Optimisation Universit´e de Nice
L3 MASS Ann´ee 2013-2014
Examen du 11 avril 2014
Exercice 1 - On consid`ere la fonctionf(x1, x2) = (x1−x2)4. 1. D´eterminer le gradient (∇f)x de f en tout pointx∈R2.
2. D´eterminer la matrice hessienneH(f)x de f en tout point de x∈R2.
3. D´eterminer le signe de la forme quadratique associ´ee `a la matrice hessienne H(f)x. 4. Est-ce que f est convexe ? strictement convexe ?
Exercice 2 - On consid`ere la fonction
J(x1, x2, x3) =x21+x22+x23
sous la contrainte
F(x1, x2, x3) = x21 64 +x22
36 +x23
25 −1 = 0.
1. Ecrire le lagrangien L(x1, x2, x3, λ) associ´e `a ce probl`eme.
2. D´eterminer les points critiques du lagrangien.
3. Pour chaque point critique, d´eterminer sa nature par le crit`ere de la matrice hessienne.
4. BONUS. Donner une interpr´etation g´eom´etrique de ce probl`eme d’optimisation.
Exercice 3 - A l’aide de l’algorithme du simplexe d´eterminer le maximum de la fonction
Z(x1, x2) = 18x1+ 6x2,
sous les contraintes
x1+x2 ≤18, 5x1+ 4x2 ≤80, 0≤x1 ≤12, 0≤x2≤15.
Repr´esenter dans le plan le domaine d´efini par les in´egalit´es ci-dessus ainsi que le sommet du polygˆone o`uZ atteint le maximum.
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