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Sur la théorie de la diffraction éloignée
Jean Savornin
To cite this version:
SUR LA
THÉORIE
DE LA DIFFRACTIONÉLOIGNÉE
Par JEAN SAVORNIN
(1).
Assistant de
Physique
Générale à l’Universitéd’Alger.
Sommaire. 2014 Exposé de la théorie électromagnétique de la diffraction par le bord rectiligne d’un écran,
élaborée par Poincaré et Sommerfeld; elle suppose l’écran constitué par un métal
parfaitement
réfléchissantou parfaitement absorbant.
Un perfectionnement plus récent apporté par Raman et Krishnan permet d’introduire dans les calculs les
propriétés optiques du métal. On a appliqué cette théorie au cas d’un écran en forme de dièdre aigu
(« coin »), pour une vibration incidente polarisée rectilignement à 45° de l’arête de l’écran : la vibration diffractée est elliptique, on détermine l’azimut de son grand axe, et l’ellipticité.
Courbes représentant ces grandeurs en fonction de différentes variables : déviation du rayon diffracté,
angle d’incidence, longueur d’onde de la lumière incidente. Cette dernière étude montre de façon particu-lièrement nette l’influence des propriétés réfléchissantes de l’écran sur la lumiére diffractée.
l. Introductions C’est en i886
que Gouy a
décou-vert lephénomène
de la « diffractionéloignée
».Pla-çant
le bord trèsaigu
d’un écranmétallique
sur letra-jet
d’un faisceaulumineux,
leplan
d’incidence normalau bord de
l’écran,
il a constaté que la lumière est diffractée dans toutes les directions duplan d’incidence ;
de tous lespoints
de ceplan,
le bord de l’écran appa-raît comme uneligne
lumineuse très fine et trèsbril-lante.
De
plus,
la lumière diffractée estpolarisée;
elle est colorée si la lumière incidente estblanche,
et sacou-leur
dépend
de la nature du métalqui
constitue l’écran. Si la lumière incidente estmonochromatique
etpolari-sée
rectilignement
à 45° de l’arête del’écran,
la lu-mière diffractée estpolarisée elliptiquement,
legrand
axe de
l’ellipse
Pst incliné parrapport
à la direction devibration
primitive.
La théorie élémentaire de Fresnel
n’explique
en riences faits. Pour en rendre
compte,
de nombreux savants :Poincaré, Sommerfeld,
Epstein...,
ont tenté une étudeplus approfondie
de ladiffraction,
envisagée
dupoint
de vue de la théorieélectromagnétique.
D’autres travauxthéoriques,
moins connus,permettent
de serrerde plus
près
leproblème,
en montrant le rôle despropriétés
optiques
du métal de l’écran.Nous
indiquerons
d’abord ici la méthode et lesrésul-tats de Sommerfeld et de
Poincaré,
puis
leperfection-nement
apporté
à la théorie par Raman et Krishnan. Nous montrerons ensuite quel’application
de ce dernier mode de calcul à un écran en forme de dièdreaigu
permet
de traitercomplètement
leproblème
de ladif-fraction,
dans le cas où la vibration incidente estpola-risée
rectilignement.
2. Théorie de Sommerfeld. - Sommerfeld
consi-clère le cas d’un écran en forme de
demi-plan
infiniment mince etparfaitement
réfléchissant. La source lumi-neuse est à l’infini dans la direction faisantl’angle
(po avec leplan
de l’écran(fig. ~~
le problème
se ramène(i) Pour les références bibliographiques, cf. Jean SAvoRNiN,
C. R., 1934, 198, p. 647.
à un
problème
à deuxdimensions,
on se borne àconsi-dérer ce
qui
se passe dans unplan
normal à l’écran. Ils’agit
de trouverl’expression
de la vibration lumineuse aupoint
S de coordonnéespolaires
(~)
parrapport
à la trace Ox de l’écran._ Fi g.
i-On pourra
toujours décomposer
la vibrationinci-dente,
supposée
polarisée rectiligne ment,
en deuxcom-posantes
l’uneparallèle
(cas P),
l’autre normale(cas N)
à l’arête del’écran,
et on traiteraséparément
chacun des deuxproblèmes.
Il faut trouver une solution de
l’équation
depropa-gation
des ondesélectromagnétiques :
satisfaisant aux conditions
limitesimposées
par l’écran: àuu = 0 dans le cas
P,
0 dans le casN,
pour-0.
ôcp
La solution de Sommerfeld est de la forme :
(le signe
+
correspondant
au casN,
lesigne -
au casP).
La fonction F(r,
c~c&o)
représente
laperturbation
introduite par l’ondeincidente, F
;, -cpo)la
pertur-bation due à l’onde réfléchie sur l’écran. On a(1) :
(1) Pour éviter les confusions avec l’angle d’incidence i, nous
àésignons Ù- 1
par j.435
Voyons quelles
sont lespropriétés
de cette fonction.Lorsque
devient trèsgrand,
sicos ~
(;~
-’Po)
>0,
c’est-à-dire si 0y
Te+
q¡o(régions
1 et II de lafig.
2), l’intégrale
tend versqui représente
le train d’ondesplanes
incidentes ;
sicos 1
CCP
-1’0)
0,
c’est-à-dire’It + 1’0 tp 27t
(région
III),
l’intégrale
tend vers zéro.Fig. 2.
Dans les mêmes
conditions,
si 0q
~[ ~ ~
~oI , (r, , _ a)
tend ,(région 1),
/(r,
cp, -(po)
tend vers e L.
T,
qui représente
les ondesplanes
réfléchies
parl’écran;
quand «
-90 2x
(régions
II etIII),
F(r,
f, - tend vers zéro.Si l’on considère r comme
grand
devant?~,
mais noninfini,
onpeut
remplacer
l’intégrale
par sondéveloppe-ment en série limité au second terme.
On trouve alors dans les
régions
I et II :Dans la
région
IIT,
lepremier
terme subsiste seul. Dans larégion
1,
3 2r.:t t
et dans les
régions
II et III lepremier
terme manque.L’expression générale
du vecteurélectrique
en unpoint
sera :On voit que, outre les ondes
planes
directe et réflé-chie del’optique
géométrique,
il intervient une onde diffractéereprésentée
parl’expression
qui
s’écrit :/
2 -r, dans le cas d’un milieu La vibration lumineuse résulte de l’interférence de ces
trois sortes d’ondes.
La vibration diffractée elle-même est la
partie
réelle del’expression
ci-dessus,
c’est-à-direElle a pour
phase
les courbes
isophases sontdes
cercles centrés sur 0 : dupoint
origine
sepropagent
dans toutes les directionsdes rayons
lumineux,
comme si cepoint
était une sourcede lumière. On sait que ceci
correspond
à l’observation.L’amplitude
estproportionnelle
à/-,
trèspetite,
Vr
à cause du facteur
V7,,
et décroissant comme1 1
20132013
; l’intensité
est doncproportionnelle
à ,
l’onde
dif-v
.
r
..lractée se
présente
dansl’espace
à trois dimensions comme une ondecylindrique
ordinaire issue du bord de l’écran.L’expression (5)
permet
de montrer comment varie l’intensité des vibrations diffractéeslorsqu’on
les observe à une distance constante du bord del’écran,
dans les différentes directions duplan
d’incidence(p
variantseul).
Les intensités décroissentuniformé-ment, et très
vite,
lorsqu’on s’éloigne
dans l’ombregéométrique ;
la vibration diffractée Pparallèle
au bord de l’écran esttoujours
inférieure en intensité à la vibrationN,
ensupposant
les vibrations incidentesd’égale
amplitude.
Il en résulte engénéral,
pour de la lumière incidenterectilignement
polarisée,
une rota-tion duplan
depolarisation.
A"
Le
rapport
-p
entre
les deuxamplitudes
va cons.tamment en croissant avec
l’angle
de déviation(angle
D de lafit.
1),
il a la valeur 1lorsque
la déviation esi nulle. On a en effet :pour l’incidence normale :
Pour de
petits angles
dedéviation,
on montre aisé-ment que les résultats sont en accord avec la théorieélémentaire,
on obtient lesystème classique des franges
de Fresnel. Les écarts entre les deux théories ne de-viennentappréciables
quelorsqu’on s’éloigne
de larégion
deséparation
ombre-lumièregéométrique.
Dans le cas d’un écranI)arfailemeîît
absorbant(écran
« noir
»),
il semblequ’il
suf fise desupprimer
dansl’expression (5)
de la vibration diffractée le termequi
correspond
à la réflexion sur l’écran. 2En réalité on n’obtient ainsi
qu’une première
approxi-mation ;
les difficultésproviennent
de cequ’un
écran infiniment mince nepeut
pas êtreparfaitement
absor-bant. Leproblème
n’est même pas exactement défini aupoint
de vuemathématique ;
on est conduit àprendre
une forme de F(r,
(po)
légèrement
différente del’ex-pression (3),
cequi
donne pour résultat une diminutionplus rapide
de l’intensité diffractéelorsque
la direc-tion d’observations’éloigne
de laséparation
ombre-lumièret’).
De toutefaçon,
à cause de ladisparition
du second terme del’équation (2),
les deux cas N et P neconduisent
plus
à des résultatsdifférents,
etl~=
1.3. Théorie de Poincaré. - Poincaré a traité le cas
d’un écran en forme de colin
plein,
dont les faces ont pouréquation ?
=0, ~
=== ~r, et sontparfaitement
réfléchissantes. Le calcul a été
repiis
par Wiegrefe.
Ontrouve
l’expression
suivante pour l’onde diffractée àpartir
de l’arête :La forme est tout à fait
analogue
à celle de(~).
On remarque ici encore les deux termescorrespondant
à la lumière incidente et à la lumière réfléchie.(~) On trouvera des détails sur la question dans : Handbucla der Physik, Bd. XX, p. 286(Springer, édit., MJ2g).
Pour g
== 2 ~,
on retrouvel’expression
de Sommer-feld.La formule montre que le
long
de l’écran(~
= 0 ou p _Z),
l’intensité de la vibration diffractéeparallèle
àl’arête
(cas P)
estnulle,
la vibrationperpendiculaire (N)
gardant
une valeur finie : à de la lumière incidente naturellecorrespond
de la lumière diffractéecomplète-ment
polarisée.
Fig. 3.
Cette théorie fournit des résultats
analogues
à ceux deSommerfeld,
d’autantplus
voisins d’ailleurs quel’angle
du coin estplus
petit. Ajoutons
incidemmentqu’elle permet
de traiter defaçon
complète
leproblème
des Jeux miroirs de Fresnel.4. Théorie de Raman et Krishnan. - Ces deux auteurs ont
proposé
de tenircompte
despropriétés
optiques
de l’écranmatériel,
qui
en aucun cas ne seraparfaitement
réfléchissant ni absorbant.Si
l’amplitude
de la vibrationqui
tombe sur l’écran estprise
pourunité,
la vibration réfléchie est de la forme C+ jD,
les valeurs de Cet D résultant des lois de la réflexionmétallique.
On serapprochera
donc de la réalité enmultipliant
par le facteur C+ jD
le termequi
correspond
à la vibration réfléchie dans les expres-sions(2), (4)
ou(6).
On est ainsi conduit à écrire d’unefaçon
générale :
Les notations
CN, Cp
rappellent
que dans les cas P et N les vibrations lumineuses sontrespectivement
nor-males etparallèles
auplan
d’incidence.Raman et Krishnan ont montré que cette modifica-tion
appliquée
à la théorie deSommerefeld,
dans le cas des écrans d’acier et d’or enparticulier,
conduit aux résultats suivants :9. Si la lumière incidente est
monochromatique
etpolarisée rectilignement,
la lumière diffractée estpola-risée
elliptiquement.
Le sens de parcours del’ellipse
est inversélorsqu’on
passe de larégion
de l’ombregéométrique
à celle de la lumière. La différence dephase
entre lescomposantes
P et Naugmente
avec la déviation.2. Si l’on considère maintenant des
angles (p
et ofixes,
on trouve que lacomposante
parallèle
varie beau-coup moins avec lalongueur
d’onde que lacomposante
perpendiculaire;
en lumière incidenteblanche,
cette dernière seuleparaîtra
colorée.437
en diminuant
lorsque,
l’incidence restantfixe,
la dé-viation du rayon observéaugmente.
Et cette diminution estplus rapide
que dans le cas d’un écranparfaitement
conducteur.Ces différents
points
sonten accord avec les résultatsexpérimentaux,
enparticulier
avec les observations deGouy.
Parexemple,
la couleur de lacomposante
nor-mallequ’a
notée cet auteurcorrespond
pour les diffé-rents métaux à celle que l’on détermine en tenantcompte
des diverses valeurs de l’intensité diffractée selon lalongueur
d’onde.5. Forme de la vibration diff.8ctée. - L’étude que nous
poursuivons expérimentalement
sur la lumière diffractée nous a conduit àprésenter
les résultats de la théorie d’unefaçon
particulière.
Au lieu de considérer les intensités descomposantes
P et N et leur différence dephase,
on étudiera la forme due la vibration diffractéelorsque
la vibration incidente OV estpolarisée
recti-lignement
à 45° du bord vertical OP de l’écran.Fig. 4.
Un observateur
qui
examine la lumière diffractée dans ladirection (p
duplan
horizontal(voir fig. 4)
rap-portera
la vibrationelliptique
qu’il
recevra à deux axesrectangulaire
0’N’,
0’P’ situés dans unplan
normal à la direction d’observation(0’P’,
vertical).
Ces axes seront tels quelorsqu’on reçoit
la lumièredirecte,la
vibration incidente coïncide avec la bissectrice O’B’ del’angle
P’O’N’. Dans cesconditions,
legrand
axe del’ellipse
dans la lnmière diffractée fait unangle ?
avec0’B’,
l’ellipticité
estIf (tang.
~.~
=rapport
desdemi-axes).
La diffraction sera caractérisée par les
angles p
et’~ :
rotation pcomptée
positivement
de O’B’ versO’N’,
elli»ticité §
comptée positivement lorsque
le sens de parcours del’ellipse
est de 0’B’ vers 0’P’.Nous avons effectué les calculs
numériques
enappli-quant
la modification de Raman-Krishnan à la théorie dePoincaré-Wiegrefe.
La forme en coin serapproche
en effetdavantage
des écrans réels que ledemi-plan
d’épaisseur
nulle. Au reste, les conclusionsauxquelles
on est conduit sontanalogues
dans la théorie de Som-merfeldmodifiée, puisque
celle-ci n’estqu’un
cas par-ticulier(y
= ~7t)
de la théorie du coin.L’angle
du coin(2~
-y)
estpris égal
à valeur moyennequi
correspond
aux lames de rasoir en acier que nous utilisons dans nosexpériences.
La forme de la vibration diffractée s’obtient encomposant
les deux vibrationsrectilignes rectangulaires
NetP, projections
sur les axes de la vibration incidente OV.D’après
les formules(6), (7)
et(8),
on a :On sait
que, i
étantl’angle
d’incidence sur l’écran(compté
depuis
lanormale) :
.Nous avons calculé ces
expressions
en utilisant lesnombres
et q
définis parL’écran est
supposé
enacier,
en or ou en cuivre : ces deux derniers métaux choisis à cause de la bande de transmissionqu’ils présentent
dans lespectre
visible (1 ) .
Les constantesoptiques
sontempruntées
aux « Inter-national Critical Tables »(nombres
de Tool etTate).
A. pet (p
fonctions de la déviation D. - Nous avonssupposé
l’incidencenormale,
lalongueur
d’onde A =0,540 p.,
l’écran en acier(CN
Cp
== 0,693 -0,304j).
Lorsque
la déviation croît àpartir
de la limite deséparation
ombre-lumière(D =-=
0,
ou cD = yo q-~),
la rotation etl’ellipticité
augmentent
commel’indique
le tableau 1. La courbequi représente
p(fig. 5)
s’écarte de la droitecorrespondant
à la théoriesimple
deSommerfeld,
puis
s’enrapproche
de nouveau.Lors-qu’on
observe dans la direction de la lumière réfléchierf
+
~o =x)
la rotalion est d’unangle
droit etl’ellipti-cité est nulle.
Enfin,
pour les rayons rasants lelong
des deux faces de l’écran(~
= 0et p
o~~),
la vibrationdiffractée est la même : les rotations diffèrent de 180°,
les
ellipticités
sontidentiques.
Fig. 5. - Rotations et
ellipticités en fonction de la déviation. Incidence normale. Ecran en acier. ), = 0,540~.
.
On doit remarquer que
lorsque
la direction d’obser-vation passe par leplan
de lapremière
face de l’écran(1i ===
180°),
le sens de parcours del’ellipse change
pour l’observateurqui
reçoit
la lumièrediffractée,
puisque
l’écran
qu’il voyait
parexemple
à sadroite,
passe à sagauche.
Avec notre convention designe,
pour les axesliés à
l’écran,
lesigne
del’ellipticité
nechange
pas. Pour une incidenceoblique,
les résultats seraient tout à faitanalogues,
lescourbes p
et
coupant
tou-D
jours
les droitesd’équation
p =D,
‘ 0lorsque
ladirection du rayon diffracté coïncide avec celle des rayons réfléchis ou celle des rayons incidents
prolon-gés.
Les valeursangulaires
relatives de l’ombre et de la lumièregéométriques
seraient naturellementchan-gées.
B. p
et ~
fonctions de l’incidence i. - Nous avons choisi une déviation fixe de 200 dansl’ombre,et
fait varierl’angle
Les résultats sont notés dans le tableau II et lafigure
6,
pour un coin en acier de 16° et À =0,~~0
u.Les rotations et les
ellipticités
sont minimalorsque
les rayons incident et diffracté sontsymétriques
parrap-port
à la lame ?0=== _ [)(2013ic2013D]
(voir fig.
7).
Lors-qu’on
s’écarte de cetteposition, p
et ~
augmentent
àmesure que l’un des rayons incident ou diffracté se
rapproche
de la surface del’écran ;
ces résultats valent d’ailleursquelle
que soit la théorie que l’onapplique,
seules les valeurs des minima varient.C. p
et ~
fonctions de lalongueur
d’onde. - Le tableau III donne les valeursde p
et ~
obtenues dans le439
tion de
~0°,
dans l’ombregéométrique.
L’écran esttoujours supposé
en forme de coin de’Je;.
Fig. 6. - Rotations et
ellipticités en fonction de l’incidence.
Déviation 20- ombre. Ecran en acier. ?, = 0,540~.
Fig. 7.
TABLEAU II.
La
figure
8 montre les courbescorrespondantes;
quelle
que soitl’incidence,
leur allure restesemblable,
les variations sont seulementplus
accuséeslorsque
l’incidence devient deplus
enplus oblique;
en mêmetemps
les valeurs moyennes de pet §
augmentent
comme le montre la
figure
6.Fig. 8. - Rotations et ellipticités en fonction
de la longueur d’onde Incidence 13~~. Déviation : 20~ ombre.
TABLEAU III.
L’effet des bandes de transmission
apparaît
un
maximum,
les rotations unpoint
d’inflexion(1).
On remarquel’analogie qu’offrent
ces résultats avec ceuxqui
caractérisent la traversée par une vibrationrectiligne
d’une substance absorbante douée dedisper-sion rotatoire et de dichroïsme circulaire
(effet Cotton);
mais,
dans le cas de ladiffraction,
l’azimut de la vibra-tion incidente n’est naturellement pas arbitraire.6. Conclusion. - La théorie
électromagnétique
interprète
doncqualitativement
les résultats deGouy
sur lapolarisation
de la lumière diffractée et l’influence de la nature du métal de l’écran.Il ne faut pas oublier
pourtant
que les écrans réels sont loin deposséder
une formeparfaitement
géomé-trique,
et que, si bienaiguisée
que soitl’arête,
elle doitprésenter
un arrondiplus
ou moinsprononcé.
A cetégard,
la méthode des coordonnéescurvilignes,
qui
apermis
àEpstein
de traiter leproblème
pour un écran en forme decylindre
parabolique,
paraîtrait
plus
séduisante.Malheureusement,
elle conduit à des(1)
Les rotations p présentent une allure de variation tout àfait analogue à celle du pouvoir réflecteur du métal sous l’inci-dence normale. Si ce pouvoir réflecteur diminue, la rotation doit diminuer aussi; c’est ce que nous avons montré expéri-meatalement en noircissant chimiquement un écran sans
émousser son arête (C. 11., 1934, 199, p. 941).
solutions
qui
ne seprêtent
aux calculsnumériques
que dans des cas trèsparticuliers;
et,
même dans ces cas,l’expression
mathématique
ne laisse pasapparaître
lapart qui
revient à laréflexion,
de sorte que l’on nepeut
luiappliquer
l’idée de Raman et Krishnan. Le rôle quejoue
la forme de l’arête est bien mis en évidence par le fait que la vibration diffractée est altéréelorsqu’on
émousselégèrement
le tranchant :l’expérience
montre que les variationsde p
et~.~ gardent
la mêmeallure,
mais les valeurs absolues sontchangées.
Aussi ne doit-on pasespérer
un accordquantitatif
entre les courbesexpérimentales
et celles queprévoit
la théorie.Une comparaison
s’impose néanmoins;
pourpouvoir
l’effectuer,
nous avons construit unpolari-mètre-ellipsométre
spécial
destiné à l’étude de la lu-mière diffractée. Les mesures sepoursuivent;
nous pouvons dès àprésent indiquer
que dans le cas de l’or et de l’acier les résultats sont en accord avec la théorie en cequi
concerne les rotations etellipticités.
Ce travail est effectué au Laboratoire de
Physique
Générale l’Université
