersion

et conduit ainsi h _un rapport

signal-bruit

41ev4.

L'amplitude

^de modulation de l'indice de r4fraction _que la

g41atine

bichromat4e

permet

d'obtenir est relativement forte

(jusqu'h

0.08 et m6me

plus),

_ce

qui

entraine des efficacit4s de diffraction allant

jusqu'k 98$l.

La fonction d'un mat4riau

d'enregistrement holographique

est

d'enregistrer

^la variation _spa- tiale de l'intensitd de la lumibre

produite

_{par une}

figure

d'interf4rence _sous la forme d'une variation de l'indice de r4fraction _ou

d'absorption (ou

des

deux)

le

plus

fidllement

possible

et sans att4nuation du faisceau incident. La

performance

d'un mat4riau est alors

exprimde

_en

termes de

rdsolution, rapport signal-bruit

et

amplitude

de modulation

qu'on

peut atteindre.

Dans cette

optique,

la

g41atine

bichromatde est _un matdriau de

premilre qualitd.

Dans cet

article _{nous proposons une} dtude

numdrique

de la diffraction _pour )es rdseaux h

profil

_non si- nusoidal. Nous _avons retenu

plusieurs types

de

profil (voir Fig, I).

Au lieu d'utiliser la thdorie des ondes

coupldes,

_nous

employons

_une mdthode di14rente _pour dcrire les programmes

(voir Ill)-

2

Enregistrement

_non lin4aire.

Nous

ddsignons

_par

enregistrement

_non

lindaire,

le fait _que la modulation de l'indice de rdfrac- tion obtenue

aprls exposition

n'est _{pas une} fonction lindaire de I'intensitd

d'exposition. Lorsque

celle-ci

d4passe

_un certain

seuil,

ii _{y a} saturation et l'indice _ne varie

plus.

Dans cette contri-

bution _{nous nous} intdressons

prdc1s4ment

_aux modulations

"aplaties"

_par de tels effets de saturation.

La _non lindaritd des matdriaux

photosensibles engendre

la

prdsence d'harmoniques spatiales

d'ordre

supdrieur quand l'enregistrement

a lieu h _une certaine

frdquence spatiale.

Case et al.

[20]

^ont

d4veloppd

_une mdthode

(comprenant

_un modble

mathdmatique

bas4 _sur la thdorie des ondes

coupldes

et associd h des _mesures

physiques)

_pour ddterminer la courbe reliant

l'arnplitude

de modulation de l'indice de rdfraction h

l'exposition

et cela _pour le _cas de la

gdlatine

bichro- matde. R. Alferness

[21]

a

proposd

des

expressions alg4briques

de l'efficacitd de diffraction pour le

premier

et second ordre d'un rdseau

holographique

de volume et de

phase

dans le chs d'une

r4ponse

_non lin4aire h

l'exposition

au second

angle

de

Bragg;

les r4sultats

exp4rimentaux

obtenus _sun des r4seaux de

g41atine

bichromatde sont _en conformitd _avec la thdorie.

Slinger

et al.

[22]

ont dtud14 le

problbme

de

l'enregistrement

_non lin4aire dons les

halogdnures d'argent;

ils ont dtudid le

comportement

^d'une s4rie

d'hologrammes enregistr4s

_sous des

expositions faibles, optimales

et 41evdes. Les effets de la

premibre,

seconde et troisibme

harmonique spatiale

du rdseau ont 4t4 mis _en dvidence

expdrimentalement;

^des

profits

de modulation

synthdtisds

h _par- tir des rdsultats obtenus ont dtd tracds pour le _cas des hautes

expositions.

Plus

tard,

Blair et al.

[23]

ont

proposd

la formule suivante pour la

r4ponse (non lin4aire) n(r)

h

l'exposition E(r)

pour rendre

compte

de la saturation de la

gdlatine

bichromatde suite h de fortes

expositions:

n(r)

₌

No Ii

_exP

(-@)i (I)

oh

n(r)

est la variation de l'indice de rdfraction h _travers le _vecteur de

position

_r,

No

et

Eo

sont des

constantes, E(r)

est

l'exposition

totale. Pour _une

simple exposition l'amplitude

de modulation

peut

^6tre calculde selon

l'expression

suivante

(d'aprbs _[23])

n(r)

₌

No II

_exp

^~~~~

^{~ ~~~}

[Io(zi

+ 2

f In (zi

_cos

(Ki

_r +

nx)]] (2)

~°

n=1

oh

bi

est le rapport ^{des intensit4s des}

faisceaux, Ki

le vecteur du

rdseau, Ei l'exposition, In (zi

la fonction de Bessel modifide et zi "

2@~~

Eo

En

posant No

_" 0.04 et

Eo

_"

1000, Solymar

et al.

[24]

ont tracd les

profits

de modulation pour diffdrentes

expositions

d'une

part

et _en variant le

rapport

des faisceaux d'autre

part.

^Les

courbes obtenues font

appar£tre

clairement _que

plus l'exposition augmente plus

le

profil

de modulation devient _non sinusoidal vdrifiant ainsi l'effet de saturation.

3.

Approche th40rique.

Dans _un milieu

didlectrique pdriodique,

la

permittivitd f(z,

_y,

z)

est _une fonction d'une coordon- nde ou d'une combinaison lindaire des trois

coordonndes,

elle

peut

Atre ddcrite _par

l'expression

suivante:

f(z,

_y,

z)

₌

f(az

+

by

+

cz) (3)

off

f

est _une fonction

pdriodique

d'une

variable,

le vecteur

(a,b,c)

est souvent

appeld

vecteur du rdseau.

On considlre

l'dquation

scalaire suivante

Ill:

AV(z,

_y,

z)

₊

k~£(z,

_y,

z)V(z,

_y,

z)

= 0

(4)

oh k ₌

)

et

f(z, y,z)

₌

f(kp(z,

_y,

z))

_avec

p(z,

_y,

z)

₌ ^~

(zsinw

_{+ z}

cosw) qui

est

l'dquation

A

pour la

polarisation

TE

(E

orient4 selon

Oy).

Par

analogie

_avec le

d6veloppement

de

Rayleigh,

on cherche _une solution _sous la forme:

V(z,

_y,

z)

₌

e'~?(~'Y'~) Y(kz, kp~z,

_y,

z)) (5)

oh

~a(z,

y,

z)

₌ z sin _{a + z cos a} est l'eikonale de l'onde

incidente, Y(t,

_{@) une} fonction inconnue mars

p4riodique

_{en avec} t ₌ kz

, =

kp(z,

_y,

z). Apr+s

substitution et transformation

(voir Ill),

_on obtient:

h" ₊

2i~h'+ _(v~ ~~

+ _qi

(6))h

₌ 0

(6)

oh h est _une fonction

p4riodique

de 6 et

II _(fl

sin _w + sin

7)2

"

f flcosw

+ cos7

~

f

q(°)

₌

f(°)

w:

l'angle

entre le vecteur du r4seau et l'axe des _z

7 = w a

,

a:

angle

d'incidence

f

₌

~~

=

~,

_{oh A est la}

_p6riode

_{du r6seau et}

_fl

_{la valeur propre pour}

_{laquelle l'4quation (6)} possie de~solutions p4riodiques.

En posant

g(6)

₌

e~~'h(6),

_on obtient:

g" +

lv~

+

qi(°)ig

= o

(7)

L'dquation (7)

n'est autre que

l'dquation classique

de Hill. Le

principe

de la m4thode consiste h:

I)

rechercher les valeurs propres de

fl

_pour

lesquelles l'dquation (4)

_a des solutions

pdri- odiques;

2)

calculer _ces solutions

p4riodiques

_par

int4gration numdrique;

3)

^{enfin calculer les} coefficients de Fourier de _ces solutions

p4riodiques

_par l'utilisation des r6sultats

prdc6dents.

La m4thode de r4solution est fortement rel14e h la th40rie des ondes

coup16es [25-28]

ou h la thdorie modale

[29-32],

mais

pr6sente

_une manibre de r4solution

plus simplifi4e

et

particulibre-

ment pour les conditions _aux limites. Elle est caract4r1s4e

principalement

_par le fait

qu'au

lieu d'avoir _un

systbme d'4quations

dilfdrentielles h coefficients constants _comme c'est le _cas dans la thdorie des ondes

coup14es,

on a une seule

dquation

di14rentielle ordinaire h coefficients

p4ri- odiques

variables. Cette

dquation unique

est alors _une

dquation

de Hill. Un autre

avantage

de cette mdthode est la

possibilitd d'analyser

des

profilp

h modulation arbitraire aussi facilement que les

profils

sinusoidaux. Des programmes de calcul ont dtd

dlabords;

_pour

plus

de ddtails

sur

l'analyse mathdmatique

voir

Ill.

4. Choix de diffikrents mod~les de

profits.

A

partir

de la courbe

caractdristique

^d'un mat4riau

photosensible,

c'est h dire la courbe

reprdsentant

la transmittance _en

amplitude

_en fonction de la lumination

(voir

_par

exemple

Ref.

[33]),

on

distingue

les _cas suivants selon le domaine de variation de la lumination:

I)

_un

applatissement

de la

partie

infdrieure de la sinus6ide dans le _cas oh _{on se} situe dons la

r4gion

^de

sous-exposition;

2)

_un

aplatissement

de la

partie supdrieure

de la sinusoide dans le _cas oh _{on se} situe dans la

rdgion

de

sur-exposition;

3)

une vraie sinusoide _{sans aucun}

applatissement

si le domaine de lumination choisi _corre-

spond

h la

partie

lindaire de la courbe

caractdristique

de la transmittance _en

amplitude.

Pw+1>1

Pmfii i

Pmsi _j

Pmfii 2

Pm+>iJ

Pm&1 4

Pm~ 3

Pm&>s

Pmfil 4

Pm6i.sJ

Pmfil 5

Pw+1ss

a b

Fig.

1. Les modbles de

profils

choisis.

Dans le but de contr61er l'influence du

profil

de modulation _sur l'efficacit6 de diffraction ainsi que sur la s61ectivitd

angulaire

et

spectrale

dans les r4seaux

holographiques

de

volume,

_nous

avons 4t4 amends h retenir

cinq types

^de

profils correspondant

h diff4rents _cas

d'exposition.

Chaque profil peut

6tre obtenu h

partir

de la sdrie de Fourier suivante:

Af =

£[Fcn

_cos no +

F,n

sin

no] (8)

oh Af est la modulation de la

permittivitd.

Ainsi _nous

avons retenu )es

profits

suivants

(voir

Fig,

la

):

Le

profil

du

type

^I

correspond

h la

partie sous-exposde,

le

profil

2 _ne

peut

_pas dtre obtenu par l'interfdrence de deux ondes

planes (il pourrait

6tre obtenu _{par gravure} h l'aide d'un

diamant,

mais _pas

en modulation de l'indice _ou

d'absorption

dans la

gdlatine)

toutefois

nous

l'avons retenu h titre de

comparaison.

Le

profil

3

correspond

h la

partie

lindaire de la courbe

caractdristique,

le

profil

4

correspond

h toute la courbe

(sous-exposde,

lin4aire et

sur-exposde),

le

profil

5

correspond

h la

partie sur-exposde

_ou saturde. Nous _avons aussi voulu _tester des

profits

du

type

^{I et 5 mais} avec

davantage

de coefficients de

Fourier;

ainsi _{on note} de I.I I IA des variantes de

profits

du

type

I et de S-I k 5.5 des variantes de

profits

du type 5

(voir Fig.

lb).

La numdrotation est faite de telle sorte que le second chiffre soit d'autant

plus grand

_que le

pic

est

plus 4troit;

il faut

davantage

de coefficients de Fourier _pour

reprdsenter

_un

pic

dtroit.

5 Rdsultats

numdriques.

Dans la

figure 2a,

_{on a}

reprdsent4

l'efficacitd de diffraction _{q en} fonction de

l'angle

d'incidence h la reconstruction _pour les

profils

_1,

2, 3,

⁴ et 5

(d4sign4s

_par

PI, P2,...

P5

);

ii

apparait

clairement _que [es

profils 2,

3 et 4 donnent

pratiquement

les mimes rdsultats _pour le _cas du

premier

ordre de diffraction

(voir Fig. 2a).

Pour les

distinguer,

it _{y a} deux

possibilit4s:

1)

^le recours aux ordres de diffraction

supdrieurs.

En

efset,

_on voit _par

exemple

dans la

figure

3 oh _{on a}

reprdsent4

l'efficacitd de diffraction _en fonction de

l'angle

d'incidence h la reconstruction _pour l'ordre de diffraction

-2,

_que )es trois courbes

se

distinguent

nettement surtout h

partir

d'un certain

angle

d'incidence de 8.6°.

2)

En variant

l'amplitude

de modulation de l'indice de rdfraction: it

apparait

_sur la

figure

2b _que les trois courbes _se ddtachent clairement _pour des

amplitudes

de modulation _ni allant de 0.04 h 0.06.

Par contre les rdsultats obtenus I

partir

des

profits

I et 5 difsbrent

complbtement

de _ceux

obtenus h

partir

des

profils 2, 3,

4 _{comme on} le voit bien _sur [es

figures

2.

En outre _{nous avons}

essayd

de ddterminer )es conditions

optimales

_pour

chaque profit

d'obtenir _une haute efficacitd de diffraction et _une bonne sdlectiviti

angulaire.

Les deux

param6tres

les

plus importants

sont

l'amplitude

de modulation _ni et

l'ipaisseur

d de la couche

photosensible,

_car ii est bien

connu

d'aprbs

la thdorie des ondes

couplies

de

KogeInik _[25]

_que

l'efficaciti de diffraction

dipend

du

produit (ni d)

selon la formule suivaiite _pour le _cas d'un riseau de transmission I modulation de

phase

_{sans perte:}

~ ~~~~~

l~~j~o

^~~~

oh _ni est

l'amplitude

de modulation de l'indice de

rifraction,

d

l'ipaisseur

de la

couche,

go

l'angle

de

Bragg

de

reconstruction,

I la

longueur

d'onde de reconstruction. Un _autre

paramAtre important

est

f

=

~

oh I est la

longueur

d'onde

d'enregistrement

et A la

piriode

du riseau. On A

a constati

(voir Fig. 4)

_que )es

profits

du type I

(I.I I.4)

donnent leurs maxima de diffraction pour une valeur de _{ni a <}

2,

)es

profits

sinusoidaux du type 3 donnent le maximum _pour

0.15 ~~/

XP3

~'

oP4

0. 6 #P5

o.<5

a 0.

o. 15

2. 25 4. 6. 15 _1.25

o

+Pl xP2 XP3 oP4 tP5

0, fits

o.

0. 525

b

o.15

o. its

0. 0 15 0. 01 0. 04 0.06

ni

Fig.

2.

Repr4sentation

de l'eflicaciti de diffraction

n en fonction de

l'angle

d'incidence _o

(a)

et de

l'amplitude

de modulation

(b)

_pour les

profits

1, 2, 3, 4 et s pour l'ordre de dilraction -1.

2.3 _{< ni a} < 2.5

,

alors que )es

profils

du

type

⁵

(5.1 5.4)

donnent le maximum d'efficaciti de difsraction _pour 2.5 < ni a <

4.0,

oh _a

=

kd,

k

=

~~

et d

l'ipaisseur

de la couche.

I

Cette constatation est virifiie _par )es tracts de l'efficaciti de diffraction _en fonction _de

l'ipaisseur

_{pour une} valeur fixie de

l'amplitude

de modulation

(voir Fig. 5).

^Ce risultat

peut

^{Atre mis} en oeuvre iventuellement _pour contr61er _ou diterminer

pratiquement

le

profit

de

modulation h

partir

de la _mesure de

l'ipaisseur,

de l'efficaciti de difsraction et de

l'amplitude

de modulation. Notons que la _mesure de cette derniAre

peut

s'effectuer iiidirectemeiit et h

partir

de la courbe reliant l'efficaciti de diffraction h

l'exposition

_en utilisant _par

exemple

la

0.21

~ +pi

0. 175 ^'?3

xP<

0. ₁₄

o. ios

o. oJ

o,ois

2.25 4,5 6.75

o

Fig.

3.

Repr4sentation

de l'eflicacit4 de diffraction _{n en} fonction de

l'angle

d'incidence _{a pour} les

profils

2, 3 et 4 pour l'ordre de diffraction -2.

~

profit 52

~ 3

O s

r

~ m

~

m

p~oiil [

~

~°

profit

12 ^" ~

0J ^"

~O a

,uJ

~

n

~ "

- ^$

GE

+Proiil I-1

~ o ^~

8j~

^apraiii

~

' ~Proiii 5.2 ^°

«

~

~ ~

+ o

~ ^~

~

«

0.7

^~ °

«

~

o x

~ ~

x + ⁺

x O

~ +

~'~~~

+ ~ °

~ ~

x

o _~

~

o O

j~

^x

> ~ ~

~ o O

o. its

~ ~

~

~

~ ~

~

+ °

q

~

~

50 too iso loo iso

,z

Fig.

5. Eflicacit4 de diffraction _en fonction de

l'4paisseur (k.d)

_{pour une} valeur fixe de

l'amplitude

de modulation de 0,018 _pour les

profils P12,

P3 et P52.

formule de

KogeInik.

De

plus,

_{nous avons} ditermini l'efficaciti de difsraction de

chaque profit

_en fonction de

l'angle

d'incidence et _{nous avons} constati _que

plus

^le

pic

du

profit

est 6troit

plus

l'efficacit6 et la silectivitd

angulaire

diminuent. Cette _remarque est vraie _pour les

profits

du

type

^I et les

profits

du

type

⁵

(voir Fig.

6a et 6b

).

En

outre,

on a constati _que les

profits

du type ^I

prisentent

_une meilleure silectivit6

angulaire

_que les

profils

du type ⁵

6. Conclusion.

Dans _cet

article,

_nous avons voulu mettre en ividence le role et l'influence du

profit

de modu- lation _sur les

caractiristiques optiques

des riseaux

holographiques.

Une

analyse comp16te

de

cette influence est toutefois _un vaste programme, h la fois

numirique

et

expdrimental.

Aussi _nous sommes-nous limitis h _une 4tude

numirique portant

seulement _sur

quelques

iliments:

l'efset de la

fomne

du

profil (I.I, 1.2, 1.3, IA, 2, 3, 4, 5.1, 5.3, 5.5)

_sur les courbes d'efficacit4 _en fonction de

l'angle

d'incidence _ou

(h l'angle

de

Bragg)

_sur les courbes d'efficaciti

en fonction de

l'ipaisseur

de la couche

modulie;

l'influence de la forme du

profil

_sur l'efficaciti maximale

qu'on peut

^{atteindre dans les}

cn +Pl!

xp12

o.fl xP11

oP14 0.6

0.

o.

0 ° 6 d 10 12

a

+P51

~ iP52

0.8 _xpf3

#P5<

0.₆

0.

o. 2

2,25 4,I 6,15 ° 1,25

b _o

Fig.

6. Repr4sentation de l'eflicacit4 de diffraction _{n en} fonction de

l'angle

incidence

a pour les

profits

du type I-I I 1.4

(a)

et pour les

profits

du type s-I I 5A

(b).

conditions

optimales d'dpaisseur

et

d'amplitude

de modulation

(cette

efficacit4 maximale est

en eflet obtenue _pour des valeurs corrilies de

l'ipaisseur

et de

l'amplitude

de

modulation).

Nos risultats font

apparaitre

_que les

profits symitriques

2 et 4

(correspondant

h des siries de Fourier _ne

comportant

_que des sinus d'ordre

impair)

s'icartent _peu des

profils

_purement

sinusoidaux,

tandis _que les

profils dissymitriques

du

type

I _ou 5 s'en icartent sensiblement dAs le

premier angle

de

Bragg.

^Ce fait

peut s'expliquer physiquement

^{de la} manibre suivante:

les

profits

2 et 4 n'ont _que des coefficients de Fourier d'ordre I et

3;

ainsi

l'harmonique

d'ordre deux du riseau itant

absente,

elle _ne

peut

^donner lieu h _aucun efset de

risonance;

_{par contre}

la troisiAme

harmonique

donne lieu h _un efset de risonance

(mais modiri,

itant donnie la

petite

valeur du coefficient de Fourier

correspondant).

Par contre, ^les

profils

de type ^I ou 5 ont _un gros coefficient de Fourier d'ordre

deux,

_ce

qui (par

la forte influence de la deuxibme

harmonique) explique

^l'iL3rt _par

rapport

au

profit

sinusoidal. Nous tenons h

rappeler

I _ce

propos que les programmes de calcul _{que nous} utilisons rdsolvent le

problbme mathdmatique

de la diffraction _{par un} rdseau de volume de manibre

ezacte,

c'est h dire _sans

approximation prdalable.

L'interaction entre la lumibre diffractde et )es

harmoniques

du rdseau est trbs _com-

plexe,

de _{sorte que}

l'explication physique

ci-dessus dolt Atre consid4rde

comme

heuristique

_en

efTet,

elle _ne

peut permettre

une dvaluation

quantitative

des efiicacitds. Par

ailleurs,

dans les thdories

approchdes

de la diffraction _par des rdseaux de

volume,

_{on ne} contr61e _pas l'influence des

harmoniques;

c'est

pourquoi

_{nous avons} 4vitd ici le _recours h _ces th40ries

approch4es

_ou

aux programmes de calcul

qui

en ddrivent.

En _ce

qui

_concerne le second

point,

_{nous nous sommes}

proposd

d'dtudier selon le

type

^de

profit:

l'efiicacitd maximale

thdorique

au

premier angle

de

Bragg

sa variation _en fonction de

l'angle

d'incidence _au

noisinage

de _ce

premier angle

de

Bragg (sdlectivitd angulaire).

On volt aisdment dans la formule de

KogeInik

_que cette eflicacitd maximale est atteinte

lorsque

le

produit dpaisseur

_x

amplitude

de modulation _{a une} certaine valeur

(voir Eq. (9)).

Mais ceci _est vrai dans

l'approximation

de

KogeInik (qui

_par ailleurs permet ^d'obtenir une for- mule trbs

simple).

Avec _une thdorie exacte, ^la corrdlation entre ni

(amplitude

de

modulation)

et d

(dpaisseur)

est

beaucoup plus complexe qu'un simple

_{ni x} d ₌ constante. Ceci

appar£t

sur la

figure 4,

ou on a

reprdsentd

_en

histogrammes

[es efficacitds maximales _en fonction du

produit

_{ni x} d. Celui-ci est, comme on le

volt,

trbs variable. Ainsi le

graphique

de la

figure

4 _met bien _en dvidence _un

aspect important

de l'influence du

profit:

it montre d'une

part (en ordonnde)

l'efficacitd maximale

thdorique qu'un profit

donna permet

d'obtenir,

et d'autre

part (en abscisse)

_pour

quelle

valeur de _{ni x} d cette efiicacitd maximale _a lieu. Le fait de

reprdsenter

l'efiicacitd

maximale,

et _non l'efficacitd _{pour une} valeur donnde de

l'amplitude

de modulation _ou de

l'dpaisseur,

permet de mettre en dvidence l'influence de la seule

forme

du

profit, inddpendamment

de _son

amplitude.

Nous _avons

jug]

utile d'dtudier

dgalement

la sdlectivitd

angulaire.

Celle-ci est

dgalement

_un

parambtre qui

_ne

ddpend

_que de la

forme

du

profit

et _non de

son

amplitude, puisque l'amplitude

est ddterminde

(pour

_une

dpaisseur

de rdseau

donnde)

_par la corrdlation

amplitude dpaisseur.

On constate alors

(voir Fig. 6)

_que les

profits

du type ^{5 donnent} une sdlectivitd

angulaire plus

forte _que les

profits

du

type

^1.

Enfin,

_{on peut} voir _que

Iorsqu'on augmente

^{le nombre}

d'harmoniques,

de

fajon

h _resserrer le

"pic"

du

profit (passage

de I-I h

1.2, 1.3, puis lA),

I'eflicacitd maximale diminue.

(une

explication qualitative peut

^{Atre la suivante:}

l'augmentation

du nombre

d'harmoniques

aurait pour effet de

disperser

la lumiAre dans des faisceaux diffractds d'ordre

plus dlevd,

_au ddtriment de l'ordre

princi pal).

Dans l'ensemble de cette

dtude,

_{nous avons} retenu des formes de

profits qui correspondent

h des

profits

effectivement rdalisables dans des couches

photosensibles

c'est _ce

qui justifie

le choix des modAles de

profits I-1, 1.2, 1.3,

lA

(sous-exposition

_non

Iiniaire)

et 5.1,

5.3,

5.5

(surexposition

_non

lindaire),

conformdment _aux travaux

prialables

du _groupe d'oxford

[22-24j.

Les modAles retenus sent bien stir des modbles iddaux

(its

ne prennent _{pas en} compte le bruit

qui

^existe dans tous )es riseaux

nets).

Les

profits

2 et 4 _sent )es "intrus" de la sdrie

(2

est trAs artificiel _et 4 irrialisable _par

exposition

de matiriau

photosensible)

mais ant itd introduits

pour

comparaison.

L'influence de la forme du

profit

de modulation est peu itudiie darts la Iittdrature alors

qu'elle

revAt _une

grande importance

dans

l'optiiuisation

des rdseaux. Nous

esp6rons

^avoir contribui h la recherche de cette influence.

Remerciements.

Nous remercions le

professeur

P.

Meyrucis,

directeur du laboratoire des

syst+mes photoniques,

E.

Soubari,

Y. Takakura et M.

Torzinski,

chercheurs _au

LSP,

_pour l'aide

qu'ils

_nous ant

prodigude

durant _ce travail.

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