CPBx
Cycle Préparatoire de Bordeaux
ELEMENTS D'ANALYSE , PROBABILITES ET STATISTIQUES
A L'USAGE DES ETUDIANTS DE L'U.E. 4TBX401U
Fascicule d'Exercices et Annales
TABLE DES MATIERES
Page
- CALCUL INTEGRAL -
-I- INTEGRALE SUR UN INTERVALLE [a , b] -
-1) Aux origines de l'intégrale . ... 3
-2) Calcul pratique d'intégrales sur des intervalles fermés [a , b] . ... 3
-II- INTEGRALE IMPROPRES DITES "GENERALISEES" - ... 4
- VARIABLES ALEATOIRES - COUPLES DE V.A. A DENSITE -
-I- VARIABLES ALEATOIRES REELLES A DENSITE - ... 5- II - COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES REELLES A DENSITE- ... 5
-III- QUELQUES LOIS DE PROBABILITE A DENSITE CLASSIQUES - ... 6
- TABLES RELATIVES A LA
N
(0 , 1) - ... 8-IV- SOMME DE DEUX V.A. A DENSITE INDEPENDANTES - ... 9
-V- QUELQUES THEOREMES DE CONVERGENCE - ... 9
- RAPPELS ET COMPLEMENTS DE STATISTIQUE -
-I- STATISTIQUE DESCRIPTIVE - -1) Statistique univariée . ... 11-2) Statistique bivariée . ... 12
- II - L'ESTIMATION DE PARAMETRES – ... 13
-III- QUELQUES TESTS D'HYPOTHESE - -1) Tests de comparaison d'une moyenne ou d'une probabilité à une valeur donnée . ... 14
-2) Le test du X² de conformité . ... 15
- TABLES DE STUDENT, DE L'ECART REDUIT DE LA
N
(0 , 1) ET DU X² - ... 16 - ANNALES -- DS du 15 Avril 2013 - Examen du 28 Mai 2013
...
...
19 20 - DS du 07 Avril 2014
- Examen du 27 Mai 2014
...
...
22 24 - DS du 16 Avril 2015
- Examen du 27 Mai 2015
...
...
25 26 - DS du 14 Mars 2016
- Examen du 27 Mai 2016
...
...
29 30 - DS du 16 Avril 2017
- Examen du 27 Mai 2017
...
...
32 34
- CALCUL INTEGRAL - EXERCICES -
-I- INTEGRALE SUR UN INTERVALLE [a , b] - -1) Aux origines de l'intégrale .
- Exercice 1 : Calculer lim
n S n en s’aidant d’une intégrale , dans chacun des trois cas suivants : -1) S n = 1
n 2
k = 1 n
(k - 2n)
e
kn -2) S n =
k = 1 n
n
n 2 + k 2 -3) S n = 1 n 2
k = 1 n
k (n - k) - Exercice 2 :
On considère la fonction : f : IR IR . x
e x si x] , 0]x.ln(x) si x] 0 , 1]
1
1+x² si x]1 , +[
Calculer
3
1
f (x) dx .
- Exercice 3 : f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a , b] . g est à valeurs > 0 . -1) Quelle est la nature de l’image J de [a , b] par f ? Encadrer l’intégrale
b
a
f (x) g(x) dx .
-2) En considérant la fonction définie sur J par (X) = X .
b
a
g (x) dx ,
montrer que
J ,
b
a
f (x) g(x) dx =
b
a
g (x) dx .
-3) Montrer que c [a , b] ,
b
a
f (x) g(x) dx = f (c)
b
a
g (x) dx . « 1er théorème de la moyenne ».
-4) En déduire que la valeur moyenne de f sur l’intervalle [a , b] est atteinte par f en au moins un c de [a , b].
-2) Calcul pratique d'intégrales sur des intervalles fermés [a , b] . - Exercice 1 : Calculer les intégrales
-1
-3 2
2t + 3 dt et
21+ 2 2
4t 2 4 2.t + 1 dt .
- Exercice 2 : Calculer
1
0
( t 2 3t + 1 ).e 2 t dt ;
1
0
( t 2 t 1 ).e t dt ;
4
0
e t . cos(4t) dt ;
2
0
e- t . sin(2t) dt
-Exercice 3 : Calculer les intégrales
2
0
sin 3(t) dt ;
4
0
sin 4(t) dt ;
2
0
sin 3(t).cos 2(t) dt .
-Exercice 4 : Calculer les intégrales
1
0
1
t 2 t 2 dt ;
3
1
3t t 3 1 3t 2 dt ;
0
-1
2t
t 3 1 dt ;
1
0
1 (1+t 2)2 dt Pour la dernière, partir d'un calcul par I.P.P. de l'intégrale de 1/(1+t2) .
-II- INTEGRALE IMPROPRES DITES "GENERALISEES" -
- Exercice 1 - Pour chacune des intégrales ci-dessous examiner si elle est grossièrement divergente et si elle ne l'est pas, montrer qu'elle converge.
I 1 =
0
-
t e -t dt ; I 2 =
+
0
e
tt dt ; I 3 =
+
1 (1 + 1
t) t dt ; I 4 =
+
-
t e t 2 dt .
- Exercice 2 - Montrer que
+
0 ln(t)
1 + t 2 dt converge et qu'elle est nulle . On pourra comparer les intégrales sur ]0 , 1] et sur [1 , +[ .
- Exercice 3 - Existence et calcul de
1
0 ln(t)
(1 + t) 2 dt puis de
+
1 ln(t)
(1 + t) 2 dt .
- Exercice 4 - Existence et calcul de
+
1 1
t 1 + t 2 dt (on pourra poser u = 1 + t 2 ) . - Exercice 5 - Pour tout entier naturel n , on pose I n =
e
0
(ln(t)) n dt . Calculer I 0 .
Montrer que I 1 existe et la calculer .
Montrer que nIN , I n existe et exprimer I n+1 en fonction de I n .
- Exercice 6 -Montrer que
+
0 sin(t)
t dt est "semi-convergente", c'est-à-dire convergente mais pas "absolument convergente", au sens où
+
0 sin(t)
t dt diverge.
(utiliser la minoration 0 sin 2(t)
t sin(t) t ) .
- VARIABLES ALEATOIRES ET COUPLES DE V. A. A DENSITE -
- I - VARIABLES ALEATOIRES REELLES A DENSITE-
- Exercice 1 - On considère une variable aléatoire X à valeurs dans IR et dont la densité f est définie en fonction d'un paramètre réel a par f(x) = a.e- 2 x si x 0 et f(x) = 0 si x < 0 . -1) Calculer la valeur de a . Calculer P (X [-2 , 4]) . Calculer E(X) .
-2) Définir la fonction de répartition F de X . Utiliser F pour calculer P (X [-2 , 4]) et P (X 2) puis P(X [-2 , 4] X 2) . Vérifier le résultat du cours concernant lim
x + F(x) . - Exercice 2 - X est une v.a.r. de densité f : x c
1+x² où c est un paramètre réel.
-1) Calculer la valeur de c . -2) -a- Calculer P(X[-1 , 1]) .
-b- Définir explicitement la fonction de répartition de X et l'utiliser pour retrouver P(X[-1 , 1]).
-c- Calculer P(1+2X 3) puis P(X²[1/4 ; 1]) .
-3) Définir explicitement les fonctions de répartition de Y = 1 + 2X et de Z = X².
Retrouver les résultats du -2) -c- puis calculer des expressions de densités de Y et de Z .
- Exercice 3 - On considère une variable aléatoire X à valeurs dans IR et dont la densité f est définie en fonction d'un paramètre réel a par f(x) = a
x2 si x 1 et f(x) = 0 si x < 1 . -1) Calculer la valeur de a . Calculer P (X [-2 , 4]) .
-2) L'espérance mathématique E(X) existe-t-elle ?.
- Exercice 4 - On définit l'application f par f(x) = x + 1 si x k et f(x) = 0 sinon.
-1) Déterminer k pour que f soit densité de probabilité d'une variable X, puis calculer E(X).
-2) Définir explicitement la fonction de répartition de X . En déduire la valeur de P(X[0 , 1]).
-3) On pose Y = X² . Déterminer explicitement densité et espérance de Y.
-4) Calculer la variance de X.
- II - COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES REELLES A DENSITE - - Exercice 1 - Le vecteur aléatoire (X,Y) à valeurs dans IR , a pour densité conjointe 2
ceci pour T = {(x , y) IR / 0 x 1 et 0 y x} et k réel. 2
f : IR IR (x , y) kxy si (x , y)T
0 sinon -1) Calculer la valeur de k .
-2) Calculer les densités marginales de X et de Y . X et Y sont-elles indépendantes ? Pour X comme pour Y, calculer espérance et variance.
-3) Calculer la covariance et le coefficient de corrélation linéaire du couple (X , Y) . -4) Calculer P(Y[1/2 , 1]) puis P(X²+Y² 1)
-5) Définir explicitement la densité conditionnelle du couple (X , Y) sachant que Y[1/2 , 1] . En déduire la probabilité P(X²+Y² 1 Y[1/2 , 1]).
- Exercice 2 - Le vecteur aléatoire (X , Y), à valeurs dans RI 2 , a pour densité conjointe f : (x , y) a.
e
x 2 y 2 . -1) Calculer la valeur de a .-2) Calculer les probabilités des événements "X 2 + Y 2 1" , "X 2 + Y 2= 1" , "1 X 2 + Y 2 4" . -3) Définir les lois marginales de X et Y . X et Y sont-elles indépendantes ?.
-4) Calculer E(X), E(Y) et E(XY). En déduire la covariance du couple (X , Y)
- Exercice 3 - X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi uniforme
U
([0 , a]), c'est-à-dire de densité constante sur [0 , a] et nulle en dehors de cet intervalle.Déterminer la fonction de répartition de Z = 1
2.(X + Y) . En déduire une densité de Z . - Exercice 4 - X 1 , X 2 , … , X n sont n variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes , de même
espérance et de même écart-type . -1) On définit X n
= 1 n i = 1 n
X i . Calculer son espérance , sa variance et l'espérance de X n
2 .-2) On définit S 2 = 1 n
i = 1 n
(X i X n
) 2 . Calculer son espérance .- III - QUELQUES LOIS DE PROBABILITE CLASSIQUES A DENSITE - - Exercice 1 - La variable aléatoire U suit une loi uniforme
U
([a , b])-1) Définir la fonction de répartition de X = e U . En déduire une densité de X . -2) Y = e 2U . Déterminer une densité de Y .
-3) Calculer les espérances de X et de Y . En déduire la variance de X .
- Exercice 2 - Loi exponentielle
E
()a et étant des réels positifs , on considère la variable X de densité f : RI I + R x a e x si x 0
0 sinon
-1) Calculer a en fonction de .
-2) Calculer l'espérance et la variance de X .
-3) (p , q)IR*, , calculer P(X pX q) selon la position relative de p et q . +
-4) (p , q)IR*, , comparer P(X > p+qX > p) et P(X > q) . Interpréter. +
- Exercice 3 - Utilisation des tables de la fonction de répartition de la
N
(0 , 1)-1) La variable aléatoire X suit une loi
N
(2 ; 0,01) . -a- Calculer P (X > 2,24) .-b- Calculer P (X < 2,24) .
-c- Déterminer tel que P(X > ) = 0,3192 .
-2) X est une variable aléatoire suivant une loi
N
( , ²) .Calculer et sachant que : P (X 3,3) = 0,9893 et P (X > 2) = 0,1587 .
-3) Sur un échantillon de 1000 hommes, on a observé que 66 % avaient une taille supérieure à 1,80m.
et 95 % avaient une taille inférieure à 1,90 m.
Quelle est la taille moyenne des hommes de cet échantillon ? Quel est l'écart-type ? Que peut-on en déduire pour la population masculine de cette région ?
Quelle est la probabilité qu'un homme choisi au hasard dépasse 2 mètres si la taille des hommes est normalement distribuée ?
- Exercice 4 - Un spéléologue désireux d'assurer l'éclairage des prises de vues qu'il envisage de réaliser sous terre , a sélectionné deux types d'accumulateurs : A et B .
Les durées en minutes de l'éclairement qu'elles assurent, sont données respectivement par deux variables aléatoires X et Y qui suivent respectivement des lois
N
( 20 , 48 ) etN
( 30 , 64 ) .Une seule batterie est utilisée à la fois . Lorsqu'une batterie est déchargée , on la remplace par une autre . On notera Z la variable aléatoire qui donne la durée totale d'éclairement rendue possible par l'ensemble des batteries emportées .
-1) On choisit d'emporter a batteries A et b batteries B . Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de Z .
La variable aléatoire Z suit-elle une loi de probabilité connue ?
-2) Quelle est la combinaison qui rend le plus probable le fait d'assurer l' éclairement pendant au moins deux heures : 3 batteries A + 1 batterie B ou 3 batteries B sans batterie A ?
- TABLES -
Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
N
(0 , 1)La table donne les valeurs de (x) en fonction de x pour x 0
Exemple : (1,96) = 0,97500 lu à l'intersection de la ligne 1,9 et de la colonne 0,06 .
x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586 0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535 0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409 0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173 0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793 0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240 0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490 0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524 0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327 0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891 1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214 1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298 1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147 1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91308 0,91466 0,91621 0,91774 1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189 1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408 1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449 1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327 1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062 1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670 2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169 2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574 2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899 2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158 2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361 2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520 2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643 2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736 2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807 2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983
Table de l'écart réduit de la
N
(0,1) :La table donne pour la probabilité , la valeur de t telle que P(-t Z t) = = 1.
Valeur de = 0,6000 0,7000 0,8000 0,9000 0,9500 0,9750 0,9900 0,9950 0,9990 0,9995 Loi N(0 , 1) : 0,8416 1,0364 1,2816 1,6449 1,9600 2,2414 2,5758 2,8070 3,2906 3,4808
___________________________________________
- IV – SOMME DE DEUX VARIABLES A DENSITE INDEPENDANTES -
- Exercice 1 - Déterminer une densité de la variable Z = X + Y lorsque X et Y sont indépendantes,
X suit une
U
([0 , 2]) et Y uneU
([1 , 3]).- Exercice 2 - Déterminer une densité de la variable Z = X + Y lorsque X et Y sont indépendantes,
X suit une
U
([0 , 2]) et Y uneE
() .- V – QUELQUES THEOREMES DE CONVERGENCE -
- Exercice 1 - Pour tout entier n de NI * , on considère la variable aléatoire X n qui suit la loi uniforme discrète sur l'ensemble fini {0 , 1
n , 2
n , … , n1
n , 1} , ce qui signifie qu'elle prend pour valeurs chacun des n+1 éléments de {0 , 1
n , 2
n , … , n1
n , 1} avec la même probabilité 1 n+1 . Montrer que la suite (X n) nNI * ainsi définie converge en loi vers une variable X qui suit une loi uniforme à densité :
U
([0 , 1]) .- Exercice 2 - La variable aléatoire X a pour densité f : RI I + R t 0 si t ] , 1[ ]1 , +[
1 + t si t [-1 , 0[
1 t si t[0 , 1]
.
Pour n entier > 0 , on note Y n= X 1 2 n + 1
(définition étendue au cas de valeurs négatives de X car 2n+1 impair) . -1) Déterminer une densité de Y n .
-2) Montrer que (Y n) nNI converge en loi vers une variable discrète Y qu'on déterminera . -3) Montrer que (Y n) nNI ne converge pas en probabilité vers Y .
- Exercice 3 - (X n) nNI * est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes .
Chaque variable X n suit une loi de Bernoulli
B
(1 ,p
n) où (p
n ) nNI * est une suite de réels de ]0 , 1[ . -1) Montrer que RI *+ , limn P ( 1 n
k = 1 n
X k 1 n
k = 1 n
p
k < ) = 1 . -2) Dans le cas particulier où nNI *,p
n= 12 n montrer que la suite de variables aléatoires (Y n) nNI * de terme général Y n = 1
n
k = 1 n
X k converge en probabilité vers une variable aléatoire constante .
- Exercice 4 - -1) On jette 3 fois de suite une pièce de monnaie non équilibrée pour laquelle P (Face) = 1 4 .
La variable aléatoire S 3 donne à la suite de ce triple jet de la pièce , le nombre de "Face" obtenus . Donner la loi de probabilité de S 3 , son espérance et sa variance .
-2) On jette maintenant n fois cette pièce et on s'intéresse à la variable F n= 1
n S n prenant pour valeur la fréquence d'apparition de "Face" en n jets . (On suppose n "grand" , c'est à dire 30) . -a- Déterminer une valeur à donner à n pour que P ( 20% < F n < 30% ) > 0,95 .
(L'utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev pourra s'avérer utile) .
-b- Déterminer la valeur minimale à donner à n pour que P ( 20% < F n < 30% ) > 0,95 . (L'utilisation du Théorème Central Limite pourra s'avérer utile)
- Exercice 5 - Dans une entreprise, la probabilité journalière d'accident du travail est constante.
Elle est égale à p = 0,002 pour chaque journée.
La variable F n donne la fréquence de survenue d'un accident du travail sur n journées analysées.
-1) Calculer l'espérance et la variance de F 49 .
-2) Evaluer la probabilité de l'événement " F 49 E (F 49) > 0,01 " .
-3) Sur quel nombre n de journées (supposé > 50) suffit-il de faire porter l'analyse pour que P ( F n E (F n) > 0,01 ) 0,25 ?
- RAPPELS ET COMPLEMENTS DE STATISTIQUE -
-I- STATISTIQUE DESCRIPTIVE - -1) Statistique univariée .
- Exercice 1 - On effectue une étude sur la toxicité d'une drogue sur une population de rats.
La variable statistique X donne pour chaque rat la dose minimale en millilitres, entrainant la mort du sujet.
X est supposée admettre à l'échelle de l'ensemble des rats de l'espèce étudiée, une moyenne et une variance ² . Sur un échantillon de n = 300 rats, on a obtenu les valeurs xi de X , chacune prise par un nombre ni de rats .
xi 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 sommes
ni 14 21 58 73 64 41 16 13 300
E.C.C.
xi.ni 49 84 261 365 352 246 104 91 1552
xi².ni 171,5 336 1174,5 1825 1936 1476 676 637 8232
Calculer les caractéristiques de cette série statistique, c'est-à-dire :
- caractéristiques de position : valeurs minimale et maximale, d1 , q1 , mé , q3 , d9 , mode(s) et moyenne . - caractéristiques de dispersion : étendue, interquartile, variance et écart-type .
- Exercice 2 - 100 étudiants ont effectué un test dont les notes ont été regroupées dans le tableau suivant : Notes [0 ; 6[ [6 ; 8[ [8 ; 10[ [10 ; 12[ [12 ; 14[ [14 ;20]
Centres xi 3 7 9 11 13 17
Effectifs ni 5 12 28 35 16 4
E.C.C.
On précise que
n = 1 6
xi.ni = 1012 et
n =1 6
xi².ni = 10996 . Calculer les caractéristiques de cette série statistique.
- Exercice 3 - Un sondage effectué sur un ensemble de 80 automobilistes , portant sur la dépense mensuelle en €, relative à la consommation de carburant de leur véhicule a donné les résultats suivants :
Dépense mensuelle (en €) [20 ;80[ [80 ; 100[ [100 ; 120[ [120 ; 140[ [140 ; 160[ [160 ; 200[ [200 ; 400[
Nombre d’automobilistes 7 15 26 14 10 5 3
E.C.C.
On précise que
n = 1 7
xi.ni = 9680 et
n =1 7
xi².ni = 1347200 Calculer les caractéristiques de cette série statistique.
-2) Statistique bivariée .
- Exercice 1 - On étudie l’évolution du chiffre d’affaires d'un laboratoire d'analyses médicales.
Celui-ci (variable Y), exprimé en milliers d’€ , selon le rang de l'année considérée (variable X) est détaillé dans le tableau suivant :
2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Rang xi 1 2 3 4 5 6 7 8
C.A. yi 400 432 472 508 552 596 640 652
-1) On précise,
8 1
i 36
i
x
, 8 21 i 204
i
x
, 81
4 252
i i
y
, 8 21
2 322 096
i i
y
, et 81
20 744
i i
i
x y
-a- Calculer la covariance Cov(X , Y) et les variances V(X) et V(Y) de X et Y .arrondi au millième . -b- Déterminer une équation de la droite de régression (ou d'ajustement par moindres carrés) de Yen X . -2) On précise que :
x = 4.5 ln(x) = 1.32558 y = 531.50000 ln(y) = 6.26158 x = 2.29129 ln(x) = 0.65797 y = 88.14619 ln(y) = 0.16923 x,y = 201.2500 ln(x),y = 55.41905 x,ln(y) = 0.38551 ln(x),ln(y) = 0.10819 Quel est le meilleur ajustement par moindres carrés, à retenir , entre l'ajustement linéaire , l'ajustement logarithmique, exponentiel ou de puissance ? Donner l'expression de Y en fonction de X , retenue.
-3) Quel chiffre d’affaires, en milliers d'euros, peut-on prévoir pour 2017 ?
-4) A partir de quelle année peut-on prévoir un chiffre d’affaires supérieur à 1 million d’euros ?
- Exercice 2 - Ci-dessous sont détaillées les dépenses de consommation des ménages en France en milliards d'euros dans le secteur automobile pour les 12 trimestres allant du 1er trimestre 2014 au 4ème trimestre 2016 .
(valeurs corrigées des variations saisonnières)
N° trimestre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Dépense trimestrielle 13,0 13,3 13,3 13,7 13,7 13,7 13,9 13,9 14,0 14,3 13,9 14,0 On notera X la variable "dépense trimestrielle" et T la variable "numéro du trimestre" pour cette série statistique qualifiée de "série chronologique".
On précise que :
t = 6.5 ln(t) = 1.66560 x = 13.72500 ln(x) = 2.61889 t = 3.45205 ln(t) = 0.72366 x = 0.34911 ln(x) = 0.02563 t,x = 1.07083 ln(t),x = 0.23787 t,ln(x) = 0.07859 ln(t),ln(x) = 0.01752 -1) Lequel des ajustements linéaires de X en T (dit "linéaire") ou de X en ln(T) (dit "logarithmique") ou de ln(X) en T (dit "exponentiel") ou de ln(X) en ln(T) (dit "de puissance") est-il le meilleur ? (On comparera les valeurs de leurs coefficients de corrélation linéaire)
-2) Exprimer X en fonction de T par le meilleur ajustement .
En déduire les prévisions de dépenses trimestrielles (CVS) des ménages dans le secteur de l'automobile pour chacun des trimestres de 2017 telles qu'elles pouvaient résulter de l'observation des résultats précédents.
-II- L'ESTIMATION DE PARAMETRES - - Exercice 1 -
Sur un échantillon de taille n = 100 , on a mesuré les valeurs d’un caractère X dont on sait que (X) = 2,52 . On obtient par le calcul x_
= 6,75 et on veut estimer la moyenne de X pour la population entière.
Donner les intervalles de confiance de aux niveaux de confiance 0,95 puis 0,99 .
- Exercice 2 -
On sait qu’une variable statistique X a pour écart type = 2 et on veut estimer sa moyenne à 0,2 près, au niveau de confiance 0,95.
Quelle est la taille minimum à donner à un échantillon pour obtenir ce résultat ?
- Exercice 3 -
On veut estimer la moyenne d’une variable normale X à l’aide d’un échantillon de 100 tirages indépendants.
Sachant que la variance sur l’échantillon observé est s 2 = 9,12 et que la moyenne x_
sur l'échantillon est 8 , estimer la moyenne de X au moyen d’un intervalle de confiance au niveau 0,95.
- Exercice 4 -
L'étude d'un caractère X sur un échantillon d’effectif 37 donne pour moyenne 13,5 et pour écart type 1,3.
Estimer au niveau de confiance 95 % la moyenne de X sur la population dont provient cet échantillon.
- Exercice 5 -
Une étude portant sur 50 voitures d'un même modèle indique une consommation moyenne de 8,5 litres aux 100 km avec un écart-type égal à 0,7 litre.
-1) Donner une estimation ponctuelle de la moyenne et de l'écart-type de la consommation de carburant de ce modèle , valable pour l' ensemble de la fabrication .
-2) En déduire un intervalle de confiance de la consommation moyenne au niveau de confiance 95 %.
- Exercice 6 -
On procède à des sondages avant le deuxième tour d’une élection entre les deux candidats restant A et B.
L’institut de sondage détermine deux échantillons de la population des électeurs s’exprimant pour l’un ou l’autre des candidats. Pour chaque échantillon on demande à chaque personne son choix.
-1) Pour le premier échantillon, sur 240 personnes s’exprimant, 123 on choisit le candidat A.
-a- Donner une estimation f1 du pourcentage d’électeur pA voulant voter pour le candidat A.
-b- Déterminer, dans ce cas, un intervalle de confiance I1 de pA au risque de 5 %.
-c- Quelle prévision dans ce cas peut-on faire « au risque de 5 % » sur le résultat de l’élection ? -2) Pour le deuxième échantillon sur 9250 personnes s’exprimant, 4736 on choisit le candidat A.
-a- Donner une estimation f2 du pourcentage d’électeur pA voulant voter pour le candidat A.
-b- Déterminer, dans ce cas, l’ intervalle de confiance I2 de pA au risque de 5 %.
-c- Quelle prévision, dans ce cas, peut-on faire « au risque de 5 % » sur le résultat de l’élection ?
-III- QUELQUES TESTS D'HYPOTHESES -
-1) Tests de comparaison d'une moyenne ou d'une probabilité p à une valeur donnée . - Exercice 1 -
Une entreprise spécialisée dans le commerce du café conditionne celui-ci en paquets dits " de 250 g."
La machine utilisée pour remplir les paquets distribue dans chacun d'eux une quantité aléatoire de café supposée suivre une loi Normale d'écart-type 5 g. et dont la moyenne peut être en théorie fixée par le conditionneur.
Pour satisfaire sa clientèle , celui-ci a réglé l'appareil sur 255 g.
-1) Soucieux d'éprouver la précision de sa machine , il a ensuite décidé de tester l'hypothèse nulle "La machine est précise" ( la quantité moyenne de café par paquet est exactement 255 g.)
contre l'hypothèse alternative "La machine n'est pas précise " ( la quantité moyenne par paquet est 255 g.) . Quel test d'hypothèse adapté à un échantillon de 50 paquets a pu répondre à son attente ?
(examiner le problème aux niveaux de signification de 1 % , 5 % et 10 % ).
L'enquête alors effectuée sur un échantillon de 50 paquets a fourni une moyenne de 249 g.
-2) Une organisation de consommateurs informée de ces résultats décide de tester l'Hypothèse
Ho "Un paquet contient en moyenne 250 g." contre l'alternative "Un paquet contient moins de 250 g." . Construire le test correspondant et conclure aux niveaux 5% et 10 % .
- Exercice 2 -
Dans une population humaine, la proportion des individus ayant le groupe sanguin O est égale à 45 %.
L'étude d'un échantillon de 965 personnes, a permis d'y dénombrer 471 individus ayant le groupe sanguin O.
Au seuil (ou niveau) de signification de 5 %, cet échantillon est-il conforme à la population ?
- Exercice 3 -
-1) Un gérant de supermarché désire observer la distribution des montants des achats effectués par ses clients . Il prélève un échantillon de 50 factures émises par ses caisses sur l’ensemble d’une semaine .
Il observe une moyenne de 28 € et un écart-type de 16,5 € .
Quelles estimations ponctuelles peut-il faire du montant moyen des achats de ses clients ainsi que de l’ écart-type correspondant ?
-2) Il décide de rénover la présentation de l’ensemble de sa surface de vente pour la rendre plus attractive . Dans la semaine qui suit la réouverture au public , il examine un nouvel échantillon de 50 factures prises au hasard et observe une moyenne d’achats de 33,60 € pour un écart-type identique au précédent . Le montant moyen des achats de ses clients a-t-il significativement varié ?
Ce montant a-t-il significativement augmenté ?
- Exercice 4 -
Les responsables d'une entreprise, soucieux d'analyser la qualité de la production ont prélevé à la sortie d'un atelier un échantillon de 1500 pièces dont 18 se sont avérées défectueuses . L'objectif des dirigeants étant d'atteindre une perfection de 99% , le taux de pièces défectueuses ainsi prélevées est-il significativement excessif ?
On testera l'hypothèse de conformité à la norme de 1% de défectuosité , aux niveaux de signification 1 % , 5 % puis 10 % .
-2) – Le test du ___de conformité2 (ou adéquation):
- Exercice 1 -
-1) Une variable aléatoire X suit une loi normale
N
( 5 , 4 ).On note I1 = ] -
, 3 ] ; I2 = ] 3 , 5 ] ; I3 = ] 5 , 7 ] et I4 = ] 7,+
[ .Calculer P( x Ik ) pour chacun de ces quatre intervalles.
-2) On étudie les valeurs d'un paramètre économique Y sur une population de plus de 10000 individus . L'observation d'un échantillon de 100 individus a fourni la répartition suivante:
Classes ]-
, 3 ] ] 3 , 5 ] ] 5 , 7 ] ] 7 , +
[Effectifs 10 38 31 21
Peut-on rejeter au niveau de signification 5% l'hypothèse selon laquelle Y suit une loi normale
N
( 5 ,4) ?.- Exercice 2 -
Dans le but d'analyser la fréquence hebdomadaire des accidents du travail dans une entreprise du B.T.P. , on a recensé sur 100 semaines le nombre d’accidents survenus à un panel de 1000 ouvriers .
(On considèrera qu'un même ouvrier ne peut avoir plus d'un accident du travail par semaine)
Nombre d'accidents 0 1 2 3 4
Nombre de semaines 38 36 17 6 3
-1) Quel est le caractère X étudié ? Quels sont les "individus" , quelle est l'échantillon étudié ? Calculer la moyenne et la variance de cette distribution.
-2) On considère que pendant une quelconque semaine pour chacun des 1000 ouvriers, la probabilité d'avoir un accident du travail, est une constante p 0,01.
Quelle loi de probabilité théorique la variable X : [ semaine nombre d'accidents dans la semaine ] suit-elle ? Est-il logique que la distribution asymétrique de la variable X sur un échantillon de 100 semaines,
évoque une distribution de Poisson ? Si c'est le cas, quel en est le paramètre ? Retrouver grâce à une estimation, la valeur de p correspondante .
-3) Vérifier l'hypothèse selon laquelle X suit une
P
() , au moyen du test du 2 aux niveaux de signification 1 % , 5 % puis 10 % .___________________________________________________
Tables du T de Student et de l'écart réduit de la
N
(0,1) :La densité du T de Student à degrés de liberté se représente par une courbe
"en cloche" qui ressemble à celle de la densité de la
N
(0,1) mais plus évasée.Son écart-type diminue de 3 lorsque vers 1 lorsque + .
proba - t probabilité t proba
La table donne pour un nombre de d.d.l. spécifié et une probabilité , la valeur de t telle que P(-t T t ) = = 1 .
La ligne inférieure donne pour la probabilité , la valeur de z telle que P(-z Z z) = = 1.
Valeur de = 0,6000 0,7000 0,8000 0,9000 0,9500 0,9750 0,9900 0,9950 0,9990 0,9995
Nombre d.d.l.
1 1,3764 1,9626 3,0777 6,3137 12,706 25,452 63,656 127,32 636,58 1273,2 2 1,0607 1,3862 1,8856 2,9200 4,3027 6,2054 9,9250 14,089 31,600 44,703 3 0,9785 1,2498 1,6377 2,3534 3,1824 4,1765 5,8408 7,4532 12,924 16,326 4 0,9410 1,1896 1,5332 2,1318 2,7765 3,4954 4,6041 5,5975 8,6101 10,305 5 0,9195 1,1558 1,4759 2,0150 2,5706 3,1634 4,0321 4,7733 6,8685 7,9756 6 0,9057 1,1342 1,4398 1,9432 2,4469 2,9687 3,7074 4,3168 5,9587 6,7882 7 0,8960 1,1192 1,4149 1,8946 2,3646 2,8412 3,4995 4,0294 5,4081 6,0815 8 0,8889 1,1081 1,3968 1,8595 2,3060 2,7515 3,3554 3,8325 5,0414 5,6170 9 0,8834 1,0997 1,3830 1,8331 2,2622 2,6850 3,2498 3,6896 4,7809 5,2911 10 0,8791 1,0931 1,3722 1,8125 2,2281 2,6338 3,1693 3,5814 4,5868 5,0489 11 0,8755 1,0877 1,3634 1,7959 2,2010 2,5931 3,1058 3,4966 4,4369 4,8633 12 0,8726 1,0832 1,3562 1,7823 2,1788 2,5600 3,0545 3,4284 4,3178 4,7166 13 0,8702 1,0795 1,3502 1,7709 2,1604 2,5326 3,0123 3,3725 4,2209 4,5972 14 0,8681 1,0763 1,3450 1,7613 2,1448 2,5096 2,9768 3,3257 4,1403 4,4995 15 0,8662 1,0735 1,3406 1,7531 2,1315 2,4899 2,9467 3,2860 4,0728 4,4168 16 0,8647 1,0711 1,3368 1,7459 2,1199 2,4729 2,9208 3,2520 4,0149 4,3464 17 0,8633 1,0690 1,3334 1,7396 2,1098 2,4581 2,8982 3,2224 3,9651 4,2858 18 0,8620 1,0672 1,3304 1,7341 2,1009 2,4450 2,8784 3,1966 3,9217 4,2332 19 0,8610 1,0655 1,3277 1,7291 2,0930 2,4334 2,8609 3,1737 3,8833 4,1869 20 0,8600 1,0640 1,3253 1,7247 2,0860 2,4231 2,8453 3,1534 3,8496 4,1461 21 0,8591 1,0627 1,3232 1,7207 2,0796 2,4138 2,8314 3,1352 3,8193 4,1095 22 0,8583 1,0614 1,3212 1,7171 2,0739 2,4055 2,8188 3,1188 3,7922 4,0769 23 0,8575 1,0603 1,3195 1,7139 2,0687 2,3979 2,8073 3,1040 3,7676 4,0475 24 0,8569 1,0593 1,3178 1,7109 2,0639 2,3910 2,7970 3,0905 3,7454 4,0207 25 0,8562 1,0584 1,3163 1,7081 2,0595 2,3846 2,7874 3,0782 3,7251 3,9965 26 0,8557 1,0575 1,3150 1,7056 2,0555 2,3788 2,7787 3,0669 3,7067 3,9744 27 0,8551 1,0567 1,3137 1,7033 2,0518 2,3734 2,7707 3,0565 3,6895 3,9540 28 0,8546 1,0560 1,3125 1,7011 2,0484 2,3685 2,7633 3,0470 3,6739 3,9348 29 0,8542 1,0553 1,3114 1,6991 2,0452 2,3638 2,7564 3,0380 3,6595 3,9177 30 0,8538 1,0547 1,3104 1,6973 2,0423 2,3596 2,7500 3,0298 3,6460 3,9017 31 0,8534 1,0541 1,3095 1,6955 2,0395 2,3556 2,7440 3,0221 3,6335 3,8865 32 0,8530 1,0535 1,3086 1,6939 2,0369 2,3518 2,7385 3,0149 3,6218 3,8728 33 0,8526 1,0530 1,3077 1,6924 2,0345 2,3483 2,7333 3,0082 3,6109 3,8597 34 0,8523 1,0525 1,3070 1,6909 2,0322 2,3451 2,7284 3,0020 3,6007 3,8475 35 0,8520 1,0520 1,3062 1,6896 2,0301 2,3420 2,7238 2,9961 3,5911 3,8362
36 0,8517 1,0516 1,3055 1,6883 2,0281 2,3391 2,7195 2,9905 3,5821 3,8254 37 0,8514 1,0512 1,3049 1,6871 2,0262 2,3363 2,7154 2,9853 3,5737 3,8155 38 0,8512 1,0508 1,3042 1,6860 2,0244 2,3337 2,7116 2,9803 3,5657 3,8059 39 0,8509 1,0504 1,3036 1,6849 2,0227 2,3313 2,7079 2,9756 3,5581 3,7969 40 0,8507 1,0500 1,3031 1,6839 2,0211 2,3289 2,7045 2,9712 3,5510 3,7884 41 0,8505 1,0497 1,3025 1,6829 2,0195 2,3267 2,7012 2,9670 3,5442 3,7803 42 0,8503 1,0494 1,3020 1,6820 2,0181 2,3246 2,6981 2,9630 3,5377 3,7727 43 0,8501 1,0491 1,3016 1,6811 2,0167 2,3226 2,6951 2,9592 3,5316 3,7654 44 0,8499 1,0488 1,3011 1,6802 2,0154 2,3207 2,6923 2,9555 3,5258 3,7585 45 0,8497 1,0485 1,3006 1,6794 2,0141 2,3189 2,6896 2,9521 3,5203 3,7519 46 0,8495 1,0483 1,3002 1,6787 2,0129 2,3172 2,6870 2,9488 3,5150 3,7456 47 0,8493 1,0480 1,2998 1,6779 2,0117 2,3155 2,6846 2,9456 3,5099 3,7396 48 0,8492 1,0478 1,2994 1,6772 2,0106 2,3139 2,6822 2,9426 3,5051 3,7339 49 0,8490 1,0475 1,2991 1,6766 2,0096 2,3124 2,6800 2,9397 3,5004 3,7284 50 0,8489 1,0473 1,2987 1,6759 2,0086 2,3109 2,6778 2,9370 3,4960 3,7231 60 0,8477 1,0455 1,2958 1,6706 2,0003 2,2990 2,6603 2,9146 3,4602 3,6807 70 0,8468 1,0442 1,2938 1,6669 1,9944 2,2906 2,6479 2,8987 3,4350 3,6509 80 0,8461 1,0432 1,2922 1,6641 1,9901 2,2844 2,6387 2,8870 3,4163 3,6288 90 0,8456 1,0424 1,2910 1,6620 1,9867 2,2795 2,6316 2,8779 3,4019 3,6118 100 0,8452 1,0418 1,2901 1,6602 1,9840 2,2757 2,6259 2,8707 3,3905 3,5983 1000 0,8420 1,0370 1,2824 1,6464 1,9623 2,2448 2,5808 2,8133 3,3003 3,4922 10000 0,8417 1,0365 1,2816 1,6450 1,9602 2,2417 2,5763 2,8077 3,2915 3,4819 Loi
N
(0 , 1) : 0,8416 1,0364 1,2816 1,6449 1,9600 2,2414 2,5758 2,8070 3,2906 3,4808 Table dite "de l'écart réduit"Table du chi deux inverse La table donne la valeur critique , telle que P( 2 > , ) =
\ 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005
1 0,4549 0,7083 1,0742 1,6424 2,7055 3,8415 5,0239 6,6349 7,8794 10,8274 12,1153 2 1,3863 1,8326 2,4079 3,2189 4,6052 5,9915 7,3778 9,2104 10,5965 13,8150 15,2014 3 2,3660 2,9462 3,6649 4,6416 6,2514 7,8147 9,3484 11,3449 12,8381 16,2660 17,7311 4 3,3567 4,0446 4,8784 5,9886 7,7794 9,4877 11,1433 13,2767 14,8602 18,4662 19,9977 5 4,3515 5,1319 6,0644 7,2893 9,2363 11,0705 12,8325 15,0863 16,7496 20,5147 22,1057 6 5,3481 6,2108 7,2311 8,5581 10,6446 12,5916 14,4494 16,8119 18,5475 22,4575 24,1016 7 6,3458 7,2832 8,3834 9,8032 12,0170 14,0671 16,0128 18,4753 20,2777 24,3213 26,0179 8 7,3441 8,3505 9,5245 11,0301 13,3616 15,5073 17,5345 20,0902 21,9549 26,1239 27,8674 9 8,3428 9,4136 10,6564 12,2421 14,6837 16,9190 19,0228 21,6660 23,5893 27,8767 29,6669 10 9,3418 10,4732 11,7807 13,4420 15,9872 18,3070 20,4832 23,2093 25,1881 29,5879 31,4195 11 10,3410 11,5298 12,8987 14,6314 17,2750 19,6752 21,9200 24,7250 26,7569 31,2635 33,1382 12 11,3403 12,5838 14,0111 15,8120 18,5493 21,0261 23,3367 26,2170 28,2997 32,9092 34,8211 13 12,3398 13,6356 15,1187 16,9848 19,8119 22,3620 24,7356 27,6882 29,8193 34,5274 36,4768 14 13,3393 14,6853 16,2221 18,1508 21,0641 23,6848 26,1189 29,1412 31,3194 36,1239 38,1085 15 14,3389 15,7332 17,3217 19,3107 22,3071 24,9958 27,4884 30,5780 32,8015 37,6978 39,7173 16 15,3385 16,7795 18,4179 20,4651 23,5418 26,2962 28,8453 31,9999 34,2671 39,2518 41,3077 17 16,3382 17,8244 19,5110 21,6146 24,7690 27,5871 30,1910 33,4087 35,7184 40,7911 42,8808 18 17,3379 18,8679 20,6014 22,7595 25,9894 28,8693 31,5264 34,8052 37,1564 42,3119 44,4337 19 18,3376 19,9102 21,6891 23,9004 27,2036 30,1435 32,8523 36,1908 38,5821 43,8194 45,9738 20 19,3374 20,9514 22,7745 25,0375 28,4120 31,4104 34,1696 37,5663 39,9969 45,3142 47,4977 21 20,3372 21,9915 23,8578 26,1711 29,6151 32,6706 35,4789 38,9322 41,4009 46,7963 49,0096 22 21,3370 23,0307 24,9390 27,3015 30,8133 33,9245 36,7807 40,2894 42,7957 48,2676 50,5105 23 22,3369 24,0689 26,0184 28,4288 32,0069 35,1725 38,0756 41,6383 44,1814 49,7276 51,9995 24 23,3367 25,1064 27,0960 29,5533 33,1962 36,4150 39,3641 42,9798 45,5584 51,1790 53,4776 25 24,3366 26,1430 28,1719 30,6752 34,3816 37,6525 40,6465 44,3140 46,9280 52,6187 54,9475 26 25,3365 27,1789 29,2463 31,7946 35,5632 38,8851 41,9231 45,6416 48,2898 54,0511 56,4068 27 26,3363 28,2141 30,3193 32,9117 36,7412 40,1133 43,1945 46,9628 49,6450 55,4751 57,8556 28 27,3362 29,2486 31,3909 34,0266 37,9159 41,3372 44,4608 48,2782 50,9936 56,8918 59,2990 29 28,3361 30,2825 32,4612 35,1394 39,0875 42,5569 45,7223 49,5878 52,3355 58,3006 60,7342 30 29,3360 31,3159 33,5302 36,2502 40,2560 43,7730 46,9792 50,8922 53,6719 59,7022 62,1600 31 30,3359 32,3486 34,5981 37,3591 41,4217 44,9853 48,2319 52,1914 55,0025 61,0980 63,5813 32 31,3359 33,3809 35,6649 38,4663 42,5847 46,1942 49,4804 53,4857 56,3280 62,4873 64,9935 33 32,3358 34,4126 36,7307 39,5718 43,7452 47,3999 50,7251 54,7754 57,6483 63,8694 66,4013 34 33,3357 35,4438 37,7954 40,6756 44,9032 48,6024 51,9660 56,0609 58,9637 65,2471 67,8042 35 34,3356 36,4746 38,8591 41,7780 46,0588 49,8018 53,2033 57,3420 60,2746 66,6192 69,1975 36 35,3356 37,5049 39,9220 42,8788 47,2122 50,9985 54,4373 58,6192 61,5811 67,9850 70,5882 37 36,3355 38,5348 40,9839 43,9782 48,3634 52,1923 55,6680 59,8926 62,8832 69,3476 71,9713 38 37,3354 39,5643 42,0450 45,0763 49,5126 53,3835 56,8955 61,1620 64,1812 70,7039 73,3500 39 38,3354 40,5935 43,1053 46,1730 50,6598 54,5722 58,1201 62,4281 65,4753 72,0550 74,7237 40 39,3353 41,6222 44,1649 47,2685 51,8050 55,7585 59,3417 63,6908 66,7660 73,4029 76,0963
–ANNALES –
Attention, le programme de cette UE ayant évolué, toutes les questions relatives aux intégrales multiples ou aux équations différentielles, que l’on pourra être amené à rencontrer, ne correspondent plus au programme actuel .
N1CP4015. DS du 15 Avril 2013 . Durée 1h30 . -I- (6 points) 3 exemples traités en cours :
-1) En effectuant le changement de variable x = sin(t) , calculer l'intégrale
1 0
1 x 2 dx .
-2) Calculer l'intégrale
S
9 x² y² dx dy où S = {(x , y)IR / x² + y² 9} . (passage en polaires conseillé) 2
-3) Résoudre l'équation différentielle : x.(1+y2) + (1+x2).y.y' = 0 concernant des fonctions de variable x . Déterminer la solution f telle que f(0) = 1 .
-II- (6 points) Variable suivant une loi de Pareto :
K et a étant deux réels strictement positifs, on définit l'application f : IR IR
t f (t) = 0 si t < a 2.K.t3 si t a .
-1) -a- Calculer K en fonction de a pour que f soit une densité de probabilité.
La loi de probabilité correspondante est appelée "Loi de Pareto P(a ; 2)" , de paramètres a et 2.
-b- La variable X suivant cette loi, calculer la valeur du réel a inférieur à 2 , tel que P(X[a , 2]) = ¾ . Le paramètre a conservera cette valeur dans la suite de l'exercice.
-2) -a- Calculer l'espérance mathématique E(X) . -b- Démontrer que la variance de X n'existe pas.
-3) -a- Définir explicitement la fonction de répartition F X de X . -b- En déduire la valeur du réel b tel que P(X > b) = 1/9 .
-III- (8 points) Etude d'un vecteur aléatoire de dimension 2 . On considère la fonction f définie sur IR2 par f(x , y) = 1
2
e
2x si (x , y)IR+ [2 , 2]0 sinon
(L'absence de y dans l'expression 1
2
e
2x n'est pas une erreur)RIR , on note R le demi-plan {(x , y) IR2 / x R}.
-1) -a- Pour R > 0, représenter dans le plan rapporté à un repère orthonormé, R et (IR [2 , 2]) + R . On pourra remarquer que ce dernier ensemble est {(x , y) IR2 / 0 x R et 2 y 2 } .
Calculer l'intégrale
R
f(x , y) dx dy en fonction de R .
-b- En déduire l'existence et la valeur de
IR2
f(x , y) dx dy .
-2) X et Y sont deux variables aléatoires réelles définies sur un même espace probabilisé.
Leur densité conjointe fX,Y est la fonction f utilisée ci-dessus.
-a- Calculer la probabilité P((X , Y)[0 , 1][0 , 1]) .
-b- Calculer l'expression de la densité marginale de X . Quelle loi de probabilité connue X suit-elle ? -c- Calculer l'expression de la densité marginale de Y . Quelle loi de probabilité connue Y suit-elle ? -d- X et Y sont-elles indépendantes ? (justifier votre réponse).
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N1CP4015. Examen du 28 Mai 2013 . Durée 1h30 .
-I- (7 points) 19 personnes atteintes d'une même maladie infectieuse viennent d'être admises à l'hôpital.
Le traitement usuel dit "traitement A" permet au patient de quitter la structure après une durée aléatoire DA
exprimée en jours, qui suit une loi normale
N
(15 ; 1) .Il existe un nouveau traitement encore au stade expérimental , dit "traitement B" permettant de quitter l'hôpital après une durée aléatoire DB qui suit une loi normale
N
(10 ;3) .3 patients se sont portés volontaires pour subir le traitement B . Les 16 autres sont soumis au traitement A . L'hôpital sert à chaque patient 3 repas par jour : petit déjeuner , repas de midi et du soir.
-1) i[[1 , 16]] , le ième patient soumis au traitement A reste hospitalisé pendant la durée aléatoire DA , i jours qui lui est propre . Cette durée DA , i suit la loi de probabilité de DA .
Exprimer en fonction des 16 variables aléatoires indépendantes DA , 1 à DA , 16 , le nombre aléatoire RA de repas à servir à l'ensemble des patients soumis au traitement A.
Exprimer de même, le nombre aléatoire RB de repas à servir à l'ensemble des patients soumis au traitement B, exprimé en fonction de DB , 1 , DB , 2 et DB , 3 , durées respectives d'hospitalisation des trois patients concernés, mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi de DB .
-2) -a- Quelle est la loi de probabilité de la variable RA ? (nom de cette loi et valeurs de ses paramètres) . -b- Quelle est la loi de probabilité de la variable RB ?
-c- Montrer que la loi de probabilité de la variable R = nombre total des repas pris par l'ensemble de ces 19 patients pendant leurs durées respectives de présence est une
N
(810 ;15²) .-3) Pour répondre à cette question, on n'a besoin que de l'information donnée ci-dessus au -2) -c- . -a- Quel est le nombre moyen de repas qu'il est logique de prévoir pour ces 19 patients ? -b- Avec quelle probabilité le nombre total R de repas sera-t-il inférieur ou égal à 831 ? -c- Quel est le nombre maximal n de repas qu'on a une probabilité 0,975 de ne pas dépasser ?
-II- (10 points)
-1) La fonction définie sur IR par h(t) = 1
2.
e
t2 est densité de probabilité de la loi normale 2N
(0 ; 1).-a- En posant t = s , montrer que
0
h(t) dt =
+
0
h(t) dt .
Sans calcul, que vaut
+
h(t) dt ? En déduire la valeur de
+
0
h(t) dt .
-b- Utiliser le changement de variable u = t
2 pour retrouver la valeur de
+
0
e
u2 du .-c- Par un calcul direct, donner la valeur de l'intégrale
+
0
u.
e
u2 du .-2) On définit sur IR la fonction f : IR IR t 0 si t < 0
.t.
e
t2 si t 0où est un paramètre réel.
-a- Calculer pour que f soit densité de probabilité d'une variable X . (on pourra utiliser les résultats du -1) ) -b- Définir la fonction de répartition FX de la variable X et en déduire la probabilité P(X]1 ; 2]).
-c- En utilisant une intégration par parties, donner la valeur de l'espérance de X puis calculer V(X).
-III- (9 points)
-1) On définit sur IR la fonction g : 2 IR2 IR (x , y) 0 si (x , y)(IR+)2
xy.
e
x2 y2 si(x , y)(IR+)2 .Pour R > 0 , on note KR = {(x , y)IR / x 0 , y 0 et x2 2 + y2 R2} et DR = {(x , y)IR / x2 2 + y2 R2 } -a- Qu'est DR (IR ? Représenter D+)2 R et KR puis calculer
KR
g(x , y) dx dy et
DR
g(x , y) dx dy
. -b- En déduire que
R2
g(x , y) dx dy existe et donner sa valeur .
-2) (X , Y) est un couple de variables aléatoires de densité conjointe définie par fX , Y(x , y) = k.g(x , y) ( k est un paramètre réel).
-a- Déterminer la valeur de k telle que fX , Y soit effectivement une densité de probabilité.
-b- Calculer P( (X , Y)K 1 ) , ceci pour K1 = KR lorsque R = 1 .
-c- Définir les densités marginales de X et de Y . X et Y sont-elles indépendantes ?
-d- En s'aidant des résultats de la question -II- -2) -c- , exprimer sans calcul E(X) , E(Y) et E(XY) . ____________________________________________________
N1CP4015. DS du 07 Avril 2014 . Durée 1h30 . -I- Calcul d'intégrale double ( 4 points)
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé , on note S = {(x , y)IR / x 0 , y 0 et 1 x2 2 + y2 4} . -1) Pour b > 0 , calculer l'intégrale Ib =
b 0
cos()
1 + sin2() d en fonction de b . On pourra penser à un changement de variable.
-2) -a- Représenter rapidement la surface S . -b- Calculer l'intégrale
S
x
x2 + 2y2 dx dy . -II- Probabilités ( 9 points)
-1) -a- Décomposer en éléments simples la fraction g(x) = 1 x.(x2+1) . -b- Pour tout réel b 1 , exprimer la valeur de l'intégrale
b 1
g (x) dx en fonction de b .
-c- Pourquoi sans calcul, est-on certain que l'intégrale
+
1
g (x) dx converge ? Calculer
+
1
g (x) dx .
-2) On définit sur IR la fonction f par f(x) = 0 si x < 1 ; f(x) = a
x.(x2+1) = a.g(x) si x 1 -a- Calculer la valeur de a pour que f soit une densité de probabilité.
a conservera cette valeur dans la suite.
-b- X étant une variable aléatoire réelle de densité f , calculer P(X[0 , 7]).
On pourra réutiliser les résultats antérieurs plutôt que recalculer totalement l'intégrale.
-c- Calculer l'espérance E(X) . -d- La variance V(X) existe-t-elle ? -III- Bactéries vs. Macrophages ( 10 points)
Le temps s'exprime ici en heures décimales à partir de l'instant "t = 0" du début de l'expérience.
Par exemple, de t = 1,25 à t = 1,50 , il s'est écoulé 0,25 h soit ¼ heure.
A l'instant "t = 0" sont mis en contact 1000 bactéries et 1000 macrophages.
Les bactéries se reproduisent.
Si à un instant t , leur nombre est N(t) , on estime que sur un très bref intervalle de temps [t , t+h], leur nombre passe de N(t) à N(t) + .N(t).h où est une constante > 0 dépendant du type de bactérie.
(C'est par exemple = 2 pour l'Escherichia Coli dans les conditions normales).
Les macrophages ne se reproduisent pas.
On va supposer que chacun est capable de tuer 2 bactéries par heure et qu'il fait partie de ceux qui ont une durée de vie importante (2 à 4 mois) très largement supérieure à la durée de notre expérience.
Les 1000 macrophages initiaux assurent donc en une heure la mort de 2000 bactéries;
Ceci équivaut à tuer 2000.h bactéries dans la très brève durée h (exprimée en fraction d'heure).
-1) Etude en l'absence de toute réponse immunitaire.
Dans ce cas le nombre de macrophages reste égal à 1000 pendant toute l'expérience.
Dans l'intervalle de temps [t , t+h] , le nombre de bactéries varie donc de N(t+h) N(t) = .N(t).h 2000.h et donc , en moyenne , N(t+h)N(t)
h = .N(t) 2000 . La variation instantanée est donc lim
h0 N(t+h)N(t)
h = N'(t) = .N(t) 2000 .
-a- Résoudre l'équation différentielle y' = .y 2000 . (résultat en fonction de ) . Donner l'expression de N(t) en fonction de t et , sachant que N(0) = 1000 .
-b- Quelle est l'évolution de la population de bactéries si ce sont des Escheria Coli ( = 2) ? -c- Pour quelles valeurs de , les macrophages l'emporteront-ils sur les bactéries ?
-d- Si les bactéries sont telles que = 1 , en combien de temps disparaissent-elles totalement ? -2) Présence d'une réponse immunitaire.
Dans ce cas le nombre de macrophages augmente dans le temps suite à la détection par l'organisme, de la présence des bactéries. (L'organisme crée de nouveaux macrophages).
Supposons ici que cette quantité notée M(t) à l'instant t , est liée au nombre N(t) de bactéries au même instant, par la relation M'(t) = 0,5.N(t) .
-a- Montrer que
N'(t) = .N(t) 2.M(t) M'(t) = 0,5.N(t)
E.D.linéaire du 2nd ordre en N(t) N'(0) = .N(0) 2.M(0) M'(t) = 0,5.N(t)
.
-b- Résoudre l'équation différentielle y" .y' + y = 0 suivant les valeurs du paramètre positif . -c- On suppose que les bactéries sont des Escheria Coli ( = 2) .
Les conditions initiales étant N(0) = 1000 et M(0) = 1000, exprimer N(t) et M(t) en fonction de t . -d- Comment la population d'Escheria Coli va-t-elle évoluer ?
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