IUT Villetaneuse - Universit´e Paris 13
S4 Ann´ee 2015-2016
Traitement du signal. Fiche n
◦1. Suites et s´ eries num´ eriques.
Exercice 1.Vrai-Faux
1. Toute suite convergente est born´ee.
2. Toute suite born´ee est convergente.
3. La somme de deux suites divergentes est une suite divergente.
4. Toute suite `a termes positifs convergeant vers 0 est d´ecroissante `a partir d’un certain rang.
5. Une suite altern´ee n’admet pas de limite.
6. Toute suite `a termes positifs divergente admet pour limite +∞
7. Soitu0= 0 et, pour toutn∈N,un+1= 3un+ 2. La suite (un+ 1) est une suite g´eom´etrique.
8. Si la suite (|un|) est convergente, alors la suite (un) est convergente.
9. La somme de deux suites convergentes est une suite convergente.
10. Soit la suite d´efinie paru0et la relation de r´ecurrenceun+1=f(un). Sif est croissante, alors la suite (un) est croissante.
Exercice 2.On consid`ere la suite (un ) d´efinie paru0∈Ret pour toutn∈N,un+1=F(un), avec : F(x) =1
2(x+x2).
1. Tracer sur le graphe ci-dessous les trois premi`eres it´er´ees de la suite (un) pouru0= 1/2, u0 = 2, u0=−1/2. D´eterminer les points fixes deF .
2. Montrer queF([0,1])⊂[0,1] et queF([−1,0])⊂[−1,0].
3. On supposeu0∈[0,1[. Montrer que (un) est d´ecroissante et donner sa limite.
4. On supposeu0>1. Montrer que (un) est croissante et tend vers +∞.
5. On supposeu0∈[−1,0]. Montrer que pour toutn∈N,|un| ≤2−n que (un) tend vers 0.
Exercice 3.Montrer que les suites un et vn sont adjacentes : 1. un= 4−n3 et vn= 4 + 3n sont adjacentes.
2. un=
n
X
k=1
1
k2 et vn=un+ 1 n.
Exercice 4.D´eterminer les limites des suites d´efinies ci-dessous.
a) un =2n+ 1 3n−5, b) un = n
lnn,
c) un =
1 + 1 n
n , d) un =
n−1 n
n
,
e) un= 8
9 n
, f) un=√
n+ 1−√ n.
1
Exercice 5.D´emontrer les relations de comparaison suivantes.
a) lnn
n =o( 1
√n), b) n2lnn
2n =o(1 n4), c) ln(n2+n)
n =O(ln(n) n ),
d) n2+ ln(n2) (2n+ 1)3 =O(1
n), e) ln(n2+ 2n+ 3) =O(ln(n)), f) 4n3−√
n5+ 3n4 (√
2n+√
n)4 ∼ 1 n,
g) ln(n2+ 1)
n+ 1 ∼ 2 lnn n , h) 2n3−lnn+ 1
n2+ 1 ∼2n, i) √
n+ 1−√
n−1∼ 1
√n.
Exercice 6.D´eterminer la nature des s´eries donn´ees ci-dessous. Lorsque la s´erie converge, calculer sa somme.
a) X
n
n−1 3n−1, b) X
n
1 + 2n 3n ,
c) X
n
π 3
n ,
d) X
n
2 n2−1,
e) X
n≥1
ln n n+ 1, f) X
n≥2
1 n3−n.
Exercice 7.Trouver les valeurs dexpour lesquelles les s´eries d´efinies ci-dessous convergent. Puis, calculer la somme.
a) X
n
(−5)nxn, b) X
n
(x+ 2)n, c) X
n
2n
xn, d) X
n
enx.
Exercice 8.Un patient prend 150 mg d’un m´edicament chaque jour `a la mˆeme heure. Avant chaque prise de m´edicament, 5% du m´edicament est encore pr´esent dans le corps.
1. Quelle est la quantit´e de m´edicament dans le corps apr`es la 3`eme prise ? Apr`es lan`eme prise ? 2. Quelle quantit´e de m´edicament reste-t-il `a long terme ?
2
