Session Avril 2018

(1)

BACCALAUR´ EAT BLANC : Correction

Session Avril 2018

Exercice 1 :

. . . (4 points) Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l’horticulteur H1, 25 % de l’horticulteur H2 et le reste de l’horticulteur H3. Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.

La livraison de l’horticulteur H₁comporte 80 % de conif`eres alors que celle de l’horticulteur H₂n’en comporte que 50 % et celle de l’horticulteur H₃ seulement 30 %.

1. Le g´erant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.

On envisage les ´ev´enements suivants :

— H1 :l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H1,

— H2 :l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H2,

— H₃ :l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H₃,

— C :l’arbre choisi est un conif`ere,

— F :l’arbre choisi est un arbre feuillu.

(a) Construire un arbre pond´er´e traduisant la situation.

(b) Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3. (c) Justifier que la probabilité de l’évènementC est égale à 0,525.

(d) L’arbre choisi est un conif`ere.

Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H₁? On arrondira à 10⁻³.

Solution:

(a) L’arbre pond´er´e traduisant cette situation est :

Stock

H1

C

F

H2

C

F

H3

C

F 0,35

0,8 0,2

0,25 0,5

0,5 0,4

0,3 0,7

(b) On cherche `a calculer la probabilit´e de l’intersectionH3∩C, donc :P(H3∩C) =P(H3)×PH₃(C) = 0,4×0,3. On a doncP(H3∩C) = 0,12.

(c) Puisque la jardinerie ne se fournit qu’auprès de trois horticulteurs, les événements H₁, H₂ et H₃ forment une partition de l’univers. On peut donc appliquer la loi des probabilités totales, et on en déduit :

P(C) =P(H1)×PH1(C) +P(H2)×PH2(C) +P(H3)×PH3(C) = 0,35×0,8 + 0,25×0,5 + 0,4×0,3 = 0,525.

(d) On cherche cette fois `a calculer une probabilit´e conditionnelle : P_C(H₁) = P(H1∩C)

P(C) =0,35×0,8

0,525 ≈0,533.

(2)

Terminale S 8 Bac blanc 2 de mathématiques Correction 11 avril 2018 2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock.

On appelleX la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.

(a) Justifier queX suit une loi binomiale dont on pr´ecisera les param`etres.

(b) Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10⁻³.

(c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à 10⁻³.

Solution:

(a) Nous avons un schéma de Bernoulli (l’arbre choisi est-il un conifère ?), avec une probabilité de succès de 0,525 qui est répété 10 fois de fa¸con indépendante (puisque l’on suppose que les choix successifs peuvent être assimilés à un tirage au sort avec remise), donc la variable aléatoire X suit bien une loi binomiale de paramètres 10 et 0,525.

(b) La probabilité demandée ici est celle de l’événementX = 5, et donc :P(X = 5) = 10

5

×0,525⁵× (1−0,525)⁵ FinalementP(X= 5)≈0,243.

(c) Cette fois, la probabilité demandée est celle de X 68, qui est l’événement contraire de la réunion des événements disjoints X= 9 etX = 10. On a alors :

P(X 68) = 1−P(X = 9)−P(X= 10)≈0,984.

Exercice 2 :

. . . (3 points) La suite (u_n) est d´efinie par :

u₀= 0 et, pour tout entier naturel n, u_n+1= 1 2−u_n.

1. (a) `A l’aide du calcul des premiers termes de la suite (un), conjecturer la forme explicite deun en fonction den. D´emontrer cette conjecture.

(b) En d´eduire la valeur de la limite`de la suite (u_n).

2. Compl´eter l’algorithme en annexe (que l’on collera sur la copie) permettant de d´eterminer la valeur du plus petit entier ntel que|un+1−un|610⁻³.

Solution:

1. (a) On calcule les premiers termes de la suite (un) :

n 0 1 2 3 4 5

u_n 0 1

2

2 3

3 4

4 5

5 6 On peut conjecturer que, pour toutn,u_n = n

n+ 1. SoitPn la propri´et´eu_n = n

n+ 1.

• Initialisation

Pour n=0,un =u0= 0 et n n+ 1 =0

1 = 0.

Donc la propri´et´e est vraie au rang 0.

(3)

Terminale S 8 Bac blanc 2 de math´ematiques Correction 11 avril 2018

• Hérédité

Soitnun entier naturel quelconque.

On suppose que la propriété est vraie au rang n, c’est-à -dire queu_n = n

n+ 1 (hypoth`ese de r´ecurrence).

On va démontrer que la propriété est vraie au rangn+ 1, c’est à direu_n+1= n+ 1 n+ 2. un+1= 1

2−un

= 1

2− n n+ 1

= 1

2(n+ 1)−n n+ 1

= 1

2n+ 2−n n+ 1

= 1

n+ 2 n+ 1

=n+ 1 n+ 2 La propri´et´e est donc vraie au rangn+ 1.

On a donc d´emontr´e que, pour tout entier natureln,Pn =⇒ Pn+1.

• Conclusion

On a vérifié que la propriété était vraie au rang 0.

On a démontré que la propriété était héréditaire pour toutn.

Donc, d’après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour toutn.

On a donc d´emontr´e que, pour tout entier natureln,u_n= n n+ 1. (b) Pour tout n,u_n = n

n+ 1 =n+ 1−1

n+ 1 = 1− 1 n+ 1. D’apr`es le cours : lim

n→+∞

1

n+ 1 = 0 donc : lim

n→+∞1− 1 n+ 1 = 1.

On peut donc en déduire que la limite`de la suite (un) est égale à 1.

2. On compl`ete l’algorithme pour qu’il affiche le plus petit entierntel que|un+1−un|610⁻³: Variables : n, aetb sont des nombres.

Initialisation : nprend la valeur 0 aprend la valeur 0 b prend la valeur 0,5 Traitement : Tant que|b−a|>10⁻³

nprend la valeur n+ 1 aprend la valeur b b prend la valeur 1

2−b Fin Tant que

Sortie : Affichern

Explications

Pourndonn´e,ajoue le rˆole deun etb celui deun+1.

Si l’objectif|un+1−un| 610⁻³ n’est pas atteint, on passe au rang n+ 1 : on remplaceun parun+1, c’est-`a -direaparb, et on remplace u_n+1 paru_n+2, c’est-`a -dire bpar 1

2−b.

Exercice 3 :

. . . (5 points) Soitf la fonction d´efinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ parf(x) =1 + ln(x)

x²

et soitC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère du plan. La courbeC est donnée ci-dessous :

(4)

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

−1 1

1 2 3

C

O

1. a.Étudier la limite defen 0.

b.Que vaut lim x→+∞

ln(x)

x ? En déduire la limite de la fonctionfen+∞. c.En déduire les asymptotes éventuelles à la courbeC.

2. a.On notef^′la fonction dérivée de la fonctionfsur l’intervalle ]0 ;+∞[.

Démontrer que, pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[, f^′(x)=−1−2ln(x)

x³ . b.Résoudre sur l’intervalle ]0 ;+∞[ l’inéquation−1−2ln(x)>0.

En déduire le signe def^′(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

c.Dresser le tableau des variations de la fonctionf.

3. a.Démontrer que la courbeCa un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.

b.En déduire le signe def(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

4.Pour tout entiern!1, on noteI_nl’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbeCet les droites d’équations respectivesx=1

eetx=n.

a.Démontrer que 0"I2"e−1 2.

On admet que la fonctionF, définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par F(x)=−2−ln(x)

x , est une primitive de la fonctionfsur l’intervalle ]0 ;+∞[.

b.CalculerInen fonction den.

c.Étudier la limite deI_nen+∞. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.*

Amérique du Nord 5 30 mai 2013

1. (a) ´Etudier la limite de f en 0.

(b) Que vaut lim

x→+∞

ln(x)

x ? En d´eduire la limite de la fonctionf en +∞.

(c) En déduire les asymptotes éventuelles à la courbeC.

Solution:

(a) ´Etudions la limite def en 0.

On sait que lim

x→0ln(x) =−∞donc lim

x→01 + ln(x) =−∞. D’autre part lim

x→0

1

x² = +∞, alors par produit des limites, lim

x→0f(x) =−∞

(b) On sait que lim

x→+∞

lnx x = 0, D’autre part lim

x→+∞

1

x= 0, alors par produit des limites lim

x→+∞

lnx x² = 0, On a aussi lim

x→+∞

1

x² = 0, et en ajoutant ces deux derni`eres limites, on obtient :

x→+∞lim f(x) = 0 (c) lim

x→0f(x) =−∞prouve que l’axe des ordonn´ees est asymptote verticale .

x→+∞lim f(x) = 0 que l’axe des abscisses est asymptote horizontale.à C 2. (a) On note f⁰ la fonction dérivée de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Démontrer que, pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[,f⁰(x) = −1−2 ln(x) x³ (b) Résoudre sur l’intervalle ]0 ; +∞[ l’inéquation−1−2 ln(x)>0.

En d´eduire le signe def⁰(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

(c) Dresser le tableau des variations de la fonctionf. Solution:

(a) f est d´erivable sur ]0 ; +∞[,

f⁰(x) = 1

x×x²−(1 + lnx)

x⁴ =−x−2xlnx

x⁴ =−1−2 ln(x) x³ .

(b) −1−2 lnx >0 ⇐⇒ lnx <−1

2 ⇐⇒ x <e⁻¹².

Pour toutx∈]0 ; +∞[,x³>0 etf⁰(x) est du signe de−1−2 ln(x).

(c) On af e⁻¹²

= 1−¹₂

e⁻¹²2 =

1 2

e⁻¹ = e 2

(5)

Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. a. Étudions la limite def en 0.

On sait que lim

x→0ln(x)= −∞donc lim

x→01+ln(x)= −∞. D’autre part lim

x→0

1

x²= +∞, alors par produit des limites, lim

x→0f(x)= −∞

b. On sait que lim

x→+∞

lnx x =0, D’autre part lim

x→+∞

1

x=0, alors par produit des limites lim

x→+∞

lnx x² =0, On a aussi lim

x→+∞

1

x²=0, et en ajoutant ces deux dernières limites, on obtient :

x→+∞lim f(x)=0 c. lim

x→0f(x)= −∞prouve que l’axe des ordonnées est asymptote verticale .

x→+∞lim f(x)=0 que l’axe des abscisses est asymptote horizontale.àC 2. a. On notef^′la fonction dérivée de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

f est dérivable sur ]0 ;+∞[,

f^′(x)= 1

x×x²−(1+lnx)

x⁴ =−x−2xlnx

x⁴ =−1−2ln(x)

x³ .

b. −1−2lnx>0 ⇐⇒lnx< −1

2 ⇐⇒ x<e⁻¹².

Pour toutx∈]0 ;+∞[,x²>0 etf^′(x) est du signe de−1−2ln(x).

c. Dresser le tableau des variations de la fonctionf. On af!

e⁻¹²"

= 1−¹₂

!e⁻¹²"2=

12

e⁻¹=e 2

x 0 ⁾¹^e +∞

f^′(x) + 0 −

f(x)

−∞

e2

0 3. a. On a :f(x)=0⇐⇒1+lnx=0 ⇐⇒lnx= −1 ⇐⇒x=e⁻¹

Ce qui prouve que la courbeC coupe l’axe des abscisses en un unique point, le point de coordonnées#

e⁻¹; 0$

b. D’après le tableau des variations def et sachant quef# e⁻¹$

=0.

On en déduit quef(x)>0 sur l’intervalle%

e⁻¹;+∞&

etf(x)<0 sur l’intervalle% 0 ; e⁻¹&

. 4. Pour tout entiern!^{1, on note}^Iⁿl’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine délimité par l’axe

des abscisses, la courbeC et les droites d’équations respectivesx=1

eetx=n.

a. On sait quef >0 sur%

e⁻¹;+∞&

, doncIn=

'n

e⁻¹f(x) dx Sur

(1 e; 2

)

on a au vu des variations def : 0<f(x)"^e₂. Comme l’intégration conserve l’ordre et le signe, on en déduit :

0"^I2"^'ⁿ

e⁻¹

e 2dx=e

2

* 2−1

e +

=e−1

2et finalement : 0"^I2"^e−1

2.

Amérique du Nord 8 30 mai 2013

3. (a) Démontrer que la courbe C a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.

(b) En d´eduire le signe def(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Solution:

(a) On a :f(x) = 0 ⇐⇒ 1 + lnx= 0 ⇐⇒ lnx=−1 ⇐⇒ x= e⁻¹

Ce qui prouve que la courbeCcoupe l’axe des abscisses en un unique point, le point de coordonn´ees e⁻¹; 0

(b) D’apr`es le tableau des variations def et sachant quef e⁻¹

= 0.

On en d´eduit quef(x)>0 sur l’intervalle

e⁻¹ ; +∞

etf(x)<0 sur l’intervalle

0 ; e⁻¹ .

4. Pour tout entier n > 1, on note I_n l’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe Cet les droites d’équations respectivesx= 1

e etx=n.

(a) D´emontrer que 06I₂6e−1 2. (b) CalculerIn en fonction den.

(c) Étudier la limite de In en +∞. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.*

Solution: les droites d’´equations respectivesx= 1

e etx=n.

(a) On sait quef >0 sur

e⁻¹ ; +∞

, doncIn= Z n

e⁻¹

f(x) dx Sur

1 e ; 2

on a au vu des variations de f : 0< f(x)6 e

2. Comme l’int´egration conserve l’ordre et le signe, on en d´eduit :

06I26Z n e⁻¹

e

2 dx= e 2

2−1

e

= e−1

2 et finalement : 06I26e−1

2.

On admet que la fonction F, d´efinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par F(x) = −2−ln(x)

x ,est une primitive de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

(b) CalculonsIn en fonction den. On a : In =

−2−lnx x

ⁿ

0

= −2−lnn

n −

−2−ln(e⁻¹) e⁻¹

=−2−lnn

n −(−2 + 1)e.

Et finalement : In =−2−lnn

n + e = e−lnn n −2

n (c) ´Etudions la limite deIn en +∞.

On a lim

n→+∞

lnn

n = 0, lim

n→+∞

1

n = 0 et lim

n→+∞

2

n = 0 alors lim

n→+∞In = e.

Graphiquement cela signifie que l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations respectivesx= 1

e etx=ntend vers e quandntend vers +∞.

(6)

Exercice 4 :

. . . (3 points) On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct. On considère l’équation

(E) : z⁴+ 2z³−z−2 = 0 ayant pour inconnue le nombre complexez.

1. Donner une solution enti`ere de (E).

2. D´emontrer que, pour tout nombre complexez,

z⁴+ 2z³−z−2 = z²+z−2

z²+z+ 1 . 3. R´esoudre l’´equation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.

4. Les solutions de l’équation (E) sont les affixes de quatre points A, B, C, D du plan complexe tels que ABCD est un quadrilatère non croisé.

Le quadrilat`ere ABCD est-il un losange ? Justifier.

Solution:

1. On a 1⁴+ 2×1³−1−2 = 1 + 2−1−2 = 0, donc 1 est solution de (E).

2. Soitz∈C, alors : z²+z−2

z²+z+ 1

=z⁴+z³+z²+z³+z²+z−2z²−2z−2 =z⁴+ 2z³−z−2.

3. D’après la question précédente, l’équation (E) équivaut à

z²+z−2 = 0 ou z²+z+ 1 = 0

— l’équationz²+z−2 = 0 est du second degré, à coefficients réels, son discriminant vaut ∆ = 9 ; elle possède donc deux solutions réelles qui sont −2 et 1 ;

— l’équationz²+z+ 1 = 0 est du second degré, à coefficients réels, son discriminants vaut ∆ =−3, elle possède deux solutions complexes conjuguées qui sont−¹₂−i

√3

2 et−¹₂+ i

√3 2 .

— Les solutions de (E) sont donc :−2, 1,−¹₂−i

√ 3

2 et−¹₂+ i

√ 3 2 . 4. Notons :

— A le point d’affixea= 1,

— B le point d’affixeb=−¹₂+ i

√ 3 2 ,

— C le point d’affixec=−2,

— D le point d’affixed=−¹₂−i

√ 3 2 .

Les nombres complexesbet détant conjugués, la droite (BD) est perpendiculaire à la droite (AC) (qui n’est rien d’autre que l’axe réel). Les diagonales du quadrilatèreABCD sont donc perpendiculaires.

De plus le milieu de [AC] a pour affixe ^a+c₂ = −¹₂ et le milieu de [BD] a pour affixe ^b+d₂ = ^b+b₂ =

2R´e(b)

2 =−¹₂. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent donc en leur milieu. On peut alors conclure que le quadrilat`ere ABCDest un losange.

(7)

Exercice 5 :

. . . (5 points) Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points

A(5 ; −5 ; 2),B(−1 ; 1 ; 0),C(0 ; 1 ; 2) et D(6 ; 6 ; −1).

1. D´eterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.

2. (a) Montrer que le vecteur −→ n





−2 3 1



est un vecteur normal au plan (BCD).

(b) Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A.

4. D´eterminer les coordonn´ees du point H, intersection de la droiteDet du plan (BCD).

5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formuleV =1

3B ×h, oùBest l’aire d’une base du tétraèdre et hla hauteur correspondante.

6. On admet que AB =√

76 et AC =√ 61.

Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angleBAC.[

Solution:

1. Nature du triangleBCD :







BC²= (0−(−1))²+ (1−1)²+ (2−0)²= 5 CD²= (6−0)²+ (6−1)²+ (−1−2)²= 70 BD²= (6−(−1))²+ (6−1)²+ (−1−0)²= 75

=⇒BD²=BC²+CD²=⇒ BCDest rectangle enC

2. Son aire est : BC×CD

2 =

√5×√ 70

2 =5

2

√14.

(a) Le vecteur−→n





−2 3 1



est un vecteur normal au plan (BCD) :

−−→ BC



 1 0 2



·−→n





−2 3 1



= 1×(−2)+0×3+2×1 = 0 et−−→

CD



 6 5

−3



·−→n





−2 3 1



= 6×(−2)+5×3+(−3)×1 = 0 Comme −−→

BC et −−→

CD ne sont pas colinéaires (BCD est un triangle rectangle non aplati), −→n étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD), il en est un vecteur normal.

(b) ´Equation cart´esienne du plan (BCD) : SoitM(x;y;z) un point de l’espace M ∈(BCD)⇔−−→

BM·~n= 0⇔ −2(x+ 1) + 3(y−1) +z= 0.

Une ´equation cart´esienne du plan est :−2x+ 3y+z−5 = 0.

3. Repr´esentation param´etrique de la droiteDorthogonale au plan (BCD) (donc de vecteur directeur−→n) et passant par le pointA:







x= 5−2t y=−5 + 3t z= 2 +t

avect∈R

(8)

4. D´eterminer les coordonn´ees du pointH, intersection de la droiteDet du plan (BCD).











x= 5−2t y=−5 + 3t z= 2 +t

−2x+ 3y+z−5 = 0

⇐⇒











x= 5−2t y=−5 + 3t z= 2 +t

−2(5−2t) + 3(−5 + 3t) + (2 +t)−5 = 0

⇐⇒











x= 5−2(2) = 1 y=−5 + 3(2) = 1 z= 2 + 2 = 4 t= 2

Ainsi, les coordonn´ees deH sont : (1 ; 1 ; 4).

5. Volume du t´etra`edreABCD :

[AH] est la hauteur du t´etra`edre, car A est sur la droite D orthogonale au plan (BCD) et H est l’intersection deDet (BCD), donc la projection orthogonale deAsur (BCD).

B= 5√

7 ;h=AH=p

(5−1)²+ (−5−1)²+ (2−4)²= 2√

14 ; donc : V =1

3B ×h=1 3 ×2√

14×5 2

√

14 =70 3 6. Mesure de l’angle \BAC :

−−→ AB





−6 6

−2



; AB=p

(−6)²+ 6²+ (−2)²=√ 76; −→

AC





−5 6 0



; AB=p

(−5)²+ 6²+ (0)²=√ 61;

cos\BAC= _AB×AC⁻^AB.⁻^→^−→^AC = (−6)×(−5)+6×6+(−2)×0

√76×√

61 =^√⁶⁶

4636 '0,97 =⇒ mes\BAC'14,2 au dixième de degré près