BACCALAUR´ EAT BLANC
Session Avril 2018
Lyc´ ee Alexandre Dumas, Saint-Cloud
Math´ematiques - S´erie S
Sujet
Dur´ee de l’´epreuve : 4 heures
L’usage d’une calculatrice est autoris´e.
Le candidat est invit´e `a faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mˆeme incompl`ete ou non fructueuse, qu’il aura d´evelopp´ee.
Il est rappel´e que la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien `a sa s´erie et `a son choix d’enseignement (obligatoire ou sp´ecialit´e).
Chaque candidat devra indiquer le num´ero de sa classe et le nom de son enseignant sur la copie.
Le sujet ne sera pas rendu.
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Terminale S 8 Bac blanc 2 de math´ematiques 11 avril 2018
Exercice 1 :
. . . (4 points) Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l’horticulteur H1, 25 % de l’horticulteur H2 et le reste de l’horticulteur H3. Chaque horticulteur livre deux cat´egories d’arbres : des conif`eres et des arbres `a feuilles.La livraison de l’horticulteur H1 comporte 80 % de conif`eres alors que celle de l’horticulteur H2 n’en comporte que 50 % et celle de l’horticulteur H3 seulement 30 %.
1. Le g´erant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les ´ev´enements suivants :
— H1 :l’arbre choisi a ´et´e achet´e chez l’horticulteur H1 ,
— H2 :l’arbre choisi a ´et´e achet´e chez l’horticulteur H2 ,
— H3 :l’arbre choisi a ´et´e achet´e chez l’horticulteur H3 ,
— C :l’arbre choisi est un conif`ere,
— F :l’arbre choisi est un arbre feuillu.
(a) Construire un arbre pond´er´e traduisant la situation.
(b) Calculer la probabilit´e que l’arbre choisi soit un conif`ere achet´e chez l’horticulteur H3. (c) Justifier que la probabilit´e de l’´ev`enementC est ´egale `a 0,525.
(d) L’arbre choisi est un conif`ere.
Quelle est la probabilit´e qu’il ait ´et´e achet´e chez l’horticulteur H1? On arrondira `a 10−3. 2. On choisit au hasard un ´echantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que
ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse ˆetre assimil´e `a un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock.
On appelleX la variable al´eatoire qui donne le nombre de conif`eres de l’´echantillon choisi.
(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on pr´ecisera les param`etres.
(b) Quelle est la probabilit´e que l’´echantillon pr´elev´e comporte exactement 5 conif`eres ? On arrondira `a 10−3.
(c) Quelle est la probabilit´e que cet ´echantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira `a 10−3.
Exercice 2 :
. . . (3 points) La suite (un) est d´efinie par :u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 1 2−un.
1. (a) `A l’aide du calcul des premiers termes de la suite (un), conjecturer la forme explicite de un en fonction den. D´emontrer cette conjecture.
(b) En d´eduire la valeur de la limite` de la suite (un).
2. Compl´eter l’algorithme en annexe (que l’on collera sur la copie) permettant de d´eterminer la valeur du plus petit entiern tel que|un+1−un|610−3.
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Terminale S 8 Bac blanc 2 de math´ematiques 11 avril 2018
Exercice 3 :
. . . (5 points) Soitf la fonction d´efinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ parf(x) = 1 + ln(x) x2
et soit C la courbe repr´esentative de la fonction f dans un rep`ere du plan. La courbe C est donn´ee ci-dessous :
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
−1 1
1 2 3
C
O
1. a. Étudier la limite def en 0.
b. Que vaut lim
x→+∞
ln(x)
x ? En déduire la limite de la fonctionf en+∞. c. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbeC.
2. a. On notef′la fonction dérivée de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
Démontrer que, pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[, f′(x)=−1−2ln(x)
x3 . b. Résoudre sur l’intervalle ]0 ;+∞[ l’inéquation−1−2ln(x)>0.
En déduire le signe def′(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
c. Dresser le tableau des variations de la fonctionf.
3. a. Démontrer que la courbeC a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
b. En déduire le signe def(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
4. Pour tout entiern!1, on noteInl’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbeC et les droites d’équations respectivesx=1
eetx=n.
a. Démontrer que 0"I2"e−1 2.
On admet que la fonctionF, définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par F(x)=−2−ln(x)
x , est une primitive de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
b. CalculerInen fonction den.
c. Étudier la limite deInen+∞. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.*
Amérique du Nord 5 30 mai 2013
1. (a) ´Etudier la limite de f en 0.
(b) Que vaut lim
x→+∞
ln(x)
x ? En d´eduire la limite de la fonction f en +∞.
(c) En d´eduire les asymptotes ´eventuelles `a la courbeC.
2. (a) On notef0 la fonction d´eriv´ee de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
D´emontrer que, pour tout r´eelx appartenant `a l’intervalle ]0 ; +∞[, f0(x) = −1−2 ln(x)
x3 . (b) R´esoudre sur l’intervalle ]0 ; +∞[ l’in´equation−1−2 ln(x)>0.
En d´eduire le signe def0(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
(c) Dresser le tableau des variations de la fonctionf.
3. (a) D´emontrer que la courbe C a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on pr´ecisera les coordonn´ees.
(b) En d´eduire le signe def(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
4. Pour tout entiern>1, on noteIn l’aire, exprim´ee en unit´es d’aires, du domaine d´elimit´e par l’axe des abscisses, la courbeC et les droites d’´equations respectivesx= 1
e etx=n.
(a) D´emontrer que 06I2 6e−1 2. (b) Calculer In en fonction de n.
(c) ´Etudier la limite de In en +∞. Interpr´eter graphiquement le r´esultat obtenu.*
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Terminale S 8 Bac blanc 2 de math´ematiques 11 avril 2018
Exercice 4 :
. . . (3 points) On munit le plan complexe d’un rep`ere orthonorm´e direct. On consid`ere l’´equation(E) : z4+ 2z3−z−2 = 0 ayant pour inconnue le nombre complexez.
1. Donner une solution enti`ere de (E).
2. D´emontrer que, pour tout nombre complexe z,
z4+ 2z3−z−2 = z2+z−2
z2+z+ 1 . 3. R´esoudre l’´equation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.
4. Les solutions de l’´equation (E) sont les affixes de quatre points A, B, C, D du plan complexe tels que ABCD est un quadrilat`ere non crois´e.
Le quadrilat`ere ABCD est-il un losange ? Justifier.
Exercice 5 :
. . . (5 points) Dans un rep`ere orthonorm´e de l’espace, on consid`ere les pointsA(5 ; −5 ; 2),B(−1 ; 1 ; 0),C(0 ; 1 ; 2) et D(6 ; 6 ; −1).
1. D´eterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.
2. (a) Montrer que le vecteur−→ n
−2 3 1
est un vecteur normal au plan (BCD).
(b) D´eterminer une ´equation cart´esienne du plan (BCD).
3. D´eterminer une repr´esentation param´etrique de la droite Dorthogonale au plan (BCD) et passant par le point A.
4. D´eterminer les coordonn´ees du point H, intersection de la droiteDet du plan (BCD).
5. D´eterminer le volume du t´etra`edre ABCD.
On rappelle que le volume d’un t´etra`edre est donn´e par la formuleV = 1
3B ×h, o`uBest l’aire d’une base du t´etra`edre et h la hauteur correspondante.
6. On admet que AB =√
76 et AC =√ 61.
D´eterminer une valeur approch´ee au dixi`eme de degr´e pr`es de l’angle BAC.[
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