. ba CALCUL NUMERIQUE ET ALGEBRIQUE

Chapitre 1 2

CALCUL NUMERIQUE ET ALGEBRIQUE

I Calculs numériques 1) Les puissances

Définition: A est un nombre réel et n un entier strictement positif Aⁿ = A x A x …x A

n facteurs A^-n = = x x … = ( )ⁿ

n facteurs Par convention: A⁰ = 1 et 0⁰ = 0

Propriétés: A et B sont des réels non nuls et m et n sont des entiers positifs

Aⁿ x A^m = A^{n +m} Aⁿ x Bⁿ = ( AB)ⁿ (Aⁿ)^m = A^{n x m}

= A^{n – m} = ( )ⁿ

Exemple: simplifier 2⁴ x 2³ , 2⁴/2³ , (2y)³ , (2²)^-3

Exercices : A p 10, 9, 10, 12 p 21 2) Les fractions ( rappels)

Règles de calculs: a, b, c et d sont des nombres réels et b et d sont non nuls.

x = = c x = car c = = x ( ici c  0)

Exercices: 1, 2, 4 p 20 3) Les racines carrées

Définition: La racine carrée d'un nombre réel positif a est le nombre positif dont le carré est égal à a Propriétés: Si a et b sont des réels positifs non nuls, et si n est un entier relatif alors:

b

a. = . = = ⁿ

Exercices:5, 6, 8 p 20

II

Développements et factorisations 1) Reconnaître une Somme et un produit

Un calcul est appelé somme si la dernière opération à effectuer est une addition. Chacun des nombres qui composent cette addition est appelé terme de la somme.

Remarque: = + est FAUX

Chapitre 1 2^nde

Un calcul est appelé produit si la dernière opération à effectuer est une multiplication. Chacun des nombres qui composent cette multiplication est appelé facteur du produit.

Exemples :

(x – 5)(2t + 3) est un produit. Les facteurs sont (x – 5) et (2t + 3).

2a + 5(b + 1) – 3 est une somme. Les termes sont 2a ; 5(b + 1) et – 3.

2) Développer et réduire

Développer un calcul contenant des produits c’est écrire ce calcul en transformant les produits en somme.

Réduire une expression développée c’est l’écrire sous forme de somme contenant le moins de termes possible.

Pour développer une expression, on utilise les méthodes suivantes : Distributivité

Quels que soient a, b, c et d : a(b + c) = ab + ac

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Identités remarquables

Quels que soient a et b : (a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b² (a + b)(a – b) = a² – b²

Développer, réduire : A = 3a – 5(2 + a) + (3a – 2)² B = (5x + 2)(–x – 3) – x + (2x + 1)(2x – 1)

3) Factorisations

Factoriser un calcul c’est l’écrire sous la forme d’un produit.

Pour factoriser une expression, on utilise aussi la distributivité et les identités remarquables mais dans l’autre sens :

On reconnaît un facteur commun : ab + ac + ad = a(b + c + d)

On reconnaît une identité remarquable : a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² – b² = (a + b)(a – b)

Attention: A = -( 2-3x) = ^x ( 2 – 3x) donc lorsque l'on factorise B = 4x ( 2 – 3x) – ( 2 -3x) On obtient: B=

- (4x- 3)(2x +5) = (-4x +3)(2x +5) = (3-4x)(2x +5) Factoriser les expressions suivantes:

2x + x(x – y) =

(a – 1)a + (a – 1) – (a – 1)(2a – 2) = (2t – 5)² – 36 =

Chapitre 1 2

Exercices: 15, 16, 19, 20 p21 III

Les ensembles de nombres

1) Les entiers naturels : Les entiers naturels sont les entiers positifs et 0.

Par exemple, 0, 1, 2 et 5676 sont des entiers naturels. Par contre – 45 n'en est pas un.

Cet ensemble est noté comme naturel. Il existe une infinité d'entiers naturels.

On dit que ces entiers sont naturels car ce sont ceux que l'on utilise naturellement dans la vie de tous les jours.

2) Les entiers relatifs : Tous les entiers qu'ils soient négatifs, positifs ou nuls, sont des entiers relatifs.

Par exemple, – 45, – 1, 0 et 56 sont des entiers relatifs.

L'ensemble des entiers relatifs est noté . Ce symbole vient du mot allemand "die Zahl" qui signifie le nombre.

Remarque: Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit alors que l'ensemble est inclus dans l'ensemble : on écrit 

3) Les nombres décimaux  : Ts les nombres pouvant s'écrirent ss la forme avec a et n

( autrement dit avec un nombre fini de chiffres après la virgule)

Par exemple, -3,89 et 5,2 sont des décimaux. Ils peuvent être négatifs ou positifs.

Cet ensemble est noté D

Remarque: Les entiers relatifs sont aussi des décimaux. En effet : 2 = 2,0 , 0 = 0,0 et – 4 = – 4,000 On dit alors que l'ensemble est inclus dans l'ensemble  : on écrit :    .

4) Les nombre rationnels I;Q: Les nombres rationnels sont les fractions de la forme où p et q sont des entiers (non nul pour q).

Par exemple, et – sont des rationnels.

Cet ensemble des rationnels est noté I;Q comme quotient.

Remarque: Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels : prenons par exemple 1,59. C'est en fait le quotient des entiers 159 et 100 car = 1,59.

L'ensemble des décimaux (et par conséquent celui des entiers naturels et celui des entiers relatifs) est donc inclus dans I;Q.

On résume cela par :      ^{ I;Q.}

5) Les nombres réels : Tous les nombres utilisés en 2^nde sont des réels. Cet ensemble est noté

On représente cet ensemble par une droite graduée.

Une telle droite est appelée droite des réels.

Sur ce dessin, le point A a pour abscisse – alors que les nombres réels positifs et  sont les abscisses des points B et C.

Tous les rationnels sont des réels. L'ensemble des rationnels I;Q est donc inclus dans l'ensemble . D’où :    ^{ I;Q }

6) Représentation de tous les ensembles : _R

D

Z N

10 574 1 0

100² –

15 13/2

1+

1,07 

8 Q 

Chapitre 1 2^nde Exercices:21, 22, 26; 27 p22 et 33 p 23 et 45, 46 p 24

IV

Les nombres premiers 1) Définition

Définition : Un nombre premier est entier naturel n'ayant que deux diviseurs distinct : 1 et lui-même.

Remarque : 0 et1 ne sont pas premiers car ils n'admettent pas 2 diviseurs distincts.

Exemples : 3, 5, 13, 71 sont des nombres premiers.

14 n’est pas un nombre premier : il est divisible par 1, 2, 7 et 14

2) Crible d'Eratosthène

Pour trouver les nombres premiers, on utilise le "crible d’Eratosthène":

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

3) Méthode pour reconnaître un nombre premier

Tout d'abord on applique les critères de divisibilité pour trouver d'éventuels diviseurs.

Rappels:

S'il ne possède pas de diviseurs connus alors on le divise successivement par les nombres premiers jusqu’à ce que le diviseur au carré soit supérieur au nombre.

Exemple : 157 est-il premier ?

 157 n’est pas divisible par 2 et 157/2 = 75,5

 157 n’est pas divisible par 3 et 157/3 = 52,3..

 157 n’est pas divisible par 5 et 157/5 = 31,4

 157 n’est pas divisible par 7 et 157/7 = 22,4..

 157 n’est pas divisible par 11 et 157/11 = 14,3..

 157 n’est pas divisible par 13 et 157/13 = 12,0..comme 13²= 169 et que 169 >157 on peut arrêter Conclusion : 157 est un nombre premier

4) Décomposition d'un nombre en produits de facteurs premiers

Décomposer un nombre en produits de facteurs premiers signifie trouver tous les diviseurs premiers d’un nombre

Méthode: On divise le nombre par ses diviseurs premiers : 2, 3, 5, 7, etc… jusqu'à ce que le résultat de la division soit1 , décomposons 1050 2

525 3

175 5

35 5

7 7

A chaque nombre premier rencontré on élimine tous ses multiples, jusqu'à ce que le carré du dernier nombre premier soit plus grand que la dernière valeur du tableau

 Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un nombre pair

 Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est multiple de 3

 Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5

 Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est multiple de 9

Chapitre 1 2

1 donc, 1050 = 2 ´ 3 ´ 5² ´ 7

Exercices: 81; 83 page 27 et 88 page 28 V

Résolution d'équations 1) Définition

Définition: Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle figure une lettre représentant une valeur inconnue que l’on cherche à déterminer.

Exemples :

(E1) : 2x + 1 = 0 est une équation d’inconnue x (E2) : = t + 1 est une équation d’inconnue t

(E3) : y³ – 3y² = 6y – 8 est une équation d’inconnue y.

Résoudre une équation c’est déterminer l’ensemble de toutes les solutions de l’équation.

Exemples

L’ensemble des solutions de (E1) est S1 = L’ensemble des solutions de (E2) est S2 = {0 ; 2}

L’ensemble des solutions de (E3) est S3 = {–2 ; 1 ; 4}

2) Equation du type ax +b = 0

3) Equation du type (A) x (B) = 0

résoudre l'équation: (2x +3).(-4x -2) = 0

4) Techniques de résolution d'équations:

1. On place tous les termes d'un même côté du signe égal:

Exemple: 5x³ – 3 = 9x² +4 devient 5x³ – 3 – 9x² – 4 = 0 2. Puis on cherche un facteur commun:

Exemple: (3x-1) (x +1) – 2x (x + 1) = 0 ici (x + 1) est facteur commun (x +1) [ (3x-1) – 2x] = 0 on factorise par (x + 1)

3. S'il n'y a pas de facteur commun alors on développe et on réduit l'expression.

Chapitre 1 2^nde

x²+3x – 4 – (x²+ x -6) =0 on développe

2x + 2 = 0 on réduit l'expression

4. Lorsque l'on a factorisé en produits de facteurs du premier degré on résout l'équation Exemple: 2x(4-3x)(5x+3) = 0

 2x = 0 ou 4 – 3x = 0 ou 5x + 3 = 0

Erreur à éviter:

Il ne faut pas faire: (3x + 1)(x + 2) = (5x -3)(x + 2)

 3x + 1 = 5x - 3

 3x-5x +1+3 = 0

 -2x + 4 = 0

 x = 2 S = dans ce cas on a une seule solution Il faut faire: (3x + 1)(x + 2) = (5x -3)(x + 2)

 (3x + 1)(x + 2) – (5x – 3)(x +2) = 0

 (x + 2) [(3x +1-(5x – 3)] = 0

 (x + 2) (-2x + 4) = 0

 x + 2 = 0 ou -2x + 4 = 0

 x = -2 ou x = 2 S =





1)Les expressions suivantes contiennent le signe " = ". Dans quels cas s’agit-il d’une équation ? a) « Résoudre t² + 1 = 2t. »

b) « Démontrer que (a – 2)(a + 1) = a² – a – 2. » c) « Soit f la fonction définie par f(x) = 2x + 1. »

d) « Déterminer les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 5. » e) « f est la fonction qui vérifie : pour tout x, f(x) = 5. » f) « – 5 = –1. »

g) « Pour b = 1, – 5 = –b. »

h) « L’égalité (y – 5)² = y² – 25 est-elle vraie ? »

2) Résoudre, en choisissant la méthode appropriée, les équations suivantes : (E1) : 4(x – 5) = 3(2x + 3) (E2) : 4(x – 5)(2x + 3) = 0

(E3) : (x – 5)(2x + 3) + 4(x – 5) = 0 (E4) : (x – 5)(2x + 3) – 2x(x + 1) = 0

(E5) : x² + 3x = 5x (E6) : x² + 3x = –3x – 9 (E7) : x² + 3x = x² + 6 (E8) : x²(2x + 1) = 4(2x + 1)

(E9) : + = (E10) : x² + 4x + 4 = (x + 2)(x – 1)