M1 EADM Lyon 1
Géométrie plane
Qu’est – ce - que la géométrie ?
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géo – métrie mesure de la terre
C’est la partie des mathématiques qui a pour objet l’étude de situations, d’organisations et
de relations de notre espace sensible.
géométrie
Des savoirs organisés en théories, dont certaines ont des origines très anciennes (Euclide vers -
300)
Des objets : points, droites, segments, triangles, quadrilatères, cercles, polyèdres, angles, . . .
Des relations : l’appartenance, l’alignement, le parallélisme, la perpendicularité, les
transformations (symétrie, agrandissement / réduction, . . .), . . .
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Des problèmes
Exemples
Un problème de mesure
Dans une pièce « rectangulaire » on
souhaite tendre un fil entre deux sommets opposés du plafond de cette pièce.
Comment déterminer la longueur du fil ?
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Trois modes de résolution
Résolution "pratique", avec un fil et un escabeau…
Résolution "pratique", sur le papier, avec modélisation des objets
(pièce = rectangle, ficelle = droite et règle pour mesurer)
Résolution plus mathématique, avec mesurage et utilisation de propriétés issues de la théorie
géométrique (théorème de Pythagore)
Un problème de construction
Tracer un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 9 cm et 4 cm.
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Deux modes de résolution
Résolution pratique : dessin du triangle à l’aide du compas et constat :
Les arcs de cercle sont tangents, le triangle est plat.
Les arcs de cercles sont sécants, je trace le triangle, il existe bien.
Résolution mathématique :
7 cm + 4 cm = 11 cm, on est dans le cas d’égalité de l’inégalité triangulaire, le triangle est donc plat.
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Un problème d’identification
Exercice:
Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ?
A B
D C
F E
H
G
- ABCD est un carré - AE = BF = CG = DH
Trois modes de résolution
Résolution perceptive : si je tourne la feuille, je vois bien que c’est un carré
Résolution pratico-mathématique : mesurage des côtés et des angles, utilisation des propriétés géométriques du carré
Résolution mathématique : raisonnement (démonstration)
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Différentes démarches pour résoudre un problème
Résolution pratique : elle met en œuvre la perception et des actions et des compétences purement spatiales
Résolution pratique qui s’appuie sur des
modélisations de l’espace qui nous entoure et qui utilise des propriétés du modèle théorique
(pratico-mathématique)
Résolution par un raisonnement théorique mathématique (démonstration)
Les problématiques
Berthelot et Salin
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« Où » est posé le problème ? Et « où » se valide la solution ?
Dans l’espace sensible :
L’espace qui nous entoure
L’espace de la feuille de papier
L’écran de l’ordinateur
Ou bien c’est un problème interne
à la théorie
Sur quels objets ?
Des objets de la vie courante
Des « objets graphiques »
représentations d’objets de la vie courante
dessins (géométriques)
représentations d’objets théoriques (« figures »)
Des « objets » théoriques = des concepts
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Dessin et figure
Dessin : un objet du monde sensible, objet graphique sur la feuille de papier, dont les
propriété peuvent être vérifiées par l’utilisation des instruments
Figure : une représentation graphique d’un objet idéal, d’un concept géométrique, dont les
propriétés sont établies par déduction.
Avec quelles connaissances ?
Connaissances spatiales :
elles permettent à chacun de contrôler ses rapports à l’espace par la perception
Connaissances géométriques : elles sont associées à des définitions et
propriétés géométriques utilisées explicitement ou implicitement
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Les niveaux de géométrie
Houdement et Kuzniak
Intuition
Fournit au sujet:
- Une théorie première basée sur un lot d’évidences
- Un socle pour le raisonnement
Est une source de découvertes.
Peut être vue comme un ensemble de strates qui se superposent et font oublier les premières
intuitions.
Non stable, évolue grâce aux expériences.
Exemple : « par 2 points distincts, il passe une seule droite »
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Expérience
Est non immédiate, action physique ou mentale nécessaire.
Lieu: espace mesurable.
Outil: perception, instruments.
Exemple: «la somme des angles intérieurs d’un triangle est un angle plat»
SommeAnglesTriangle.ggb
Déduction
Permet d’atteindre de nouvelles informations à partir de celles déjà acquises sans recours à l’expérience.
Fondée sur le raisonnement.
Permet de réorganiser les apports de l’expérience.
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Exemple: la somme des angles d’un triangle
On trace la parallèle à [AC] passant par B, puis on utilise les angles alternes – internes.
Liens entre Intuition, Expérience, Déduction
Expérience Intuition
nourrit
structure
« La déduction avance mais ne voit pas.
L’intuition voit mais n’avance pas. »
1) 2)
3)
Évidence renseignement issue de l’intuition # issu de l’expérience Résultat d’une expérience # conclusion d’un raisonnement26
Géométrie naturelle (ou géométrie I)
La déduction s’exerce sur des objets matériels.
Preuve dynamique et mécanique.
Importance de la construction et la perception (pliage, superposition).
Source de validation: monde réel, sensible.
Présence des 3 pôles: intuition, expérience, déduction.
(ou la confusion entre la géométrie et la réalité)
Géométrie axiomatique naturelle (ou géométrie II)
Géométrie comme schéma de la réalité.
Importance de la déduction logique et de la démonstration au sein d’un système axiomatique précis.
Présence des 3 pôles.
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Géométrie axiomatique formelle (ou géométrie III)
Indépendance entre la géométrie et la réalité
L’axiomatisation vise à être complète
Vision algébrique de la géométrie
Elle a émergé avec la naissance des géométries non – euclidiennes
Comparaison des Géométries
Géométrie I Géométrie II Géométrie III
Intuition Sensible et
perceptive Liée aux figures Interne aux mathématiques Expérience Liée à l’espace
mesurable
Schéma de la
réalité De type logique
Déduction
Proche du réel et liée à l’expérience par la vue
Démonstration basée sur des axiomes
Démonstration basée sur des axiomes
Type d’espace
Espace intuitif et physique
Espace physico- géométrique
Espace abstrait euclidien
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La géométrie de l'école au collège
C1 et C2
Géométrie de la perception
Est vrai ce qui est "vu" comme tel
Boîte à outils : l’œil
Fin C2 et C3 et 6ème
Géométrie instrumentée
Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments
Boîte à outils : instruments
Collège (à partir de fin 5ème)
Dans les programmes
6ème 5ème
4ème
- expérience, intuition
- construction, reconnaissance - dessin/objet matériel
- raisonnement, déduction - démonstration
- dessin/outil-représentant
Géométrie pratique Géométrie théorique
Dualité
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Dans les programmes
Classe de 6ème Classe de 5ème Classe de 4ème
Consolider « une première expérience des figures et des solides en passant d’une reconnaissance perceptive à une
connaissance prenant appui sur quelques propriétés vérifiées à l’aide d’instruments »
Prendre appui sur des figures dessinées, parfois à main levée.
Expérimenter,
conjecturer, justifier.
Entretenir la pratique des constructions géométriques et des raisonnements sous –
Elaboration, rédaction d’une démonstration.
Initier les élèves à la démonstration.
La géométrie au collège:
difficile transition de la géométrie I à la géométrie II
• Les élèves arrivant au collège naviguent dans leur espace de travail attaché à la géométrie I
•L’espace de travail attendu par les enseignants de collège est celui de la géométrie II
• Malentendus, puis rupture en 4ème.
•A qui est confiée la phase de transition ?
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