M1 MEEF Maths Lyon 1 2014-2015
Géométrie plane
Une confusion commune
Des problèmes
Exemples
Un problème de mesure
Dans une pièce « rectangulaire » on
souhaite tendre un fil entre deux sommets opposés du plafond de cette pièce.
Comment déterminer la longueur du fil ?
Trois modes de résolution
Résolution "pratique", avec un fil et un escabeau…
Résolution "pratique", sur le papier, avec modélisation des objets
(pièce = rectangle, ficelle = droite et règle pour mesurer)
Résolution plus mathématique, avec mesurage et utilisation de propriétés issues de la théorie
géométrique (théorème de Pythagore)
Un problème de construction
Tracer un triangle dont les côtés
mesurent 5 cm, 9 cm et 4 cm.
Deux modes de résolution
Résolution pratique : dessin du triangle à l’aide du compas et constat :
Les arcs de cercle sont tangents, le triangle est plat.
Les arcs de cercles sont sécants, je trace le triangle, il existe bien.
Résolution mathématique :
7 cm + 4 cm = 11 cm, on est dans le cas d’égalité de
l’inégalité triangulaire, le triangle est donc plat.
Un problème d’identification
Exercice
Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ?
- ABCD est un carré - AE = BF = CG = DH
Trois modes de résolution
Résolution perceptive : si je tourne la feuille, je
vois bien que c’est un carré
Résolution pratico-mathématique : mesurage
des côtés et des angles, utilisation des propriétés géométriques du carré
Résolution mathématique : raisonnement
(démonstration)
Différentes démarches pour résoudre un problème
Résolution pratique : elle met en œuvre la perception et des actions et des compétences purement spatiales
Résolution pratique qui s’appuie sur des
modélisations de l’espace qui nous entoure et qui utilise des propriétés du modèle théorique
(pratico-mathématique)
Résolution par un raisonnement théorique
mathématique (démonstration)
Les problématiques
« Où » est posé le problème ? Et « où » se valide la solution ?
Dans l’espace sensible :
L’espace qui nous entoure
L’espace de la feuille de papier
L’écran de l’ordinateur
Ou bien c’est un problème interne
à la théorie
Sur quels objets ?
Des objets de la vie courante
Des « objets graphiques »
représentations d’objets de la vie courante
dessins (géométriques)
représentations d’objets théoriques (« figures »)
Des « objets » théoriques : des concepts
Dessin et figure
Dessin : un objet du monde sensible, objet graphique sur la feuille de papier, dont les
propriété peuvent être vérifiées par l’utilisation des instruments
Figure : une représentation graphique d’un objet idéal, d’un concept géométrique, dont les
propriétés sont établies par déduction.
Avec quelles connaissances ?
Connaissances spatiales :
elles permettent à chacun de contrôler ses rapports à l’espace par la perception
Connaissances géométriques : elles sont associées à des définitions et
propriétés géométriques utilisées
explicitement ou implicitement
Les niveaux de géométrie
Houdement et Kuzniak
Intuition
Fournit au sujet:
- Une théorie première basée sur un lot d’évidences
- Un socle pour le raisonnement
Est une source de découvertes.
Peut être vue comme un ensemble de strates qui se superposent et font oublier les premières
intuitions.
Non stable, évolue grâce aux expériences.
Expérience
Est non immédiate, action physique ou mentale nécessaire.
Lieu: espace mesurable.
Outil: perception, instruments.
Exemple: «la somme des angles intérieurs d’un triangle est un angle plat»
SommeAnglesTriangle.ggb
Déduction
Permet d’atteindre de nouvelles informations à partir de celles déjà acquises sans recours à l’expérience.
Fondée sur le raisonnement.
Permet de réorganiser les apports de
l’expérience.
Exemple: la somme des angles d’un triangle
On trace la parallèle à [AC] passant par B, puis on utilise les angles alternes – internes.
Liens entre Intuition, Expérience, Déduction
Expérience Intuition
nourrit
structure
« La déduction avance mais ne voit pas.
L’intuition voit mais n’avance pas. »
1)
2)
Gonseth illustre le lien entre ces trois aspects par cette affirmation :
« être géomètre c'est ne pas confondre une évidence issue de l'intuition avec un
renseignement issu de l'expérience et le
résultat d'une expérience avec la conclusion
d'un raisonnement ».
Paradigme
Ensemble des croyances, des techniques et des valeurs que partage un groupe
scientifique, mais aussi des exemples
particulièrement significatifs auxquels on
peut se référer .
Catherine HOUDEMENT et Alain KUZNIAK ont créé trois paradigmes géométriques:
La géométrie naturelle
La géométrie axiomatique naturelle
La géométrie axiomatique formaliste
Dans chaque paradigme se retrouvent les trois aspects : intuition, expérience, déduction.
Géométrie naturelle (ou géométrie I)
La déduction s’exerce sur des objets matériels.
Preuve dynamique et mécanique.
Importance de la construction et la perception (pliage, superposition).
Source de validation: monde réel, sensible.
Présence des 3 pôles: intuition, expérience, déduction.
(ou la confusion entre la géométrie et la réalité)
Géométrie axiomatique naturelle (ou géométrie II)
Géométrie comme schéma de la réalité.
Importance de la déduction logique et de la démonstration au sein d’un système axiomatique précis.
Présence des trois pôles.
Géométrie axiomatique formaliste (ou géométrie III)
Indépendance entre la géométrie et la réalité
L’axiomatisation vise à être complète
Vision algébrique de la géométrie
Elle a émergé avec la naissance des géométries non – euclidiennes
Comparaison des Géométries
Géométrie I Géométrie II Géométrie III
Intuition Sensible et
perceptive Liée aux figures Interne aux mathématiques Expérience Liée à l’espace
mesurable
Schéma de la
réalité De type logique
Déduction
Proche du réel et liée à l’expérience par la vue
Démonstration basée sur des axiomes
Démonstration basée sur des axiomes
La géométrie de l'école au collège
C1 et C2
Géométrie de la perception
Est vrai ce qui est "vu" comme tel
Boîte à outils : l’œil
Fin C2 et C3 et 6ème
Géométrie instrumentée
Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments
Boîte à outils : instruments
Collège (à partir de fin 5ème)
ABCD est un carré de 7 cm de côté.
Le cercle est de centre B et de rayon 4 cm.
Quelle est la longueur du segment [BH] ?
Calcule la longueur du segment [HC].
Explique ton raisonnement.
Un exercice posé en sixième
Des réponses d’élèves
Elève 1 : c’est que le B n’est pas au centre et pas de rayon BH.
Comme c’est fait à la main levée, le centre B est mal fait et le
rayon aussi est mal fait ; il faut faire au compas, c’est plus pratique.
Elève 2 : (pour la valeur BH) Elle fait 3,2 cm. J’ai mesuré avec la règle graduée. HC mesure 1,9 cm et j’ai aussi mesuré à la règle graduée. Mais on ne peut pas mesurer.
Elève 3 : 2,5. J’ai mesuré avec la règle graduée et j’ai trouvé 2,5.
(pour BH).
Elève 4 : la longueur est de 4 cm parce que H est dans le rayon BH et que la mesure du rayon est de 4 cm. La longueur de HC est 2 cm puisque c’est la moitié.
Elève 5 : l’élève fait au propre la construction et mesure les segments puis trouve HC = 3,1 cm.
Dans les programmes
6ème 5ème
4ème
- expérience, intuition
- construction, reconnaissance - dessin/objet matériel
- raisonnement, déduction - démonstration
- dessin/outil-représentant
Géométrie pratique Géométrie théorique
Dualité
Dans les programmes
Classe de 6ème Classe de 5ème Classe de 4ème
Consolider « une première expérience des figures et des solides en passant d’une reconnaissance perceptive à une
connaissance prenant appui sur quelques propriétés vérifiées à l’aide d’instruments »
Prendre appui sur des figures dessinées, parfois à main levée.
Expérimenter,
conjecturer, justifier.
Entretenir la pratique des constructions géométriques et des
Elaboration, rédaction d’une démonstration.
Initier les élèves à la démonstration.
La géométrie au collège:
difficile transition de la géométrie I à la géométrie II
•
Les élèves arrivant au collège naviguent dans leur espace de travail attaché à la géométrie I
•L’espace de travail attendu par les enseignants de collège est celui de la géométrie II
• Malentendus, puis rupture en 4
ème.
•A qui est confiée la phase de transition ?
LA GEOMETRIE A L'ECOLE PRIMAIRE : une forme inachevée de la géométrie I
Le professeur doit comprendre la difficulté et accompagner l'élève dans son apprentissage.
Les élèves et le maître travaillent tous deux dans un espace de travail dépendant du même
paradigme géométrique : la Géométrie I.
La figure aura un statut de validation, la
perception sera très présente et permettra
Programmes
Ecole primaire
CYCLE 1
Dessiner un rond, un carré, un triangle
CYCLE 2
Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d’orientation et de repérage.
Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes.
Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures planes.
Ils utilisent un vocabulaire spécifique.
Reconnaître un triangle;
Décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un triangle rectangle;
Utilisation de la règle, de l’équerre, du gabarit d’angle droit;
Percevoir et reconnaître: alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs
Mesurer des segments, des distances.
Utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer des longueurs
Exemples (évaluation CE2 2006):
- construire un rectangle Exercices\CE2 2006 rectangle.pdf - reconnaître un alignement Exercices\CE2 2006
alignement.pdf
- Reconnaître un angle droit Exercices\CE2 2006 angle droit.pdf
-Tracer un segment Exercices\CE2 2006 segment.pdf
CYCLE 3
L’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer
progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure.
Les relations et propriétés géométriques :
alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment.
L’utilisation d’instruments et de techniques : règle, équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé, pliage.
Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le
cercle .
Description, reproduction, construction.
Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales;
Périmètre d’un polygone;
Formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle.
Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles ;
Formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle.
Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de l’équerre ; angle droit, aigu, obtus.
Exemples (évaluations CM2 2009 et 2010):
Exercices\Eval CM2 reconna perp - parall.pdf
Exercices\Eval CM2 recon carré.pdf
Exercices\Eval CM2 tracer - reproduire.pdf
COLLEGE
Passer de l’identification perceptive (la reconnaissance par la
vue) de figures et de configurations à leur caractérisation par des propriétés (passage du dessin à la figure) ;
Isoler dans une configuration les éléments à prendre en compte pour répondre à une question ;
Découvrir quelques transformations géométriques simples : symétries : symétries axiales et centrales ;
Se constituer un premier répertoire de théorèmes et apprendre à les utiliser.
Connaître et utiliser les périmètres, aires des figures planes
