Exercice 1
1) La série numérique un(0) converge banalement et a pour somme 0. Fixons donc x = 0 ; j’ai un(x)n→∞∼ 1
xn2 qui est le terme général d’une série convergente (série de Riemann : 2>1). Comme en outre 1
xn2 est de signe constant (celui dex), il en résulte que un(x)converge également. Finalement, La série de fonctions un converge simplement surR.
Notons que – comme toutes les fonctions un sont impaires – la fonction somme S est impaire.
2) Je fixe n∈N∗. En vertu des théorèmes opératoires classiques,un est de classeC∞ surR et
∀x∈R u′n(x) = 1−nx2 n(1 +nx2)2.
Comme un est impaire, j’étudie pour commencer ses variations sur R+ : elle y est positive et atteint son maximum en1/√
n, maximum valantun 1
√n = 1
2n3/2. De l’imparité deun, je déduis alors que sup
R |un|= 1
2n3/2. Comme3/2>1, la série numérique sup
R |un|converge, autrement dit La série de fonctions un converge normalement sur R.
En particulier, un converge uniformément sur R ; comme les un sont continues surR, il en résulte que
La fonction sommeS est continue surR.
3) Je montre pour commencer que S estC1 sur tout segment de la forme [a, M]où 0< a < M :
• les fonctions un sontC1 sur[a, M];
• un converge simplement sur[a, M](vu au1)) ;
• u′n converge uniformément sur[a, M]: j’ai en effet
∀x∈[a, M] u′n(x) ≤ 1 +nM2 n(1 +na2)2. Autrement dit
sup
[a,M]
u′n ≤ 1 +nM2
n(1 +na2)2 or 1 +nM2
n(1 +na2)2 n→∞∼ M2 a4n2. Ainsi, sup
[a,M]|u′n|est majoré par le terme général d’une série numérique convergente (par comparaison à une série de Riemann, puisque 2 > 1). Par conséquent, la série de fonctions u′n converge normalement, donc uniformément, sur [a, M].
Le théorème de dérivation terme à terme d’une série de fonctions s’applique donc : S est de classeC1 sur [a, M], pour tout (a, M) tel que 0 < a < M, elle est donc C1 sur R+∗ et aussi sur R−∗ puisqu’elle est impaire. En particulier,
S est dérivable en tout pointx= 0.
4) a)Pour tout réel x non nul et tout N ∈N∗ j’ai, puisqu’il s’agit d’une série à termes positifs,
∞
n=1
1
n(1 +nx2) ≥
N
n=1
1
n(1 +nx2) soit S(x)
x ≥ SN(x) x . Je pose alors (habilement) α= 1
√N et, pour x∈]0, α[, j’ai
∀n∈[[1, N]] nx2≤Nα2 = 1 donc 0<1 +nx2 ≤2 d’où 1
1 +nx2 ≥ 1 2 et, par sommation
Pourx∈]0, α[, S(x)
x ≥ SN(x) x ≥ 1
2
N
n=1
1 n.
b)Comme somme d’une série de fonctions toutes décroissantes qui converge simplement, la fonction x →S(x)/x est décroissante sur R+∗. Elle admet donc une limite ℓ (finie ou +∞) à droite en 0.
La minoration dua)étant valable pour toutx∈]0, α[, je peux passer à la limite à droite en 0. J’en déduis que ℓ est supérieur à toutes les sommes partielles d’une série à termes positifs divergente (la série harmonique, à un coefficient près !) : nécessairement ℓ= +∞.
Or, commeS(0) = 0,S(x)/xn’est autre que le taux de variation de la fonction S entre 0 etx ; de plus, commeS est impaire, sa limite à gauche en 0 est également +∞. En conclusion,
S n’est pas dérivable en 0. Son graphe admet une tangente verticale en (0,0).
Exercice 2 : plusieurs expressions de la constante d’Euler
1) Soit p∈N∗ ;
p
n=1
1
n−ln 1 + 1
n =
p
n=1
1 n−
p
n=1
ln (n+ 1)−lnn
=
p
n=1
1
n−ln (p+ 1) + ln 1
=
p
n=1
1
n−lnp−lnp+ 1 p Comme 1
n −ln 1 + 1
n ∼ 1
2n2, la série de terme général 1
n −ln 1 + 1
n est convergente (par com- paraison à une série de Riemann : 2>1). De plus, lnp+ 1
p p→∞−→ 0, or, d’après le calcul précédent,
p
n=1
1
n−lnp=
p
n=1
1
n−ln 1 + 1
n + lnp+ 1 p . J’en déduis l’existence de la limite demandée et, par passage à la limite :
γ= lim
p→∞
p
n=1
1
n−lnp =
+∞
n=1
1
n−ln 1 + 1
n .
2) Soient p∈ N∗ et t ∈[0, x] ; puisque t est positif, −t est différent de 1 et je peux appliquer la formule donnant la somme des premiers termes d’une suite géométrique de raison−t:
p
k=0
(−t)k= 1−(−t)p+1
1−(−t) = 1
1 +t −(−1)p+1tp+1 1 +t , autrement dit :
∀p∈N∗ ∀t∈[0, x] 1 1 +t =
p
k=0
(−1)ktk+(−1)p+1tp+1 1 +t . J’en déduis, pour p∈N∗, en intégrant de 0 à xet en réindexant la somme :
ln (1 +x) =
p−1
k=1
(−1)k−1 xk
k + (−1)p+1
x 0
tp+1 1 +tdt , or, x étant dans [0,1],
0≤
x 0
tp+1 1 +tdt≤
x 0
tp+1dt= xp+2
p+ 2 ≤ 1 p+ 2.
Le “reste” intégral a donc pour limite 0 lorsquep tend vers l’infini ; il en résulte que la série de terme général (−1)k−1xk
k converge et a pour somme ln (1 +x) : ln (1 +x) =
+∞
k=1
(−1)k−1xk
k .
3) Pour tout ndans N∗, le résultat précédent s’applique avecx= 1 n, d’où 1
n−ln 1 + 1 n = 1
n−
+∞
k=1
(−1)k−1 knk = 1
n − 1 n−
+∞
k=2
(−1)k−1 knk =
+∞
k=2
(−1)k knk , ce qui donne, reporté dans l’expression du 1):
γ=
+∞
n=1 +∞
k=2
(−1)k knk .
4) a)Les résultats sur la convergence des séries de Riemann montrent que ζ est définie sur ]1,+∞[; de plus, si 1< α < β, j’ai
∀n∈N∗ nα≤nβ , donc 1 nα ≥ 1
nβ , d’où
∀p∈N∗
p
n=1
1 nα ≥
p
n=1
1 nβ.
En passant à la limite lorsque p tend vers l’infini (les deux séries convergent !) j’obtiens ζ(α)≥ζ(β).
En conclusion (sans dérivation terme à terme. . . ) :
ζ est définie et décroissante sur]1,+∞[.
Soient x∈[1,+∞[ fixé etk∈N, k≥2 ; d’après la minoration ci-dessus (avecα=k,β =k+ 1 et p=E(x)), j’ai
E(x) n=1
1 nk ≥
E(x) n=1
1
nk+1, d’où, comme 1 k ≥ 1
k+ 1,|fk(x)| ≥ |fk+1(x)|. De plus, puisque ζ est décroissante,|fk(x)| ≤ 1
kζ(k)≤ ζ(2) k .
Il en découle que |fk(x)|tend vers 0 lorsque ktend vers l’infini, donc finalement La suite (|fk(x)|)k≥2 converge vers 0 en décroissant.
b)Le résultat précédent montre que, pour tout x de [1,+∞[, la série alternée fk(x) vérifie les hypothèses du théorème spécial, donc converge, avec en outre la majoration du resteRp=
∞ k=p+1
fk:
∀p≥2 ∀x∈[1,+∞[ |Rp(x)| ≤ |fp+1(x)| ≤ ζ(2)
p+ 1, d’où sup
[1,+∞[|Rp| ≤ ζ(2) p+ 1 −→
p→∞0.
Par conséquent la suite (Rp) converge uniformément vers 0 sur[1,+∞[, c’est-à-dire que : La série de fonctions
k≥2
fk est uniformément convergente sur [1,+∞[.
5) D’après le 3),
γ= lim
x→+∞
E(x)
n=1 +∞
k=2
(−1)k knk .
Pour x ≥ 1 fixé, j’ai affaire à un nombre fini de séries convergentes (pour 1 ≤ n ≤ E(x)), d’où, par linéarité de la somme dans l’espace des séries numériques convergentes :
E(x)
n=1 +∞
k=2
(−1)k knk =
+∞
k=2
E(x)
n=1
(−1)k knk
=
+∞
k=2
fk(x) ; donc
γ= lim
x→+∞
+∞
k=2
fk(x).
Enfin, la série de fonctions fk convergeant uniformément sur[1,+∞[,+∞étant adhérent à cet inter- valle et chaque fonction fk admettant une limite finie en +∞(à savoir (−1)k
k ζ(k)), je peux appliquer
le théorème de la double limite :
x→+∞lim
+∞
k=2
fk(x) =
+∞
k=2
x→+∞lim fk(x) =
+∞
k=2
(−1)k k ζ(k). D’où, en comparant les deux derniers résultats :
γ=
+∞
k=2
(−1)k k ζ(k).
Exercice 3 : encore la fonction
ζ!
1) a)Soit n∈N∗ et s >0 ;un(s) se calcule par primitivation banale : un(1) = 1−ln n+ 1
n et, pour s= 1,
un(s) = 1
ns − t−s+1
−s+ 1
t=n+1 t=n
= 1 ns + 1
s−1 (n+ 1)1−s−n1−s , or, avec h=s−1, par deux développements limités
(n+ 1)1−s−n1−s=e−hln(n+1)−e−hlnn =
h→0−hln (n+ 1) +hlnn+o(h) d’où
un(s) =
s→1
1
ns −ln (n+ 1) + lnn+o(1)−→
s→1un(1).
Donc un est continue en 1. Or un est continue sur ]0,1[ et sur ]1,+∞[ en vertu des théorèmes opératoires classiques. En conclusion,
un est continue sur R+∗. b)Soit n∈N∗. J’écris à l’aide d’une (habile) intégration par parties :
un(s) = 1
ns − t−n−1 ts
n+1
n −
n+1 n
(t−n−1) −s
ts+1dt =
n+1 n
(n+ 1−t) s ts+1dt.
Or la fonction t→ 1
ts+1 est décroissante et 0≤n+ 1−t≤1 pour touttde[n, n+ 1], d’où, comme s est positif :
0≤un(s)≤ s ns+1. c)Pour0< a < M, le résultat précédent montre que :
∀n∈N∗ ∀s∈[a, M] |un(s)| ≤ M na+1
et donc la série de fonctions un converge normalement, donc uniformément, sur[a, M]; or les un
sont continues sur[a, M]d’aprèsa). Par conséquent la fonction sommeU est définie et continue sur [a, M]cela pour tousa, M tels que 0< a < M, donc
U est définie et continue sur]0,+∞[.
d)Notons que pour s >0,s= 1etN ∈N∗ : N1−s 1−s =
N 1
dt ts + 1
1−s d’où : HN(s)−N1−s
1−s =
N−1
n=1
un(s) + 1
Ns − 1
1−s ; comme s >0, j’en déduis : HN(s)−N1−s
1−s N∈N∗
converge versζ(s) =U(s)− 1 1−s.
e)De même, pour s = 1 et N ∈ N∗ : lnN =
N 1
dt
t , d’où : HN(1)−lnN =
N−1
n=1
un(1) + 1 N ; en conclusion :
(HN(1)−lnN)N∈N∗ converge versγ=U(1)>0.
En effet un(1)est à termes positifs, doncU(1)≥u1(1) = 1−ln 2>0.
2) a)Soit, pour n∈N∗, fn:s→(−1)n−1/ns ; les fn sont de classeC1 surR+∗ et j’ai
∀s >0 fn′ (s) = (−1)nlnn
ns or d dx
lnx
xs = 1−slnx xs+1 .
Pour pouvoir majorer le reste de la série numérique alternée fn′ (s), je fixe donca >0et je travaille sur la demi-droite [a,+∞[; je fixe aussin0 dansNtel quen0 > e1/a, de sorte que1−slnn <0 dès que s≥aetn≥n0 :
∗
n≥n0
fn converge simplement sur[a,+∞[(le théorème spécial des séries alternées s’applique à la série numérique
n≥n0
fn(s), pour tout s >0 fixé).
∗ pour tout n≥n0,fn est C1 sur [a,+∞[ et, pour s≥a fixé, j’ai 1−slnn <0 pour tout n≥n0
(par choix den0 !), donc la suite lnn
ns n≥n0 est décroissante (calcul ci-dessus) et de limite nulle (croissances comparées, car s > 0). Donc le théorème spécial des séries alternées s’applique à
n≥n0
fn′ (s). De plus, en notant Rp =
∞
n=p+1fn′ j’ai, grâce à la majoration du reste associée au théorème spécial :
∀p≥n0 ∀s∈R+∗ |Rp(s)| ≤ ln (p+ 1)
(p+ 1)s ≤ ln (p+ 1) (p+ 1)a
d’où il résulte que la suite de fonction(Rp)p≥n0 converge uniformément vers 0 sur[a,+∞[, c’est- à-dire que
n≥n0
fn′ converge uniformément sur [a,+∞[.
Le théorème de dérivation terme à terme s’applique donc :
n≥n0
fn estC1 sur[a,+∞[. Comme une somme finie de fonctions C1 est C1, j’en déduis que f est C1 sur [a,+∞[, cela pour tout a >0. En conclusion :
f est de classe C1 surR+∗.
b)En séparant classiquement les termes de rangs pairs et impairs, j’obtiens, pour s >0 etN ∈N∗, S2N(s) =
2N n=1
(−1)n−1
ns =H2N(s)−2·
N
p=1
1 (2p)s soit
S2N(s) =H2N(s)− 1
2s−1 ·HN(s).
D’où, pour s= 1:
S2N(s) = H2N(s)−(2N)1−s
1−s − 1
2s−1 · HN(s)−N1−s 1−s et le 1)d)me donne, à la limite pour N → ∞ :
f(s) = 1− 1
2s−1 ·ζ(s).
c)Par ailleurs : S2N(s) =
N
p=1
1 (2p−1)s −
N
p=1
1
(2p)s =KN(s)− 1
2s ·HN(s) d’où : KN(s)− N1−s
2s(1−s) =S2N(s) + 1
2s · HN(s)−N1−s 1−s ,
donc la suite de terme général KN(s)− N1−s
2s(1−s) converge versf(s) + 1
2s ·ζ(s), soit d’aprèsb) : La suite de terme généralKN(s)− N1−s
2s(1−s) converge vers 1− 1
2s ·ζ(s).
3) La majoration du reste d’une série alternée vérifiant les hypothèses du théorème spécial permettrait de montrer classiquement que fn(notations du2)) converge uniformément sur[a,+∞[pour touta >0; pour l’étude au voisinage de +∞, je peux chausser de plus gros sabots : fn converge normalement donc uniformément sur[2,+∞[(car sup
s∈[2,+∞[|fn(s)|= 1
n2), pour tout n∈N∗,fnadmet une limite finie bn en+∞(b1 = 1 et∀n ≥2 bn = 0). Le théorème de la double limite permet alors de conclure : la série numérique bn converge et sa somme est la limite en +∞def =
∞ n=1
fn ; ainsi lim+∞f = 1.
4) a)Nous avons vu au 1) que U est continue en 1 et que γ =U(1) d’où U(s) =
s→1 γ+o(1) ; de plus U(s) =ζ(s) + 1
1−s d’où finalement ζ(s) =
s→1
1
s−1+γ+o(1).
b)Nous avons vu au2)a) que f′(1)s’obtient par dérivation terme à terme : f′(1) =
∞
n=1
(−1)nlnn
n .
Par ailleurs, pourh∈]0,1[, d’après 2)b)et5)a), les os’entendant pour h→0 : f(1 +h) = 1−2−h ·ζ(1 +h)
= 1−e−hln 2 · 1
h+γ+o(1)
= hln 2−(hln 2)2
2 +o h2 · 1
h+γ+o(1)
= ln 2 + γln 2−(ln 2)2
2 ·h+o(h)
Le coefficient constant de ce développement limité à l’ordre 1 donne le résultat classique f(1) = ln 2, le coefficient dehn’est autre que f′(1). En conclusion
∞
n=1
(−1)nlnn
n = γ−ln 2
2 ·ln 2.
Exercice 4 : recherche d’équivalents
1) Commean∼bn et que ces termes sont positifs, pour tout réeltj’ai |bntn| ∼an|t|n; or f est définie en
|t|par hypothèse, donc la série numérique bntn est absolument convergente. Par conséquent, g est définie surR.
2) Comme(bn) est à valeurs strictement positives, l’hypothèsean∼bnse traduit par an
bn n→∞−→ 1 d’où γn= an
bn −1n→∞−→ 0.
Par conséquent,
Il existe(γn) telle que : ∀n∈N an=bn(1 +γn).
3) a)La suite (γn)n≥m+1 converge vers 0, elle est donc bornée, par conséquent δm = sup
n≥m+1|γn|est bien défini.
b)Soient t >0 etm∈N. J’ai f(t)−g(t)
g(t) =
∞ n=0
γnbntn g(t) =
m n=0
γnbntn g(t) +
∞ n=m+1
γnbntn g(t) . Grâce à l’inégalité triangulaire et à la définition deδm, j’ai
∞ n=m+1
γnbntn ≤
∞
n=m+1|γn|bntn≤δm
∞ n=m+1
bntn. Or, comme les bn ett sont strictement positifs, j’ai
g(t)≥
∞ n=m+1
bntn d’où
∞ n=m+1
γnbntn
g(t) ≤δm. Par ailleurs,
g(t)≥bm+1tm+1 d’où
m n=0
γnbntn
g(t) ≤ 1
bm+1tm+1
m
n=0|γn|bntn. Et en regroupant ces deux majorations, grâce à nouveau à l’inégalité triangulaire,
f(t)
g(t) −1 ≤δm+ 1 bm+1tm+1
m
n=0|γn|bntn.
c)Dans cette démonstration “à la Cesàro”, l’idée est queδm est aussi petit que je le souhaite, pour m assez grand et pour tout t, tandis que le second terme tend vers 0 quand t tend vers +∞, pour mfixé. . .
Soit donc ε >0 fixé. Comme lim
n→∞γn= 0, je dispose dem∈N tel que|γn| ≤ε/2pour tout n≥m.
J’ai alors δm ≤ε/2 par définition de la borne supérieure (cela montre au passage que la suite (δm) converge vers 0). métant ainsifixé, j’ai
m
n=0|γn|bntn =
t→+∞O(tm) (somme finie de termes tous O(tm)) et donc
1 bm+1tm+1
m
n=0|γn|bntn −→
t→+∞0 (c’est unO 1 t ).
Je dispose donc de A >0 tel que
∀t≥A 1 bm+1tm+1
m
n=0|γn|bntn≤ε/2.
Au bilan, grâce au b):
∀ε >0 ∃A >0 ∀t≥A f(t)
g(t) −1 ≤ε.
Autrement dit, par définition de la limite, f(t) g(t) −→
t→+∞1, c’est-à-dire que f(t) ∼
t→+∞g(t).
4) a)Classiquement 1 + 1 n+ 1
n+1
n→∞−→ e, donc cn ∼ an où an = e
n!. Ici f : t →
∞
n=0antn est bien définie sur R (série exponentielle : f(t) = et+1) et les an et cn sont strictement positifs, donc le résultat du 1)s’applique.
hest définie surR. b)Et le résultat du 3)s’applique aussi !
h(t)t→+∞∼ et+1.
