Géométrie plane : les
niveaux de géométrie
Quelques « règles » trouvées dans des manuels de collège
• « Une constatation ou des mesures sur un dessin ne suffisent pas pour prouver qu’un énoncé de géométrie est vrai » (Triangle, 5ème).
• « L’utilisation des instruments permet seulement de se faire une idée, plus ou
moins juste, de certaines propriétés d’une figure » (Cinq sur Cinq, 4ème).
Une « confusion » commune
Tracer à la règle et au compas un
triangle T dont les longueurs des
côtés mesurent en cm : 3, 5 et 7.
Est – ce un triangle rectangle ?
Justifier.
Dans les programmes
6ème 5ème 4ème
- expérience, intuition
- construction, reconnaissance - dessin/objet matériel
- raisonnement, déduction - démonstration
- dessin/outil-représentant
Géométrie pratique Géométrie théorique
Dualité
Dans les programmes
Classe de 6ème Classe de 5ème Classe de 4ème
Consolider « une première expérience des figures et des solides en passant d’une reconnaissance perceptive à une
connaissance prenant appui sur quelques propriétés vérifiées à l’aide d’instruments »
Prendre appui sur des figures dessinées, parfois à main levée.
Expérimenter,
conjecturer, justifier.
Entretenir la pratique des constructions géométriques et des raisonnements sous – jacents qu’elles
mobilisent..
Elaboration, rédaction d’une démonstration.
Initier les élèves à la démonstration.
Exemple
Exercice:
Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ?
A B
D C
F E
H
G - ABCD est un carré
- AE = BF = CG = DH
Exemples
• Tracer un triangle dont les côtés mesurent 12 cm, 7 cm et 3 cm.
• Tracer un triangle dont les côtés mesurent et 11cm, 4cm et 7cm.
• Tracer un triangle dont les côtés mesurent et 4cm, 7cm et 11cm.
Les trois géométries
Intuition
• Fournit au sujet:
- Une théorie première basée sur un lot d’évidences
- Un socle pour le raisonnement
• Est une source de découvertes.
• Peut être vue comme un ensemble de strates qui se superposent et font oublier les premières
intuitions.
• Non stable, évolue grâce aux expériences.
• Exemple : « par 2 points distincts, il passe une seule droite »
Expérience
• Est non immédiate, action physique ou mentale nécessaire.
• Lieu: espace mesurable.
• Outil: perception, instruments.
• Ex: «la somme des angles intérieurs d’un triangle est un angle plat»
Déduction
• Permet d’atteindre de nouvelles
informations à partir de celles déjà acquises sans recours à l’expérience.
• Fondée sur le raisonnement.
• Permet de réorganiser les apports de l’expérience.
Liens entre Intuition, Expérience, Déduction
Expérience Intuition
nourrit
structure
« La déduction avance mais ne voit pas.
L’intuition voit mais n’avance pas. »
1) 2)
3)
Évidence renseignement issue de l’intuition # issu de l’expérienceRésultat d’une expérience # conclusion d’un raisonnement
Géométrie naturelle (ou géométrie I)
• La déduction s’exerce sur des objets matériels.
• Preuve dynamique et mécanique.
• Importance de la construction et la perception (pliage, superposition).
• Source de validation: monde réel, sensible.
• Présence des 3 pôles: intuition, expérience, déduction.
(ou la confusion entre la géométrie et la réalité)
Géométrie axiomatique naturelle (ou géométrie II)
• Géométrie comme schéma de la réalité.
• Importance de la déduction logique et de la démonstration au sein d’un système
axiomatique précis.
• Présence des 3 pôles.
Géométrie axiomatique formelle (ou géométrie III)
• Indépendance entre la géométrie et la réalité
• L’axiomatisation vise à être complète
• Vision algébrique de la géométrie
• Elle a émergé avec la naissance des géométries non – euclidiennes
Comparaison des Géométries
Géométrie I Géométrie II Géométrie III
Intuition Sensible et
perceptive Liée aux figures Interne aux mathématiques Expérience Liée à l’espace
mesurable
Schéma de la
réalité De type logique
Déduction
Proche du réel et liée à l’expérience par la vue
Démonstration basée sur des axiomes
Démonstration basée sur des axiomes
Type d’espace
Espace intuitif et physique
Espace physico- géométrique
Espace abstrait euclidien
