Systèmes de 2 points

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SYSTÈME DE DEUX POINTS MATÉRIELS 1) Centre de masse et masse réduite du système .

Soient deux points matériels de masse m_Aet m_B, situés en A et B.

Le centre de masse G est défini par m_AGAm_BGB= 0 avecGB−GA= AB.

On en déduitGA=− m_B

m_Am_BAB et GB= m_A m_Am_BAB.

Par définition la masse réduite du système est µ= m_Am_B

m_Am_B ou bien 1 µ= 1

m_A 1 m_B. D'où GA=− µ

m_AAB et GB= µ m_BAB.

2) Mouvement relatif .

v v_B Soient v_Aet v_B les vitesses de A et B, à la date t, par rapport à un

référentiel (R) quelconque.

Le mouvement de B dans le référentiel R_A en translation avec la v_A vitesse v_A par rapport à (R) est appelé mouvement relatif de B.

Vitesse d' entraînement de B: v_e= v_A pas de rotation deR_Apar rapport àR.

Accélération d 'entraînement : a_e= a_A, accélération complémentaire : a_c= 0 .

Vitesse relative de B: v= v_B−v_A

Accélération relative : a= a_B−a_A ⇒ v= dAB

dt a=dv

dt = d²AB dt² 3) Grandeurs cinétiques dans le référentiel propre (R*) .

a. Quantité de mouvement . p^*_A=m_Av^*_A=m_AdGA

dt =−µdAB

dt ; p_B^*=m_Bv^*_B=m_BdGB

dt =µdAB

dt p^*_B= −p_A^* =µv b . Moment cinétique.

L^*= GA∧p^*_AGB∧p_B^*= − µ

m_AAB∧−µv µ

m_BAB∧µv L^*= AB∧µv c. Énergie cinétique .

E_c^*= 1

2











µ²v²

m_B



d .Conclusion: particule réduite .

C'est un point fictif M de masse égale à la masse réduite µ et tel que GM= AB.

DansR^*, ce point a la vitessev=dGM

dt =dAB

dt et l 'accélération a= dv dt .

Donc le mouvement de la particule réduite dans (R*) est identique au mouvement relatif de B par rapport à A.

Le moment cinétique et l'énergie cinétique de la particule réduite sont constamment égaux à ceux du système dans (R*).

Connaissant le mouvement de M, on en déduit ceux de A et B par deux homothéties:

GA=− µ

m_AGM et GB= µ m_BGM.

Si m_A≫m_B alors µ≈m_B,GB≈ GM et GA≈ 0 : A est pratiquement confondu avec G, donc A est immobile dans (R*), et B est confondu avec la particule réduite M.

A

G B m_A

m_B

(R) (R_A)

A

B

2 4) Système isolé .

Les deux points A et B ne subissent pas d'autre force que leur interaction.

Donc m_Am_B a_G= F_ext= 0, v_Gest un vecteur constant.

Le centre de masse G a un mouvement rectiligne uniforme et (R*) est galiléen.

a. Relation fondamentale . Dans R^*,f_B= f_B^* =dp_B

dt =µ dv dt =µa .

Le mouvement de la particule réduite M est celui d'un point f_B matériel de masse µ soumis à la force, f_Bcolinéaire à

AB donc àGM.

On dit quef_B est une force centrale et l'accélération a est également centrale.

b .Théorème du moment cinétique . dL^*

dt = M_G,ext= 0 donc L^*est un vecteur constant . f_B

Or L^*= AB∧µv= GM∧µv ⇒ le rayon vecteur GM L^* toujours perpendiculaire à L^* est dans un plan fixe.

La trajectoire est plane.

L^*= GM∧µdGM

dt =ρ e_ρ∧µ ˙ρe_ρρθ˙ e_θ =µρ²θ˙ e_z.

La quantitéρ²θ est donc constante au cours du mouvement: ˙ ρ²θ˙ =C.

Cette relation est dite ''intégrale première du moment cinétique'' parce qu'elle ne contient que la dérivée première deθ.

On retrouve ce résultat à partir de l'accélération, centrale c'est-à-dire radiale, donc de composante orthoradiale nulle: a_θ=ρθ2¨ ρ˙θ˙ =1

ρ d





dt =0  ρ²θ˙ =C.

c. Interprétation géométrique: loi des aires .

Pendant la durée dt, le rayon vecteur GM tourne de dθet balaie la surface dS du triangle curviligne GMM':

dS= 1

2ρ ρdθ= 1

2ρ²dθ  dS dt = C

2 . La vitesse aréolaire dS

dt est constante, égale à la moitié de la constante des aires C. D'où la loi des aires: le rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux.

Conséquences: • la vitesse angulaireθ˙ a toujours le même signe, le point M parcourt sa trajectoire toujours dans le même sens.

•

∣

∣

La valeur absolue de la vitesse angulaire est maximale au péricentre , point de la trajectoire le plus proche de G, et minimale à l 'apocentre .

G

M M'

x ρ

ρ dθ dθ

A

B G

M

θ A

B

x z

G

M ρ = GM

3 d. Énergie .

Dans (R*) l'énergie cinétique du système vaut E_c=1 2µ v².

Si la force d'interaction entre les deux particules dérive d'une énergie potentielle E_p, ne dépendant que de la distance entre particules, l'énergie mécanique totale du système est égale à E^*=E_cE_p.

E^*= 1

2µ v²E_p=1

2µ ˙ρ²ρ²θ˙²E_p avec ρ²θ˙ =C  E^*=1

2µρ˙²1 2µ C

2

ρ² E_pρ.

Or le système étant isolé, son énergie mécanique totale E^* est constante.

L'équation précédente, dite ''intégrale première de l'énergie'', permet théoriquement de déterminer ρt, puis en reportant dans l'intégrale première du moment cinétique ρ²θ, on obtient˙ θt.

Pour résoudre cette équation, on sépare les variables en remarquant que la quantité 1 2µC²

ρ²E_pρ ne dépend que de ρ et s'appelle énergie potentielle effective E_{p eff}.

D'où ρ˙²= 2

µE^*−E_peff  dρ

dt =±





= ±



e. Relations de Binet.

Ces deux relations expriment les vecteurs vitesse et accélération de la particule réduite en fonction de u= 1 ρ et de ses dérivées par rapport à θ, u '_θet u_θ^''.

v= ˙ρ e_ρρθ˙ e_θ avec ρ˙ = d





dθ dθ

dt = − ˙θu '_θ

u² ; v= ˙θ





La relation ρ²θ˙ =C s' écrit aussi θ˙ =C u² d 'où v=C−u '_θe_ρue_θ. On en déduit a = dv

dt =C





a=C



dθθ˙ e_θ−uθ˙ e_ρ



^

^

^

^

Connaissant la force d'interaction f(u), la relation fondamentale donne l'équation différentielle de la trajectoire : fu =fu e_ρ=µa ⇒ u_θ^''u=− fu

µ C²u² d 'où la trajectoire uθ.

Réciproquement, connaissant la trajectoire uθ, on en déduit a puis la force d'interaction fu.

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

Déterminer la loi de force entre ces particules si la particule réduite a une trajectoire dont l'équation en coordonnées polaires est:

•r=a e^θ. Déterminer la vitesse relative en fonction de r.

•r=a cosθ.

•r=a th θ



•r= p

1e cosθ , p0, e1.

•r= a cosθ.