Corrigé Partiel M1 EADM
Exercice 1 (3 points)
- Le savoir mathématique s’acquiert en faisant résoudre des problèmes (« privilégier l’activité de l’élève ») et pas seulement par un exposé du cours.
- Dialectique outil/objet/outil. Un problème est donné : les élèves essaient de le résoudre avec leurs connaissances anciennes qui peuvent être insuffisantes. Ils doivent donc les adapter, les transformer. Le nouveau savoir devient un objet, puis de nouveau un outil pour d’autres problèmes.
- Les problèmes peuvent intervenir en introduction, pour faire découvrir une notion, pour justifier de son utilité, ou en réinvestissement pour s’entraîner, pour créer de nouveaux automatismes.
Exercice 2 (4,5 points : 3 1,5)
Anatole : pour multiplier par 100, il multiplie la partie entière et la partie décimale considérées chacune comme un entier : il ajoute donc deux zéros. Il considère donc le nombre décimal comme un couple de nombres entiers. Il utilise une règle qui s’applique aux entiers sur les décimaux.
Ludovic : ne tient pas compte des virgules. Pour faire la soustraction, il procède comme si les nombres étaient entiers (alignement à droite). Il met en œuvre l’algorithme de la soustraction de deux nombres entiers. Le résultat est écrit avec une virgule qui laisse trois chiffres après la virgule (comme pour une multiplication). On peut dire qu’il conçoit le nombre décimal comme un nombre entier : la virgule ne joue pas de rôle fondamental dans la signification des chiffres.
Dominique : Il conçoit le nombre décimal comme un couple de nombre entiers. Pour faire la soustraction, il calcule la différence des parties décimales puis celles des parties entières.
Exercice 3 (3 points : 2 1,5)
1 - Les élèves imaginent que chaque nombre décimal a un nombre successeur.
Erreur : après 3,4 il y a 3,5 ou bien il n’y a pas de nombre décimal entre 3,4 et 3,5.
2 – Des conceptions sur les entiers vers les décimaux (une réponse au choix)
- la multiplication de deux entiers (autre que 0 et 1) donne un produit plus grand (3 × 2 = 6)
Ce n’est pas vrai avec les décimaux : 0,25 × 4 = 1. Ceci peut conduire les élèves à gérer la virgule de façon à obtenir un produit plus grand (par exemple 2,1 × 0,23 = 4,83 au lieu de 0,483)
- Le plus grand nombre entier est celui qui a le plus grand nombre de chiffres, ce qui peut conduire par exemple, de façon duale, à dire que le nombre décimal le plus petit est celui qui a le plus grand
nombre de chiffres après la virgule.
- La multiplication par 10, c’est ajouter un zéro, ce qui conduit l’élève à écrire : 3,14 × 10 = 3,140 ou 30,14 (cette seconde erreur est aussi liée à la conception des nombres décimaux comme couple d’entiers).
Exercice 4 (3 points : 2 1,5)
1. Cet exercice est proposé pour mettre en défaut une entrée perceptive de la géométrie (la Géométrie de niveau I). On a l’impression que le triangle STU est rectangle. Le manuel donne une figure à main levée afin que l’élève ne puisse développer une résolution de la question 2, soit de manière perceptive, soit à l’aide des instruments de dessin (équerre).
Le programme de cinquième dit d’ailleurs que les « travaux de géométrie des élèves prennent toujours appui sur des figures dessinées, suivant les cas, à main levée, à l’aide des instruments de dessin … »
2. La première question de l’exercice oblige l’élève à utiliser la règle et l’équerre, et donc de le faire entrer dans une démarche de géométrie instrumentée, ce que justement l’énoncé voulait éviter.
La construction de la figure en vraie grandeur va replonger les élèves dans l’espace de travail de la géométrie I, alors que la résolution attendue devrait se faire dans la Géométrie II.
Exercice 5 (3,5 points : 1,5 + 2)
Rappel : un octogone est régulier si et seulement si il est inscriptible avec tous ses côtés de même mesure.
Le premier élève utilise le compas pour vérifier que les huit côtés de l’octogone ont même mesure. Puis il trace quatre segments bien choisis, et il place leur point d’intersection O. Il trace ensuite le cercle de centre O passant par un point de l’octogone, et il vérifie visuellement que tous les points de l’octogone sont bien sur ce cercle.
Sa démarche est correcte : il utilise la caractérisation d’un polygone régulier avec l’égalité de tous les côtés et la cocyclicité de tous les points de l’octogone.
Sa conclusion n’est pas celle attendue : il dit que l’octogone est inscriptible, mais il ne dit pas s’il est régulier.
Pour les deux volets de son raisonnement, il se place dans une géométrie de niveau I. En effet, il constate l’égalité des mesures des segments avec le compas, puis il constate perceptivement que les huit points donnés sont sur le cercle qu’il vient de tracer.
Ses erreurs sont donc liées à une résolution de l’exercice dans l’espace de travail de la Géométrie I, et non dans celui (attendu) de la Géométrie II.
Le second élève énonce tout d’abord une propriété fausse « un octogone est régulier si ses côtés sont égaux ». Puis il applique cette propriété en utilisant les mesures des longueurs de plusieurs segments : il dit que [AH] et [BC] ont pour mesure 7 carreaux, ce qui est vrai, et c’est d’ailleurs la seule façon que l’on a avec cet énoncé pour prendre cette information.
Ensuite, il veut utiliser la même méthode pour les mesures de [AB] et [DC], mais cette fois – ci, il ne peut pas compter le nombre de carreaux, ce qui fait qu’il compte les carreaux séparant A de B dans le « sens horizontal ».
Sa conclusion est correcte, car il a tenu compte du fait que les côtés de l’octogone n’ont pas la même longueur.
Il ne met pas en place ici un calcul utilisant la géométrie déductive, c’est – à – dire l’utilisation du théorème de Pythagore, alors qu’il avait bien recueilli les deux informations nécessaires à son utilisation (les longueurs en carreaux de deux côtés d’un triangle rectangle). Cet élève est lui aussi dans le cadre d’une géométrie perceptive.
Remarque : la résolution correcte de cet exercice nécessite la prise de deux informations sur la figure, c’est – à – dire la longueur en carreaux de deux segments. Puis on attend en troisième qu’un élève mette en place le théorème de Pythagore. Cet exercice recèle donc une ambiguïté entre l’utilisation nécessaire de la figure, puis un détachement de l’élève vis-à-vis de ce qu’il
« voit » sur la figure.
De plus, quatre côtés de l’octogone mesurent 7 carreaux, et un calcul montre que les quatre côtés ont une mesure en carreaux égale à 50, soit environ 7,07 à 10-2 près, ce qui permet de valider ici la démarche déductive.
Exercice 6 (3 points : 2 1,5)
1. Construction de ab
On remarque que :
a b a = 1
b .
On construit deux demi - droites du plan sécantes en O, notées d et d’.
On construit au compas sur d le point I tel que OI = 1 et le point B sur d tel que OB = b.
On construit au compas le point A sur d’ tel que OA = a.
Soit M le point de d’ tel que OM = a b .
L’égalité
a b a = 1
b s’écrit alors OM OA = OI
OB.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, la droite (IM) est parallèle à la droite (AB), donc le point M est le point d’intersection de la parallèle à (AB) passant par I.
Le segment [OM] a pour longueur a b .
Cette construction peut être proposée en classe de troisième, car elle utilise la réciproque du théorème de Thalès, notion abordée en troisième.
Remarque : on peut aussi placer d’abord les points A, B, I, puis tracer la parallèle à (AB) passant par I, et constater, par le théorème de Thalès (direct) que celle – ci coupe (OA) en un point M tel que OM = a
b. La construction peut alors être proposée en quatrième.
2. Construction de a
On construit le segment [BH] de longueur a, puis le segment [HC] de longueur 1 tel que H appartienne au segment [BC]. On construit ensuite la perpendiculaire en N à (BC), puis un point A de cette perpendiculaire tel que le triangle ABC soit rectangle en A.
Si on note AB = c, AC = b et AH = h, le théorème de Pythagore appliqué aux triangles rectangles ABC, ABH et ACH donne :
(a + 1)2 = b2 + c2 ; b2 = a2 + h2 ; c2 = h2 + 1.
On en déduit : a2 + 2a + 1 = a2 + h2 + h2 + 1, soit a = h2, et h = a.
Le segment [AH] a donc pour longueur a.
Cette construction peut être proposée en classe de quatrième, car elle nécessite deux résultats importants de géométrie de cette classe : le théorème de Pythagore et le théorème de
caractérisation d’un triangle rectangle par son inscription dans un demi – cercle dont le diamètre est un côté du triangle.
